【上海54】期中模擬卷01【24-25章】

2023-2024學(xué)年上學(xué)期期中模擬考試九年級數(shù)學(xué)（滬教版24-25章）（考試時間：100分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，共24分.下列各題四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題卡的相應(yīng)位置上.）1．如果的各邊長都縮小為原來的倍，那么銳角A的正弦、余弦值是（）A．都擴大為原來的2倍 B．都縮小為原來的C．沒有變化 D．不能確定2．在比例尺為的地圖上，如果兩地的距離是10厘米，那么這兩地的實際距離是（

）A．50000米 B．5000米 C．500米 D．50米3．已知非零向量、和，下列條件中，不能判定的是（

）A．， B．，C． D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，BC＝a，則AB的長為（

）A．a(chǎn) B．2a C．a(chǎn) D．a(chǎn)5．如圖，在中，，，為垂足，且，則（）A． B． C． D．6．下列五幅圖均是由邊長為1的16個小正方形組成的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的三角形的頂點都在小正方形的頂點上，那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的△ABC相似的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：（本大題共12題，每題4分，共48分.）7．如果，那么．8．長為、的線段的比例中項長是．9．如果兩個相似三角形的面積比是4：9，那么它們對應(yīng)高的比是10．在中，與是銳角，且，，那么度．11．如圖，已知在中，點在邊上，，，，那么．（用含向量和的式子表示）

12．如圖，湖心島上有一涼亭B，在涼亭B的正東湖邊有一棵大樹A，在湖邊的C處測得B在北偏西45°方向上，測得A在北偏東30°方向上，又測得A、C之間的距離為100米，則A、B之間的距離是米（結(jié)果保留根號形式）．13．如圖，梯形中，，，，，，那么．14．如圖，已知ADBECF．如果，，，那么AC的長是．15．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊CD上一點，聯(lián)結(jié)AE、BD，且AE、BD交于點F，若DE：EC＝2：3，則＝．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，CE是AB邊上的中線，AD與CE交于點F，點G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，則點F與點G的距離是．17．若定義等腰三角形頂角的值為等腰三角形底邊和底邊上高的比值，即，若等腰，，且，則．18．如圖，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8將矩形ABCD沿直線MN翻折后，點B恰好落在邊AD上的點E處，如果AE=2AM，那么CN的長為.三、解答題：（本大題共7題，第19-22每題10分，第23-24每題12分，第25題14分，共78分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）19．計算：．20．如圖，、是的邊、上的中線，、相交于點，聯(lián)結(jié)，設(shè)，．(1)用、來表示，，．(2)在圖中，畫出向量在和方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）21．如圖，在中，點、分別在邊、上且，．(1)求證：；(2)若，，，求的值．22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點D在邊BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足為點E，聯(lián)結(jié)CE．（1）求線段AE的長；（2）求∠ACE的余切值．23．如圖，在中，點、分別在邊、上，點是上一點且，連接．(1)求證：；(2)求證：．24．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，，另有一點．(1)求一次函數(shù)解析式；(2)連接，點是反比例函數(shù)的第一象限圖像上一點,過點作軸的垂線，垂足為.如果與相似，求點坐標(biāo)；(3)連接，求的正弦值．25．在中，，點是的中點，點是邊上一點，，交的延長線于點，，交邊于點，過點作，垂足為點，分別交于點．（1）求證：；（2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；（3）當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求線段的長．

2023-2024學(xué)年上學(xué)期期中模擬考試九年級數(shù)學(xué)（滬教版24-25章）（考試時間：100分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題1．如果的各邊長都縮小為原來的倍，那么銳角A的正弦、余弦值是（）A．都擴大為原來的2倍 B．都縮小為原來的C．沒有變化 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答．【解析】三角形各邊長度都縮小為原來的倍，∴得到的三角形與原三角形相似，∴銳角A的大小不變，∴銳角A的正弦、余弦值不變，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正弦與余弦的定義，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．在比例尺為的地圖上，如果兩地的距離是10厘米，那么這兩地的實際距離是（

）A．50000米 B．5000米 C．500米 D．50米【答案】C【分析】根據(jù)圖上距離與比例尺，求實際距離，即圖上距離除以比例尺．【解析】解：根據(jù)題意，10÷（1：5000）=50000厘米=500米．即兩地間的實際距離是500米．故選C．【點睛】考查了比例線段，掌握比例線段的定義及比例尺，并能夠靈活運用．3．已知非零向量、和，下列條件中，不能判定的是（

）A．，B．，C．D．【答案】D【分析】根據(jù)向量平行向量的定義“方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量”進行逐一判定即可．【解析】A選項，由于，所以、的方向相同，由于，故、的方向相同，所以，不符題意；B選項，因為，所以和的方向相同，由于，所以、、的方向相同，所以，不符題意；C選項，因為，所以、的方向相反，故的，不符題意；D選項，因為，所以、的方向不能確定，故不能判定其位置關(guān)系，符合題意．故選：D【點睛】本題考查的是向量平行向量的定義，理解向量的定義是解決問題的關(guān)鍵．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，BC＝a，則AB的長為（

）A．a(chǎn) B．2a C．a(chǎn) D．a(chǎn)【答案】C【分析】先根據(jù)三角函數(shù)求出，再利用勾股定理求解即可．【解析】解：∵∠C=90°，，∴，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)和勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握三角函數(shù)的相關(guān)知識．5．如圖，在中，，，為垂足，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解析】解：，，又，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記相似三角形的判定與性質(zhì)．6．下列五幅圖均是由邊長為1的16個小正方形組成的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的三角形的頂點都在小正方形的頂點上，那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的△ABC相似的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】可利用正方形的邊把對應(yīng)的線段表示出來，利用三邊對應(yīng)成比例兩個三角形相似，分別計算各邊的長度即可解題．【解析】解：根據(jù)題意得：，∴，∴該三角形為直角三角形，且兩直角邊的比為，第1個圖形中，有兩邊為2，4，且為直角三角三角形，則兩直角邊的比為2，故第1個圖形中三角形與△ABC相似；第2個圖形中，三邊長分別為，，，∵，則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為1，故第2個圖形中三角形不與△ABC相似；第3個圖形中，三邊長分別為，，，∵，則該三角形不是直角三角形，故第3個圖形中三角形不與△ABC相似；第4個圖形中，三邊長分別為，，，∵，則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為2，故第4個圖形中三角形與△ABC相似；故選：B．【點睛】此題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，三角形對應(yīng)邊比值相等判定三角形相似的方法，本題中根據(jù)勾股定理計算三角形的三邊長是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．如果，那么．【答案】/【分析】已知，設(shè)，，代入求值的代數(shù)式化簡即可．【解析】解：∵，設(shè)，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確設(shè)出a和b的值進行化簡．8．長為、的線段的比例中項長是．【答案】【分析】根據(jù)成比例線段的定義和比例的性質(zhì)進行解答即可．【解析】解：長為、的線段的比例中項長是：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了比例線段的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是列出比例中項的算式．9．如果兩個相似三角形的面積比是4：9，那么它們對應(yīng)高的比是【答案】2：3/【解析】解：∵兩個相似三角形的面積比是4：9，兩個相似三角形的相似比是2：3，∴它們對應(yīng)高的比是2：3．故答案為：2：3．10．在中，與是銳角，且，，那么度．【答案】【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出銳角、的值，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出答案【解析】解：∵，，與是銳角，∴，，∴；故答案為．【點睛】本題考查了由特殊角的函數(shù)值求角度，以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．11．如圖，已知在中，點在邊上，，，，那么．（用含向量和的式子表示）

【答案】【分析】利用三角形法則可知：，求出即可解決問題．【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平面向量，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．12．如圖，湖心島上有一涼亭B，在涼亭B的正東湖邊有一棵大樹A，在湖邊的C處測得B在北偏西45°方向上，測得A在北偏東30°方向上，又測得A、C之間的距離為100米，則A、B之間的距離是米（結(jié)果保留根號形式）．【答案】【解析】過點C⊥AB于點D,在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AC=100m，∴AD=100?sin∠ACD=100×=50(m)，CD=100?cos∠ACD=100×=(m)在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，∴BD=CD=m，則AB=AD+BD=50+(m).故答案為50+13．如圖，梯形中，，，，，，那么．【答案】6【分析】根據(jù)題意可知△ABD∽△DCB，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可求出答案．【解析】解：在直角梯形中，∵，，，∴∠ADB=∠DBC，∠A=∠BDC，∴△ADB∽△DCB,∴又∵AD=4,,BC=9,∴BD=6故答案為:6．【點睛】本題考查了直角梯形和相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出△ABD∽△DCB．14．如圖，已知ADBECF．如果，，，那么AC的長是．【答案】6.4/【分析】根據(jù)三條平行線截兩條直線，所得對應(yīng)線段成比例，列出比例式解答即可．【解析】解：∵，∴，∵AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，∴，解得，∴．故答案為：6.4．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握定理并靈活運用列出正確的比例式．15．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊CD上一點，聯(lián)結(jié)AE、BD，且AE、BD交于點F，若DE：EC＝2：3，則＝．【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，根據(jù)得，即可得．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，CE是AB邊上的中線，AD與CE交于點F，點G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，則點F與點G的距離是．【答案】2【分析】設(shè)直線AG與BC的交點為H，先由勾股定理和三線合一定理求得，再由重心的性質(zhì)即可得到，從而可證明△FAG∽△DAH，得到，由此求解即可．【解析】解：設(shè)直線AG與BC的交點為H，∵AB=AC，AD⊥BC，∴CD=BD，∠ADB=90°，D是BC的中點∴，∴，∵CE是AB邊的中線，AD是BC邊的中線，AD與CE交于F,∴F是△ABC的重心，∴，∴，∵G為△ACD的重心，∴∴同理可得，，∴，又∵∠FAG=∠DAH，∴△FAG∽△DAH，∴，∴，故答案為：2【點睛】本題主要考查了勾股定理，三線合一定理，重心的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能熟練掌握重心的性質(zhì)．17．若定義等腰三角形頂角的值為等腰三角形底邊和底邊上高的比值，即，若等腰，，且，則．【答案】/0.28【分析】過點A作于D，過點B作于E，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得，，進而判斷是銳角三角形，點E在AC邊上，從而得，由三角函數(shù)的定義即可求解．【解析】如圖，過點A作于D，過點B作于E，∵，∴設(shè)，，∵，∴，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴是銳角三角形，∴點E在AC邊上，∵，，∴即，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8將矩形ABCD沿直線MN翻折后，點B恰好落在邊AD上的點E處，如果AE=2AM，那么CN的長為.【答案】【分析】如圖，過N作NF⊥AD于F，可得NF=AB，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得∠MEN=∠B=90°，EN=BN，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)及平角的定義可得∠AME=∠NEF，進而可證明△AEM∽△FNE，根據(jù)AE=2AM可求出EF的長，在Rt△FNE中，利用勾股定理可求出EN的長，進而可求出CN的長.【解析】如圖，過N作NF⊥AD于F，∵四邊形ABCD是矩形，AB=6，∴NF=AB=6，∵矩形ABCD沿直線MN翻折后，點B恰好落在邊AD上的點E處，∴EN=BN，∠MEN=∠B=90°，∴∠AEM+∠NEF=90°，∵∠AEM+∠AME=90°，∴∠AME=∠NEF，又∵∠A=∠EFN=90°，∴△AEM∽△FNE，∴，∵AE=2AM，NF=6，∴EF=3，∴BN=EN===，∵BC=8，∴CN=BC-BN=8-，故答案為：8-【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、增大的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似；熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.三、解答題19．計算：．【答案】【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可求出值．【解析】===【點睛】此題考查了實數(shù)的運算和特殊角的三角函數(shù)值計算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．20．如圖，、是的邊、上的中線，、相交于點，聯(lián)結(jié)，設(shè)，．(1)用、來表示，，．(2)在圖中，畫出向量在和方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）【答案】(1)；；(2)圖見解析【分析】（1）根據(jù)平面向量運算法則即可求出答案；（2）根據(jù)平面向量的基本定理進行求解即可．【解析】（1）解：，分別是邊，上的中線，是的重心，是的中位線，，，，，，，．故答案為：；；（2）解：作圖如下：為所求，【點睛】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練運用平面向量的運算法則，本題屬于中等題型．21．如圖，在中，點、分別在邊、上且，．(1)求證：；(2)若，，，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，可得：，進而推出，然后證明，得出，即可證明；（2）根據(jù)，得到，得到，再利用，得到：，從而得到，即可得到的值．【解析】（1）證明：∵，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查平行線分線段對應(yīng)成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握平行線分線段對應(yīng)成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點D在邊BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足為點E，聯(lián)結(jié)CE．（1）求線段AE的長；（2）求∠ACE的余切值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求出AE的長；（2）過點E作EH⊥AC于點H．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EH＝AH的值，再根據(jù)三角函數(shù)即可求出∠ACE的余切值．【解析】解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，∴BD＝3．∵AB＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°．∵DE⊥AB，∴在Rt△DEB中，cosB＝．∴BE＝，在Rt△ACB中，AB＝＝4，∴AE＝.（2）如圖，過點E作EH⊥AC于點H．∴在Rt△AHE中，cosA＝，AH=AE?cos45°=，∴CH＝AC?AH＝4?＝，∴EH=AH=，∴在Rt△CHE中，cot∠ECB=，即∠ECB的余切值是．【點睛】此題考查解直角三角形、等腰直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)定義．23．如圖，在中，點、分別在邊、上，點是上一點且，連接．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)結(jié)合已知條件，直接證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）證明，得出，根據(jù)（1）的結(jié)論得出，根據(jù)公共角，證明，即可得證．【解析】（1）∵，，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，即．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．24．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，，另有一點．(1)求一次函數(shù)解析式；(2)連接，點是反比例函數(shù)的第一象限圖像上一點,過點作軸的垂線，垂足為.如果與相似，求點坐標(biāo)；(3)連接，求的正弦值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分和兩種情況討論求解即可；（3）如圖所示，過點B作于D，利用勾股定理求出，，利用面積法求出，再根據(jù)正弦的定義求解即可．【解析】（1）解：∵一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，，∴，∴，∴一次函數(shù)解析式為；（2）解：如圖所示，當(dāng)時，∵，，∴，∴，即，∴，設(shè)，則，∴，解得（負值舍去），∴；同理可得當(dāng)時，可得；綜上所述，點P的坐標(biāo)為或；（3）解：如圖所示，過點B作于D，∵，，．∴，∴，，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，正弦，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．25．在中，，點是的中點，點是邊上一點，，交的延長線于點，，交邊于點，過點作，垂足為點，分別交于點．（1）求證：；（2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；（3）當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求線段的長．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或．【分析】（1）只要證明△OBD∽△NED，即可解決問題；（2）由tan∠DBC＝，又因為，可得，由此即可解決問題；（3）分兩種情形：①如圖2?1中，當(dāng)DE＝DF時，②如圖2?2中，當(dāng)