勾股定理的綜合探究題型（原卷版+解析）

專題10勾股定理的綜合探究題型（原卷版）

題型一探究直角三角形的邊和高之間的關(guān)系

典例1（湖州模擬）如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,CZ）_LAB于。，設(shè)AC=6,BC=a,AB=c,CD

=h,有下列四種說法：①a?b=c?h；?a+b<c+h；③以a+b、〃、c+/z為邊的三角形，是直角三角形；④

111

^+-T=—.其中正確的有（）

azb23

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

題型二捕捉“手拉手”全等模型或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手全等”模型

典例2（2022?臥龍區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖,ZBAC=ZDAF=90°,AB=AC,AD=AF,點(diǎn)、D,E為BC邊上

的兩點(diǎn)，且NZME=45°,連接ERBF,下列結(jié)論：①△AEDWAAEF；②BF=CD；③BE+DODE；

@BE^+DC2=D號(hào).其中正確的有（

C.3個(gè)D.4個(gè)

典例3（2020?濱州模擬）如圖，點(diǎn)尸是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且必=3,尸8=4,PC=5,若將△AP8

繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△CQ8,則ZAPB的度數(shù)

針對(duì)練習(xí)

1.（洪山區(qū)期中）如圖，30°,P點(diǎn)在NAOB內(nèi)部，M點(diǎn)在射線。4上，將線段繞尸點(diǎn)逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°,M點(diǎn)恰好落在。8上的雙點(diǎn)（OM>ON）,若ON=8,則OW=

2.（2020秋?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，在△AOB與△C。。中，NAOB=NCOD=90°,AO^BO,CO=DO,

連接CA,BD.

(1)求證：AAOC^ABOZ)；

(2)連接BC,若OC=1,AC=V7,BC=3

①判斷△CZJB的形狀.

②求NAC。的度數(shù).

題型三倍長中線構(gòu)造全等三角形

典例4(2022?蘇州模擬)如圖1,在△ABC中，ZACB=90°,點(diǎn)。為43中點(diǎn)，DE,。下分別交AC于點(diǎn)

E,交8C于點(diǎn)RS.DELDF.

(1)如果CA=C8,連接CD

①求證：DE=DF；

②求證：AE2+BF2^EF2；

(2)如圖2,如果CACC8,探索AE,2尸和EP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

題型四以兩個(gè)直角三角形的公共邊或等邊為橋梁運(yùn)用雙勾股

典例5［閱讀理解］

如圖，在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=7,過點(diǎn)A作直線2C的垂線，垂足為。，求線段的長.

解：設(shè)BD=x,則CD=1-x.

\'AD1BC,

：.ZADB=ZADC=9Q°.

在RtAABD中，AD1=AB2-BD2,

在RtA4C。中，AD2=AC2-CD1,

：.AB2-BD2^AC2-CD2.

又：/18=4,AC=6,

/.42-X2=62-(7-x)2.

解得.?.BO=2i.

1414

:-AD=VAB2-BD2=苗;$.

［知識(shí)遷移］

(1)在△ABC中，AB^13,AC=15,過點(diǎn)A作直線BC的垂線，垂足為D

i)如圖1,若BC=14,求線段的長；

ii)若AO=12,求線段2C的長.

(2)如圖2,在△ABC中，48=2殳代，AC=—：/29,過點(diǎn)A作直線8C的垂線，交線段8C于點(diǎn)

42

將沿直線翻折后得到對(duì)應(yīng)的，連接C。'，若AD=2殳，求線段C。'的長.

2

BD

針對(duì)訓(xùn)練

1.如圖，在RtZvlBC中，ZACB=90°，4。平分NC48,交CB于點(diǎn)D.若AC=3,AB=5,則CD的長

2.如圖，在△ABC中，AO_LBC于點(diǎn)Q,8尸平分/ABC交A。于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸.AC=17,AD=15,

BC=28,則AE的長等于.

題型五勾股定理解決折疊問題

典例6(2022?東莞市校級(jí)二模)將正方形ABC。折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交A。于E,

交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G.若。C=5,CM=2,則所=()

A.3B.4C.V29D.V34

針對(duì)訓(xùn)練

1.如圖，將一張長方形紙片沿著AE折疊后，點(diǎn)D恰好與BC邊上的點(diǎn)F重合，已知AB=6cm,BC=10cm,

求EC的長度.

題型六勾股定理在平面直角坐標(biāo)系背景下的應(yīng)用

典例7（2017春?武昌區(qū)校級(jí)月考）如圖，A（0,m）,B（〃，0）,滿足-5產(chǎn)+層-10〃+25=0

（1）求點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)尸是第二象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC,射線8P,連接C。，試探究8C,AC,CO之間的數(shù)量關(guān)

系并證明.

（3）在（2）的條件下，ZPOC=ZAPC,PA=442,求P8的長.

1.（2022秋?蓮湖區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）,2（1,V3）.

（1）求線段AB的長；

（2）若在無軸上有一點(diǎn)P,使得為等腰三角形，請(qǐng)你求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

專題10勾股定理的綜合探究題型(解析版)

題型一探究直角三角形的邊和高之間的關(guān)系

典例1(湖州模擬)如圖，在中，ZACB=90°,CDLABD,設(shè)AC=b,BC

=a,AB=c,CD=h,有下列四種說法：①ia，b=c?h；②a+b<c+h；③以a+b>h、c+h

111

為邊的三角形，是直角三角形；④=+==其中正確的有()

azbzhz

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

思路引領(lǐng)：①根據(jù)三角形面積公式即可求解；

②證明(a+b)2<(c+h)2；

③直角三角形，證明Q+/1)2+層=(c+h)2；

11

④只需證明層(―+—)=1,從左邊推導(dǎo)到右邊.

11

解：①：RtAABC的面積為：一次?或一

22

ab=ch,故①正確；

②Vc2<c2+/z2,cP+b2=c2,

:.a2+b2<c2+h2,

?ab~~ch,

c^+b1+lab<C2+/Z2+2C/Z,

(〃+。)2<(c+/z)2,

a+b<c+h,故②正確；

③：(c+h)2=C2+2C/Z+/I2,

廬+(〃+。)2=序+/+2ab+伊,

,?,/+廬-2,(勾股定理)

ab=ch(面積公式推導(dǎo))

c^+lch+h2=h1+cP,+2,ab+b1,

(c+h)2=廬+Q+b)2,

???根據(jù)勾股定理的逆定理知道

以/z,c+h,為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形，③正確；

@Vab=ch,

:.(ab)2=(ch)2,即a2,b2=c2h2,

Va2-^-b2=c2,

/.a2b2=（/+廿）h2,

22

ab9

。2+塊1

a2b2九2,

a2b21

a2b2a2b2九2,

111

???后+記=后’故④正確.

故選：D.

總結(jié)提升：此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，此題有一

定的拔高難度，屬于難題，在證明過程中，注意面積關(guān)系式仍="?的應(yīng)用.

題型二“手拉手”全等或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造手拉手全等模型

典例2（2022?臥龍區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，NB4C=ND4F=90°,AB=AC,AD=AF,點(diǎn)。,

E為BC邊上的兩點(diǎn)，且/。4E=45°,連接EF,BF,下列結(jié)論：①ZXAED注AAEF；

②BF=CD；③BE+DODE；@BE2+DC2^DE2.其中正確的有（）

F

BEDC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

思路引領(lǐng)：根據(jù)ND4B=90°,NDAE=45：得出NR1E=45°,利用SAS證明△AED

且AAEF,判定①正確；

可證△A8F四△ACD,于是8P=C。，判定②正確；

先由/BAC=/D4E=90°,得出/CAD=/BAF,再利用SAS證明△ACOgZkABF得

出CD=BF,又①知DE=EF,那么在△8EF中根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可得

BE+BF>EF,等量代換后判定③正確；

先由△AC。/得出NC=NA8/=45°,進(jìn)而得出NEBF=90°,然后在RtzYBE尸

中，運(yùn)用勾股定理得出8爐+8尸=￡產(chǎn)，等量代換后判定④正確.

解：①,ZDAE=45°,

：.乙FAE=ZDAF-ZDAE=45°.

在△AED與中，

AD=AF

ADAE=^FAE=45°,

.AE=AE

：.^AED^AAEF（SAS）,①正確；

②：/B4C=NZMF=90°,

：.ZFAB=ZCAD,

在△ABf'與△AC。中，

AF=AD

^FAB=ACAD,

.AB=AC

：.AABF^AACD(SAS),

：.BF=CD,②正確；

③；NBAC=NZMP=90°,

ABAC-NBAD=ZDAF-ZBAD,即NCAD=ZBAF.

在△AC￡)與△ABB中，

AC=AB

/.CAD=4BAF,

.AD=AF

：.AACD^AABF(SAS),

：.CD=BF,

由①知△AE￡)之△?1￡1/,

：.DE=EF.

在△BEF中，'：BE+BF>EF,

：.BE+DC>DE,③正確；

由③知△ACD注△ABF,

：.ZC=ZABF=45°,

VZABE=45°,

AZEBF=ZABE+ZABF=90°.

在Rt/XBEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2,

,:BF=DC,EF=DE,

：.BE1+DC2=DE1,④正確.

所以正確的結(jié)論有①②③④.

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角直角三角形的性

質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，相似三角形的判定，此題涉及的知識(shí)面比較廣，熟練運(yùn)用這

些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

典例3(2020?濱州模擬)如圖，點(diǎn)尸是等邊三角形A2C內(nèi)一點(diǎn)，且B4=3,PB=4,PC

=5,若將△APB繞著點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△CQ2,則/APB的度數(shù).

思路引領(lǐng)：首先證明△BP。為等邊三角形，得尸=60°,由△ABP0CBQ可得。C

=PA,在△PQC中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出得出NPQC=90°,可求N8QC

的度數(shù)，由此即可解決問題.

解：連接尸。由題意可知△ABP四△CB。

則。8=尸8=4,PA=QC=3,ZABP=ZCBQ,

,/△ABC是等邊三角形，

ZABC=/ABP+NPBC=6Q°,

：.ZPBQ=ZCBQ+ZPBC=60°,

...△BP。為等邊三角形，

：.PQ=PB=BQ=4,

又：尸。=4,PC=5,QC=3,

：.P^+QC1=PC2,

：.ZPQC=90°,

?：^BPQ為等邊三角形，

：.ZBQP=6Q°,

：.ZBQC=ZBQP+ZPQC=150°

ZAPB=ZBQC=l50°

總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是勾股定理逆定理的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型.

針對(duì)練習(xí)

1.（洪山區(qū)期中）如圖，NAOB=30°,尸點(diǎn)在NA08內(nèi)部，〃點(diǎn)在射線。4上，將線段

繞尸點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,M點(diǎn)恰好落在上的N點(diǎn)（OM>ON）,若PM=V10,

ON=8,則OM=—.

思路引領(lǐng)：連接MN,作NH_LOA于”，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/MPN=90°,PN=

PM=V10,可判斷△PMN為等腰直角三角形，則知2&「河=2m，在RtZiOHN中,

根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得NH=3ON=4,OH=WNH=4?然后在Rt

△MNH中根據(jù)勾股定理計(jì)算出MH=2,由此得到OH+HM=46+2.

解：連接MN,作NH_LOA于如圖，

:線段繞尸點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,M點(diǎn)恰好落在02上的N點(diǎn)，

；./MPN=90°,PN^PM=V10,

...△PMN為等腰直角三角形，

：.MN=V2PAf=2V5,

在RtZXOHN中，:NNOH=3Q°,ON=8,

1

：.NH=沙N=4,

OH=V^VH=4亞

在中，,;NH=4,MN=2亞,

：.MH=y/MN2-NH2=2,

：.OM=0H+HM=4V3+2.

故答案為4遮+2.

總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心

所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)

和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.

2.（2020秋?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，在△AOB與△COO中，ZAOB=ZCOD=90°,AO

=BO,CO=DO,連接CA,BD.

（1）求證：AAOC^ABOZ）；

（2）連接8C,若OC=LAC=V7,BC=3

①判斷△CDS的形狀.

②求/ACO的度數(shù).

o

思路引領(lǐng)：（1）由題意可得/AOC=/BO。，且AO=BO,CO=DO,即可證△AOC也

△BOD；

(2)①由全等三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理可得NBOC=90°,即可得△CDB是直

角三角形；

②由全等三角形的性質(zhì)可求/ACO的度數(shù).

證明：(1),：ZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOC=ZBOD,且AO=BO,CO=DO,

：./\AOC^/\BOD(SAS)

(2)①如圖，

△AOgMBOD

：.ZACO=ZBDO,AC=BD=小

：CO=Z)O=1,NCO￡)=90°

:.CD=7c02+DO2=V2,ZODC=ZOCD=45

\'CD2+BD1=9=BC2,

：.ZCDB^90°

...△BCD是直角三角形

②：/BOO=N0￡>C+NCDB

：.ZBDO=135Q

：.ZACO=ZBDO=135°

總結(jié)提升：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的

逆定理，熟練運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

題型三倍長中線構(gòu)造全等三角形

典例4(2022?蘇州模擬)如圖1,在△ABC中，NAC3=90°,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，DE,DF

分別交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)R>DELDF.

(1)如果CA=CB,連接CD.

①求證：DE=DF；

②求證：AE2+BF2=￡F2；

(2)如圖2,如果CACCB,探索AE,8尸和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

思路引領(lǐng)：(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知，NDCE=/DBF=45°,ZCDB

90°,CD=BD.由?？勺C明NCDE=N8OP.即可利用“ASA”證明△OCE0

△DBF,即得出Z)E=OF；②由全等三角形的性質(zhì)可知BF=CE,結(jié)合題意可求出AE=

CF.在RtzXEC尸中，再由勾股定理，得Cp2+c￡2=E產(chǎn)，即得出4爐+8產(chǎn)=石尸；

(2)延長FD至點(diǎn)M,使DM=DF,連接AM,EM.易證絲△BDE(SAS),得

出AM=B尸，ZMAD=ZB,從而判斷AA/〃BC,即證明/MAE=NAC8=90°.再根據(jù)

線段垂直平分線的判定和性質(zhì)可知EF=EM.最后在RtAAEM中，由勾股定理，得

AE^+AM2=EM2,即得出AEr+BF1=EF2.

(1)①證明：'：CA=CB,ZACB=90°,

...△ABC是等腰直角三角形.

:點(diǎn)。是42的中點(diǎn)，

；.NDCE=NDBF=45°,NCDB=90°,CD=BD.

又；DE_LDF,

:./EDF=NCDB=90°,

,?ZCDE=ZEDF-ACDF,ZBDF=ZCDB-/CDF,

：.ZCDE=ZBDF.

在△OCE與△DBP中，

2DCE=乙DBF

CD=BD,

"DE=乙BDF

:.ADCE坦LDBF(ASA),

:.DE=DF；

②證明：由①可知△?DCEg/XOBR

：.BF=CE,

,:CA=CB,

：.CA-CE=CB-BF,即AE=CF.

在Rtz\ECP中，由勾股定理，CF2+CE1=EF2,

:.AE1+BF2=EF2；

(2)解：結(jié)論：AE1+BF2=EF1.理由如下：

如圖，延長陽至點(diǎn)M,使Z)M=Z)R連接AM,EM.

:點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，

：.AD=BD,

,：ZADM=ZBDF,DM=DF,

AAADM^ABDF(SAS),

：.AM^BF,NMAD=NB,

J.AM//BC,

：.ZMAE=ZACB=90°.

5L'：DELDF,DM=DF,

...OE是PM的垂直平分線，

；.EF=EM,

在RtZ\AEM中，由勾股定理，得4￡2+4|12=后序，

:.AE2+BF2=EF2.

總結(jié)提升：本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，線

段垂直平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識(shí).掌握三角形全等的判定條件和正確的作

出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

題型四以兩個(gè)直角三角形的公共邊或等邊為橋梁運(yùn)用雙勾股

典例5［閱讀理解］

如圖，在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=7,過點(diǎn)A作直線BC的垂線，垂足為￡),求

線段的長.

解：設(shè)BD=尤，則C￡)=7-尤.

'：AD±BC,

：.ZADB=ZADC=9Q°.

在RtAABD中，AD1=AB1-BD1,

在RtAACD中，AD2=AC2-CD2,

：.AB2-BDr^AC2-CD2.

又：AB=4,AC=6,

.,.42-X2=62-(7-x)2.

解得尤=2i,

14

???^=VAB2-BD2=J^-

［知識(shí)遷移］

(1)在△ABC中，48=13,AC=15,過點(diǎn)A作直線8c的垂線，垂足為。.

z)如圖1,若BC=14,求線段AD的長；

n)若4。=12,求線段BC的長.

(2)如圖2,在△ABC中，42=至，而，47=反何，過點(diǎn)A作直線BC的垂線，交

42

線段BC于點(diǎn)。，將△42。沿直線AB翻折后得到對(duì)應(yīng)的，連接C。'，若

=空，求線段C。'的長.

2

思路引領(lǐng)：(1)0利用勾股定理得出AB2-BD^AC2-CD2,進(jìn)而建立方程求2D即

可得出結(jié)論；

拓)先利用勾股定理求出BC=5,CD=9,再分兩種情況.即可得出結(jié)論；

(2)先利用勾股定理求出BD,CD,再利用面積求出DN,進(jìn)而求出DD',再用勾股定

理得出D'H2=D'D2-HD2=D'B2-HB1,進(jìn)而建立方程求出HB,即可得出結(jié)論.

解：(1)0設(shè)2。=為則C￡>=14-x,

'：AD±BC,

：.ZADB=ZADC=90°,

在RtZ\AB￡)中，AD2^AB2-BD1,

在RtAACD中，AD2=AC2-CD2,

：.AB2-BEr^AC2-CD2,

：4B=13,AC=15,

.\132-?=152-(14-x)2,

??x=5,

:.BD=5,

AD=VAB2-BD2=V132-52=12；

在中,22=5,

z'z)RtAABDBD=A/AB2_AD2=y/13-12

在Rt^ACO中，CD=^/AC2_AD2=^/152_122=9,

當(dāng)/ABC為銳角時(shí)，如圖1-1,BC=BD+CD=5+9=14,

當(dāng)/ABC為鈍角時(shí)，如圖1-2,BC=BD-CD=9-5=4；

(2)如圖2,連接。。交AB于點(diǎn)N,則

過點(diǎn)。作D'HLBD于H,

在中，吁｛AB2_AD2=J)2得)2號(hào)

在Rt/viCO中，CZ)=VAC2-AD2=^(1V29)2-(-y)2=5.

垂直平分。。，

：.D'B=DB=^-,D'D=2DN,

4

SAABO=￡A￡>?B￡>=■研,DN，

...空x—=—V5,￡>^>

244

:.DN=^^~,

2

:.D'D=2DN=5岳,

設(shè)HB=m,則加=￡?+2。=加+至，

4

'：D'H2=D'D2-HD1=D'B1-HB2,

：.(5返)2-(切+至)2=(至)2-m2,

44

?.?m_=——15,

4

：.HB=^-,

4

：.HC~HB+BD+CD~15+25+4-15,D'H-yTJR2-RR2=J(")2_g)2=5,

,?D'C=VD/H2+HC262+]52=5715.

Dr

：

HB尸，

圖2

總結(jié)提升：此題是三角形綜合題，主要考查了勾股定理，直角三角形的構(gòu)造，利用方程

的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

針對(duì)訓(xùn)練

1.如圖，在RCABC中，ZACB=90°,A。平分NCAB,交CB于點(diǎn)、D.若AC=3,AB

=5,則CD的長為（）

思路引領(lǐng)：如圖，作。于首先證明AC=AH,DC=DH,AC=A8=3,設(shè)。C

=DH=x,在RtZsBDH中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

解：如圖，作￡）H_LA2于

平分/C42,DCLAC,DHLAB,

：.ZCAD=ZHAD,ZC=ZAHD^90°,

'：AD^AD,

：.AADC^AA￡)H(A4S),

：.AC=AH=3,CD=DH,設(shè)CO=OH=x,

'：AB=5,

：.BH=AB=AH=5-3=2,

在Rt/XACB中，VZC=90°,AC=3,AB=5,

：.BC==4,

在RtZ\H3￡>中,則有(4-x)2=X2+22,

,\CD=^-,

2

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

2.如圖，在△ABC中，于點(diǎn)。，BF平分/ABC交AD于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)孔AC

=17,AD=15,BC=28,則AE的長等于.

思路引領(lǐng)：利用勾股定理可得DC和AB的長，由角平分線定理可得EG=ED,證明Rt

△BDE絲RtABGE(HL),可得2G=BD,設(shè)AE=尤，則E￡)=15-x,根據(jù)勾股定理列方

程可得結(jié)論.

解：-JADLBC,

：AO=15,AC=17,

???DC=VAC2-AD2=A/172-152=8'

VBC=28,

：.BD=28-8=20,

由勾股定理得：AB=Q2+152=25,

過點(diǎn)E作EGL4B于G,

：8尸平分/ABC,AD±BC,

：.EG=ED,

在RtABDE和RtABGE中，

.../EG=ED,

.(BE=BE'

.?.RtABDE^RtABGE(HL),

：.BG=BD=20f

???AG=25-20=5,

AE=x,貝(jEO=15-x,

：.EG=15-x,

RtZ\AGE中，X2=52+(15-x)2,

丫一25

3

；.AE=空.

3

故答案為：25

3

總結(jié)提升：本題考查了角平分線性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟

練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

題型五勾股定理解決折疊問題

典例6(2022?東莞市校級(jí)二模)將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與C。邊上的點(diǎn)M重合,

折痕交于E,交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G.若DC=5,CM=2,則

EF=()

A.3B.4C.V29D.V34

思路引領(lǐng)：作FH±AD,結(jié)合折疊性質(zhì)：EFLAM,證/POF=NAOH=NAMD=/FEH,

再證AADM電△FHE得EF=AM,根據(jù)勾股定理即可求出結(jié)果.

解:由折疊的性質(zhì)得所，AM,

過點(diǎn)/作切_LA￡)于"交AM于O,

則/AQM=Nf7/E=90°,

AZHAO+ZAOH=90°、ZHAO+ZAMD=90°,

ZPOF=ZAOH=/AMD,

又：EELAM,

/.ZPOF+ZOFP=90°、ZHFE+ZFEH=90°,

/POF=ZFEH,

：.ZFEH=ZAMD,

?..四邊形ABC。是正方形，

：.AD=CD=FH=5,

在△A￡)M和△尸HE中，

-/.ADM=乙FHE

^AMD=乙FEH,

.AD=FH

：./\ADM^/\FHE(AAS),

：.EF^AM=y/AD2+DM2=V52+32=V34.

故選：D.

總結(jié)提升：本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角

形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

針對(duì)訓(xùn)練

1.如圖，將一張長方形紙片沿著AE折疊后，點(diǎn)。恰好與8C邊上的點(diǎn)尸重合，已知A8=

解：由題意可知△ADE之尸E,

所以AE=AQ=10cm,EF=DE.

在RtAAFB中，根據(jù)勾股定理得BF=y)AF2-AB2=8(cm),

所以FC=BC~BF=2(cm).

設(shè)EC=xcm,DE=DC—EC=(6—x)cm,EF=(6~x)cm,

在RtAEFC中，根據(jù)勾股定理有EF^FC^+EC1,

QQ

即(G—XAUZZ+X2,解得X=Q,所以EC=gcm.

題型六勾股定理在平面直角坐標(biāo)系背景下的應(yīng)用

典例7(2017春?武昌區(qū)校級(jí)月考)如圖，A(0,m),B(n,0),滿足J(m-5尸+/一Wn+25

=0

(1)求點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是第二象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC,射線BP,連接CO,試探究8C,AC,CO

之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

(3)在(2)的條件下，ZPOC=ZAPC,PA=4班,求尸8的長.

思路引領(lǐng)：(1)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得機(jī)、〃的值，易得點(diǎn)A、8的坐標(biāo)；

(2)如圖1,作。。_1。＜7交尸8于。，證4。470/\。8。(4&4)(提示人。，8c八字形)，

得證等腰RtAOCZ),故BC-AC=CD=V2C0