《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟類）下冊 第2版》課件 12-2 一階微分方程

第十二章微分方程第二節(jié)一階微分方程一、可分離變量的微分方程二、齊次方程三、一階線性微分方程四、可化為一階線性方程的特殊類型五*、恰當方程六、小結(jié)一、可分離變量的微分方程例如，定義1若一階微分方程可化為以下形式其中f(x)和g(x)為連續(xù)函數(shù)，則稱為可分離變量的微分方程.可分離變量的微分方程的解法分離變量兩端積分例如：整理、化簡例1求微分方程解：分離變量兩端積分注：當即時，經(jīng)驗證也是方程的解，

但它們不能并入通解.例2求初值問題的特解.解:

分離變量得兩邊積分得整理得（

為任意常數(shù)）再由初始條件得，故所求特解為二、齊次方程定義2若一階微分方程可以化成以下形式則稱之為齊次方程，其中

f(x)是連續(xù)函數(shù).例如，齊次方程的解法:

變量代換法分離變量兩邊積分，整理并用y/x替換u，得到通解.解：(1)原方程可改寫為例3

求下列齊次方程的通解方程可化為整理并分離變量，得兩邊積分，得用y/x替換上式中的u，并整理，得到原方程的隱式通解為解：(2)原方程可改寫為例3

求下列齊次方程的通解方程可化為整理并分離變量，得兩邊積分，得用y/x替換上式中的u，并整理，得到原方程的通解為三、一階線性微分方程例如是一階線性微分方程；是一階非線性微分方程.定義3

如果一階微分方程可化為如下形式則可稱之為一階線性微分方程.當時，稱之為一階非齊次線性微分方程；當時，稱之為一階齊次線性微分方程.顯然，方程是可分離變量的.分離變量,有兩邊積分整理得即為一階齊次線性微分方程的通解.1、一階齊次線性微分方程的解法2、一階非齊次線性微分方程的解法討論兩邊積分故有將y看為關(guān)于x的函數(shù)，分離變量.即得非齊次方程通解形式為常數(shù)變易法把齊次線性方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實質(zhì):未知函數(shù)的變量代換.齊次方程的通解非齊次方程的通解故一階線性非齊次微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程的通解非齊次方程的特解令則通解公式！例4解法1（1）先求相應(yīng)的齊次線性方程的通解利用常數(shù)變易法，分為2步：方程可化為例4解法1（2）求非齊次線性方程的通解代入原方程，整理得于是得到非齊次線性微分方程的通解為常數(shù)變易法分為兩步嗎，計算麻煩！例4解法2直接利用通解公式故有在以后的通解計算中，直接利用公式即可！例5解顯然，方程不是關(guān)于y的線性微分方程.如果將方程改寫為即則是關(guān)于x(y)和dx/dy的一階非齊次線性微分方程.利用通解公式，可得說明：1.微分方程是關(guān)于的一階線性微分方程.2.微分方程是關(guān)于的一階線性微分方程.3.兩種形式的微分方程通解都可直接利用公式求得.四、可化為一階線性方程的特殊類型1、伯努利（Bernoulli）方程稱形如的微分方程稱為伯努利（Bernoulli）方程，其中P(x),Q(x)為連續(xù)函數(shù)，且n是不等于0或1的常數(shù).解法：這是一個關(guān)于z的一階線性微分方程，可按通解公式求解.即原方程兩邊同乘以，則有例6求方程的通解.這是n=3的伯努利方程，兩邊同乘以，有解：所以于是原方程的通解為2.形如的方程，可化為線性方程或伯努利方程.解法：將方程化為將f(y)看作一個整體，則方程為伯努利方程.例7求方程的通解.解：原方程可化為原方程兩邊同乘以，則有這時原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一階線性方程.由通解公式，得原方程的通解例8求解下列微分方程

(1)先將原方程改寫為上式兩邊同乘以e-x，得即所以因此，原方程的通解為解：例8求解下列微分方程

(2)先將原方程改寫為上式兩邊同乘以y-3，得即所以因此，原方程的通解為解：例8求解下列微分方程

(3)令分離變量并積分，得將方程化為代回原變量，得方程的通解解：例8求解下列微分方程

(4)先將原方程改寫為易知y=ex是它的一個特解.令z=y-ex，得分離變量并積分，得即因此，原方程的通解為解：五*、恰當方程一階微分方程也常以微分形式出現(xiàn)，即寫成如果存在二元可微函數(shù)u(x,y)，使得則稱方程上面的方程為恰當方程．此時可改寫為從而就是它的通解．例9求下列微分方程的通解解

分項組合，得從而有所以方程的通解為例10求下列微分方程的通解解

先改寫成微分形式分項組合從而有所以