《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊(cè) 第2版》課件 12-5 微分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

第十二章微分方程第五節(jié)微分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用例1（新產(chǎn)品推廣模型）設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場(chǎng)，它的銷售量x(t)是時(shí)間t的可導(dǎo)函數(shù).因?yàn)楫a(chǎn)品的性能良好，每售出一個(gè)產(chǎn)品就相當(dāng)于發(fā)布一個(gè)宣傳品，所以可假定t時(shí)刻產(chǎn)品的銷售增長(zhǎng)速率dx/dt與x(t)成正比.另外，由于產(chǎn)品銷售存在一定的市場(chǎng)飽和容量N（也稱為飽和水平），所以可假定dx/dt與潛在客戶的產(chǎn)品需求量N-x(t)也成正比.若當(dāng)t=0時(shí)，x=N/5，求(1)銷售量x(t)的函數(shù)表達(dá)式；(2)銷售量函數(shù)x(t)增長(zhǎng)最快的時(shí)刻T.解：(1)由題意知，銷售增率dx/dt與x(t)(N-x(t))成正比.設(shè)比例系數(shù)為k(k>0)，則有這是一個(gè)可分離變量的微分方程.分離變量，并兩邊積分，得即于是得到銷售量x(t)的函數(shù)表達(dá)式(2)銷售增長(zhǎng)速率為為尋找增長(zhǎng)最快的時(shí)刻T，先計(jì)算解：由可得，易知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這說(shuō)明時(shí)，x(t)增長(zhǎng)最快，所以有

(i)本例中的微分方程也被稱為邏輯斯諦（logistic）方程，其通解表達(dá)式也被稱為邏輯斯諦曲線.作為馬爾薩斯（Malthus,ThomasRobert）人口模型的推廣，邏輯斯諦方程是由比利時(shí)數(shù)學(xué)生物學(xué)家韋呂勒（Verhulst,Pierre-Francois）提出的著名人口增長(zhǎng)模型，從其問(wèn)世以來(lái)，它的應(yīng)用從人口模型拓展到包括生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理學(xué)等在內(nèi)的眾多領(lǐng)域.(ii)可以驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)銷售量達(dá)到飽和水平N的一半時(shí)，產(chǎn)品最為暢銷；當(dāng)銷售量未達(dá)到N/2時(shí)，產(chǎn)品會(huì)越來(lái)越暢銷；當(dāng)銷售量超過(guò)N/2時(shí)，產(chǎn)品銷售增速逐漸減小.說(shuō)明：例2（公司資產(chǎn)函數(shù)）某公司在第t年的凈資產(chǎn)為X(t)（百萬(wàn)元），假定公司的資產(chǎn)本身以每年5%的速度連續(xù)增長(zhǎng)，同時(shí)，公司每年以300百萬(wàn)元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.(3)討論當(dāng)X0分別為5000,6000,7000時(shí)，公司凈資產(chǎn)X(t)的變化特點(diǎn).(1)給出描述公司的凈資產(chǎn)X(t)（百萬(wàn)元）的微分方程；(2)若公司的初始凈資產(chǎn)為X0（百萬(wàn)元），求X(t)；解：(1)由“凈資產(chǎn)增長(zhǎng)速度=資產(chǎn)本身增長(zhǎng)速度-職工工資支付速度”，得到所求的凈資產(chǎn)X(t)滿足的方程可得利息與支出達(dá)到平衡時(shí)的解（平衡解）(2)將X(t)滿足的方程分離變量?jī)蛇叿e分，整理得得X(t)的表達(dá)式為(3)此時(shí)公司的凈資產(chǎn)額隨時(shí)間t遞減，且當(dāng)t=35.8時(shí)，X(t)=0，即公司將在第36年破產(chǎn)；是平衡解，即公司將會(huì)保持收支平衡，凈資產(chǎn)保持再6000百萬(wàn)元不變；此時(shí)公司的凈資產(chǎn)額隨時(shí)間t按指數(shù)級(jí)增長(zhǎng).解：例3供給函數(shù)為設(shè)某商品的需求函數(shù)為初始條件分別為每一時(shí)刻的供需平衡（Qd=Qs），求價(jià)格函數(shù)P(t).若假定市場(chǎng)在解由題意，市場(chǎng)供需平衡時(shí)有Qd=Qs

，即這是一個(gè)常系數(shù)二階非齊次線性微分方程.先求它對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解.特征方程為易求得所以其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為接下來(lái)求非齊次方程的特解.根據(jù)右端函數(shù)-48,可設(shè)其特解形式為將其代入原方程，得A=4.因此，方程的通解為再結(jié)合初始條件所