高中數(shù)學(xué)數(shù)列練習(xí)題及答案

最全的高中數(shù)學(xué)數(shù)列練習(xí)題及答案

一、單選題

1.已知數(shù)列｛%｝滿足：4=-；，且4M=ln（%+l）-sina“，則下列關(guān)于數(shù)列｛4｝的敘述

正確的是（）

1,1a；2

D

A.a?>an+iB,--<an<--C.%+|>-不受-%4一產(chǎn)"

2.橢圓C：!+g=l（a>6>0）左，右焦點分別為耳、F2,P為橢圓C上一點，且P心垂

直x軸，若田馬歸周，|尸制成公差為2的等差數(shù)列，則橢圓C的方程是（）

9722222

x?~y、ry，cry?-x-y,

AA.--F—=1B.----1----=1C.---1----=1D.---1----=1

25162598198172

3.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，若4=-11,%+%=-6,則使得S“<0成立的最大

整數(shù)〃的值為（）

A.12B.13C.14D.11

4.等差數(shù)列｛4｝的公差為2,前n項和為S“,若p：百+2,S2+2,S3+2成等比數(shù)列,

q：｛《,｝的首項為0,則（）

A.p是q的充要條件B.p是q的既不充分也不必要條件

C.p是q的充分不必要條件D.p是q的必要不充分條件

5.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,.若S,=25u，則生=（）

6.定義：在數(shù)列｛%｝中，若滿足冬為常數(shù)），稱為"等差比數(shù)

an+\an

列"，已知在"等差比數(shù)列”｛%｝中，4=/=1必=3,則詠等于（）

a2017

A.4X20172-1B.4X20182-1C.4X20192-1D.4X20202-1

7.已知s“為正項等差數(shù)列｛叫的前n項和，若%+。9=《，則%=（）

A.22B.20C.16D.11

8.等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S”，若。5+4+%<。，%+的>0,貝（J當(dāng)S〃取得最小值時,

?=（）

A.4B.5C.6D.7

9.已知等差數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，其前0項和為5“，且滿足％=17,55=a2a3,則

《2=（）

A.28B.30C.32D.35

10.已知數(shù)列｛4｝的通項公式為=1-9〃+￡4是數(shù)列｛4,｝的最小項，則實數(shù)k的取值范

圍是（）

A.[-24,-16]B.[-24,0]C.[-16,16]D.[-16,0]

11.等差數(shù)列｛4｝的公差為d,前"項和為加設(shè)甲：d<0：乙：｛S,｝是遞減數(shù)列，則

（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

12.在等差數(shù)列｛q｝中，若q+2%+3/+4%=50,則%=（）

A.2B.3C.5D.7

13.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項和為若生+%=1°，則臬=（）

A.60B.50C.30D.20

14.在等比數(shù)列｛q｝中，若4=6,%=24,則4。的值為（）

A.12；B.-12；C.±12;D.144.

15.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題中指出，若有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等

差數(shù)列，上5節(jié)的容積為4升，下4節(jié)的容積為5升，問第五節(jié)的容積是多少升？

（）

A.0.8B.0.9C.1D.1.1

二、填空題

16.有以下結(jié)論：

①存在OwR,使得sin6+cose=]；

②設(shè)。是平面ABC內(nèi)一定點，P為平面43C內(nèi)一動點，若

（PB-PC）（OB+OC）=（PC-PA）（OC+04）=（PA-PB）（OA+OB）=0,則0為.ABC的

外心；

③已知所在的平面上的動點P滿足淳=|祠正+|碼福，則直線”一定經(jīng)過

△ABC的內(nèi)心；

/[\〃+2019

④若數(shù)列｛叫，也｝的通項公式分別為為=（-1廣20%,包=2+山一，且為<%對

n

任意恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是

其中正確的結(jié)論序號為（請把所有正確的結(jié)論序號都寫出來）.

17.已知等差數(shù)列｛%｝的前。項和為5“，若4=2,4+4=10,貝叫=.

18.已知數(shù)列｛q｝滿足1+々+粵+…+3=2",則4+/+…+/=.

19.數(shù)列｛叫的前〃項和為5=/+"—則&=.

20.己知數(shù)列｛4｝滿足=2x（-l）",〃eN*,且4=1，則42023=?

三、解答題

21.已知｛《,｝是遞增的等差數(shù)列，4+4=18,q,%，%分別為等比數(shù)列出｝的前三項.

⑴求數(shù)列｛4｝和他｝的通項公式；

(2)刪去數(shù)列步“｝中的第4項(其中i=1,2,3,…)，將剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)

列｛c,J,求數(shù)列｛5｝的前"項和5”.

22.已知數(shù)列｛4｝是公比4Hl的等比數(shù)列，4=81,且％,2%,3q成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵若數(shù)列｛"｝滿足a=1,a+2+1=(2〃+l)a“，記Z,=6+ga+...+(jbn,若

%+|<_1|Y勿=一47；,證明：-1+1—+15

"⑶"3"G。2c,3

23.已知數(shù)列｛q｝的前"項和為S“(”eN),且/S|+了?S?-!i--Sn=3n+5.

⑴求為,%及數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)2=bg2^求使得伉+4+…+2>2022成立的最小正整數(shù)n的值.

24.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項和為5.，?3+?5=18,1=48.

⑴求｛4｝的通項公式；

,2，、。

(2)設(shè)仇=歷+好,數(shù)列｛〃｝的前n項和為7.，證明：當(dāng),此3,“eZ時，4T；>a?.

【參考答案】

一、單選題

1.D

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù).f(x)=ln(x+l)-sinx(-1<x<0),由導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，從而利用數(shù)學(xué)歸納

法證明4a.<0,然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-x=ln(x+l)—sinx-x(-^<x<0),利

用導(dǎo)數(shù)證明g(x)>0,得〃x)>x,利用此不等式可直接判斷A,對選項B,由數(shù)列｛”“)的

單調(diào)性與有界性知其極限存在，設(shè);吧a“=A,對數(shù)列的遞推關(guān)系求極值可得A=0,從而

9r

判斷B,對選項C,引入函數(shù)設(shè)p(x)=ln(x+l)——-(-l<x<0),由導(dǎo)數(shù)證明p(x)〈0,得

x+2

ln(x+1)<__(_1<x<0),從而利用不等式性質(zhì)得出數(shù)列3｝的不等關(guān)系,判斷C,利用

判斷選項C所得正確不等式變形，并換元引入新數(shù)列得應(yīng),｝前后項關(guān)系(求對

%

數(shù)再變化)，類比等比數(shù)列的通項公式的方法得出結(jié)論后判斷D.

【詳解】

首先我們證明：4a“<0,利用數(shù)學(xué)歸納法.

事實上，當(dāng)〃=1時，一：4q<0；

假設(shè)當(dāng)”=Z時，—則當(dāng)〃=%+1時，《+1=ln(%+1)—sin4.

設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+l)—sinx(_g<x<0),則/'(x)=-^j-cosx>0,則f(x)在

-；,0)上單調(diào)遞增，

從而一：4ln；+sin；=/(-；)4az=/(%)</(0)=°.

當(dāng)一gvxcO時，設(shè)g(x)=/(x)-x=ln(x+l)-sinx-x(-^<x<0),

則g'(X)=———cosx-1,設(shè)力(x)=gr(x)=---cosx-1,

'x+1x+1

"(力=一苦評+疝》<0,則g'(x)在一;,o)上單調(diào)遞減，又g'(_￡|>O,g'⑼<0,

所以存在為e(-；,0),使得g'(x0)=0,時，g'(x)>0,Xo<x<O時，

g'(x)<0,

故g(x)在-g，o］上先增后減，從而8(*)>01皿卜(0)超［3)1=0,從而

對于A選項：由于—：4a“<0,a?+1=ln(a?+l)-sina?>a?,故數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增，選項

A錯誤.

對于B選項，由于｛q｝單調(diào)遞增且從而:吧4=A存在，由

%=皿&+1)-$出%>/可得4=111(4+1)-%4,故A=0,從而配見=0.故選項B

錯誤.

對于C選項，由于-1vxvO時，

?rI4X2

設(shè)p(x)=ln(x+l)---—(-1<%<0),p'(x)=----~~—j-=-———T-T>0,

x+2x+］(x+2)(x+l)(x+2)

所以p(x)是增函數(shù)，P(x)<p(0)=0,所以ln(x+l)<￡^(-l<x<0),

Ovxvl時，x>sinx,因止匕有sinx>x(1<x<0),

,、、2尤-r2

從而/(x)=In(x+1)-sinx<—-x=----,故/=ln(<2?4-l)-sintz?<—:,故選項C

4+2

錯誤.

對于D選項，由于“"+]<―之<0,即°>」->-----T,令,則

a?+2??+1a?ana?

-b..\>b“-2b；,g|Jb?+l<2b；-b?<2^-b?+1=2^?.其中2的,<%,故

In%<ln2+21n(2-；)<ln2+21nZ?“，從而Ind+i+ln2<2(lnb“+ln2),即

2]&

In6?+ln2<2"-1(inft,+In2),2%<4*,即一丁<4"‘，故?<—嚴(yán),從而選項D正

確.

故選：D.

【點睛】

難點點睛：本題考查數(shù)列的性質(zhì)，難度很大，解題難點在于有關(guān)數(shù)列的不等關(guān)系，一是用

數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，二是需引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得出數(shù)列的不

等關(guān)系，考查了學(xué)生的邏輯能力，運算求解能力，屬于困難題.

2.D

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列定義和勾股定理可得c,再由橢圓定義可得a,然后由幾何量關(guān)系可得.

【詳解】

由題知，|伍|=2c,|尸段=2c+2,附|=2c+4,

又「用垂直x軸，所以(2c>+(2c+2)2=(2c+4兒解得c=3,

又由橢圓定義引得2。=2c+2+2c+4=18,即。=9,

所以〃=/—/=81—9=72,

22

所以橢圓方程為二+2=1.

8172

3.D

【解析】

【分析】

先求出公差，再求出5,，解不等式求出〃的范圍即可求解.

【詳解】

設(shè)公差為d,由4+延=-6可得-11+34+(—11+54)=-6,解得d=2,故

S“=〃X(-11)+"(7).2="2-12〃,

令S,<0,解得故最大整數(shù)”的值為11.

故選：D.

4.A

【解析】

【分析】

根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】

4=0時，生=2,〃3=4,S1=0,S2=2,53=6,

$+2,S2+2,§3+2依次為2,4,8,是等比數(shù)列，〃是勺的必要條件，

若￡+2,S?+2,53+2成等比數(shù)列，則(邑+2)2=(￡+2)(邑+2),

(2q+4)2=(q+2)(3囚+8),解得4=?；騫=-2,

q=-2時，5,+2=0,5+2,S2+2,S3+2不成等比數(shù)列，舍去.

所以4=0,因此P是9的充分條件，

綜上，。是4的充要條件，

故選：A.

5.A

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列的前"項和公式，直接化簡，即可求解.

【詳解】

由邑=2S”，得7(%+%)=2x11(%+%),即7%=22%,所以

22422

故選：A

6.A

【解析】

【分析】

由題知1%4是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，則4M=2〃-1,利用詠=&也、冬蛆

a

Jn^201702018。2017

即可求解.

【詳解】

由題意可得：—=3,&=1,-=2,

a2%a2ax

根據(jù)"等差比數(shù)列"的定義可知數(shù)列是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,

1為J

貝lj%L=l+("_l)x2=2〃_l,

所以吼=2x2018-1=2x2017+1,詠=2x2017-1,

。2018^2017

所以詠=-=(2x2017+1)(2x2017-1)=4x20172-1.

^2017。2018。2017

故選：A.

7.A

【解析】

【分析】

根據(jù)q+為=溫可求得利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡如=114，可得答案.

【詳解】

由題意設(shè)正項等差數(shù)列｛4｝的首項為4,4>0,公差為4

故由。3+佝=得:2al+10d=cib~,

即2a6=a：,4=2,

故5“=""'；"'')=114=22,

故選：A

8.C

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)解答即可

【詳解】

%+4,+%=34<0,%+“9=2%>0,所以當(dāng)n=6時，S,取得最小值.

故選：C

9.D

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)，通項公式及其前〃項和公式求解即可.

【詳解】

因為55=生詈』=5〃3=〃洶，所以%=5,

又因為4=17,所以公差4=與二?=3,

0—2

所以“2=4+6d=17+18=35,

故選：D.

10.D

【解析】

【分析】

由題意得4,2“4列不等式，分離參數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得解.

【詳解】

由題意，a?=n2-9n+->--20,neN',即(〃-4)(〃一5)W""一夕,",

n44n

當(dāng)"=4時，不等式成立；

當(dāng)時，4”(〃-5)WA,解得a-16；

當(dāng)〃25時，4n(n-5)>k,解得％40；

綜上，-16<*<0.

故選：D.

11.B

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式，結(jié)合遞減數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合充分性和必要性的定義進(jìn)行判斷

即可.

【詳解】

當(dāng)d<0時，例如等差數(shù)列2,1,0,-1,-2,-3,…，顯然d=-l<0,

因此有￡=2,邑=3,&=3,其=2,S5=0,顯然｛S,,｝不是遞減數(shù)列,

當(dāng)｛s〃｝是遞減數(shù)列時，一定有s向<S.對于〃CN*恒成立，

即S〃+i一S〃<0nvOnq+iHcOnd〈一冬,

n

即V”eN*,不等式〃<一色■恒成立，當(dāng)“—時，一幺一0,

nn

因此要想不等式1<-幺恒成立，則有d<0,

n

所以由｛s,j是遞減數(shù)列能推出4<0,

故選：B

12.C

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的通項公式直接計算可得.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,

則由4+2%+3%+44=50可得104+20d=50,即4+2d=5,即4=5.

故選：C.

13.C

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】

56=6（，廣）=3（%+%）=30.

故選：C.

14.A

【解析】

【分析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)直接計算作答.

【詳解】

在等比數(shù)列｛4｝中，%=6,%=24,則須＞0,且履,=%須=6x24=144,解得

%=12,

所以領(lǐng)的值為12.

故選：A

15.C

【解析】

【分析】

由上5節(jié)的容積為4升，下4節(jié)的容積為5升，求出等差數(shù)列的首項和公差即可求解.

【詳解】

[a,+a^+a,+a.+CL=4

設(shè)自上而下各節(jié)的容積分別為4,4。，的，公差為"，則,;,化簡得

&+%+/+=5

j5q+10d=4

[44+261=5'

[a.=0.6

解得八一故%=%+4d=L

[a=0.1

故選：C.

二、填空題

16.②③④

【解析】

【分析】

①，sine+cose=&sin（e+?）＜0＜1'，不存在使得sine+cos6=1'；

（2）,運用向量的加減運算，以及向量數(shù)量積的性質(zhì)可得|礪『=|說『=1反F,結(jié)合三角形

的外心，即可判斷.

③，先對題中的等式進(jìn)行變形，可得而正AC

Q=lIII同,可得直線AP一定經(jīng)過

△ABC的內(nèi)心；

④，對"分奇偶，討論4<2恒成立即可判斷.

【詳解】

對于①，33

sin0+cos0=\/2sinf0+-^j<>/2<->不存在<9eR,使得sin6+cos6=-,錯

22

誤；

對于②，若（而-碼?（而+元）=（定-網(wǎng)?乒+網(wǎng)=例-珂?（礪+西=。

可得恒（麗+網(wǎng)=而（覺+礪卜麗?（礪+麗）=0,

SP^（05-OC）（OB+OC）=（OC-OA）（OC+OA）=（OA-OB）（OA+OB）=0

即有同2=］而卜函2,則網(wǎng)=同=函,故0為AABC的外心,正確;

對于③，AP=|AB|AC+|AB|AB=|AB||AC|+,根據(jù)平行四邊形法則知:

4dACAB

目+而表示向量在三角形角A的平分線上，而向量而與向+向共線，所以直線

ACABAC\AB\

”一定經(jīng)過AABC的內(nèi)心，正確；

/\?+2019

對于④，4<2，故（_1）"+2。％<2+亡」——，

n

當(dāng)〃為奇數(shù)一。<2+4又2+，單調(diào)遞減，故2+,<2,故一.42,解aN—2,

nnn

11133

當(dāng)〃為偶數(shù)，〃<2--又2-一單調(diào)遞增，故2--故。<9，

nnn22

3

綜上：-2<a<—,正確.

故答案為：②③④

17.20

【解析】

【分析】

設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差d,由%+%=1。結(jié)合通項公式求出公差d，利用前〃項和公式求

出品即可.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

因為4+4=1°，%=2

所以4+64=10,解方程得d=l

所以%="+1

那么&==

故答案為：20.

18.（2n-l）-2"+l

【解析】

【分析】

在題干條件下求出％=（2〃+l）2"T,進(jìn)而用錯位相減法求和.

【詳解】

幺+”

1++…+人=2"①,

352〃+1

1+&+生+…+-^1_=2"T②

352?-15

兩式相減得：U=2"T,

所以q=（2〃+l”i,經(jīng)檢驗符合要求.

則S*=4+為+…+”“，

則S”=3+5x2+7x22+9x23+...+（2〃+1）2”|③，

2s“=3x2+5x22+7x2'+9x2、…+（2〃+1）2"④，

③-④得：-S?=3+22+23+24+---+2,,-（2/z+l）2,1=3+~（2〃+1）2”

=—1+（1-2廉）-2",

所以S0=（2〃-1卜2"+1

故答案為：（2n-l）-2"+l

19.12

【解析】

【分析】

根據(jù)數(shù)列的前?項和S,,與數(shù)列的通項4的關(guān)系求解.

【詳解】

由數(shù)列的前“項和S?與數(shù)列的通項對的關(guān)系可得％=品-$5，

又S“=〃2+”-1,所以$6=6+6-1=41,&=29,

所以4=41-29=12,

故答案為：12.

20.4037

【解析】

【分析】

可根據(jù)相鄰兩項和為定值列出與相關(guān)的和的式子，即可求解.

【詳解】

由題(。4+〃5)+(“6+%)■1-----(%022+。2023)=2x1010=2020,

(4+)+(%+“g)~^--°+(^021+々202。)二一2X1009="2018,

相減得?4+?2023=4038,又%=1,則a2O23=4037.

故答案為：4037.

三、解答題

21.⑴q=3〃，〃,=3"

rn、

6272-1

\7〃為偶數(shù)

13

⑵5./H-1\

627^-1

3/J-I

\7+3亍?”為奇數(shù)

13

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意可列出方程組，求得等差數(shù)列的公差，繼而求得等比數(shù)列的首項和公比，即

得答案；

(2)刪去數(shù)列他,｝中的第項(其中i=123,…)后,求和時討論n的奇偶性，并且分組

求和，即可求得答案.

⑴

設(shè)數(shù)列｛叫的公差為"(">0),數(shù)列也｝的公比為q,

q+q+4d=18

由已知得，(q+2”)2Tq+8")'解得4=3,d=3,所以4=3”；

所以〃=q=3,q=d=3,所以々=3".

a\

⑵

由題意可知新數(shù)列｛q,｝為：a，b2,b5，…,

則當(dāng)n為偶數(shù)時

(n\rn

31-272321-2716272-l

Stt=a+瓦+…+b，盼/[…+…+為.

---------——

1-271-2713

則當(dāng)"為奇數(shù)時,

<H-1\

627V-I

3?-1

\7

S”=S“-\+C?-S“_[+產(chǎn)卜=+3丁

13

6272-1

I〃為偶數(shù)

綜上：s〃=,“J

627^-1q

3nT

八------^+3~,〃為奇數(shù)

13

22.⑴〃“=3"(〃eN*)

（2）證明見解析

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)等差中項可得4a2=3%+4，結(jié)合等比數(shù)列通向公式求解；

（2）結(jié)合題意整理可得c,=〃2,利用放縮不二-丁二］,結(jié)合本題應(yīng)從

第二項開始放縮.

（1）

,/%，2/,3a,成等差數(shù)列，則4?,=3?,+4

22

4aiq=3a,+atqHPq-4^+3=0

，q=i（舍去）或g=3

/.at=—1-=3

q

.?.a“=q/T=3"(〃wN*)

⑵

由北=4+；打+…+[；]",可得：U'I+(g]2+…+(g)2，

兩式相加得：

+4)+(()(8+4)+???+(：)(2_|+")+(；)bn

'?,%+%=(2〃+l”“

=仿+gx3x3i+(g)x5x3?+…x(2〃-l)x3"T+(g)bn

則2=1+3+5+…+(2w-l)=/'

即

i1i5

(1)〃=1，F(xiàn)=1<1成“；

1144(11A

(2)〃22,—=-2r<—2z—=------------=2-------------

)cnn4n-\(2?-l)(2n+l)[2〃-12n+lJ

9+.J<l+2("+2(」］+...+2p---M

qc2%(35J<57)