六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 典型例題系列之第四單元比例的應(yīng)用部分提高篇 帶解析（人教版）

2021-2022學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列之第四單元比例的應(yīng)用部分提高篇（解析版）編者的話：《2021-2022學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列》是基于教材知識(shí)點(diǎn)和常年考點(diǎn)考題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要包含典型例題和專項(xiàng)練習(xí)兩大部分。典型例題部分是按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。專項(xiàng)練習(xí)部分是從常考題和期末真題中選取對(duì)應(yīng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。本專題是第四單元比例的應(yīng)用部分提高篇。本部分內(nèi)容主要考察比例的應(yīng)用，包括比例稍復(fù)雜的應(yīng)用題、與正比例和反比例有關(guān)的應(yīng)用題等內(nèi)容，題型以應(yīng)用題為主，考點(diǎn)較多，共劃分為十個(gè)考點(diǎn)，考慮到題型難度，建議作為本章核心內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生掌握情況選擇性進(jìn)行講解，歡迎使用。【考點(diǎn)一】正比例與相遇問題一?！痉椒c(diǎn)撥】相遇問題通常同時(shí)出發(fā)，則相遇時(shí)所用時(shí)間相同，所以，當(dāng)時(shí)間相同，路程與速度成正比例，即t甲=t乙時(shí)，有S甲∶S乙=V甲∶V乙?！镜湫屠}】小黃車速度為60km/h，小藍(lán)車速度為50km/h。（1）求相同時(shí)間內(nèi)兩車的路程比。（2）如果小黃車和小藍(lán)車一共行駛了220km，那么小黃車行駛了多遠(yuǎn)?小藍(lán)車呢?解析：（1）路程比：6:5；（2）小黃車120千米，小藍(lán)車100千米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】汽車與公交車的速度比為5∶3，兩車分別從相距160千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，相遇時(shí)汽車行駛了多遠(yuǎn)?公交車呢?解析：汽車100km，公交車60km【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】A、B兩地距離600千米，甲乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，那么，（1）若甲車的速度是60干米/時(shí)，乙車的速度是40千米/時(shí)，相遇時(shí)距A地（）千米。（2）若甲車與乙車的速度比為8∶7，相遇時(shí)甲車走了全程的（），距A地（）千米。解析：（1）360；（2）；320【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】A、B兩地距離450干米，甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，若甲、乙的速度比為3∶7，則相遇時(shí)距B地多少千米？解析：320【考點(diǎn)二】正比例與相遇問題二?！痉椒c(diǎn)撥】此類題型的關(guān)鍵是理解同時(shí)同地出發(fā)再返回的第一次相遇，兩車共走完了兩倍的全程?！镜湫屠}】小黃車和小藍(lán)車的速度比為6∶5，兩車同時(shí)從A地同向出發(fā)前往B地，到達(dá)B地后掉頭返回A地，兩人如此往返。A、B兩地相距220千米，則兩車第一次相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)距離A地多遠(yuǎn)?解析：相同時(shí)間內(nèi)，兩車的速度比等于路程比，所以路程比為6:5。同時(shí)同地出發(fā)再返回的第一次相遇，兩車共行駛了兩倍的全程。路程和是440千米，一份量∶440÷（6＋5）=40（km）。小藍(lán)車∶40×5=200（km）答：相遇地點(diǎn)距離A地200千米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】汽車和公交車的速度比為5:3，兩車同時(shí)從A地同向出發(fā)前往B地，到達(dá)B地后掉頭返回A地兩人如此往返。A、B兩地相距160千米，則兩車第一次相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)距離B地多遠(yuǎn)？解析：路程比為5:3，一份量：160×2÷（5+3)=40(km)公交車：40×3=120（千米）距離B地：160-120=40（千米）答：略?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】甲、乙兩車同時(shí)從A地同向出發(fā)前往B地，到達(dá)B地后掉頭返回A地，兩人如此往返。已知甲車與乙車速度的速度比為3∶5，AB兩地相距1000米，則甲乙兩車第1次相遇時(shí)，距離B地多少米？解析：同時(shí)同地出發(fā)再返回的相遇，仍然滿足時(shí)間相同，路程之比等于速度之比，故兩人的路程之比為3∶5，兩人共走完了兩倍的全程，所以甲走了1000×2÷（3＋5）×3=750米，這時(shí)相遇點(diǎn)距B地1000-750=250米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】詩詩和健健同時(shí)從甲地出發(fā)去乙地，詩詩和健健的速度比為7∶4，詩詩到達(dá)乙地后直接掉頭直到與健健相遇.如果甲乙兩地相距44干米，則相遇地點(diǎn)距甲地多遠(yuǎn)?解析：32千米?！究键c(diǎn)三】正比例與中點(diǎn)相遇問題。【方法點(diǎn)撥】中點(diǎn)相遇問題的關(guān)鍵是理解快車比慢車多行兩個(gè)離中點(diǎn)的距離?！镜湫屠}】甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，3小時(shí)后在離A、B中點(diǎn)15干米處相遇，已知甲、乙兩車的速度比是7∶6，求：（1）甲車比乙車多行多少千米？（2）A、B兩地相距多少干米?（3）甲、乙兩車的速度各是多少?解析：（1）中點(diǎn)問題，甲車比乙車多行15×2=30（干米）。（2）甲、乙兩車行駛時(shí)間相同，路程比等于速度比，A、B兩地相距30÷（7-6）×（7＋6）=390（千干米）。（3）甲車行了390×=210（千米），甲車速度為210÷3=70（干米/時(shí)）乙車行了390×=180（千米），乙車速度為180÷3=60（干米/時(shí)）?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】甲、乙兩輛汽車從東、西兩地同時(shí)相向開出，甲車與乙車每小時(shí)所行路程比是7∶5，兩車在離中點(diǎn)36千米處相遇。則東、西兩地間的距離是多少千米？解析：甲速與乙速的比為7:5.所以甲走了7份，乙走了5份，甲比乙多走2份。兩車在離中點(diǎn)36干米處相遇，則甲比乙多走72干米，所以1份為36干米，甲乙兩地共12份，則距離為36×12=432（干米）?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】甲、乙兩輛汽車分別從兩地相向開出，它們的速度比是5:7，在距中點(diǎn)18千米處相遇兩地相距多少千米?解析：因?yàn)閮绍囃瑫r(shí)出發(fā)，相遇時(shí)間一定，所以，路程與速度成正比，即相遇時(shí)甲、乙兩車行駛的路程比為5:7，然后由“距中點(diǎn)18千米處相遇”可以知道，相遇時(shí)乙車比甲車多行18×2=36(千米)。所以18×2×EQ\F(7+5,7-5)=216(千米)答：兩地相距216千米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】客車和貨車同時(shí)從甲，乙兩地相向開出，客車每小時(shí)行全程的EQ\F(1,4)，貨車每小時(shí)行60千米，相遇時(shí)客車和貨車所行路程的比是3:2。甲、乙兩地相距多少？解析：360千米【考點(diǎn)四】正比例與追及問題?！痉椒c(diǎn)撥】追及問題通常有時(shí)間相同，當(dāng)時(shí)間相同時(shí)，路程和時(shí)間成正比例，即t甲=t乙時(shí)，有S甲∶S乙=V甲∶V乙?！镜湫屠}】小黃車速度為60km/h，小藍(lán)車速度為50km/h，如果相同時(shí)間內(nèi)小黃車比小藍(lán)車多行駛20km，那么小黃車行駛了多遠(yuǎn)?小藍(lán)車呢?解析：兩車速度比為6∶5，路程=速度×?xí)r間，相同時(shí)間內(nèi)，兩車的路程比為6∶5。一份量∶20÷（6-5）=20（km）。小藍(lán)車∶20×5=100（km）小黃車∶20×6=120（km）答：略。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】汽車與公交車的速度比為5∶3，它們?cè)谙嗑?0千米的位置同時(shí)出發(fā)，同向而行，那么當(dāng)汽車追上公交車的時(shí)候，公交車行駛了多少千米?解析：60km【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】甲、乙兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā)同向而行，甲、乙的速度之比為3∶2，當(dāng)甲追上乙時(shí)，甲比乙多走了500米，此時(shí)甲共走了多少米?解析：一份量∶500÷（3-2）=500（米），甲的路程∶500×3=1500（米）?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】甲、乙的速度之比為5∶2，它們?cè)谙嗑?干米的位置同時(shí)出發(fā)，同向而行，甲追上乙的時(shí)候，乙走了多少干米？解析：4千米?！究键c(diǎn)五】反比例與行程問題一?！痉椒c(diǎn)撥】反比例在行程問題中的應(yīng)用，即路程一定，時(shí)間和速度成反比例，時(shí)間比等于速度的反比?！镜湫屠}】小東上學(xué)的速度與放學(xué)回家的速度比為2∶5，從學(xué)?；丶一ǖ臅r(shí)間比從家到學(xué)校花的時(shí)間要少15分鐘，那么小東上學(xué)路上用了多長時(shí)間?解析：上學(xué)放學(xué)速度比為2∶5，路程=速度×?xí)r間，路程一定，上學(xué)放學(xué)的時(shí)間比為5∶2。一份量∶15÷（5-2）=5（分鐘）。上學(xué)∶5×5=25（分鐘）?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】小東和小明賽跑，他們的速度之比為11∶8，結(jié)果小東比小明晚了6秒到達(dá)終點(diǎn).請(qǐng)問：小東花了多長時(shí)間跑到終點(diǎn)?解析：路程一定，速度比為11∶8，則時(shí)間之比為8∶11，1份時(shí)間就是6÷（11-8）=2秒，小東花了11份時(shí)間，也就是2×11=22秒。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】琪琪和佳佳從家到學(xué)校路程相同，已知琪琪和佳佳的速度比為5∶6，琪琪從家到學(xué)校用了30分鐘，那么佳佳從家到學(xué)校需要多少分鐘？解析：路程相同，速度與時(shí)間成反比，琪琪和佳佳的時(shí)間比為6∶5，佳佳從家到學(xué)校的時(shí)間為30×=25（分鐘）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】樂樂老師從家到公園，若速度提高，原來速度與提高后速度的比是2∶3，則比原計(jì)劃早20分鐘到達(dá)，那么原計(jì)劃用多少分鐘?解析：根據(jù)路程一定，時(shí)間比等于速度的反比；樂樂老師的速度提高，則原速和提速后的速度比為1∶1.5=2∶3，路程一定的情況下，則原速和提速后所用的時(shí)間比為3∶2，那么原計(jì)劃用20÷（3-2）×3=60（分鐘）答∶原計(jì)劃用60分鐘?！究键c(diǎn)六】反比例與行程問題二?！痉椒c(diǎn)撥】反比例在行程問題中的應(yīng)用，即路程一定，時(shí)間和速度成反比例，時(shí)間比等于速度的反比?！镜湫屠}】甲、乙兩人同時(shí)從A地到B地，騎車的速度比是8:9，已知甲每小時(shí)行16千米，行完全程比乙多用小時(shí)，兩地相距多少千米？解析：解：設(shè)甲行完全程用x小時(shí)，則乙行完全程用（x-）小時(shí)。9:8=x:（x-）x=路程：16×=60（千米）答：兩地相距60千米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】甲、乙兩人同時(shí)從A地到B地，騎車的速度比是5:6，已知甲每小時(shí)行20千米，行完全程比乙多用20分鐘，甲、乙兩地相距多少千米？解析：114千米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】從A地到B地，甲、乙兩人所需時(shí)間的比是8:7，已知甲每分鐘比乙少行6米，行完全程要45分鐘，A地到B地有多少米？解析：解：設(shè)甲每分鐘行x米，則乙每分行（x+6）米。7:8=x:（x+6）x=42路程：42×45=1890（米）答：略?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】鋪一段長64千米的鐵軌，前12天鋪了38.4千米，中途因雨停工4天，要在預(yù)定時(shí)間內(nèi)完成，每天應(yīng)多鋪多少米？解析：3.2千米?！究键c(diǎn)七】比例與單量不變問題?！痉椒c(diǎn)撥】單量不變問題，即其它量發(fā)生變化時(shí)，單一量的值不發(fā)生改變，該類題型要以一份量為未知數(shù)，根據(jù)題目關(guān)系建立方程。【典型例題】小胖和大胖一起吃冰淇淋，本來小胖和大胖吃的個(gè)數(shù)比為2∶3，后來大胖又吃了24個(gè)，現(xiàn)在小胖和大胖吃的個(gè)數(shù)之比為10∶27，求小胖吃了多少個(gè)冰淇淋?解析：解：設(shè)小胖原來吃了2x個(gè)，大胖原來吃了3x個(gè)。2x:（3x+24）=10:27x=10小胖：2×10=20（個(gè)）答：略?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】小胖和大胖一起吃草莓，本來小胖和大胖吃的個(gè)數(shù)比為3:4，后來大胖又吃了10個(gè)，現(xiàn)在小胖和大胖吃的個(gè)數(shù)之比為4:7，求小胖吃了多少個(gè)草莓？解析：24個(gè)?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】希望小學(xué)六年級(jí)學(xué)生中，男生與女生的人數(shù)比為7∶5，又轉(zhuǎn)來15名男生，這時(shí)男生與女生的人數(shù)比為3∶2.希望小學(xué)六年級(jí)現(xiàn)在有多少名學(xué)生?解析：375名?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】未未和萊拉原有圖書數(shù)量的比是2∶3，未未又買來24本書后，未未和萊拉現(xiàn)在圖書數(shù)量的比是6∶7，則原來未未有多少本書？萊拉有多少本書？解析：84；126【考點(diǎn)八】比例與和不變問題?！痉椒c(diǎn)撥】和不變問題，即在兩個(gè)單量都發(fā)生變化的時(shí)候，這兩個(gè)量的和不發(fā)生變化（即和是定值）?！镜湫屠}】大寶和小寶一起吃餃子，本來大寶碗里的和小寶碗里的個(gè)數(shù)之比為2:3，后來大寶想要減肥，又夾了10個(gè)餃子到小寶碗里，此時(shí)大小寶碗里餃子之比為3:7，求兩人一共有多少個(gè)餃子？解析：解：設(shè)原來大寶和小寶碗里各有2x個(gè)，3x個(gè)。（2x-10）:（3x+10）=3:7x=20一共：20×5=100（個(gè)）答：略。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】大寶和小寶一起喝湯圓，本來大寶碗里的和小寶碗里的個(gè)數(shù)之比為2∶3，后來大寶想要減肥，又夾了4個(gè)湯圓到小寶碗里，此時(shí)大小寶碗里湯圓之比為1∶2，求兩人一共有多少個(gè)湯圓?解析：60個(gè)?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】甲乙兩桶汽油，汽油重量之比為3∶2，甲桶汽油向乙桶倒5干克，則甲乙汽油重量之比變?yōu)?∶7，則原來兩桶汽油一共有多少千克？解析：75千克。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】甲、乙兩個(gè)車間原有人數(shù)比4∶3，從甲車間調(diào)48人到乙車間，甲、乙兩個(gè)車間現(xiàn)有人數(shù)比2∶3，甲、乙兩個(gè)車間原有人數(shù)各多少人?解析：甲車間原有160人，乙車間原有120人?！究键c(diǎn)九】比例與差不變問題?！痉椒c(diǎn)撥】1.差不變問題，即在兩個(gè)單量變化的時(shí)候，這兩個(gè)量的差不發(fā)生變化，常見的差不變問題是同增同減差不變，例如年齡問題。2.方程法解決比例問題：方程法能解決大部分的比例問題.通常設(shè)一份量為x，從而表示出變比的過程，通過列比例方程，最終解決比例問題。【典型例題】小牛和大牛吃肥肉，原來小牛和大牛吃的肉塊數(shù)之比為2∶5，后來小牛又吃了5塊，大牛也又吃了2塊，此時(shí)小牛和大牛吃的肉塊數(shù)之比為5∶9，求原來兩人各自吃了多少塊肥肉?解析：解：設(shè)一份量為x。（2x+5）∶（5x+2）=5∶9x=5小牛原來吃的肉塊數(shù)∶2x=10塊大?！?x=25塊。答：略?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】小牛和大牛吃雞蛋，原來小牛和大牛吃的雞蛋個(gè)數(shù)之比為2∶3，后來小牛又吃了4個(gè)，大牛也又吃了3個(gè)，此時(shí)小牛和大牛吃的雞蛋個(gè)數(shù)之比為3∶4，求原來兩人各自吃了多少個(gè)雞蛋?解：設(shè)原來小牛吃的雞蛋個(gè)數(shù)是2x，大牛是3x。（2x+4）∶（3×+3）=3∶4x=7。小牛原來吃的雞蛋個(gè)數(shù)∶2x=14大牛原來吃的雞蛋個(gè)數(shù)∶3x=21。答：略。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】甲乙兩個(gè)倉庫，堆放物品的質(zhì)量比是3∶7，甲倉庫運(yùn)進(jìn)6噸，乙倉庫運(yùn)出4噸后，甲乙倉庫堆放的物品的質(zhì)量比是3∶5，求甲乙倉庫原來各堆放多少噸物品?解析：解：設(shè)原來甲倉庫有物品3x噸，乙倉庫就有7x噸。（3x＋6）∶（7x-4）=3∶5x=7，甲：3×7=21（噸）乙：7×7=49（噸）答：略?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】某校五年級(jí)只