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江西省上饒市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期十月檢測(cè)數(shù)學(xué)卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線(xiàn),若直線(xiàn)與連接,兩點(diǎn)的線(xiàn)段總有公共點(diǎn),則直線(xiàn)的斜率的范圍為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo),數(shù)形結(jié)合求出直線(xiàn)的斜率的取值范圍.直線(xiàn)的方程化為,由,解得,因此直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),線(xiàn)的斜率,直線(xiàn)的斜率,由直線(xiàn)與線(xiàn)段總有公共點(diǎn),得直線(xiàn)的斜率有或,又直線(xiàn)的斜率,所以直線(xiàn)的斜率的范圍為.故選:A2.已知圓,從點(diǎn)向圓作兩條切線(xiàn)、,切點(diǎn)分別為、,若,則圓心的軌跡被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接、,分析可知為正方形,可得出,可知的軌跡是以點(diǎn)為圓心,半徑為的圓,再求出圓心到直線(xiàn)的距離,從而求出弦長(zhǎng).圓的圓心為,半徑為,連接、,則,,又因?yàn)椋?,所以四邊形為正方形,則,即,即,所以點(diǎn)的軌跡方程為,即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心,半徑為的圓,又圓心到直線(xiàn)的距離,所以圓心的軌跡被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為.故選:C3.設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)為,,左、右焦點(diǎn)為,,上、下頂點(diǎn)為,.關(guān)于該橢圓,有下列四個(gè)命題:甲:;乙:的周長(zhǎng)為8;丙:離心率為;?。核倪呅蔚拿娣e為.如果只有一個(gè)假命題,則該命題是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】利用橢圓方程,分析甲乙丙丁都為真時(shí)得到關(guān)于的等式,再分析得甲乙不同時(shí)為真,進(jìn)而分類(lèi)討論甲、丙和丁為真與乙、丙和丁為真兩種情況即可得解.依題意,作出橢圓的圖象,如圖,若甲為真命題,則;若乙為真命題:則的周長(zhǎng)為,即;若丙為真命題,則離心率為;若丁為真命題,則四邊形的面積為;當(dāng)甲乙都為真時(shí),有,解得,則,此時(shí),,則丙和丁都是假命題;所以甲乙不可能同時(shí)為真,且必有一真一假,故丙和丁都為真;若甲、丙和丁為真,則,解得,此時(shí)滿(mǎn)足,且,符合題意;若乙、丙和丁真,則,解得,此時(shí),即乙、丙和丁不同時(shí)為真,假設(shè)不成立;綜上,乙命題為假命題.故選:B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解決的關(guān)鍵在于,分析甲乙丙丁都為真時(shí)得到關(guān)于的等式,進(jìn)而分析得解.4.在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)作兩條漸近線(xiàn)平行線(xiàn)分別與兩漸近線(xiàn)交于,兩點(diǎn).若,則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】做出圖形,求出漸近線(xiàn)方程,求出兩平行線(xiàn)間的距離,再結(jié)合三角恒等變以及斜率關(guān)系換化簡(jiǎn)可得,最后構(gòu)造齊次式求出離心率即可;由題意可得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為,設(shè)交直線(xiàn)于點(diǎn),則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?,即,設(shè),即,因?yàn)?,,所以,即,所以,即,所以離心率.故選:C.5.過(guò)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)P作圓(r為常數(shù)且)的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A,B,若的最小值是,則()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè),利用圓的切線(xiàn)性質(zhì),借助圖形的面積把表示為的函數(shù),再求出函數(shù)的最小值即可.設(shè),則,圓的圓心,半徑為,由切圓于點(diǎn),得,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,可知的最小值為,整理可得,解得或,且,所以,即.故選:B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì),將轉(zhuǎn)化為,根據(jù)面積結(jié)合幾何性質(zhì)求解.6.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,是單位正方體,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo).點(diǎn)A的坐標(biāo)為.故選:D7.已知向量,且向量的夾角為銳角則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】夾角為銳角,則,排除平行的情況即可.因?yàn)橄蛄康膴A角為銳角,則,得,當(dāng)時(shí),,得,∴的取值范圍為.故選:B.8.如圖,在正四棱臺(tái)中,與的交點(diǎn)為.設(shè),,則下列向量中與相等的向量是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用空間向量的基底表示向量即可..故選:D二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線(xiàn)論》中給出了圓的另一種定義:平面內(nèi),到兩個(gè)定點(diǎn)A,B距離之比是常數(shù)的點(diǎn)M的軌跡是圓,已知點(diǎn),M是平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足,則下列說(shuō)法正確的是()A.點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為B.面積的最大值為C.點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離的最大值為D.若M的軌跡上有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A,設(shè)Mx,y,先由求出點(diǎn)M的軌跡方程,從而得點(diǎn)M的軌跡圓的半徑,再由圓的面積公式即可得解;對(duì)于B,先求出AB,接著求出圓心到直線(xiàn)的距離再加上半徑即為的高最大值,進(jìn)而可求面積最大值;對(duì)于C,求出圓心到直線(xiàn)的距離再加上半徑即為解;對(duì)于D,求出圓心到直線(xiàn)的距離d,令即可計(jì)算求解.對(duì)于A,設(shè)Mx,y,因?yàn)?,所以,整理得即,所以點(diǎn)M的軌跡是圓心為,半徑為的圓,所以點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故A正確;對(duì)于B,,即,所以圓心到直線(xiàn)的距離為,所以點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離的最大值為,所以面積的最大值為,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)閳A心到直線(xiàn)的距離為,所以點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離的最大值為,故C正確;對(duì)于D,圓心到直線(xiàn)的距離為,要使M的軌跡上有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,則,解得.故D正確.故選:ACD.10.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為l,P為C上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作圓M:的兩條切線(xiàn),A,B為切點(diǎn),過(guò)P作l的垂線(xiàn),垂足為Q,則()A.當(dāng)時(shí),l與圓M相切B.當(dāng)時(shí),的最小值為C.當(dāng)時(shí),為定值D.存在點(diǎn)P,使得為等邊三角形【答案】CD【解析】【分析】對(duì)于A,根據(jù)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程以及圓的圓心坐標(biāo)和半徑可以判斷是否相切;對(duì)于B,因?yàn)椋钥墒沟脙牲c(diǎn)在點(diǎn)的異側(cè),根據(jù)兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短原理可知,當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),有最小值;對(duì)于C,已知可解得和的夾角,從而解得為定值;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),為等邊三角形,所以滿(mǎn)足存在性.對(duì)于A,圓M:的半徑,圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為,所以,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),l與圓M相切,故A不正確;對(duì)于B,如圖所示:當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),有最小值,最小值為,故B不正確;對(duì)于C,因?yàn)?,,所以由余弦定理?所以,所以=,故C正確;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,所以,此時(shí)為等邊三角形,故D正確;故選:CD.11.在長(zhǎng)方體中,已知,分別為的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為B.點(diǎn)為長(zhǎng)方形內(nèi)一點(diǎn),滿(mǎn)足平面時(shí),的最小值為C.三棱錐的外接球的體積為D.過(guò)點(diǎn)的平面截長(zhǎng)方體所得的截面周長(zhǎng)為【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)由線(xiàn)線(xiàn)平行得到異面直線(xiàn)的夾角,用余弦定理即可得出結(jié)果;B選項(xiàng)動(dòng)直線(xiàn)平行于平面等價(jià)于面面平行,從而得到動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡,找垂線(xiàn)即為最短距離,求出最小值;C選項(xiàng)找球心,便可得到半徑,然后求出體積;D選項(xiàng)利用空間直角坐標(biāo)系由空間向量得到點(diǎn)的坐標(biāo),然后求出線(xiàn)段長(zhǎng),從而得出周長(zhǎng).A.,直線(xiàn)與所成角,在中,根據(jù)余弦定理可知,,代入求得,A錯(cuò)誤;B.取的中點(diǎn),取的中點(diǎn),取的中點(diǎn),連接,,,所以四邊形是平行四邊形,且,,平面,同理可得平面,平面,平面,所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線(xiàn)段,在中,過(guò)點(diǎn)作,此時(shí)取得最小值,由題意可知,,,B正確;C.取的中點(diǎn),連接,則,過(guò)點(diǎn)作,且,為外接球的半徑,在中,,,,C錯(cuò)誤;D.由平面平面得,過(guò)點(diǎn)的平面必與有交點(diǎn),設(shè)過(guò)點(diǎn)的平面與平面和平面分別交于,同理可得過(guò)點(diǎn)的平面截長(zhǎng)方體所得的截面圖形為五邊形,如圖所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,解得,,所以五邊形的周長(zhǎng)為,D正確.故選:BD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用向量共面來(lái)找立體圖形中截面問(wèn)題,先找到面與棱的交點(diǎn),設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo),得到空間向量的坐標(biāo),由向量平行建立方程,解出點(diǎn)的坐標(biāo),即可確定截面位置.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知點(diǎn),直線(xiàn)被圓所截得弦的中點(diǎn)為,則MN的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系可得,即可由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得點(diǎn)的軌跡為以為圓心,以為半徑的圓,即可根據(jù)求解.由于直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),圓心,設(shè),則,故,即,化簡(jiǎn)可得,故點(diǎn)的軌跡為以為圓心,以為半徑的圓,由于在圓外,,故,即,故答案為:13.已知橢圓的離心率為,則的值為_(kāi)_____.【答案】或【解析】【分析】分焦點(diǎn)在軸上和軸上,根據(jù)離心率公式直接求解可得.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),,則,所以,,解得;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),,則,所以,,解得.綜上,的值為或.故答案為:或14.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,為的中點(diǎn),點(diǎn)在平面內(nèi).以為原點(diǎn),以為空間的一個(gè)單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】分別求出得,,再結(jié)合點(diǎn)共面,所以,從而可求解.由題意得,,則,,,因?yàn)辄c(diǎn)共面,所以,所以,解得,所以.故答案為:.四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟.15.已知圓與圓相交于兩點(diǎn),直線(xiàn)的方程為.(1)若圓的圓心在圓外,求圓的半徑的取值范圍;(2)若是圓上的動(dòng)點(diǎn),且的面積的最大值為,求圓的方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)借助圓與圓的位置關(guān)系以及勾股定理,計(jì)算即可求得;(2)通過(guò),以及三角形面積的最大值,求出圓的半徑,計(jì)算即可求得.【小問(wèn)1詳解】由,得,所以圓的半徑,圓心為,且圓心在直線(xiàn)上.因?yàn)閳A的圓心在圓外,所以連結(jié),.又因?yàn)?,連接,所以在中,圓的半徑為.故圓的半徑的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)圓的圓心為,由題意可得,所以,即①.設(shè)圓的半徑為,在中,邊上的高為h,所以的面積為,當(dāng)時(shí),即此時(shí)取得最大值,的面積取得最大值,最大值為,解得,所以②.由①②得,或,所以圓的方程為或.16.已知,分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn),其中為橢圓的離心率.(1)求橢圓C的方程;(2)若傾斜角為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與C交于M,N兩點(diǎn)(M點(diǎn)在N點(diǎn)的上方),求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)將點(diǎn)2,0和點(diǎn)代入橢圓方程,解之即可得解;(2)根據(jù)題意,利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)的方程,再聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程,直接求得點(diǎn)的坐標(biāo),從而得解.小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,0和點(diǎn),,所以,解得,所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】由(1)得,直線(xiàn)的斜率為,所以直線(xiàn)的方程為,即,聯(lián)立,解得或,則,所以.17.已知雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2b2(1)求雙曲線(xiàn)的方程;(2)若點(diǎn),點(diǎn)為雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn),求的最小值.【答案】(1)(2)23【解析】【分析】(1)利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列和離心率列方程求,即可得到雙曲線(xiàn)的方程;(2)根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值,然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短求最小值即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知,解得,則,所以雙曲線(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】記雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為,則,可得,當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),最小,且最小值為.故的最小值為.18.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形四面體稱(chēng)為鱉臑.如圖,在鱉臑中,平面PBC,平面PAB,D為PC的中點(diǎn),.(1),,,用a,b,c表示;(2)若,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)連接,利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算,準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算,即可求解;(2)根據(jù)題意,利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,準(zhǔn)確計(jì)算,即可求解.【小
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