中考壓軸題,動點,探究規(guī)律含詳細答案及解析

...wd......wd......wd...2015年05月22日規(guī)律&動點&選填一．選擇題〔共12小題〕1．〔2014?紹興〕將一張正方形紙片，按如圖步驟①，②，沿虛線對折兩次，然后沿③中的虛線剪去一個角，展開鋪平后的圖形是〔〕A．B．C．D．2．〔2014?重慶〕如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，假設(shè)∠ABC+∠AOC=90°，則∠AOC的大小是〔〕A．30°B．45°C．60°D．70°3．〔2014?重慶〕以以以下圖形都是按照一定規(guī)律組成，第一個圖形中共有2個三角形，第二個圖形中共有8個三角形，第三個圖形中共有14個三角形，…，依此規(guī)律，第五個圖形中三角形的個數(shù)是〔〕A．22B．24C．26D．284．〔2014?重慶〕如圖，正方形ABCD的頂點B，C在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=〔k≠0〕在第一象限的圖象經(jīng)過頂點A〔m，2〕和CD邊上的點E〔n，〕，過點E的直線l交x軸于點F，交y軸于點G〔0，﹣2〕，則點F的坐標是〔〕A．〔，0〕B．〔，0〕C．〔，0〕D．〔，0〕5．〔2014?重慶〕如圖，以以以下圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成，其中，第〔1〕個圖形中面積為1的正方形有2個，第〔2〕個圖形中面積為1的正方形有5個，第〔3〕個圖形中面積為1的正方形有9個，…，按此規(guī)律．則第〔6〕個圖形中面積為1的正方形的個數(shù)為〔〕A．20B．27C．35D．406．〔2014?舟山〕如以以以下圖，在一張矩形紙片ABCD中，AD=4cm，點E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點，現(xiàn)將這張紙片折疊，使點B落在EF上的點G處，折痕為AH，假設(shè)HG延長線恰好經(jīng)過點D，則CD的長為〔〕A．2cmB．2cmC．4cmD．4cm7．〔2014?臺州〕如上中圖，菱形ABCD的對角線AC=4cm，把它沿著對角線AC方向平移1cm得到菱形EFGH，則圖中陰影局部圖形的面積與四邊形EMCN的面積之比為〔〕A．4：3B．3：2C．14：9D．17：98．〔2014?湖州〕在連接A地與B地的線段上有四個不同的點D、G、K、Q，以下四幅圖中的實線分別表示某人從A地到B地的不同行進路線〔箭頭表示行進的方向〕，則路程最長的行進路線圖是〔〕A．B．C．D．9．〔2014?臺灣〕如上右圖，D為△ABC內(nèi)部一點，E、F兩點分別在AB、BC上，且四邊形DEBF為矩形，直線CD交AB于G點．假設(shè)CF=6，BF=9，AG=8，則△ADC的面積為何〔〕A．16B．24C．36D．5410．〔2014?宜賓〕如圖，將n個邊長都為2的正方形按如以以下圖擺放，點A1，A2，…An分別是正方形的中心，則這n個正方形重疊局部的面積之和是〔〕A．nB．n﹣1C．〔〕n﹣1D．n11．〔2014?涼山州〕以以以下圖形中陰影局部的面積相等的是〔〕A．②③B．③④C．①②D．①④12．〔2014?內(nèi)江〕如圖，A1、A2、A3、…、An、An+1是x軸上的點，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分別過點A1、A2、A3、…、An、An+1作x軸的垂線交直線y=2x于點B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，連接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于點P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面積依次記為S1、S2、S3、…、Sn，則Sn為〔〕A．B．C．D．二．填空題〔共4小題〕14．〔2014?重慶〕在一個不透明的盒子里裝著4個分別標有數(shù)字1，2，3，4的小球，它們除數(shù)字不同外其余完全一樣，攪勻后從盒子里隨機取出1個小球，將小球上的數(shù)字作為a的值，則使關(guān)于x的不等式組只有一個整數(shù)解的概率為．15．〔2014?臺州〕有一個計算程序，每次運算都是把一個數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，屢次重復(fù)進展這種運算的過程如下：則第n次運算的結(jié)果yn=〔用含字母x和n的代數(shù)式表示〕．16．〔2014?宜賓〕規(guī)定：sin〔﹣x〕=﹣sinx，cos〔﹣x〕=cosx，sin〔x+y〕=sinx?cosy+cosx?siny．據(jù)此判斷以下等式成立的是〔寫出所有正確的序號〕①cos〔﹣60°〕=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx?cosx；④sin〔x﹣y〕=sinx?cosy﹣cosx?siny．三．解答題〔共13小題〕17．〔2014?重慶〕為豐富居民業(yè)余生活，某居民區(qū)組建籌委會，該籌委會發(fā)動居民自愿集資建設(shè)一個書刊閱覽室．經(jīng)預(yù)算，一共需要籌資30000元，其中一局部用于購置書桌、書架等設(shè)施，另一局部用于購置書刊．〔1〕籌委會方案，購置書刊的資金不少于購置書桌、書架等設(shè)施資金的3倍，問最多用多少資金購置書桌、書架等設(shè)施〔2〕經(jīng)初步統(tǒng)計，有200戶居民自愿參與集資，那么平均每戶需集資150元．鎮(zhèn)政府了解情況后，贈送了一批閱覽室設(shè)施和書籍，這樣，只需參與戶共集資20000元．經(jīng)籌委會進一步宣傳，自愿參與的戶數(shù)在200戶的根基上增加了a%〔其中a＞0〕．則每戶平均集資的資金在150元的根基上減少了a%，求a的值．18．〔2014?新疆〕如圖1所示，在A，B兩地之間有汽車站C站，客車由A地駛往C站，貨車由B地駛往A地．兩車同時出發(fā)，勻速行駛．圖2是客車、貨車離C站的路程y1，y2〔千米〕與行駛時間x〔小時〕之間的函數(shù)關(guān)系圖象．〔1〕填空：A，B兩地相距千米；〔2〕求兩小時后，貨車離C站的路程y2與行駛時間x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕客、貨兩車何時相遇19．〔2014?舟山〕實驗數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小時內(nèi)其血液中酒精含量y〔毫克/百毫升〕與時間x〔時〕的關(guān)系可近似地用二次函數(shù)y=﹣200x2+400x刻畫；1.5小時后〔包括1.5小時〕y與x可近似地用反比例函數(shù)y=〔k＞0〕刻畫〔如以以下圖〕．〔1〕根據(jù)上述數(shù)學模型計算：①喝酒后幾時血液中的酒精含量到達最大值最大值為多少②當x=5時，y=45，求k的值．〔2〕按國家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛〞，不能駕車上路．參照上述數(shù)學模型，假設(shè)某駕駛員晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班請說明理由．20．〔2014?臺州〕如圖，某翼裝飛行員從離水平地面高AC=500m的A處出發(fā)，沿著俯角為15°的方向，直線滑行1600米到達D點，然后翻開降落傘以75°的俯角降落到地面上的B點．求他飛行的水平距離BC〔結(jié)果準確到1m〕．21．〔2014?寧波〕用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個盒子由3個矩形側(cè)面和2個正三角形底面組成，硬紙板以如圖兩種方法裁剪〔裁剪后邊角料不再利用〕．A方法：剪6個側(cè)面；B方法：剪4個側(cè)面和5個底面．現(xiàn)有19張硬紙板，裁剪時x張用A方法，其余用B方法．〔1〕用x的代數(shù)式分別表示裁剪出的側(cè)面和底面的個數(shù)；〔2〕假設(shè)裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，問能做多少個盒子22．〔2014?新疆〕如圖，直線y=﹣x+8與x軸交于A點，與y軸交于B點，動點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AO方向向點O勻速運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BA方向向點A勻速運動，當一個點停頓運動，另一個點也隨之停頓運動，連接PQ，設(shè)運動時間為t〔s〕〔0＜t≤3〕．〔1〕寫出A，B兩點的坐標；〔2〕設(shè)△AQP的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當t為何值時，△AQP的面積最大〔3〕當t為何值時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABO相似，并直接寫出此時點Q的坐標．23．〔2014?溫州〕如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為〔﹣3，0〕，〔0，6〕．動點P從點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，同時動點C從點B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個單位的速度運動，以CP，CO為鄰邊構(gòu)造?PCOD，在線段OP延長線上取點E，使PE=AO，設(shè)點P運動的時間為t秒．〔1〕當點C運動到線段OB的中點時，求t的值及點E的坐標；〔2〕當點C在線段OB上時，求證：四邊形ADEC為平行四邊形；〔3〕在線段PE上取點F，使PF=1，過點F作MN⊥PE，截取FM=2，F(xiàn)N=1，且點M，N分別在一，四象限，在運動過程中，設(shè)?PCOD的面積為S．①當點M，N中有一點落在四邊形ADEC的邊上時，求出所有滿足條件的t的值；②假設(shè)點M，N中恰好只有一個點落在四邊形ADEC的內(nèi)部〔不包括邊界〕時，直接寫出S的取值范圍．24．〔2014?重慶〕如圖1，在?ABCD中，AH⊥DC，垂足為H，AB=4，AD=7，AH=．現(xiàn)有兩個動點E，F(xiàn)同時從點A出發(fā)，分別以每秒1個單位長度、每秒3個單位長度的速度沿射線AC方向勻速運動，在點E，F(xiàn)的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG與△ABC在射線AC的同側(cè)，當點E運動到點C時，E，F(xiàn)兩點同時停頓運動，設(shè)運動時間為t秒．〔1〕求線段AC的長；〔2〕在整個運動過程中，設(shè)等邊△EFG與△ABC重疊局部的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍；〔3〕當?shù)冗叀鱁FG的頂點E到達點C時，如圖2，將△EFG繞著點C旋轉(zhuǎn)一個角度α〔0°＜α＜360°〕，在旋轉(zhuǎn)過程中，點E與點C重合，F(xiàn)的對應(yīng)點為F′，G的對應(yīng)點為G′，設(shè)直線F′G′與射線DC、射線AC分別相交于M，N兩點．試問：是否存在點M，N，使得△CMN是以∠MCN為底角的等腰三角形假設(shè)存在，請求出CM的長度；假設(shè)不存在，請說明理由．25．〔2014?溫州〕勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法〞給了小聰以靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法〞來證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．證明：連結(jié)DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b﹣a．∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a〔b﹣a〕∴b2+ab=c2+a〔b﹣a〕∴a2+b2=c2請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°．求證：a2+b2=c2證明：連結(jié)∵S五邊形ACBED=又∵S五邊形ACBED=∴∴a2+b2=c2．26．〔2014?寧波〕課本的作業(yè)題中有這樣一道題：把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎請畫示意圖說明剪法．我們有多少種剪法，圖1是其中的一種方法：定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線．〔1〕請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；〔假設(shè)兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種〕〔2〕△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設(shè)∠C=x°，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值；〔3〕如圖3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，請畫出△ABC的三分線，并求出三分線的長．27．〔2014?舟山〕類比梯形的定義，我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形〞．〔1〕：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形〞，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度數(shù)．〔2〕在探究“等對角四邊形〞性質(zhì)時：①小紅畫了一個“等對角四邊形〞ABCD〔如圖2〕，其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立．請你證明此結(jié)論；②由此小紅猜測：“對于任意‘等對角四邊形’，當一組鄰邊相等時，另一組鄰邊也相等〞．你認為她的猜測正確嗎假設(shè)正確，請證明；假設(shè)不正確，請舉出反例．〔3〕：在“等對角四邊形〞ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求對角線AC的長．28．〔2014?內(nèi)江〕如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點〔不與點B、C重合〕，連結(jié)AD．問題引入：〔1〕如圖①，當點D是BC邊上的中點時，S△ABD：S△ABC=；當點D是BC邊上任意一點時，S△ABD：S△ABC=〔用圖中已有線段表示〕．探索研究：〔2〕如圖②，在△ABC中，O點是線段AD上一點〔不與點A、D重合〕，連結(jié)BO、CO，試猜測S△BOC與S△ABC之比應(yīng)該等于圖中哪兩條線段之比，并說明理由．拓展應(yīng)用：〔3〕如圖③，O是線段AD上一點〔不與點A、D重合〕，連結(jié)BO并延長交AC于點F，連結(jié)CO并延長交AB于點E，試猜測++的值，并說明理由．29．〔2014?涼山州〕實驗與探究：三角點陣前n行的點數(shù)計算如圖是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點…第n行有n個點…容易發(fā)現(xiàn)，10是三角點陣中前4行的點數(shù)的和，你能發(fā)現(xiàn)300是前多少行的點數(shù)的和嗎如果要用試驗的方法，由上而下地逐行的相加其點數(shù)，雖然你能發(fā)現(xiàn)1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的點數(shù)的和，但是這樣尋找答案需我們先探求三角點陣中前n行的點數(shù)的和與n的數(shù)量關(guān)系前n行的點數(shù)的和是1+2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕+n，可以發(fā)現(xiàn)．2×[1+2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕+n]=[1+2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕+n]+[n+〔n﹣1〕+〔n﹣2〕+…3+2+1]把兩個中括號中的第一項相加，第二項相加…第n項相加，上式等號的后邊變形為這n個小括號都等于n+1，整個式子等于n〔n+1〕，于是得到1+2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕+n=n〔n+1〕這就是說，三角點陣中前n項的點數(shù)的和是n〔n+1〕以下用一元二次方程解決上述問題設(shè)三角點陣中前n行的點數(shù)的和為300，則有n〔n+1〕=300整理這個方程，得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24，n2=﹣25根據(jù)問題中未知數(shù)的意義確定n=24，即三角點陣中前24行的點數(shù)的和是300．請你根據(jù)上述材料答復(fù)以下問題：〔1〕三角點陣中前n行的點數(shù)的和能是600嗎如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理．〔2〕如果把圖中的三角點陣中各行的點數(shù)依次換成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的點數(shù)的和滿足什么規(guī)律嗎這個三角點陣中前n行的點數(shù)的和能是600嗎如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理．2015年05月22日規(guī)律&動點&選填參考答案與試題解析一．選擇題〔共12小題〕1．〔2014?紹興〕將一張正方形紙片，按如圖步驟①，②，沿虛線對折兩次，然后沿③中的虛線剪去一個角，展開鋪平后的圖形是〔〕A．B．C．D．解答：解：由題意要求知，展開鋪平后的圖形是B．應(yīng)選：B．2．〔2014?重慶〕如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，假設(shè)∠ABC+∠AOC=90°，則∠AOC的大小是〔〕A．30°B．45°C．60°D．70°分析：先根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．應(yīng)選：C．3．〔2014?重慶〕以以以下圖形都是按照一定規(guī)律組成，第一個圖形中共有2個三角形，第二個圖形中共有8個三角形，第三個圖形中共有14個三角形，…，依此規(guī)律，第五個圖形中三角形的個數(shù)是〔〕A．22B．24C．26D．28解答：解：第一個圖形有2+6×0=2個三角形；第二個圖形有2+6×1=8個三角形；第三個圖形有2+6×2=14個三角形；…第五個圖形有2+6×4=26個三角形；應(yīng)選：C．4．〔2014?重慶〕如圖，正方形ABCD的頂點B，C在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=〔k≠0〕在第一象限的圖象經(jīng)過頂點A〔m，2〕和CD邊上的點E〔n，〕，過點E的直線l交x軸于點F，交y軸于點G〔0，﹣2〕，則點F的坐標是〔〕A．〔，0〕B．〔，0〕C．〔，0〕D．〔，0〕分析：由A〔m，2〕得到正方形的邊長為2，則BC=2，所以n=2+m，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到k=2?m=〔2+m〕，解得m=1，則E點坐標為〔3，〕，然后利用待定系數(shù)法確定直線GF的解析式為y=x﹣2，再求y=0時對應(yīng)自變量的值，從而得到點F的坐標．解答：解：∵正方形的頂點A〔m，2〕，∴正方形的邊長為2，∴BC=2，而點E〔n，〕，∴n=2+m，即E點坐標為〔2+m，〕，∴k=2?m=〔2+m〕，解得m=1，∴E點坐標為〔3，〕，設(shè)直線GF的解析式為y=ax+b，把E〔3，〕，G〔0，﹣2〕代入得，解得，∴直線GF的解析式為y=x﹣2，當y=0時，x﹣2=0，解得x=，∴點F的坐標為〔，0〕．應(yīng)選：C．5．〔2014?重慶〕如圖，以以以下圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成，其中，第〔1〕個圖形中面積為1的正方形有2個，第〔2〕個圖形中面積為1的正方形有5個，第〔3〕個圖形中面積為1的正方形有9個，…，按此規(guī)律．則第〔6〕個圖形中面積為1的正方形的個數(shù)為〔〕A．20B．27C．35D．40分析：第〔1〕個圖形中面積為1的正方形有2個，第〔2〕個圖形中面積為1的圖象有2+3=5個，第〔3〕個圖形中面積為1的正方形有2+3+4=9個，…，按此規(guī)律，第n個圖形中面積為1的正方形有2+3+4+…+n+1=，進一步求得第〔6〕個圖形中面積為1的正方形的個數(shù)即可．解答：解：第〔1〕個圖形中面積為1的正方形有2個，第〔2〕個圖形中面積為1的圖象有2+3=5個，第〔3〕個圖形中面積為1的正方形有2+3+4=9個，…，按此規(guī)律，第n個圖形中面積為1的正方形有2+3+4+…+〔n+1〕=個，則第〔6〕個圖形中面積為1的正方形的個數(shù)為2+3+4+5+6+7=27個．應(yīng)選：B．6．〔2014?舟山〕如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AD=4cm，點E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點，現(xiàn)將這張紙片折疊，使點B落在EF上的點G處，折痕為AH，假設(shè)HG延長線恰好經(jīng)過點D，則CD的長為〔〕A．2cmB．2cmC．4cmD．4cm分析：先證明EG是△DCH的中位線，繼而得出DG=HG，然后證明△ADG≌△AHG，得出∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°，在Rt△ABH中，可求出AB，也即是CD=AB=2應(yīng)選：B點評：此題考察了翻折變換、三角形的中位線定理，解答此題的關(guān)鍵是判斷出∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°，注意熟練掌握翻折變換的性質(zhì)．7．〔2014?臺州〕如圖，菱形ABCD的對角線AC=4cm，把它沿著對角線AC方向平移1cm得到菱形EFGH，則圖中陰影局部圖形的面積與四邊形EMCN的面積之比為〔〕A．4：3B．3：2C．14：9D．17：9分析：首先得出△MEC∽△DAC，則=，進而得出=，即可得出答案．圖中陰影局部圖形的面積與四邊形EMCN的面積之比為：=．應(yīng)選：C．8．〔2014?湖州〕在連接A地與B地的線段上有四個不同的點D、G、K、Q，以下四幅圖中的實線分別表示某人從A地到B地的不同行進路線〔箭頭表示行進的方向〕，則路程最長的行進路線圖是〔〕A．B．C．D．分析：分別構(gòu)造出平行四邊形和三角形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)進展對比，即可判斷．解答：解：A、延長AC、BE交于S，∵∠CAB=∠EDB=45°，∴AS∥ED，則SC∥DE．同理SE∥CD，∴四邊形SCDE是平行四邊形，∴SE=CD，DE=CS，即走的路線長是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B、延長AF、BH交于S1，作FK∥GH與BH的延長線交于點K，∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB，∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，∴FG∥KH，∵FK∥GH，∴四邊形FGHK是平行四邊形，∴FK=GH，F(xiàn)G=KH，∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，C、D、同理可證得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB．綜上所述，D選項的所走的線路最長．應(yīng)選：D．9．〔2014?臺灣〕如圖，D為△ABC內(nèi)部一點，E、F兩點分別在AB、BC上，且四邊形DEBF為矩形，直線CD交AB于G點．假設(shè)CF=6，BF=9，AG=8，則△ADC的面積為何〔〕A．16B．24C．36D．54解答：解：S△ADC=S△AGC﹣S△ADG=×AG×BC﹣×AG×BF=×8×〔6+9〕﹣×8×9=60﹣36=24．應(yīng)選：B．10．〔2014?宜賓〕如圖，將n個邊長都為2的正方形按如以以下圖擺放，點A1，A2，…An分別是正方形的中心，則這n個正方形重疊局部的面積之和是〔〕A．nB．n﹣1C．〔〕n﹣1D．n解答：解：由題意可得一個陰影局部面積等于正方形面積的，即是×4=1，5個這樣的正方形重疊局部〔陰影局部〕的面積和為：1×4，n個這樣的正方形重疊局部〔陰影局部〕的面積和為：1×〔n﹣1〕=n﹣1．應(yīng)選：B．11．〔2014?涼山州〕以以以下圖形中陰影局部的面積相等的是〔〕A．②③B．③④C．①②D．①④解答：②③的面積相等，應(yīng)選：A．12．〔2014?內(nèi)江〕如圖，A1、A2、A3、…、An、An+1是x軸上的點，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分別過點A1、A2、A3、…、An、An+1作x軸的垂線交直線y=2x于點B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，連接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于點P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面積依次記為S1、S2、S3、…、Sn，則Sn為〔〕A．B．C．D．分析：根據(jù)圖象上點的坐標性質(zhì)得出點B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各點坐標，進而利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出S1、S2、S3、…、Sn，進而得出答案．解答：解：∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x軸上的點，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分別過點A1、A2、A3、…、An、An+1作x軸的垂線交直線y=2x于點B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，∴依題意得：B1〔1，2〕，B2〔2，4〕，B3〔3，6〕，…，Bn〔n，2n〕∵A1B1∥A2B2，∴△A1B1P1∽△A2B2P1，∴=，∴△A1B1P1與△A2B2P1對應(yīng)高的比為：1：2，∵A1A2=1，∴A1B1邊上的高為：，∴=××2=，同理可得：=，=，∴Sn=．應(yīng)選：D．二．填空題〔共3小題〕14．〔2014?重慶〕在一個不透明的盒子里裝著4個分別標有數(shù)字1，2，3，4的小球，它們除數(shù)字不同外其余完全一樣，攪勻后從盒子里隨機取出1個小球，將小球上的數(shù)字作為a的值，則使關(guān)于x的不等式組只有一個整數(shù)解的概率為．解答：解：∵不等式組只有一個整數(shù)解，∴〔a+2〕﹣〔2a﹣1〕=1，解得a=2，∴P=．故答案為：．15．〔2014?臺州〕有一個計算程序，每次運算都是把一個數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，屢次重復(fù)進展這種運算的過程如下：則第n次運算的結(jié)果yn=〔用含字母x和n的代數(shù)式表示〕．解答：解：將y1=代入得：y2==；將y2=代入得：y3==，依此類推，第n次運算的結(jié)果yn=．故答案為：．16．〔2014?宜賓〕規(guī)定：sin〔﹣x〕=﹣sinx，cos〔﹣x〕=cosx，sin〔x+y〕=sinx?cosy+cosx?siny．據(jù)此判斷以下等式成立的是②③④〔寫出所有正確的序號〕①cos〔﹣60°〕=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx?cosx；④sin〔x﹣y〕=sinx?cosy﹣cosx?siny．解答：解：①cos〔﹣60°〕=cos60°=，命題錯誤；②sin75°=sin〔30°+45°〕=sin30°?cos45°+cos30°?sin45°=×+×=+=，命題正確；③sin2x=sinx?cosx+cosx?sinx=2sinx?cosx，命題正確；④sin〔x﹣y〕=sinx?cos〔﹣y〕+cosx?sin〔﹣y〕=sinx?cosy﹣cosx?siny，命題正確．故答案為：②③④．三．解答題〔共13小題〕17．〔2014?重慶〕為豐富居民業(yè)余生活，某居民區(qū)組建籌委會，該籌委會發(fā)動居民自愿集資建設(shè)一個書刊閱覽室．經(jīng)預(yù)算，一共需要籌資30000元，其中一局部用于購置書桌、書架等設(shè)施，另一局部用于購置書刊．〔1〕籌委會方案，購置書刊的資金不少于購置書桌、書架等設(shè)施資金的3倍，問最多用多少資金購置書桌、書架等設(shè)施〔2〕經(jīng)初步統(tǒng)計，有200戶居民自愿參與集資，那么平均每戶需集資150元．鎮(zhèn)政府了解情況后，贈送了一批閱覽室設(shè)施和書籍，這樣，只需參與戶共集資20000元．經(jīng)籌委會進一步宣傳，自愿參與的戶數(shù)在200戶的根基上增加了a%〔其中a＞0〕．則每戶平均集資的資金在150元的根基上減少了a%，求a的值．解答：解：〔1〕設(shè)用于購置書桌、書架等設(shè)施的為x元，則購置書籍的有〔30000﹣x〕元，根據(jù)題意得：30000﹣x≥3x，解得：x≤7500．答：最多用7500元購置書桌、書架等設(shè)施；〔2〕根據(jù)題意得：200〔1+a%〕×150〔1﹣a%〕=20000整理得：a2+10a﹣3000=0，解得：a=50或a=﹣60〔舍去〕，所以a的值是50．18．〔2014?新疆〕如圖1所示，在A，B兩地之間有汽車站C站，客車由A地駛往C站，貨車由B地駛往A地．兩車同時出發(fā)，勻速行駛．圖2是客車、貨車離C站的路程y1，y2〔千米〕與行駛時間x〔小時〕之間的函數(shù)關(guān)系圖象．〔1〕填空：A，B兩地相距440千米；〔2〕求兩小時后，貨車離C站的路程y2與行駛時間x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕客、貨兩車何時相遇解答：解：〔1〕填空：A，B兩地相距：360+80=440千米；〔2〕由圖可知貨車的速度為80÷2=40千米/小時，貨車到達A地一共需要2+360÷40=11小時，設(shè)y2=kx+b，代入點〔2，0〕、〔11，360〕得，解得，所以y2=40x﹣80；〔3〕設(shè)y1=mx+n，代入點〔6，0〕、〔0，360〕得解得，所以y1=﹣60x+360由y1=y2得，40x﹣80=﹣60x+360解得x=4.4答：客、貨兩車經(jīng)過4.4小時相遇．19．〔2014?舟山〕實驗數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小時內(nèi)其血液中酒精含量y〔毫克/百毫升〕與時間x〔時〕的關(guān)系可近似地用二次函數(shù)y=﹣200x2+400x刻畫；1.5小時后〔包括1.5小時〕y與x可近似地用反比例函數(shù)y=〔k＞0〕刻畫〔如以以下圖〕．〔1〕根據(jù)上述數(shù)學模型計算：①喝酒后幾時血液中的酒精含量到達最大值最大值為多少②當x=5時，y=45，求k的值．〔2〕按國家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛〞，不能駕車上路．參照上述數(shù)學模型，假設(shè)某駕駛員晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班請說明理由．解答：解：〔1〕①y=﹣200x2+400x=﹣200〔x﹣1〕2+200，∴x=1時血液中的酒精含量到達最大值，最大值為200〔毫克/百毫升〕；②∵當x=5時，y=45，y=〔k＞0〕，∴k=xy=45×5=225；〔2〕不能駕車上班；理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小時，∴將x=11代入y=，則y=＞20，∴第二天早上7：00不能駕車去上班．20．〔2014?臺州〕如圖，某翼裝飛行員從離水平地面高AC=500m的A處出發(fā)，沿著俯角為15°的方向，直線滑行1600米到達D點，然后翻開降落傘以75°的俯角降落到地面上的B點．求他飛行的水平距離BC〔結(jié)果準確到1m〕．解答：解：過點D作DE⊥AC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，由題意可得：∠ADE=15°，∠BDF=15°，AD=1600m，AC=500m，∴cos∠ADE=cos15°=≈0.97，∴≈0.97，解得：DE=1552〔m〕，sin15°=≈0.26，∴≈0.26，解得；AE=416〔m〕，∴DF=500﹣416=84〔m〕，∴tan∠BDF=tan15°=≈0.27，∴≈0.27，解得：BF=22.68〔m〕，∴BC=CF+BF=1552+22.68=1574.68≈1575〔m〕，答：他飛行的水平距離為1575m．21．〔2014?寧波〕用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個盒子由3個矩形側(cè)面和2個正三角形底面組成，硬紙板以如圖兩種方法裁剪〔裁剪后邊角料不再利用〕．A方法：剪6個側(cè)面；B方法：剪4個側(cè)面和5個底面．現(xiàn)有19張硬紙板，裁剪時x張用A方法，其余用B方法．〔1〕用x的代數(shù)式分別表示裁剪出的側(cè)面和底面的個數(shù)；〔2〕假設(shè)裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，問能做多少個盒子分析：〔1〕由x張用A方法，就有〔19﹣x〕張用B方法，就可以分別表示出側(cè)面?zhèn)€數(shù)和底面?zhèn)€數(shù)；〔2〕由側(cè)面?zhèn)€數(shù)和底面?zhèn)€數(shù)比為3：2建設(shè)方程求出x的值，求出側(cè)面的總數(shù)就可以求出結(jié)論．解答：解：〔1〕∵裁剪時x張用A方法，∴裁剪時〔19﹣x〕張用B方法．∴側(cè)面的個數(shù)為：6x+4〔19﹣x〕=〔2x+76〕個，底面的個數(shù)為：5〔19﹣x〕=〔95﹣5x〕個；〔2〕由題意，得，解得：x=7，經(jīng)檢驗，x=7是原分式方程的解，∴盒子的個數(shù)為：=30．答：裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，能做30個盒子．22．〔2014?新疆〕如圖，直線y=﹣x+8與x軸交于A點，與y軸交于B點，動點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AO方向向點O勻速運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BA方向向點A勻速運動，當一個點停頓運動，另一個點也隨之停頓運動，連接PQ，設(shè)運動時間為t〔s〕〔0＜t≤3〕．〔1〕寫出A，B兩點的坐標；〔2〕設(shè)△AQP的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當t為何值時，△AQP的面積最大〔3〕當t為何值時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABO相似，并直接寫出此時點Q的坐標．解答：解：〔1〕令y=0，則﹣x+8=0，解得x=6，x=0時，y=y=8，∴OA=6，OB=8，∴點A〔6，0〕，B〔0，8〕；〔2〕在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB===10，∵點P的速度是每秒2個單位，點Q的速度是每秒1個單位，∴AP=2t，AQ=AB﹣BQ=10﹣t，∴點Q到AP的距離為AQ?sin∠OAB=〔10﹣t〕×=〔10﹣t〕，∴△AQP的面積S=×2t×〔10﹣t〕=﹣〔t2﹣10t〕=﹣〔t﹣5〕2+20，∵﹣＜0，0＜t≤3，∴當t=3時，△AQP的面積最大，S最大=﹣〔3﹣5〕2+20=；〔3〕假設(shè)∠APQ=90°，則cos∠OAB=，∴=，解得t=，假設(shè)∠AQP=90°，則cos∠OAB=，∴=，解得t=，∵0＜t≤3，∴t的值為，此時，OP=6﹣2×=，PQ=AP?tan∠OAB=〔2×〕×=，∴點Q的坐標為〔，〕，綜上所述，t=秒時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABO相似，此時點Q的坐標為〔，〕．23．〔2014?溫州〕如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為〔﹣3，0〕，〔0，6〕．動點P從點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，同時動點C從點B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個單位的速度運動，以CP，CO為鄰邊構(gòu)造?PCOD，在線段OP延長線上取點E，使PE=AO，設(shè)點P運動的時間為t秒．〔1〕當點C運動到線段OB的中點時，求t的值及點E的坐標；〔2〕當點C在線段OB上時，求證：四邊形ADEC為平行四邊形；〔3〕在線段PE上取點F，使PF=1，過點F作MN⊥PE，截取FM=2，F(xiàn)N=1，且點M，N分別在一，四象限，在運動過程中，設(shè)?PCOD的面積為S．①當點M，N中有一點落在四邊形ADEC的邊上時，求出所有滿足條件的t的值；②假設(shè)點M，N中恰好只有一個點落在四邊形ADEC的內(nèi)部〔不包括邊界〕時，直接寫出S的取值范圍．分析：〔1〕由C是OB的中點求出時間，再求出點E的坐標，〔2〕連接CD交OP于點G，由?PCOD的對角線相等，求四邊形ADEC是平行四邊形．〔3〕當點C在BO上時，第一種情況，當點M在CE邊上時，由△EMF∽△ECO求解，第二種情況，當點N在DE邊上時，由△EFN∽△EPD求解；當點C在BO的延長線上時，第一種情況，當點M在DE邊上時，由EMF∽△EDP求解，第二種情況，當點N在CE邊上時，由△EFN∽△EOC求解；②當1≤t＜時和當＜t≤5時，分別求出S的取值范圍，解答：解：〔1〕∵OB=6，C是OB的中點，∴BC=OB=3，∴2t=3即t=，∴OE=+3=，E〔，0〕；〔2〕如圖，連接CD交OP于點G，在?PCOD中，CG=DG，OG=PG，∵AO=PE，∴AG=EG，∴四邊形ADEC是平行四邊形．〔3〕①〔Ⅰ〕當點C在BO上時，第一種情況：如圖，當點M在CE邊上時，∵MF∥OC，∴△EMF∽△ECO，∴=，即=，∴t=1，第二種情況：當點N在DE邊時，∵NF∥PD，∴△EFN∽△EPD，∴=，即=，∴t=，〔Ⅱ〕當點C在BO的延長線上時，第一種情況：當點M在DE邊上時，∵MF∥PD，∴△EMF∽△EDP，∴=即=，∴t=，第二種情況：當點N在CE邊上時，∵NF∥OC，∴△EFN∽△EOC，∴=即=，∴t=5．②＜S≤或＜S≤20．當1≤t＜時，S=t〔6﹣2t〕=﹣2〔t﹣〕2+，∵t=在1≤t＜范圍內(nèi)，∴＜S≤，當＜t≤5時，S=t〔2t﹣6〕=2〔t﹣〕2﹣，∴＜S≤20．24．〔2014?重慶〕如圖1，在?ABCD中，AH⊥DC，垂足為H，AB=4，AD=7，AH=．現(xiàn)有兩個動點E，F(xiàn)同時從點A出發(fā)，分別以每秒1個單位長度、每秒3個單位長度的速度沿射線AC方向勻速運動，在點E，F(xiàn)的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG與△ABC在射線AC的同側(cè)，當點E運動到點C時，E，F(xiàn)兩點同時停頓運動，設(shè)運動時間為t秒．〔1〕求線段AC的長；〔2〕在整個運動過程中，設(shè)等邊△EFG與△ABC重疊局部的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍；〔3〕當?shù)冗叀鱁FG的頂點E到達點C時，如圖2，將△EFG繞著點C旋轉(zhuǎn)一個角度α〔0°＜α＜360°〕，在旋轉(zhuǎn)過程中，點E與點C重合，F(xiàn)的對應(yīng)點為F′，G的對應(yīng)點為G′，設(shè)直線F′G′與射線DC、射線AC分別相交于M，N兩點．試問：是否存在點M，N，使得△CMN是以∠MCN為底角的等腰三角形假設(shè)存在，請求出CM的長度；假設(shè)不存在，請說明理由．分析：〔1〕利用平行四邊形性質(zhì)、勾股定理，求出DH、CH的長度，可以判定△ACD為等腰三角形，則AC=AD=7；〔2〕首先證明點G始終在直線AB上，然后分析運動過程，求出不同時間段內(nèi)S的表達式：①當0≤t≤時，如答圖2﹣1所示，等邊△EFG在△內(nèi)部；②當＜t≤4時，如答圖2﹣2所示，點G在線段AB上，點F在AC的延長線上；③當4＜t≤7時，如答圖2﹣3所示，點G、F分別在AB、AC的延長線上，點E在線段AC上．〔3〕因為∠MCN為等腰三角形的底角，因此只可能有兩種情形：①假設(shè)點N為等腰三角形的頂點，如答圖3﹣1所示；②假設(shè)點M為等腰三角形的頂點，如答圖3﹣2所示．解答：解：〔1〕∵?ABCD，∴CD=AB=4．在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH===2，∴CH=DH．∴AC=AD=7．〔2〕在運動過程中，AE=t，AF=3t，∴等邊△EFG的邊長EF=EG=GF=2t．如答圖1，過點G作GP⊥AC于點P，則EP=EG=t，GP=EG=t．∴AP=AE+EP=2t．∴tan∠GAC===．∵tan∠BAC=tan∠ACH===，∴tan∠GAC=tan∠BAC，∴點G始終在射線AB上．設(shè)∠BAC=∠ACH=θ，則sinθ==，cosθ==．①當0≤t≤時，如答圖2﹣1所示，等邊△EFG在△內(nèi)部．S=S△EFG=EF2=〔2t〕2=t2；②當＜t≤4時，如答圖2﹣2所示，點G在線段AB上，點F在AC的延長線上．過點B作BQ⊥AF于點Q，則BQ=AB?sinθ=4×=4，AQ=AB?cosθ=4×=8．∴CQ=AQ﹣AC=8﹣7=1．設(shè)BC與GF交于點K，過點K作KP⊥AF于點P，設(shè)KP=x，則PF==x，∴CP=CF﹣PF=3t﹣7﹣x．∵PK∥BQ，∴，即，解得：x=〔3t﹣7〕．∴S=S△EFG﹣S△CFK=t2﹣〔3t﹣7〕?〔3t﹣7〕=﹣t2+t﹣；③當4＜t≤7時，如答圖2﹣3所示，點G、F分別在AB、AC的延長線上，點E在線段AC上．過點B作BQ⊥AF于點Q，則BQ=AB?sinθ=4×=4，AQ=AB?cosθ=4×=8．∴CQ=AQ﹣AC=8﹣7=1．設(shè)BC與GF交于點K，過點K作KP⊥AF于點P，設(shè)KP=x，則EP==x，∴CP=EP﹣CE=x﹣〔7﹣t〕=x﹣7+t．∵PK∥BQ，∴，即，解得：x=〔7﹣t〕．∴S=S△CEK=〔7﹣t〕?〔7﹣t〕=t2﹣t+．綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=．〔3〕設(shè)∠ACH=θ，則tanθ===，cosθ==．當點E與點C重合時，t=7，∴等邊△EFG的邊長=2t=14．假設(shè)存在點M，N，使得△CMN是以∠MCN為底角的等腰三角形，①假設(shè)點N為等腰三角形的頂點，如答圖3﹣1所示，則∠NMC=∠MCN=θ．過點C作CP⊥F′M于點P，則CP=CF′=7．∴PM===14．設(shè)CN=MN=x，則PN=PM﹣MN=14﹣x．在Rt△CNP中，由勾股定理得：CP2+PN2=CN2，即：〔7〕2+〔14﹣x〕2=x2，解得：x=．過點N作NQ⊥CM于點Q，∴CM=2CQ=2CN?cosθ=2××=7；②假設(shè)點M為等腰三角形的頂點，如答圖3﹣2所示，則∠MNC=∠MCN=θ．過點C作CP⊥G′N于點P，則CP=CF′=7．∴PN===14．設(shè)CM=MN=x，則PM=PN﹣MN=14﹣x．在Rt△CMP中，由勾股定理得：CP2+PM2=CM2，即：〔7〕2+〔14﹣x〕2=x2，∴CM=x=．綜上所述，存在點M，N，使得△CMN是以∠MCN為底角的等腰三角形，CM的長度為7或．25．〔2014?溫州〕勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法〞給了小聰以靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法〞來證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．證明：連結(jié)DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b﹣a．∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a〔b﹣a〕∴b2+ab=c2+a〔b﹣a〕∴a2+b2=c2請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°．求證：a2+b2=c2證明：連結(jié)BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a〔b﹣a〕，∴ab+b2+ab=ab+c2+a〔b﹣a〕，∴a2+b2=c2．解答：證明：連結(jié)BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a〔b﹣a〕，∴ab+b2+ab=ab+c2+a〔b﹣a〕，∴a2+b2=c2．點評：此題主要考察了勾股定理得證明，表示出五邊形面積是解題關(guān)鍵．26．〔2014?寧波〕課本的作業(yè)題中有這樣一道題：把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎請畫示意圖說明剪法．我們有多少種剪法，圖1是其中的一種方法：定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線．〔1〕請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；〔假設(shè)兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種〕〔2〕△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設(shè)∠C=x°，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值；〔3〕如圖3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，請畫出△ABC的三分線，并求出三分線的長．分析：〔1〕45°自然想到等腰直角三角形，過底角一頂點作對邊的高，發(fā)現(xiàn)形成一個等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜邊的中線可形成兩個等腰三角形，則易得一種情況．第二種情形可以考慮題例中給出的方法，試著同樣以一底角作為新等腰三角形的底角，則另一底腳被分為45°和22.5°，再以22.5°分別作為等腰三角形的底角或頂角，易得其中作為底角時所得的三個三角形恰都為等腰三角形．即又一三分線作法．〔2〕用量角器，直尺標準作30°角，而后確定一邊為BA，一邊為BC，根據(jù)題意可以先固定BA的長，而后可確定D點，再標準作圖實驗﹣﹣分別考慮AD為等腰三角形的腰或者底邊，兼顧A、E、C在同一直線上，易得2種三角形ABC．根據(jù)圖形易得x的值．〔3〕因為∠C=2∠B，作∠C的角平分線，則可得第一個等腰三角形．而后借用圓規(guī)，以邊長畫弧，根據(jù)交點，尋找是否存在三分線，易得如圖4圖形為三分線．則可根據(jù)外角等于內(nèi)角之和及腰相等等情況列出等量關(guān)系，求解方程可知各線的長．解答：解：〔1〕如圖2作圖，〔2〕如圖3①、②作△ABC．①當AD=AE時，∵2x+x=30+30，∴x=20．②當AD=DE時，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．所以∠C的度數(shù)是20°或40°；〔3〕如圖4，CD、AE就是所求的三分線．設(shè)∠B=α，則∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，此時△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，設(shè)AE=AD=x，BD=CD=y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y=2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x=〔x+y〕：2，所以聯(lián)立得方程組，解得，即三分線長分別是和．27．〔2014?舟山〕類比梯形的定義，我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形〞．〔1〕：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形〞，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度數(shù)．〔2〕在探究“等對角四邊形〞性質(zhì)時：①小紅畫了一個“等對角四邊形〞ABCD〔如圖2〕，其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立．請你證明此結(jié)論；②由此小紅猜測：“對于任意‘等對角四邊形’，當一組鄰邊相等時，另一組鄰邊也相等〞．你認為她的猜測正確嗎假設(shè)正確，請證明；假設(shè)不正確，請舉出反例．〔3〕：在“等對角四邊形〞ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求對角線AC的長．分析：〔1〕利用“等對角四邊形〞這個概念來計算．〔2〕①利用等邊對等角和等角對等邊來證明；②舉例畫圖；〔3〕〔Ⅰ〕當∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，利用勾股定理求解；〔Ⅱ〕當∠BCD=∠DAB=60°時，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，求出線段利用勾股定理求解．解答：解：〔1〕如圖1∵等對角四邊形ABCD，∠A≠∠C，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；〔2〕①如圖2，連接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠AB