山西省晉中市榆次區(qū)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題含答案

山西省晉中市榆次區(qū)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．若向量，則（

）A． B．3 C． D．3．向量，若，則（

）A． B．C． D．4．已知點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，則等于（

）A． B． C．2 D．5．已知直線平面，且的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或 B． C．3 D．或36．在平行六面體中，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．7．已知是空間一點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且一個(gè)方向向量為，則到直線的距離為（

）A．1 B． C．2 D．38．在四棱錐中，平面，底面為矩形，.若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，此時(shí)二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線l的一個(gè)方向向量為，且l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．l的傾斜角等于 B．l在x軸上的截距等于C．l與直線垂直 D．l與直線平行10．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．向量與所成角的余弦值為C．平面AEF的一個(gè)法向量是D．點(diǎn)D到平面AEF的距離為三、填空題（本大題共3小題）12．直線，的斜率，是關(guān)于的方程的兩根，若，則實(shí)數(shù)．13．已知，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為.14．動(dòng)點(diǎn)在正方體從點(diǎn)開(kāi)始沿表面運(yùn)動(dòng)，且與平面的距離保持不變，則動(dòng)直線與平面所成角正弦值的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．在平行六面體中，設(shè)，，，分別是的中點(diǎn).(1)用向量表示；(2)若，求實(shí)數(shù)x，y，z的值.16．如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.17．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為，且.求：(1)的長(zhǎng)；(2)直線與所成角的余弦值.18．設(shè)直線l的方程為.(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；(2)若直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.19．如圖，三棱柱中，四邊形為菱形，，，側(cè)面?zhèn)让?，在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），為棱的中點(diǎn).(1)若為線段的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：∥平面；(2)若二面角的平面角的余弦值為，且，求的值.

參考答案1．【答案】D【分析】利用斜率和傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角.【詳解】設(shè)斜率為，傾斜角為，∵，，，∴.故選D.2．【答案】D【分析】先求得，然后根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求得.【詳解】由于向量，，所以，故故選D.【思路導(dǎo)引】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)計(jì)算求得，再根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.3．【答案】C【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于的方程組，解之即可求得的值.【詳解】因?yàn)椋?，由題意可得，所以則.故選C.【思路導(dǎo)引】根據(jù)題目條件列出關(guān)于的方程組，解方程組即可得到答案.4．【答案】A【分析】由點(diǎn)關(guān)于某坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征以及兩點(diǎn)距離公式即可求解.【詳解】點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，所以.故選A.5．【答案】A【分析】由直線平面，所以求解.【詳解】因?yàn)橹本€平面，所以或.故選A.【思路導(dǎo)引】由線面平行可得直線的方向向量與平面的法向量垂直，即，利用空間向量垂直的坐標(biāo)公式即可得到答案.6．【答案】C【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)結(jié)合空間向量基本定理求解即可.【詳解】因?yàn)槠叫辛骟w中，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，所以．故選C．7．【答案】C【分析】運(yùn)用空間點(diǎn)到線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】由題知，，，則到直線的距離為.故選C.8．【答案】C【分析】由線面垂直的性質(zhì)與判定可證得平面，進(jìn)而得到，設(shè)，，，利用勾股定理可得關(guān)于的方程，由方程有且僅有一個(gè)范圍內(nèi)的解，由求得的值；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，；設(shè)，，，，，，，即，關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)范圍內(nèi)的解，對(duì)稱軸為，，解得：，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，軸平面，平面的一個(gè)法向量；設(shè)平面的法向量，則令，解得：，，，，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.故選C.9．【答案】CD【分析】由直線的方向向量可求得直線的斜率，從而可求出直線的傾斜角和直線方程，依次判斷即可.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為()，則，所以，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，令，則，所以在軸上的截距為，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，所以，所以與直線垂直，所以C正確；因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率也為，且兩直線截距不等，故兩直線平行，所以D正確.故選CD.10．【答案】ABD【分析】由空間向量的基本定理和空間基底逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則此方程無(wú)解，所以，，不共面，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則此方程無(wú)解，所以，，不共面，故B正確；對(duì)于C，，所以，，共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則此方程無(wú)解，所以，，不共面，故D正確.故選ABD.11．【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，利用空間向量表示出，進(jìn)而求出；B選項(xiàng)，利用空間向量夾角公式求解；C選項(xiàng)，利用數(shù)量積為0進(jìn)行證明線線垂直，進(jìn)而得到答案；D選項(xiàng)，利用點(diǎn)到直線的空間向量公式進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，在正方體中，，，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，，又，所以平面的一個(gè)法向量是，故C正確；對(duì)于D，，則點(diǎn)D到平面AEF的距離為，故D正確.故選BCD.12．【答案】【詳解】因?yàn)椋倚甭蚀嬖?，所以，又，是關(guān)于的方程的兩根，所以，解得．故答案為：13．【答案】【分析】由投影向量的計(jì)算求解即可.【詳解】，，所以在上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：.14．【答案】【分析】因?yàn)槠矫嫫矫妫钥芍囊苿?dòng)軌跡，進(jìn)而可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，求解直線與平面所成角正弦值的取值范圍.【詳解】如圖，連接，易知，所以平面平面.因?yàn)辄c(diǎn)與平面的距離保持不變，所以點(diǎn)的移動(dòng)軌跡為的三條邊，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令則，所以，當(dāng)點(diǎn)在線段時(shí)，設(shè)，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，令，則，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn).當(dāng)在線段時(shí)，同理可求得，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.綜上所述，直線與平面所成角正弦值的取值范圍為.故答案為：.15．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用平行六面體的性質(zhì)，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得；（2）用表示，再利用空間向量基本定理求解即得.【詳解】（1）在平行六面體中，，由分別是的中點(diǎn)，得.（2），而，且不共面，所以.16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）直三棱柱中平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，A1,0,0，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，所以，即，又平面，所以平面.（2）因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算，表示出，根據(jù)向量模的計(jì)算，即可求得答案；（2）選定基底表示，求出向量的數(shù)量積以及它們的模，根據(jù)向量夾角公式求出的夾角的余弦值，即可求得直線與所成角的余弦值.【詳解】（1）由題意得，所以；（2），所以，，，，故，由于異面直線所成角的范圍為大于小于等于，所以直線與AC所成角的余弦值為.18．【答案】(1)或；(2)6，.【分析】（1）分截距是否為0兩種情況，求得參數(shù)a，即可得答案；（2）求出直線在坐標(biāo)軸上的截距，結(jié)合題意確定參數(shù)范圍，求出的面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)滿足條件，此時(shí)，解得，此時(shí)直線方程為.當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線斜率為，故，解得，可得直線l的方程為:.綜上所述，直線l的方程為或.（2）由題意知，令，解得，解得；令，解得，解得或，綜上有.∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).∴（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值是6，此時(shí)直線方程，即.19．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)的值為.【分析】（1）構(gòu)造平面∥平面，再利用面面平行的性質(zhì)得到線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的方法求出二面角的余弦值，列方程求即可.【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，在中，為中點(diǎn)，∴∥，∵為三棱柱，∴四邊形為平行四邊形，又分別為的中點(diǎn)，∴∥，又且，且，∴平面∥