陜西省西安市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷含答案

陜西省西安市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知為異面直線，平面，平面、，則（

）A．與都相交 B．與至少一條相交C．與都不相交 D．至多與中的一條相交2．如果實(shí)數(shù)，滿足等式，那么的最小值是（

）A． B． C． D．3．如圖，是正方體，，則與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．4．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：三角形的外心（中垂線的交點(diǎn)）、重心（中線的交點(diǎn)）、垂心（高的交點(diǎn)）在同一條直線上，后來(lái)，人們把這條直線稱(chēng)為歐拉線.若的頂點(diǎn)，則其歐拉線方程為（

）A． B．C． D．5．已知直線過(guò)點(diǎn)（1，3），若與軸，軸的正半軸圍成的三角形的面積為，則的值可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．66．已知點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．的最小值為D．的最大值為37．已知正三棱臺(tái)的側(cè)面積為6，，，則與平面ABC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．使方程組至少有一個(gè)解，且所有的解都是整數(shù)解的實(shí)數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是（

）A．66 B．78 C．72 D．70二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓，圓，則（

）A．圓與圓內(nèi)切B．直線是兩圓的一條公切線C．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為D．過(guò)點(diǎn)作圓的切線有兩條10．在三棱錐中，已知，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則（

）A．B．平面平面C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球的表面積為1111．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則（

）A．B．的最大值是5C．的取值范圍是D．的最大值是三、填空題（本大題共3小題）12．已知，其中若，則.13．為保護(hù)環(huán)境，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，鎮(zhèn)政府決定為三個(gè)自然村建造一座垃圾處理站，集中處理三個(gè)自然村的垃圾，受當(dāng)?shù)貤l件限制，垃圾處理站M只能建在與A村相距，且與C村相距的地方．已知B村在A村的正東方向，相距，C村在B村的正北方向，相距，則垃圾處理站M與B村相距．14．連接三角形三邊中點(diǎn)所得的三角形稱(chēng)為該三角形的“中點(diǎn)三角形”，定義一個(gè)多面體的序列；是體積為1的正四面體，是以的每一個(gè)面上的中點(diǎn)三角形為一個(gè)面再向外作正四面體所構(gòu)成的新多面體.則的體積為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)．(1)當(dāng)直線的傾斜角為銳角時(shí)，求的取值范圍；(2)若直線的方向向量為，求的值．16．已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)和，且圓心在直線上(1)求圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．17．已知圓，直線.(1)若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)直線反射，反射光線恰好平分圓的圓周，求反射光線的一般方程.(2)若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，，求的最小值.18．如圖，在直三棱柱中，△為邊長(zhǎng)為2的正三角形，為中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.(1)當(dāng)時(shí)，求證平面；(2)設(shè)為底面的中心，求直線與平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時(shí)的值.19．如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求直線的方程；(2)記點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（異于點(diǎn)），求證：直線恒過(guò)軸上一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)求四邊形的面積的取值范圍．

參考答案1．【答案】B【分析】由題意畫(huà)出滿足條件的圖象，結(jié)合異面直線的定義，得到正確選項(xiàng).【詳解】若與都不相交，則，，則，這與是異面直線矛盾；故C不正確；如圖，與中的一條相交，另一條不相交，

也可以與兩條都相交，但不交于同一點(diǎn)，如圖

綜上：與中的至少一條相交.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查判斷直線與直線的位置關(guān)系，意在考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題型.2．【答案】D【詳解】由題意可得設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線的斜率為，即直線方程為畫(huà)出圖形由圖可得當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率最小，圓心2,0，半徑為所以2k1+k2=3故選：D.3．【答案】A【分析】通過(guò)平移直線求得異面直線所成的角，再由余弦定理即可得解.【詳解】過(guò)點(diǎn)A在平面內(nèi)作，再過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，如圖，則或其補(bǔ)角即為與所成的角，因?yàn)槭钦襟w，不妨設(shè)，則，，所以在中，.故選：A.4．【答案】C【詳解】解：因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，可得的重心的坐標(biāo)為，由，可得，所以的垂直平分線所在直線的斜率為，可得的垂直平分線所在直線的方程為，又由，可得的垂直平分線所在直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，即的外心的坐標(biāo)為，則，所以的方程為，即，所以的歐拉線方程為.故選：C.5．【答案】D【詳解】由題意知直線在軸上的截距存在且大于，設(shè)直線的方程為，直線過(guò)點(diǎn)，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，故，所以.故選：D.6．【答案】A【詳解】對(duì)于A：構(gòu)造以為直徑的圓，其方程為.因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線與圓相離，所以在直線不存在點(diǎn)，使得，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B：設(shè)，由可得，，化簡(jiǎn)得，即，所以圓心為，半徑為，可判斷圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交所以存在點(diǎn)，使得，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)：設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由可解得，即，則，所以，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)與不共線時(shí)當(dāng)點(diǎn)與共線時(shí)，此時(shí)點(diǎn)，故D正確.故選:A.7．【答案】A【詳解】設(shè)中心為，中心為O，如圖，連接，由正棱臺(tái)的性質(zhì)可知，，平面，平面，則，在直角梯形中，過(guò)作，垂足為，則，則四邊形為平行四邊形，且平面.所以即為所求與平面ABC所成角.在等腰梯形中過(guò)作，垂足為，設(shè)，則，則，在中，，由正三棱臺(tái)側(cè)面積為，可知梯形的面積為，故，解得，則，在四邊形中，，則，則在中，.故側(cè)棱與平面所成角的余弦值為.故選：A.8．【答案】C【詳解】解：因?yàn)榍遥?，，，?2組整數(shù)解，對(duì)應(yīng)12個(gè)整點(diǎn)，即，，，，，，，，，，，.又因?yàn)楸硎静唤?jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，所以當(dāng)直線與圓相交于兩個(gè)整點(diǎn)時(shí)，共有條直線，且對(duì)應(yīng)有實(shí)數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為；當(dāng)直線與圓相切于一個(gè)整點(diǎn)時(shí)，共有條直線，且對(duì)應(yīng)有實(shí)數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為；綜上符合要求的實(shí)數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為.故選：C.9．【答案】BCD【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑；對(duì)于A，，，即，兩圓外切，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圓心到直線的距離，則與圓相切，圓心到直線的距離，則與圓相切，所以是兩圓的一條公切線，故B正確；對(duì)于C，直線恒過(guò)點(diǎn)，連接，過(guò)作，交于圓于點(diǎn)，如圖所示，則即為直線被圓截得的最短弦，則，由勾股定理得，，則，所以直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以在圓外部，所以過(guò)點(diǎn)作圓的切線有兩條，故D正確；故選：BCD．10．【答案】ABD【詳解】三棱錐中，已知，,三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖所示，則有，解得，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則有,所以，所以,故A選項(xiàng)正確；設(shè)平面的法向量為，,所以，則，即，同理可得，平面的法向量為，所以，所以，所以平面平面，故B選項(xiàng)正確；三棱錐，三棱錐，三棱錐，三棱錐，體積都為，三棱錐的體積等于長(zhǎng)方體體積減去這四個(gè)三棱錐體積為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，這個(gè)外接球也是三棱錐的外接球，其表面積為，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11．【答案】BCD【詳解】設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)Px,y，則,,所以,點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以,則,故A錯(cuò)誤；由，所以，故B正確；由，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).由三角不等式，，故的取值范圍是，故C正確；由，,則，所以,故D正確.故選：BCD12．【答案】【詳解】由題意可得，，，則.故答案為：13．【答案】或.【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出圓A的方程和圓C的方程，進(jìn)而求得兩圓公共弦的方程，聯(lián)立圓A的方程求得點(diǎn)M坐標(biāo)，進(jìn)而求得答案.【詳解】以A為原點(diǎn)，以為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，以A為圓心，以5為半徑作圓A，以C為圓心，以為半徑作圓C，則圓A的方程為：，圓C的方程為∶，即，∴兩國(guó)的公共弦方程為∶設(shè)，則，解得或，即或．∴或，故答案為∶或.14．【答案】【詳解】如圖，畫(huà)出了，因?yàn)橛?個(gè)面，則有24個(gè)面，歸納可知有個(gè)面，這個(gè)數(shù)即是到時(shí)增加的小正四面體的個(gè)數(shù)，由于新增加的每一個(gè)小正四面體的體積是前一個(gè)小正四面體體積的，歸納得到時(shí)增加的每個(gè)小正四面體的體積為，所以比的體積增加了，所以的體積為.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合兩點(diǎn)式求斜率，解不等式即可得出答案；（2）根據(jù)方向向量得，解方程即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)閮A斜角為銳角，則，又即，解得．（2）直線的方向向量為16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以弦的垂直平分線的斜率為又弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以弦的垂直平分線的方程為，即，與直線聯(lián)立解得：，，所以圓心坐標(biāo)為所以圓的半徑，則圓C的方程為：；（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)為，，為中點(diǎn)，所以，則，①；因?yàn)槎它c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，把①代入得：，所以線段的中點(diǎn)M的軌跡方程是.17．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)榍『闷椒謭A的圓周，所以經(jīng)過(guò)圓心，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則直線與直線垂直，且線段的中點(diǎn)在上，即，解得，所以，所以直線即為直線，且，所以直線方程為，即；（2）由已知點(diǎn)在直線上，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2)最大值為，此時(shí).【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槿庵鶠橹崩庵摇鳛檎切?，所以以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件得，，當(dāng)時(shí)，，，，，，即，又，而平面，平面.（2）由（1）知，，，為△的中心，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則令，則，此時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào))，，即直線與平面所成角正弦的最大值為，此時(shí)的值為.19．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)(3)【分析】（1）根據(jù)垂直求出的斜率，由點(diǎn)斜式即可解決；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組到韋達(dá)定理，找等量關(guān)系，由，得，再根據(jù)，即可解決；（3）分類(lèi)討論，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求得，由即可.【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，直線的斜率為2，