金融數(shù)學(xué)課件ch3 鞅

金融數(shù)學(xué)第三章鞅中國人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第三章鞅中國人民大學(xué)出版社PAGE40/57第三章鞅第三章鞅金融數(shù)學(xué)中國人民大學(xué)出版社鞅的起源鞅的起源(martingale)(doublegambling)，在該策略下，如果每次輸了就把下注的資金翻倍。對于公平賭博而言，如此反復(fù)最終總能贏錢。而在馬術(shù)上，鞅指的是套在馬頸上的韁繩（也稱馬頷韁，以防止馬甩頭，并借此控制馬的行進(jìn)方向。鞅的應(yīng)用鞅的應(yīng)用鞅(martingale)是一類重要的隨機(jī)過程。鞅的研究豐富了概率論的內(nèi)容，很多以往被認(rèn)為是復(fù)雜的東西，在納入鞅論的框架后得以簡化。近幾十年來，鞅理論不僅在隨機(jī)過程中占據(jù)重要的地位，而且在金融、保險等領(lǐng)域的實際問題中得到了廣泛的應(yīng)用。相關(guān)學(xué)者相關(guān)學(xué)者PaulP.LevyJosephL.DoobPaul-AndréMeyer1886–19711910–20041934–2003本章內(nèi)容本章內(nèi)容1條件期望12鞅的概念和性質(zhì)離散鞅2連續(xù)鞅

鞅的金融學(xué)意義可選抽樣定理3停時的含義可選抽樣定理3定理的應(yīng)用舉例條件期望的概念條件期望的概念條件期望XYN次發(fā)生的事{Z1Z2ZN}n次事件的信息集為條件，得(conditionalexpectation)條件期望En(X)=E(X|Z1,Z2,...,Zn), En(Y)=E(Y|Z1,Z2,...,Zn)可測的概念可測的概念條件期望隨機(jī)變量En(X)的值，僅與Z1,Z2,...,Zn條件期望En(X)=E(X|Z1,Z2,...,Zn)=f(Z1,Z2,...,Zn)f(·En(XZ1Z2Zn的En(XZ1Z2Zn(measurable)。條件期望的性質(zhì)條件期望的性質(zhì)條件期望線性性質(zhì)(linearity)：對于所有常數(shù)c1和c2，以下等式成立：條件期望En(c1X+c2Y)=c1En(X)+c2En(Y)提取已知量(takingoutwhatisknown)：若X的取值只依賴于n次事件的信息集，則：En(XY)=X·En(Y)在這里，X在n次事件的信息集下是可測的，從而可以從條件期望中提取出來。條件期望的性質(zhì)條件期望的性質(zhì)(cont.)條件期望累次條件期望(iteratedconditioning)：若0≤n≤m≤N，則有：條件期望En[Em(X)]=En(X)從中可以看出，X的條件期望，取決于信息集中最小者。特別是針對無條件期望而言，有：E[Em(X)]=E(X)(independence)X(n1)N次事件所構(gòu)成的{Zn+1Zn+2ZN}，則有：En(X)=E(X)因為此處的條件與隨機(jī)變量X無關(guān)。條件期望的性質(zhì)條件期望的性質(zhì)(cont.)條件期望詹森（Jensen）不等式：如果?(·)是凸函數(shù)，則下列不等式成立條件期望En[?(X)]≥?(En(X))?(x)x?(x)x1E(x)x2?(x2)E[?(x)]?(x1)?[E(x)]x離散鞅的概念離散鞅的概念離散鞅鞅的概念和性質(zhì)假設(shè)有一個隨機(jī)序列{Xn},n=0,1,2,...，若對?n≥離散鞅鞅的概念和性質(zhì)E|Xn|<∞，并且E(Xn+1|Xn,...,X2,X1)=Xn離散鞅具有某種無后效性，并且隨機(jī)變量Xn+1對之前所有信息下的條件期望，只取決于n時刻的Xn離散鞅具有某種無后效性，并且隨機(jī)變量Xn+1對之前所有信息下的條件期望，只取決于n時刻的Xn，而與n時刻之前的隨機(jī)變量序列X0,X1,...,Xn?1無關(guān)，并且該條件期望剛好等于n時刻的隨機(jī)變量Xn。注意：對比：馬氏過程對比：馬氏過程離散鞅鞅的概念和性質(zhì)離散鞅的表達(dá)式：E(Xn+1|Xn,...,X2,X1)=X離散鞅鞅的概念和性質(zhì)馬氏過程的表達(dá)式：P(Xn+1|Xn,...,X2,X1)=P(Xn+1|Xn)對于布朗運動而言，其既是馬氏過程也是鞅。注意：進(jìn)行對比可知：鞅是通過條件期望定義的，側(cè)重于未來結(jié)果的公平性；馬氏過程則是通過條件概率定義的，側(cè)重于過程的無記憶性，因此兩者之間并無太多的相關(guān)性。對于布朗運動而言，其既是馬氏過程也是鞅。注意：例子：對稱隨機(jī)游走例子：對稱隨機(jī)游走離散鞅鞅的概念和性質(zhì)假設(shè)單位時間內(nèi)，某粒子在一維坐標(biāo)上可能向左或向右游走一個單+150%Xi離散鞅鞅的概念和性質(zhì)P(Xi=+1)=P(Xi=?1)=0.5nSnX1X2···Xn，并且S00。Sn+1=Sn+Sn+1=Sn+Xn+1提示：對稱隨機(jī)游走證明對稱隨機(jī)游走證明離散鞅鞅的概念和性質(zhì)根據(jù)Sn+1=Sn+Xn離散鞅鞅的概念和性質(zhì)E(Sn+1|S0,S1,...,Sn)=E(Sn+Xn+1|S0,S1,...,Sn)=E(Sn|S0,S1,...,Sn)+E(Xn+1|S0,S1,...,Sn)=E(Sn|S0,S1,...,Sn)+E(Xn+1)=Sn+[0.5×(+1)+0.5×(?1)]=SnS0S1SnE(Xn+1|S0,S1,...,Sn)=E(Xn+1)對稱隨機(jī)游走證明對稱隨機(jī)游走證明(cont.)離散鞅離散鞅鞅的概念和性質(zhì)1「1n 171XXi

（n ＼ EEE(|Sn|)=E因此，Sn是鞅。

1i=1 1≤

ni=1n

|Xi|

=i=1

E(|Xi|)=n<∞定義和定理定義和定理定義離散鞅鞅的概念和性質(zhì){Xn{Ynn012定義離散鞅鞅的概念和性質(zhì)1E|Xn|<∞；2Xn是關(guān)于Y0,Y1,...,Yn的函數(shù)；3E(Xn+1|Yn,...,Y1,Y0)=Xn。定理則稱{Xn}是關(guān)于{Yn}的鞅。定理{{Xt}是關(guān)于{Yt}鞅的充要條件為：?m,n(m>n>0)，有：E[Xm|Y0,Y1,...,Yn]=Xn鞅的推論鞅的推論1根據(jù)鞅的定義有：E(cn+1|Y0,Y1,...,Yn)=E(c|Y0,Y根據(jù)鞅的定義有：E(cn+1|Y0,Y1,...,Yn)=E(c|Y0,Y1,...,Yn)=c=cn因此，{cn}為鞅。簡要證明離散鞅鞅的概念和性質(zhì)鞅的推論鞅的推論2簡要證明離散鞅鞅的概念和性質(zhì)若{Xn}為鞅，則對任意n≥0，有：EXn=EX簡要證明離散鞅鞅的概念和性質(zhì) l由于{Xn}為鞅，因此E(Xn+1|Yn,...,Y1,Y0)=X lEE(Xn+1|Yn,...,Y1,Y0)=E(Xn) l根據(jù)前面條件期望的性質(zhì) lEE(Xn+1|Yn,...,Y1,Y0)=E(Xn+1)因此，E(Xn+1)=E(Xn)。依此類推，最終可得：E(Xn+1)=E(Xn)=···=E(X1)=E(X0)由此可見，若隨機(jī)過程{Xn}是鞅，則其期望值不隨時間而發(fā)生改變。例子：公平賭博的雙倍下注問題例子：公平賭博的雙倍下注問題離散鞅鞅的概念和性質(zhì)MnnM00Xnn次賭博的結(jié)果，Xn1表示贏錢；Xn?離散鞅鞅的概念和性質(zhì)由于是公平賭博，因此，P(Xn=1)=P(Xn=?1)=0.5，這里賭博的規(guī)則是：如果輸錢，則下次下注翻倍；一旦贏錢就離開賭場。n次賭博均輸錢，則輸?shù)舻目偨痤~為：1+2+22+···+2n?1=2n?1 ? Mn=?2n+1公平賭博的雙倍下注問題公平賭博的雙倍下注問題(cont.)離散鞅鞅的概念和性質(zhì)如果下一次贏錢，則可得2n離散鞅鞅的概念和性質(zhì)Mn+1=2n?(2n?1)=1如果下一次仍然輸錢，則：Mn+1=?2n?(2n?1)=?2n+1+1由此可得：1 1 （ ）E(Mn |Mn)= ×1+ ×?2n+1+1=?2n+1=Mn+1 2 2可見，Mn是鞅。例子：波利亞壇子例子：波利亞壇子(Polya’surn)問題離散鞅鞅的概念和性質(zhì)考慮一個裝有紅黃兩色小球的壇子。在初始狀態(tài)下，紅黃小球各一個，每次從中抽取一個小球并放回。若拿出的是紅色小球，則放回后再XnnX0離散鞅鞅的概念和性質(zhì)P(Xn+1

k=k+1|Xn=k)=n+2

, P(Xn+1

k=k|Xn=k)=1?n+2MnnMnXn/(n2)，試證明Mn是一個關(guān)于{Xn}的鞅。波利亞壇子問題求解波利亞壇子問題求解離散鞅離散鞅鞅的概念和性質(zhì)E(Xn+1|Xn=k)=(k+1)·P(Xn+1=k+1|Xn=k)=(k+1)·k+k·（1?k＼+k·=(k+1)·k+k·（1?k＼n+2k

n+2因此：

=k+n+2E(Xn+1

Xn|Xn)=Xn+n+2波利亞壇子問題求解波利亞壇子問題求解(cont.)離散鞅鞅的概念和性質(zhì)由于Mn=Xn離散鞅鞅的概念和性質(zhì)n+2E(Mn

|X,...,Xn)=E（Xn+11X,...,Xn＼+1111+1111=n+3E(Xn+1|Xn)n+31=1（Xnn+31n+3Xn=n+2=Mn因此，Mn是一個關(guān)于{Xn}的鞅。

n+2連續(xù)鞅的引入連續(xù)鞅的引入連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)可積(integrable)；域流(filtration)。可積的定義連續(xù)鞅可積的定義連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)可積的概念可積的概念對于一個隨機(jī)變量對于一個隨機(jī)變量X1若E|X|<∞，則稱X是可積的(integrable)；2若E(X2)<∞，則稱X是平方可積的(squareintegrable)。根據(jù)可積的定義可知：E(X)≤E|X|<∞因此，當(dāng)隨機(jī)變量X可積時，其期望值必然是有限的。類似地，當(dāng)X是平方可積時，其方差也必然是有限的。域流的定義連續(xù)鞅域流的定義連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)域流的概念域流的概念Tt[0T]σ代數(shù)F(t0stTF(s)F(t成立，則{F(t)},t[0Tσ(filtration)。F(t[0t(information)。隨著時間的推移，信息量逐漸增加，體現(xiàn)為新時刻包含了舊時刻的所有信息。由這些{F(0)F(1)F(t)F(0)F(1)···F(t)?；跅l件期望的結(jié)論基于條件期望的結(jié)論連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)對于可積隨機(jī)變量X和Y連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)E[c1X+c2Y|F]=c1E[X|F]+c2E[Y|F]其中：c1和c2是常數(shù)。若X和Y是可積隨機(jī)變量，XY可積，并且X為F可測，則有：E[XY|F]=XE[Y|F], E[X|F]=X由于X為F可測，因此F中所包含的信息足以確定X的值。基于條件期望的結(jié)論基于條件期望的結(jié)論(cont.)連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)若可積隨機(jī)變量X與F連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)E[X|F]=E[X]由于X與F獨立，因此F中所包含的信息無法確定X的值。若F?G，則對于可積隨機(jī)變量X，下式成立：EE[X|G]|Fl=E[X|F]這里由于F?G，因此F中所包含的信息要小于G，于是最終的條件期望取決于信息量較少的F?；跅l件期望的結(jié)論基于條件期望的結(jié)論(cont.)連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)若?(x)是關(guān)于x的凸函數(shù)，且X連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)注意：E?(X)|Fl≥?（E[|F]）注意：該結(jié)論是前面所介紹的條件期望之該結(jié)論是前面所介紹的條件期望之Jensen不等式的直接推廣。連續(xù)鞅的定義連續(xù)鞅的定義連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì){?FPMt滿足以下三個條件，則稱其{F(t)連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)對任意t，有E|Mt|<∞，即Mt是可積的；Mt對任意t均是F(t)可測的(measurable)；若s<t，則E[Mt|F(s)]=Ms, a.s.原公式等價公式連續(xù)鞅原公式等價公式連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)兩個等價公式兩個等價公式E[E[Mt|F(s)]=MsE[Mt?Ms|F(s)]=0E「MtMs1F(s)=1l例：泊松過程是鞅例：泊松過程是鞅思路：連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)假設(shè)泊松過程{N(t),t≥0}的強(qiáng)度為λ，試證：N(t)?λt思路：連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)設(shè)s>t，記X(t)=N(t)?λt，可得： l l1E[X(s)?X(t)|F(t)]=EsN(s)?λs?N(t) l l1=Es(s)?(t)l1F()1?(λs?λt)簡要證明簡要證明連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì) l根據(jù)泊松過程的增量獨立性，N(s)?N(t)與F連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì) lE[X(s)?X(t)|F(t)]=EN(s)?N(t)?λ(s?t)=EN(s)?EN(t)?λ(s?t)=λs?λt?λ(s?t)=0因此，X(t)=N(t)?λt是一個鞅。更進(jìn)一步地，還可以驗證X(t)可積，即：E|X(t)|=E|N(t)?λt|≤E[(t)+λt]=E(t)+λt=2λt<∞定義連續(xù)鞅定義連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)上鞅和下鞅上鞅和下鞅對于隨機(jī)過程對于隨機(jī)過程Mt，若s<t并且滿足：1E[Mt|F(sMsMt(submartingale)；2E[Mt|F(sMsMt(supermartingale)；對于下鞅而言下式成立：E[Mt]≥E[Ms], s<t不難看出，隨著時間的流逝，Mt的期望值趨向于增大；相反對于上鞅，Mt的期望值趨向于減小。上鞅和下鞅的含義上鞅和下鞅的含義連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)相比之下，上鞅則意味著賭徒贏錢的期望值隨時間而減小，因此是(劣賭)；下鞅意味著賭徒贏錢的期望值隨時間而增大，因此(優(yōu)賭)。布朗運動與鞅布朗運動與鞅連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)對于布朗運動W(t)而言，當(dāng)0連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)E[W(t)|F(s)]=E[W(t)?W(s)+W(s)|F(s)]=E[W(t)?W(s)|F(s)]+E[W(s)|F(s)]=E[W(t)?W(s)]+W(s)=W(s)其中：W(t)?W(s)與F(s)獨立，并且W(s)是F(s)可測。因此：布朗運動W(t)是關(guān)于F(t)的鞅。鞅的金融學(xué)意義鞅的金融學(xué)意義鞅的金融學(xué)意義鞅的概念和性質(zhì)E[X(t+u)?X(t)|F(t)]=E[X(t+u)|F(t)]?E[X(t)|F(鞅的金融學(xué)意義鞅的概念和性質(zhì)=X(t)?X(t)=0由于鞅在未來的移動方向是不可能被預(yù)測的，因此，如果觀測到一(trajectory)有明顯的趨勢性傾向或周期性規(guī)律，那么，該隨機(jī)過程一定不是鞅。(EMH)認(rèn)為，如果無法利用市場的歷史信息對未來資產(chǎn)價格的走勢做出任何預(yù)測，則這樣的市場就是有效的。這一概念與鞅的含義不謀而合。鞅的金融學(xué)意義鞅的金融學(xué)意義(cont.)鞅的金融學(xué)意義鞅的概念和性質(zhì)在金融工程當(dāng)中，往往基于無套利分析法對金融產(chǎn)品進(jìn)行定價。在有效市場中套利機(jī)會是不存在的，正因如此，鞅可以看作無套利的數(shù)學(xué)鞅的金融學(xué)意義鞅的概念和性質(zhì)對常見的金融資產(chǎn)價格進(jìn)行分析，會發(fā)現(xiàn)它們并非都滿足鞅的特性。比如熟悉的歐式期權(quán)，其時間價值會因為合約到期日的臨近而趨于減少，因此歐式期權(quán)的價值滿足上鞅。停時的含義停時的含義停時的含義可選抽樣定理一個定義在正實數(shù)域上的隨機(jī)變量，記作停時的含義可選抽樣定理{τ>t}∈F(t), t>0說明：則稱τ是停時。說明：關(guān)于{τ>t}這一事件的信息只取決于F(t)中的信息。換句話說，若在tτtt時刻停時仍未發(fā)生，則τ>t[0t時間段隨機(jī)變量的所有信F(t)。定理定理簡要證明：停時的含義可選抽樣定理τθτθτθ簡要證明：停時的含義可選抽樣定理由于τ和θ均是停時，因此滿足：{τ>t}∈F(t), {θ>t}∈F(t) t>0因此：{(τ∧θ)>t}={τ>t并且θ>t}={τ>t}∩{θ>t}∈F(t){(τ∨θ)>t}={τ>t或者θ>t}={τ>t}∪{θ>t}∈F(t)最后的變換來自σ-代數(shù)的性質(zhì)：對交集和并集運算封閉。因而τ∧θ和τ∨θ都是停時。定義：停時的含義定義：停時的含義可選抽樣定理首中時刻與停時首中時刻與停時過程過程Xt首次到達(dá)x處的時刻即首中時刻，定義如下：τx=min{t:t>0,Xt=x}首中時刻可看作停時的一個特例。在時間離散時，{τxt表示首xttXsx處，即：{τx>t}={Xs x,0≤s≤t}={X0?=x}∩{X1?=x}∩···∩{Xt?=x}∈F(t), t∈N首中時刻首中時刻(cont.)停時的含義可選抽樣定理過程到達(dá)x或停時的含義可選抽樣定理τx,y=min{t:t>0,Xt=x或Xt=y}注意：（ 注意：（ ∈ ]τ=mint [0,T]:Xt=maxXs∈[0,T{ } F即：在[0,T]時間段內(nèi)，首次到達(dá)該區(qū)間最大值的對應(yīng)時點。因為在該時間段內(nèi)，決定τ>t這一事件是否成立的信息 (t)還不充分。類似地，以下隨機(jī)變量τx{ } Fτx=max{t:t>0,Xt=x}即：在(0,∞)時間段內(nèi)，最后一次到達(dá)x處的時間。停時的直觀理解停時的直觀理解停時的含義可選抽樣定理2020元的前一天收盤前把它賣了”就不是一個停時規(guī)則，停時的含義可選抽樣定理停止過程停止過程停時的含義可選抽樣定理Zt是定義在正實數(shù)域上的隨機(jī)過程，并且τ是其上的停時，則定義停止過程（stoppedprocess）Zt∧τ停時的含義可選抽樣定理Zt∧τ

=Zτ, t≥τZt, t<τ停止過程在金融衍生產(chǎn)品的研究中常用于刻畫障礙期權(quán)問題，比如對于其中的敲出期權(quán)而言，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的價格達(dá)到障礙價格時，該期權(quán)自動廢止，相應(yīng)的資產(chǎn)價格變動的過程停留在期權(quán)廢止的時間，此時停τt；若在該期權(quán)到期前，標(biāo)的資產(chǎn)價格t終止，于是標(biāo)的資產(chǎn)達(dá)到τt?？蛇x抽樣定理可選抽樣定理(optionalsamplingtheorem)對任意停時0<τ≤t，可得：E(Mτ)=E(Mτ∧t)=E(Mτ∧0)=E(對任意停時0<τ≤t，可得：E(Mτ)=E(Mτ∧t)=E(Mτ∧0)=E(M0)注意：可選抽樣定理可選抽樣定理可選抽樣定理的證明可選抽樣定理的證明可選抽樣定理可選抽樣定理可選抽樣定理E[Mt|F(t?1)]=Mt?1停止過程Mt∧τ可以拆分成兩個部分，具體如下：M =M1

+M1

=Mτ, τ<t其中，

t∧τ τ{τ<t}

t{τ≥t}、t?1、

Mt, τ≥tMτ1{τ<t}= Mn1{τ=n}n=1金融數(shù)學(xué)第三章鞅中國人民大學(xué)出版社金融數(shù)學(xué)第三章鞅中國人民大學(xué)出版社47/57可選抽樣定理的證明可選抽樣定理的證明(cont.)可選抽樣定理可選抽樣定理可選抽樣定理E[M∧τ|F(t?1)]=EMτ1{τ<t}|F(t?1)l+EMt1{τ≥t}|F(t?1)lt?1n=1、EMn1{τ=n}|F(t1)lEMt1{τ≥t}|F(tt?1n=1上式當(dāng)中，由于n≤t?1，故Mn1{τ=n}是F(t?1)可測的，另外EMt1{τ≥t}|F(t?1)l=1{τ≥t}EEMt1{τ≥t}|F(t?1)l=1{τ≥t}E[Mt|F(t?1)]=1{τ≥t}Mt?1EMn1{τ=n}|F(t?1)l=Mn1{τ=n}注意：金融數(shù)學(xué)第三章鞅中國人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第三章鞅中國人民大學(xué)出版社PAGE53/57可選抽樣定理的證明可選抽樣定理的證明(cont.)可選抽樣定理可選抽樣定理可選抽樣定理t?1n=1E[t∧τ|F(t?1)]=、n1{τn}+1{τ≥t}M?n=1、t?2、= Mn1{τ=n}+1{τ=t?1}Mt?1+1{τ≥t}Mt?1n=1、t?2、= Mn1{τ=n}+Mt?11{τ≥t?1}n=1=M(t?1)∧τ因此，停止過程Mt∧τ是鞅。布朗運動首中概率的計算布朗運動首中概率的計算定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理aba<bX(t0時刻位于x處［(0)=x，并且a≤x≤定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理X(t)=x+W(t)記布朗運動首次擊中a或b的時間為τa,b，該時刻即為停時：τa,b=記布朗運動首次擊中a或b的時間為τa,b，該時刻即為停時：τa,b=min｛t:t≥0,X(t)=a或X(t)=b｝思路：解答：解答：定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理由于X(t)是鞅，因此根據(jù)可選抽樣定理，停止過程X(τa,b∧t)也是鞅。另外X(0)=x,a≤x≤定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理E[(τa,b)|(0)=x]=E[(0)|(0)=x]=x運用全概率公式可得：E[(τa,b)|X(0)=x]=a·P[(τa,b=)|(0)=x]+b·P[X(τa,b=b)|X(0)=x]=x解答解答(cont.)定理的應(yīng)用舉例定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理P[X(τa,b=a)|X(0)=x]+P[X(τa,b=b)|X(0)=x]=1將兩式聯(lián)立，可得：,P[X(τab=a)|X(0)=x]=b?x,b?a,P[X(τab=b)|X(0)=x]=1?b?x=x?a,b?a b?a布朗運動首中的期望時間計算布朗運動首中的期望時間計算定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理aba<bX(t0時刻位于x處［(0)=x，并且a≤x≤定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理X(t)=x+W(t)利用W2(t)?t是鞅的性質(zhì)。思路：求布朗運動X利用W2(t)?t是鞅的性質(zhì)。思路：解答：解答：定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理 l lW2(t定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理 l lEX2(t)?t|X(0)=x=EX2(0)?0|X(0)=x=X2(0)=x2 ? |根據(jù)可選抽樣定理，停時X2(τa,b) ? |x2=EX2(τa,b) τa,bX(0)