第一章空間向量與立體幾何重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期講與練(人教A版2019選擇性)（原卷版）

第一章：立體幾何與空間向量重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)題型一空間向量的線性表示【例1】如圖，在斜三棱柱中，M為BC的中點(diǎn)，N為靠近的三等分點(diǎn)，設(shè)，，，則用，，表示為（）A．B．C．D．【變式11】如圖，設(shè)，，，若，，則（）A．B．C．D．【變式12】如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)在上，且，則等于（）A．B．C．D．【變式13】如圖，在四面體中，，，，且，，則（）A．B．C．D．題型二空間向量的共面問題【例2】（多選）給出下列四個(gè)命題，其中是真命題的有（）A．若存在實(shí)數(shù)，，使，則與，共面；B．若與，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使；C．若存在實(shí)數(shù)，，使則點(diǎn)，，A，共面；D．若點(diǎn)，，A，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使．【變式21】已知O為空間任意一點(diǎn)，A、B、C、P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則m的值為（）A．B．2C．D．【變式22】已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（）A．B．C．D．【變式23】，若三向量共面，則實(shí)數(shù)（）A．3B．2C．15D．5【變式24】如圖所示，在長方體中，為的中點(diǎn)，，且，求證：四點(diǎn)共面．題型三空間向量的數(shù)量積問題【例3】如圖，三棱錐中，和都是等邊三角形，，，為棱上一點(diǎn)，則的值為（）A．B．1C．D．【變式31】四邊形ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，連接AC，BD，SB，SC，SD，下列各組運(yùn)算中，不一定為零的是（）A．B．C．D．【變式32】已知、都是空間向量，且，則（）A．B．C．D．【變式33】四棱柱的底面是邊長為1的菱形，側(cè)棱長為2，且，則線段的長度是（）A．B．C．3D．【變式34】如圖，在大小為60°的二面角中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是______．題型四空間向量的對稱問題【例4】求點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【變式41】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【變式42】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【變式43】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則（）A．B．C．D．題型五利用空間向量證明平行與垂直【例5】已知四棱錐中，底面為正方形，平面，，，、分別為、的中點(diǎn).求證：；【變式51】如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．求證：平面；【變式52】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，，平面平面，且，為的中點(diǎn)，證明：平面平面.【變式53】在如圖所示的五面體中，面是邊長為的正方形，面，，且，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn).求證：平面.題型六利用空間向量計(jì)算空間角【例6】在正方體中，直線與AC所成角的余弦值為______．【變式61】如圖，在四棱柱中，平面，底面滿足，且.（1）求證:平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值.【變式62】如圖所示，在四棱錐PABCD中，，且，若，，則二面角APBC的余弦值為______．【變式63】如圖，已知AB為圓錐SO底面的直徑，點(diǎn)C在圓錐底面的圓周上，，，BE平分，D是SC上一點(diǎn)，且平面平面SAB．（1）求證：；（2）求平面EBD與平面BDC所成角的余弦值．題型七利用空間向量計(jì)算空間距離【例7】長方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（）A．B．C．D．【變式71】如圖，在長方體中，，，若為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為______．【變式72】如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，邊長為2，，平面，異面直線與所成的角為60°，若為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為______．【變式73】空間直角坐標(biāo)系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（）A．B．C．D．題型八利用空間向量探究動點(diǎn)存在問題【例8】如圖，在四棱錐中，底面，底面是梯形，，且，，．（1）求二面角的大??；（2）已知為中點(diǎn)，問：棱上是否存在一點(diǎn)，使得與垂直？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．【變式81】如圖，在矩形ABCD中，，，E為邊AD上的動點(diǎn)，將沿CE折起，記折起后D的位置為P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折線CE上．（1）設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，的面積最??？（2）當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，在線段BC上是否存在一點(diǎn)F，使平面平面POF，若存在求出BF的長，若不存在，請說明理由．【變式82】如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，分別是棱上的點(diǎn)，且．（1）求證：直線平面；（2