高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1兩角和與差的正弦余弦和正切公式第2課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版必修4

3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（第2課時(shí)）3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）一、教學(xué)分析1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在探討了兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討具有“兩角和差”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的.在這些公式的推導(dǎo)中，教科書都把比照、比較有關(guān)的三角函數(shù)式，認(rèn)清其區(qū)分，找尋其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點(diǎn)，如比較cos(α-β)與cos(α+β),它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運(yùn)算或換元的角度看都有內(nèi)在聯(lián)系，即α+β=α-(-β)的關(guān)系，從而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比較sin(α-β)與cos(α-β)，它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同，這就要求進(jìn)行函數(shù)名的互化，利用誘導(dǎo)公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通過對(duì)“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導(dǎo)，揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，還使學(xué)生加深了數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、證明方法的理解.因此本節(jié)內(nèi)容也是培育學(xué)生運(yùn)算實(shí)力和邏輯思維實(shí)力的重要內(nèi)容，對(duì)培育學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新實(shí)力，發(fā)覺問題和解決問題的實(shí)力都有著非常重要的意義.3.本節(jié)的幾個(gè)公式是相互聯(lián)系的，其推導(dǎo)過程也充分說明白它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟它們的這種聯(lián)系，從而加深對(duì)公式的理解和記憶.本節(jié)幾個(gè)例子主要目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培育他們良好的思維習(xí)慣，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地對(duì)學(xué)生的思維習(xí)慣進(jìn)行引導(dǎo)，例如在面對(duì)問題時(shí)，要留意先仔細(xì)分析條件，明確要求，再思索應(yīng)當(dāng)聯(lián)系什么公式，運(yùn)用公式時(shí)要具備什么條件等.另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最終結(jié)果而不顧過程表述的正確性、簡(jiǎn)捷性等，這些都是培育學(xué)生三角恒等變換實(shí)力所不能忽視的.二、三維目標(biāo)1．學(xué)問與技能在學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，通過讓學(xué)生探究、發(fā)覺并推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強(qiáng)化題目的訓(xùn)練，加深對(duì)公式的理解，培育學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力及邏輯推理實(shí)力，從而提高解決問題的實(shí)力.2．過程與方法通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)潔的求值、化簡(jiǎn)、恒等證明，使學(xué)生深刻體會(huì)聯(lián)系改變的觀點(diǎn)，自覺地利用聯(lián)系改變的觀點(diǎn)來分析問題，提高學(xué)生分析問題解決問題的實(shí)力.3．情感看法與價(jià)值觀通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生駕馭找尋數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，提高學(xué)生的視察分析實(shí)力，培育學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo).教學(xué)難點(diǎn)：敏捷運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明.四、課時(shí)支配2課時(shí)五、教學(xué)設(shè)想第1課時(shí)（一）導(dǎo)入新課思路1.(舊知導(dǎo)入)老師先讓學(xué)生回顧上節(jié)課所推導(dǎo)的兩角差的余弦公式，并把公式默寫在黑板上或打出幻燈片,留意有意識(shí)地讓學(xué)生寫整齊.然后老師引導(dǎo)學(xué)生視察cos(α-β)與cos(α+β)、sin(α-β)的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行由舊知推出新知的轉(zhuǎn)化過程，從而推導(dǎo)出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本節(jié)課我們共同探討公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.思路2.(問題導(dǎo)入)老師出示問題，先讓學(xué)生計(jì)算以下幾個(gè)題目，既可以復(fù)習(xí)回顧上節(jié)所學(xué)公式，又為本節(jié)新課作打算.若sinα=，α∈(0,)，cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.學(xué)生利用公式C（α-β）很簡(jiǎn)潔求得cos（α-β），但是假如求cos（α+β）的值就得想法轉(zhuǎn)化為公式C（α-β）的形式來求，此時(shí)思路受阻,從而引出新課題，并由此綻開聯(lián)想探究其他公式.（二）推動(dòng)新課、新知探究、提出問題①還記得兩角差的余弦公式嗎？請(qǐng)一位同學(xué)到黑板上默寫出來.②在公式C(α-β)中，角β是隨意角，請(qǐng)學(xué)生思索角α-β中β?lián)Q成角-β是否可以？此時(shí)視察角α+β與α-(-β)之間的聯(lián)系，如何利用公式C(α-β)來推導(dǎo)cos(α+β)=?③分析視察C(α+β)的結(jié)構(gòu)有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基礎(chǔ)上能否推導(dǎo)sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S(α-β)、S(α+β)的結(jié)構(gòu)特征如何？⑥對(duì)比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推導(dǎo)出tan(α-β)=?tan（α+β）=？⑦分析視察公式T(α-β)、T(α+β)的結(jié)構(gòu)特征如何？⑧思索如何敏捷運(yùn)用公式解題？活動(dòng)：對(duì)問題①，學(xué)生默寫完后，老師打出課件，然后引導(dǎo)學(xué)生視察兩角差的余弦公式，點(diǎn)撥學(xué)生思索公式中的α,β既然可以是隨意角，是怎樣隨意的？你會(huì)有些什么樣的奇異想法呢？激勵(lì)學(xué)生大膽猜想，引導(dǎo)學(xué)生比較cos(α-β)與cos(α+β)中角的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生有的會(huì)發(fā)覺α-β中的角β可以變?yōu)榻?β，所以α-(-β)=α+β〔也有的會(huì)依據(jù)加減運(yùn)算關(guān)系干脆把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.這時(shí)老師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)移到公式C(α-β)上來,這樣就很自然地得到cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.所以有如下公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ我們稱以上等式為兩角和的余弦公式，記作C(α+β).對(duì)問題②，老師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心視察公式C(α+β)的結(jié)構(gòu)特征,可知“兩角和的余弦，等于這兩角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時(shí)讓學(xué)生對(duì)比公式C(α-β)進(jìn)行記憶，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.對(duì)問題③，上面學(xué)生推得了兩角和與差的余弦公式，老師引導(dǎo)學(xué)生視察思索，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來實(shí)現(xiàn)正、余弦的互化呢？學(xué)生可能有的想到利用誘導(dǎo)公式⑸⑹來化余弦為正弦(也有的想到利用同角的平方和關(guān)系式sin2α+cos2α=1來互化，此法讓學(xué)生課下進(jìn)行),因此有sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β］=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.在上述公式中,β用-β代之，則sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡(jiǎn)記為S(α+β)、S(α-β).sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.對(duì)問題④⑤，老師恰時(shí)恰點(diǎn)地引導(dǎo)學(xué)生視察公式的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合推導(dǎo)過程進(jìn)行記憶，同時(shí)進(jìn)一步體會(huì)本節(jié)公式的探究過程及公式改變特點(diǎn)，體驗(yàn)三角公式的這種簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美.為強(qiáng)化記憶，老師可讓學(xué)生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin=__________.對(duì)問題⑥，老師引導(dǎo)學(xué)生思索，在我們推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,自然想到兩角和與差的正切公式，怎么樣來推導(dǎo)出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？學(xué)生很簡(jiǎn)潔想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，化弦為切得到.在學(xué)生探究推導(dǎo)時(shí)很可能想不到探討，這時(shí)老師不要干脆提示，讓學(xué)生自己悟出來.當(dāng)cos(α+β)≠0時(shí)，tan(α+β)=假如cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0時(shí),分子、分母同除以cosαcosβ得tan(α+β)=，據(jù)角α、β的隨意性，在上面的式子中，β用-β代之，則有tan(α-β)=由此推得兩角和、差的正切公式，簡(jiǎn)記為T(α-β)、T(α+β).tan(α+β)=tan(α-β)=對(duì)問題⑥,讓學(xué)生自己聯(lián)想思索，兩角和與差的正切公式中α、β、α±β的取值是隨意的嗎？學(xué)生回顧自己的公式探究過程可知，α、β、α±β都不能等于+kπ(k∈Z)，并引導(dǎo)學(xué)生分析公式結(jié)構(gòu)特征，加深公式記憶.對(duì)問題⑦⑧，老師與學(xué)生一起歸類總結(jié)，我們把前面六個(gè)公式分類比較可得C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式.并由學(xué)生歸納總結(jié)以上六個(gè)公式的推導(dǎo)過程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖.可讓學(xué)生自己畫出這六個(gè)框圖.通過邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，借以理解并敏捷運(yùn)用這些公式.同時(shí)老師應(yīng)提示學(xué)生留意：不僅要駕馭這些公式的正用，還要留意它們的逆用及變形用.如兩角和與差的正切公式的變形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)，在化簡(jiǎn)求值中就常常應(yīng)用到，使解題過程大大簡(jiǎn)化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.對(duì)于兩角和與差的正切公式，當(dāng)tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在時(shí)，不能運(yùn)用T（α±β）處理某些有關(guān)問題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法，例如：化簡(jiǎn)tan(-β)，因?yàn)閠an的值不存在，所以改用誘導(dǎo)公式tan(-β)=來處理等.（三）應(yīng)用示例思路1例1已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.活動(dòng)：老師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系，在面對(duì)問題時(shí)要留意仔細(xì)分析條件，明確要求.再思索應(yīng)當(dāng)聯(lián)系什么公式，運(yùn)用公式時(shí)要有什么打算，打算工作怎么進(jìn)行等.例如本題中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本題是干脆應(yīng)用公式解題，目的是為了讓學(xué)生初步熟識(shí)公式的應(yīng)用，老師可以完全讓學(xué)生自己獨(dú)立完成.解：由sinα=,α是第四象限角，得cosα=.∴tanα==.于是有sin(-α)=sincosα-cossinα=cos(+α)=coscosα-sinsinα=tan(α-)===.點(diǎn)評(píng)：本例是運(yùn)用和差角公式的基礎(chǔ)題，支配這個(gè)例題的目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培育他們良好的思維習(xí)慣.變式訓(xùn)練1.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)==-(2+).2.設(shè)α∈(0,),若sinα=,則2sin(α+)等于()A.B.C.D.4答案：A例2已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,).求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).活動(dòng)：老師可先讓學(xué)生自己探究解決，對(duì)探究困難的學(xué)生老師給以適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，指導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析題目中已知條件和所求值的內(nèi)在聯(lián)系.依據(jù)公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)應(yīng)先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要留意解題中三角函數(shù)值的符號(hào).解：由sinα=,α∈(,π),得cosα==-=，∴tanα=.又由cosβ=,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×()-(.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()=∴tan(α+β)==.點(diǎn)評(píng)：本題仍是干脆利用公式計(jì)算求值的基礎(chǔ)題，其目的還是讓學(xué)生嫻熟駕馭公式的應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力.變式訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生看章頭圖，利用本節(jié)所學(xué)公式解答課本章頭題，加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).解：設(shè)電視放射塔高CD=x米，∠CAB=α，則sinα=，在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.于是x=,又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米).答：這座電視放射塔的高度約為150米.例3在△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC與cosC的值.活動(dòng)：本題是解三角形問題，在必修5中還作特地的探究，這里用到的僅是與三角函數(shù)誘導(dǎo)公式與和差公式有關(guān)的問題，難度不大，但應(yīng)是學(xué)生必需嫻熟駕馭的.同時(shí)也能加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的實(shí)力.老師可讓學(xué)生自己閱讀、探究、探討解決，對(duì)有困難的學(xué)生老師引導(dǎo)學(xué)生分析題意和找清三角形各角之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而找出解決問題的路子.老師要提示學(xué)生留意角的范圍這一暗含條件.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=且0°<A<45°,∴cosA=.又∵cosB=且45°<B<90°,∴sinB=.∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.點(diǎn)評(píng)：本題是利用兩角和差公式，來解決三角形問題的典型例子，培育了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，也使學(xué)生更加相識(shí)了公式的作用,解決三角形問題時(shí),要留意三角形內(nèi)角和等于180°這一暗含條件.變式訓(xùn)練在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,則△ABC是()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1若sin(+α)=,cos(-β)=,且0<α<<β<,求cos(α+β)的值.活動(dòng)：本題是一個(gè)典型的變角問題，也是一道經(jīng)典例題，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力以及邏輯思維實(shí)力很有價(jià)值.盡管學(xué)生思索時(shí)有點(diǎn)難度，但老師仍可放手讓學(xué)生探究探討，老師不行干脆給出解答.對(duì)于探究不出的學(xué)生，老師可恰當(dāng)點(diǎn)撥引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生解決問題的關(guān)鍵是找尋所求角與已知角的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生理清所求的角與已知角的關(guān)系，視察選擇應(yīng)當(dāng)選用哪個(gè)公式進(jìn)行求解，同時(shí)也要特殊提示學(xué)生留意：在求有關(guān)角的三角函數(shù)值時(shí)，要特殊留意確定準(zhǔn)角的范圍，精確推斷好三角函數(shù)符號(hào)，這是解決這類問題的關(guān)鍵.學(xué)生完全理清思路后，老師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生的規(guī)范書寫，并嫻熟駕馭它.對(duì)于程度比較好的學(xué)生可讓其擴(kuò)展本題，或改變條件，或變換所求的結(jié)論等.如老師可變換α,β角的范圍，進(jìn)行一題多變訓(xùn)練，提高學(xué)生敏捷應(yīng)用公式的實(shí)力，因此老師要充分利用好這個(gè)例題的訓(xùn)練價(jià)值.解：∵0<α<<β<,∴<+α<π,-<-β<0,又已知sin(+α)=,cos(-β)=,∴cos(+α)=,sin(-β)=.∴cos(α+β)=sin［+(α+β)］=sin［(+α)-(-β)］=sin(+α)cos(-β)-cos(+α)sin(-β)=×-()×()=.本題是典型的變角問題,即把所求角利用已知角來表示,事實(shí)上就是化歸思想.這須要奇妙地引導(dǎo),充分讓學(xué)生自己動(dòng)手進(jìn)行角的變換,培育學(xué)生敏捷運(yùn)用公式的實(shí)力.變式訓(xùn)練已知α,β∈(,π),sin(α+β)=,sin(β-)=,求cos(α+)的值.解：∵α,β∈(,π),sin(α+β)=,sin(β-)=,∴<α+β<2π,<β-<.∴cos(α+β