2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.4空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系1教案新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE8.4.1平面平面是最基本的幾何概念,教科書(shū)以課桌面、黑板面、海平面等為例,對(duì)它只是加以描述而不定義.立體幾何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是無(wú)限延展性.為了更精確地理解平面,教材重點(diǎn)介紹了平面的基本性質(zhì),即教科書(shū)中的三個(gè)基本領(lǐng)實(shí),這也是本節(jié)的重點(diǎn).另外,本節(jié)還應(yīng)充分呈現(xiàn)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換與翻譯,特殊留意圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換.課程目標(biāo)1.正確理解平面的概念；2.能用符號(hào)語(yǔ)言描述空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；3.能用圖形、文字、符號(hào)三種語(yǔ)言描述三個(gè)基本領(lǐng)實(shí),理解三個(gè)基本領(lǐng)實(shí)和三個(gè)推論的地位與作用.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：平面概念的理解；2.邏輯推理：點(diǎn)線共面、多點(diǎn)共線，多線共點(diǎn)問(wèn)題；3.直觀想象：點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.重點(diǎn)：1、平面的概念及表示；2、平面的三個(gè)基本領(lǐng)實(shí)和推論，留意他們的條件、結(jié)論、作用、圖形語(yǔ)言及符號(hào)語(yǔ)言.難點(diǎn)：平面的三個(gè)基本領(lǐng)實(shí)的駕馭與運(yùn)用.教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采納誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。情景導(dǎo)入問(wèn)題1：生活中常見(jiàn)的如黑板、平整的操場(chǎng)、桌面、安靜的湖面等等，都給我們以平面的印象，你們能舉出更多例子嗎？問(wèn)題2:平面的含義是什么呢？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，老師不做推斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步視察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本124-127頁(yè)，思索并完成以下問(wèn)題1、平面的概念是什么？怎樣表示一個(gè)平面？2、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及語(yǔ)言表達(dá)？3、平面有哪些基本領(lǐng)實(shí)？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商議，最終選出代表回答問(wèn)題。三、新知探究1、平面(1)平面的概念幾何里所說(shuō)的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.幾何里的平面是無(wú)限延展的.(2)平面的畫(huà)法①水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形,用平行四邊形表示平面,平行四邊形的銳角通常畫(huà)成45°,且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍.如圖(1).②假如一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮攔住,為了增加它的立體感,把被遮擋部分用虛線畫(huà)出來(lái).如圖(2).(3)平面的表示平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面AC、平面ABCD等.2、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及語(yǔ)言表達(dá)點(diǎn)A在直線l上，則A∈l，點(diǎn)A在直線l外，則A?l;點(diǎn)A在平面α內(nèi)，則A∈α，點(diǎn)A在平面α外，則A?α;直線l在平面α內(nèi)，則l?α，直線l在平面α外，則l?α;平面α與平面β相交直線l，則α∩β=l.3、平面的基本領(lǐng)實(shí)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言基本領(lǐng)實(shí)1過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面A,B,C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α,使A,B,C∈α基本領(lǐng)實(shí)2假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α基本領(lǐng)實(shí)3假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線P∈α,P∈β?α∩β=l,且P∈l基本領(lǐng)實(shí)1的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.四、典例分析、舉一反三題型一文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換例1依據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句,說(shuō)明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,并畫(huà)出相應(yīng)圖形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α．【答案】見(jiàn)解析.【解析】(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)B不在平面α內(nèi).(2)直線l在平面α內(nèi),直線m與平面α相交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A不在直線l上.(3)直線l經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q.圖形分別如圖(1),(2),(3)所示.解題技巧（三種語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的留意事項(xiàng)）(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí),首先細(xì)致視察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語(yǔ)言表示,再用符號(hào)語(yǔ)言表示.(2)符號(hào)語(yǔ)言的意義.如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”,直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”.(3)由符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫(huà)相應(yīng)的圖形時(shí),要留意把被遮擋的部分畫(huà)成虛線.跟蹤訓(xùn)練一1、A,B,C表示不同的點(diǎn),n,l表示不同的直線,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正確的是()(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α?α∩β=直線AB(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共線?α與β重合(D)l∈α,n∈α,l∩n=A?l與n確定唯一平面2、如圖,用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.【答案】1、D.2、①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.②中,α∩β=l,a?α,b?β,a∩l=P,b∩l=P.【解析】1.選D，D選項(xiàng)的表述有問(wèn)題.2.在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在②中,α∩β=l,a?α,b?β,a∩l=P,b∩l=P.題型二點(diǎn)線共面例2如圖,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求證直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).【答案】見(jiàn)解析．【解析】因?yàn)閘1∩l2=A,所以l1,l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3=B,所以l2,l3確定一個(gè)平面β.因?yàn)锳∈l2,l2?α,所以A∈α.因?yàn)锳∈l2,l2?β,所以A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共線的三個(gè)點(diǎn)A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).所以平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).解題技巧(證明點(diǎn)線共面問(wèn)題的常用方法)(1)納入法:先由部分直線確定一個(gè)平面,再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi).(2)重合法:先說(shuō)明一些直線在一個(gè)平面內(nèi),另一些直線在另一個(gè)平面內(nèi),再證明兩個(gè)平面重合.跟蹤訓(xùn)練二1、空間兩兩相交且共點(diǎn)的三條直線,可以確定的平面數(shù)是()(A)1(B)2 (C)3 (D)1或3【答案】D．【解析】?jī)蓛上嘟磺夜颤c(diǎn)的三條直線若在一個(gè)平面內(nèi),可確定一個(gè)平面,若不在一平面內(nèi),每?jī)蓷l直線可確定一個(gè)平面,共可確定3個(gè)平面,故選D．題型三多點(diǎn)共線、多線共點(diǎn)問(wèn)題例3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AB的中點(diǎn),F為AA1的中點(diǎn).求證:CE,D1F,DA三線交于一點(diǎn).【答案】見(jiàn)解析．【解析】連接EF,D1C,A1B,因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),F為AA1的中點(diǎn),所以EFQUOTE12A1B.又因?yàn)锳1BD1C,所以EFQUOTE12D1C,所以E,F,D1,C四點(diǎn)共面,可設(shè)D1F∩CE=P.又D1F?平面A1D1DA,CE?平面ABCD,所以點(diǎn)P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn).又因?yàn)槠矫鍭1D1DA∩平面ABCD=DA,所以據(jù)公理3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三線交于一點(diǎn).解題技巧（證明多點(diǎn)共線、多線共點(diǎn)的常用方法）(1)證明三線共點(diǎn)常用的方法:先證明兩條直線相交于一點(diǎn),然后證明這個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi),第三條線是這兩個(gè)平面的交線,于是該點(diǎn)在第三條直線上,從而得到三線共點(diǎn).也可以先證明a,b相交于一點(diǎn)A,b與c相交于一點(diǎn)B,再證明A,B是同一點(diǎn),從而得到a,b,c三線共點(diǎn).(2)類比線共點(diǎn)的證明方法,可得到三點(diǎn)共線的證明方法:①首先找出兩個(gè)平面的交線,然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),依據(jù)公理3,可推知這些點(diǎn)都在交線上,即三點(diǎn)共線.②選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明第三個(gè)點(diǎn)也在這條直線上.跟蹤訓(xùn)練三1．如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是()(A)A,M,O三點(diǎn)共線 (B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面 (D)B,B1,O,M共面【答案】A.【解析】連接A1C1,AC,則A1C1∥AC.所以A1,C1,C,A四點(diǎn)共面.所以A1C?平面ACC1A1.因?yàn)镸∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,同理O也在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,所以A,M,O三點(diǎn)共線.故選A.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要學(xué)問(wèn)及解題技巧六、板書(shū)設(shè)計(jì)平面平面平面例1例2例32、點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系3.平面的三個(gè)基本領(lǐng)實(shí)基本領(lǐng)實(shí)1三個(gè)推論基本領(lǐng)實(shí)2基本領(lǐng)實(shí)3七、作業(yè)課本128頁(yè)練習(xí)，131頁(yè)