2024-2025學年新教材高中數學第10章概率章末綜合提升學案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE概率[鞏固層·學問整合][提升層·題型探究]隨機事務的關系與性質【例1】(1)下列命題：①將一枚硬幣拋兩次，設事務M：“兩次出現正面”，事務N：“只有一次出現反面”，則事務M與N互為對立事務；②若事務A與B互為對立事務，則事務A與B為互斥事務；③若事務A與B為互斥事務，則事務A與B互為對立事務；④若事務A與B互為對立事務，則事務A∪B為必定事務，其中，真命題是()A．①②④B．②④C．③④D．①②(2)某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事務分別為A，B，C，求：①P(A)，P(B)，P(C)；②1張獎券的中獎概率；③1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．(1)B[對①，一枚硬幣拋兩次，共出現{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四種結果，則事務M與N是互斥事務，但不是對立事務，故①錯；對②，對立事務首先是互斥事務，故②正確；對③，互斥事務不肯定是對立事務，如①中兩個事務，故③錯；對④，事務A，B為對立事務，則一次試驗中A，B肯定有一個要發(fā)生，故④正確．故選B．](2)[解]①P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事務A，B，C的概率分別為eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).②1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”這個事務為M，則M＝A∪B∪C．∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎券的中獎概率為eq\f(61,1000).③設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事務N，則事務N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事務，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).求困難的互斥事務的概率一般有兩種方法：一是干脆求解法，將所求事務的概率分解為一些彼此互斥的事務的概率的和；二是間接法，先求該事務的對立事務的概率，再由PA＝1－Peq\x\to(A)求解.當題目涉及“至多”“至少”型問題，多考慮間接法.eq\o([跟進訓練])1．袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率也是eq\f(5,12)，試求得到黑球、黃球和綠球的概率各是多少？[解]法一：從袋中選取一個球，記事務“摸到紅球”“摸到黑球”“摸到黃球”“摸到綠球”分別為A，B，C，D，則有P(A)＝eq\f(1,3)，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(5,12)，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，解得P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,4)，因此得到黑球、黃球、綠球的概率分別是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).法二：設紅球有n個，則eq\f(n,12)＝eq\f(1,3)，所以n＝4，即紅球有4個．又得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，所以黑球和黃球共5個．又總球數是12，所以綠球有12－4－5＝3(個)．又得到黃球或綠球的概率也是eq\f(5,12)，所以黃球和綠球共5個，而綠球有3個，所以黃球有5－3＝2(個)．所以黑球有12－4－3－2＝3(個)．因此得到黑球、黃球、綠球的概率分別是eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).古典概型【例2】袋中有形態(tài)、大小都相同的4個小球，(1)若4個小球中有1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，求這2只球顏色不同的概率；(2)若4個小球顏色相同，標號分別為1,2,3,4，從中一次取兩球，求標號和為奇數的概率；(3)若4個小球中有1只白球，1只紅球，2只黃球，有放回地取球，取兩次，求兩次取得球的顏色相同的概率．[解](1)設取出的2只球顏色不同為事務A．試驗的樣本空間Ω＝{(白，紅)，(白，黃1)，(白，黃2)，(紅，黃1)，(紅，黃2)，(黃1，黃2)}，共6個樣本點，事務A包含5個樣本點，故P(A)＝eq\f(5,6).(2)試驗的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6個樣本點，設標號和為奇數為事務B，則B包含的樣本點為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4個，所以P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(3)試驗的樣本空間Ω＝{(白，白)，(白，紅)，(白，黃1)，(白，黃2)，(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黃1)，(紅，黃2)，(黃1，黃1)，(黃1，白)，(黃1，紅)，(黃1，黃2)，(黃2，黃2)，(黃2，白)，(黃2，紅)，(黃2，黃1)}，共16個樣本點，其中顏色相同的有6個，故所求概率為P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).求古典概型的概率的關鍵是求試驗的樣本點的總數和事務A包含的樣本點的個數，這就須要正確求出試驗的樣本空間，樣本空間的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，詳細應用時可依據須要敏捷選擇.eq\o([跟進訓練])2．設連續(xù)擲兩次骰子得到的點數分別為m，n，令平面對量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事務“a⊥b”發(fā)生的概率；(2)求使得事務“|a|≤|b|”發(fā)生的概率．[解](1)由題意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)全部可能的取法共36種．a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2種：(3,1)，(6,2)，所以事務a⊥b的概率為eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，共有6種：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，其概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).相互獨立事務的概率【例3】在一場消遣晚會上，有5位民間歌手(1到5號)登臺演唱，由現場數百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手．(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和，求“X≥2”的事務概率．[解](1)設A表示事務“觀眾甲選中3號歌手”，觀眾甲選出3名歌手的樣本空間Ω＝{(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)}，事務A包含2個樣本點，則P(A)＝eq\f(2,3)，設B表示事務“觀眾乙選中3號歌手”，觀眾乙選出3名歌手的樣本空間Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，事務B包含6個樣本點，則P(B)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).∵事務A與B相互獨立，A與eq\x\to(B)相互獨立，則Aeq\x\to(B)表示事務“甲選中3號歌手，且乙沒選中3號歌手”．∴P(Aeq\x\to(B))＝P(A)·P(eq\x\to(B))＝P(A)·[1－P(B)]＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15).即觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率是eq\f(4,15).(2)設C表示事務“觀眾丙選中3號歌手”，則P(C)＝P(B)＝eq\f(3,5)，依題意，A，B，C相互獨立，eq\x\to(A)，eq\x\to(B)，eq\x\to(C)相互獨立，且ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C，eq\x\to(A)BC，ABC彼此互斥．又P(X＝2)＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(33,75)，P(X＝3)＝P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,75)，∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(33,75)＋eq\f(18,75)＝eq\f(17,25).相互獨立事務中求困難事務概率的解題思路(1)將待求困難事務轉化為幾個彼此互斥的簡潔事務的和．(2)將彼此互斥簡潔事務中的簡潔事務，轉化為幾個已知(易求)概率的相互獨立事務的積事務．(3)代入概率的積、和公式求解．eq\o([跟進訓練])3．投擲一枚勻稱硬幣和一枚勻稱骰子各一次，記“硬幣正面對上”為事務A，“骰子向上的點數為奇數”為事務B，則事務A，B中至少有一件發(fā)生的概率是()A．eq\f(5,12)B．eq\f(1,2)C．eq\f(7,12)D．eq\f(3,4)D[P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2).A，B中至少有一件發(fā)生的概率為1－P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，故選D．]概率統(tǒng)計的綜合應用【例4】某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務狀況，隨機訪問50名職工．依據這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數據分組區(qū)間為：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；(3)從評分在[40,60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在[40,50)的概率．[解](1)因為(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4.(3)受訪職工中評分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2.從這5名受訪職工中隨機抽取2人，試驗的樣本空間Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共10個樣本點．又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結果有1種，即(B1，B2)，故所求的概率為eq\f(1,10).破解概率與統(tǒng)計圖表綜合問題的三個步驟第一步：會讀圖，能讀懂已知統(tǒng)計圖表所隱含的信息，并會進行信息提?。浯尾剑簳D化，對文字語言較多的題目，須要依據題目信息耐性閱讀，步步實現文字語言與符號語言間的轉化．第三步：會運算，對統(tǒng)計圖表所反饋的信息進行提取后，結合古典概型的概率公式進行運算．eq\o([跟進訓練])4．海關對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測．地區(qū)ABC數量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數量；(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．[解](1)因為樣本容量與總體中的個體數的比是eq\f(6,50＋150＋100)＝eq\f(1,50)，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數量分別是50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50)＝3,100×eq\f(1,50)＝2.所以A，B，C三個地區(qū)的商品被選取的件數分別是1,3,2.(2)設6件來自A，B，C三個地區(qū)的樣品分別為：A；B1，B2，B3；C1，C2.則從6件樣品中抽取2件商品，試驗的樣本空間Ω＝{(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共15個樣本點．每個樣品被抽到的機會均等，因此這些基本領件的出現是等可能的．記事務D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事務D包含的樣本點有：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4個．所以P(D)＝eq\f(4,15)，即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為eq\f(4,15).[培優(yōu)層·素養(yǎng)升華]【典例】隨著互聯網金融的不斷發(fā)展，許多互聯網公司推出余額增值服務產品和活期資金管理服務產品．為了調查廣闊市民理財產品的選擇狀況，隨機抽取1100名運用理財產品的市民，依據運用理財產品的狀況統(tǒng)計得到如下頻數分布表：分組頻數(單位：名)A類xB類yC類40其他理財產品60合計1100已知這1100名市民中，運用A類理財產品的人比運用B類理財產品的人多200名．(1)求頻數分布表中x，y的值；(2)已知2024年A類理財產品的平均年化收益率為2.8%，B類理財產品的平均年化收益率為4.2%，C類理財產品的平均年化收益率為4.82%，有3名市民，每個人理財的資金都有10000元，且分別存入A，B，C三類理財產品，求這3名市民2024年理財的平均年化收益率；(3)若在運用A類理財產品和運用B類理財產品的市民中按分層隨機抽樣的方法共抽取5人，然后從這5人中隨機選取2人，求這2人都運用B類理財產品的概率．注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利率，理財產品“平均年化收益率為3%”，即將100元錢存入某理財產品，一年可以獲得3元利息．[解](1)依據題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝200，,x＋y＋40＋60＝1100，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝600，,y＝400.))(2)將10000元存入A類理財產品的利息為10000×2.8%＝280(元)；將10000元存入B類理財產品的利息為10000×4.2%＝420(元)；將10000元存入C類理財產品的利息為10000×4.82%＝482(元)．所以這3名市民2024年理財的平均年化收益率＝eq\f(280＋420＋482,30000)×100%＝3.94%.(3)由600∶400＝3∶2，得共抽取的這5人中運用A類理財產品的有3人，運用B類理財產品的有2人．設這5人中，運用A類理財產品的分別為A1，A2，A3，運用B類理財產品的分別為B1，B2，則從5人中隨機選取2人的樣本空間Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)}，共有10個樣本點，其中2人都運用B類理財產品的樣本點為(B1，B