河南省鄭州市十所省級示范性高中2024-2025學年高一上學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷 含解析

2024-2025學年上期高一年級期中聯(lián)考試題數(shù)學學科命題人：陳雅夢審核人：毋小艷鄭州市第一〇一中學考試時間：120分鐘分值：150分注意事項：本試卷分試題卷和答題卡兩部分.考生應首先閱讀試題卷上的文字信息，然后在答題卡上作答（答題注意事項見答題卡）.在試題卷上作答無效.一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合交集定義求解即可．【詳解】因為，，所以.故選：B2.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，只需解析式有意義，即，解不等式即可求解.【詳解】由，則，解得且，所以函數(shù)的定義域為故選：B3.已知p：，q：，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】解方程和，根據(jù)充分條件、必要條件即可求解.【詳解】由，得或，由，得或，因為或成立推不出或成立，反之也不成立，所以既不是q的充分條件，也不是q的必要條件.故選：D4.若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得，即可求解解析式，通過排除可得答案．【詳解】解：由得：，即，由解得：，由，排除BC．由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（指數(shù)爆炸性）排除D．故選：A5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】，即，解得或，令，則的對稱軸為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又是增函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故選：B.6.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，要使函數(shù)是R上的增函數(shù)，每一段函數(shù)在其定義域內(nèi)必須為增函數(shù)且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式組求解即可.【詳解】因為函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以，解得：，故選：.7.已知的定義域為，且滿足，對任意，都有，當時，.則的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用單調(diào)性定義可判斷函數(shù)為增函數(shù)，再結(jié)合單調(diào)性可求不等式的解.【詳解】設(shè)且，對任意，都有即，,，，又當時,，,在上是增函數(shù)，令,則,令,，則，，結(jié)合的定義域為，且在上是增函數(shù)，又恒成立，，，不等式的解集為，故選：B.8.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對任意的，，設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】確定數(shù)在上單調(diào)遞增，是上的偶數(shù)，變換得到，，，根據(jù)單調(diào)性得到答案.【詳解】，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，是上的奇函數(shù)，故是上的偶數(shù)，，，.，故.故選：A二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.至少有一個實數(shù)，使B.“”是“”的充分不必要條件C.命題“”的否定是假命題D.“集合”中只有一個元素是“”的必要不充分條件【答案】BD【解析】【分析】由在實數(shù)范圍內(nèi)，可得A錯誤；舉反例可得必要性不成立，可得B正確；由全稱與特稱命題的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得C錯誤；由集合中只有一個元素可得或，再由必要性可得D正確；【詳解】對于A，在實數(shù)范圍內(nèi)，，，故A錯誤；對于B，若，則，充分性成立，若，如，此時，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故B正確；對于C，命題“”的否定是，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得開口向上，，所以恒成立，故C錯誤；對于D，若集合中只有一個元素，當時，；當時，可得，所以必要性成立，故D正確；故選：BD.10.已知正實數(shù)滿足，則下列說法不正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為2C.的最大值為2 D.的最小值為2【答案】AC【解析】【分析】直接利用基本不等式即可求解BC，利用乘“1“法即可判斷D，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求解A.【詳解】對于A，因為，所以，因為為正實數(shù)，所以，解得：，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知的無最大值，故A錯誤；對于B，，當且僅當時取等號，故B正確；對于C，，當且僅當時取等號，所以的最大值為1，故C錯誤；對于D，因為，所以，，當且僅當，即時取等，故D正確.故選：AC.11.給出定義：若，則稱為離實數(shù)最近的整數(shù)，記作.在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個結(jié)論，其中正確的是（）A.函數(shù)值域為B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)的定義，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判定即可.【詳解】根據(jù)的定義知函數(shù)的定義域為,又，則即所以故函數(shù)值域為，正確；函數(shù)的圖象如下圖所示，有圖可知函數(shù)是偶函數(shù)，正確；函數(shù)上有增有減，錯誤；由圖可知的圖象關(guān)于對稱，正確.故選：三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則__________.【答案】3【解析】【分析】將代入分段函數(shù)中即可得出答案.【詳解】因為，所以.故答案為：3.13.已知函數(shù)，計算_________．【答案】【解析】【分析】先求出，再觀察所求，倒序相加即可得解.【詳解】由，得，所以.故答案為：.14.下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有__________（填序號）.①若，則的最大值為②當時，函數(shù)的最大值為1③若正數(shù)滿足，則的最小值為④若為不相等的正實數(shù)，滿足，則【答案】③④【解析】【分析】對①：借助基本不等式計算可得；對②：借助整體思想可得，再利用基本不等式計算即可得；對③：由可得，再借助基本不等式中“1”的活用計算即可得；對④：由可得，再通分后借助基本不等式計算即可得.【詳解】對①：由，則，故當且僅當，即時，等號成立，即的最大值為，故①錯誤；對②：，當且僅當時，等號成立，故函數(shù)的最大值為，故②錯誤；對③：由，故，又為正數(shù)，故，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，故③正確；對④：若為不相等的正實數(shù)，滿足，則由，則，又為不相等的正實數(shù)，故，則，當且僅當，或，時，等號成立，故④正確.故答案為：③④.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明?證明過程及驗算步驟.15.（1）求值：；（2）已知，求值：.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由指數(shù)冪的運算即可得到結(jié)果；（2）由平方可得的值，再對平方可得的值，代入即可得出答案.【詳解】（1）（2），16.設(shè)全集，集合.（1）若時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】分析】（1）得到集合后，結(jié)合并集定義即可得，結(jié)合交集與補集定義即可得；（2）由可得，分及計算即可得解.小問1詳解】當時，，則，或，故；【小問2詳解】因為，所以，若，則，即，若，則，無解；綜上，當時，的取值范圍是.17.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求的值；（2）當時，（i）若函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（ii）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）（2）（i）；（ii）答案見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式解集與一元二次方程根的關(guān)系，借助韋達定理列式計算即得.(2)把代入，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列出不等式即可得解；分類討論解一元二次不等式即可作答.【小問1詳解】依題意，關(guān)于的方程的兩個根為1和2，于是得，解得，所以.【小問2詳解】當時，，（i）函數(shù)的對稱軸為，因函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是；（ii）不等式為，即，當時，解得或，當時，解得，當時，解得或，綜上可知，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為.18.在園林博覽會上，某公司帶來了一種智能設(shè)備供采購商洽談采購，并決定大量投放市場，已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入90元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入（萬元）與年產(chǎn)量（萬臺）滿足如下關(guān)系式：.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式（利潤=銷售收入-成本）（2）當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大，并求出最大利潤．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由利潤等于銷售收入減去投入成本和固定成本可得解析式；（2）分別求出分段函數(shù)每一段的最大值后比較可得結(jié)論.【小問1詳解】因為，所以；【小問2詳解】當時，，由函數(shù)性質(zhì)可知當時單調(diào)遞增，所以當時，，當時，，由不等式性質(zhì)可知，當且僅當，即時，等號成立，所以，綜上當時，.19.已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1．設(shè)．（1）求的值;（2）若不等式在上有解,求實數(shù)k的取值范圍;（3）若有三個不同的實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)的函數(shù)性質(zhì),即可判斷在上單調(diào)性,即有,解出即可;(2)根據(jù)(1)中結(jié)論,代入題中,先對式子全分離,再用換元求出其最值即可得出結(jié)果;(3)將(1)中結(jié)論,代入題中式子,令,根據(jù)圖像變換畫出函數(shù)圖象,根據(jù)有三個不同的根及圖象性質(zhì)可知,只需有兩個不同的實數(shù)解、,且有,,或,成立即可,根據(jù)二次函數(shù)根的分布問題,分別列出不等式解出即可.小問1詳解】解:由題知,因為,所以為開口向上的拋物線,且有對稱軸為,所以在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),則,即,解得;【小問2詳解】由(1)得,則,因為在上有解,即,使得成立,因為,所以有成立,令,因為,所以,即,使得成立,只需即可,記,因為,得,所以k的取值范圍是;【小問3詳解】因為有三個不同實數(shù)解,即有三個不同的根,令,則,則圖象是由圖象先向下平移一個單位,再將軸下方圖像翻折到軸上方,畫出函數(shù)圖象如下:根據(jù)圖像可知,一個的函數(shù)