專題14概率統(tǒng)計解答題突破（第四季）-2019年領軍高考數(shù)學（理）壓軸題必刷題

專題144概率統(tǒng)計解答題突破第四季1．“中國大能手”是央視推出的一檔大型職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽類節(jié)目，旨在通過該節(jié)目，在全社會傳播和弘揚“勞動光榮、技能寶貴、創(chuàng)造偉大”的時代風尚.某公司準備派出選手代表公司參加“中國大能手”職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽.經(jīng)過層層選拔，最后集中在甲、乙兩位選手在一項關鍵技能的區(qū)分上，選手完成該項挑戰(zhàn)的時間越少越好.已知這兩位選手在15次挑戰(zhàn)訓練中，完成該項關鍵技能挑戰(zhàn)所用的時間（單位：秒）及挑戰(zhàn)失?。ㄓ谩啊痢北硎荆┑那闆r如下表1：序號123456789101112131415×9693×92×9086××8380787775×95×93×92×8883×8280807473據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，應用統(tǒng)計軟件得下表2：均值（單位：秒）方差方差線性回歸方程甲8550.2乙8454（1）根據(jù)上述回歸方程，預測甲、乙分別在下一次完成該項關鍵技能挑戰(zhàn)所用的時間；（2）若該公司只有一個參賽名額，根據(jù)以上信息，判斷哪位選手代表公司參加職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽更合適？請說明你的理由.【答案】（1）甲用時73.84秒，乙用時72.57秒；（2）選手乙，見解析.【解析】（1）當時，（秒）（秒）（2）甲、乙兩位選手完成關鍵技能挑戰(zhàn)成功的次數(shù)都為10次，失敗次數(shù)都為5次，所以，只需要比較他們完成關鍵技能挑戰(zhàn)成功的情況即可，根據(jù)所給信息，結合（1）中預測結果，綜合分析，選手乙代表公司參加技能挑戰(zhàn)賽更合適，理由如下：因為在相同次數(shù)的挑戰(zhàn)練習中，兩位選手在關鍵技能挑戰(zhàn)的完成次數(shù)和失敗次數(shù)都分別相同，,乙選手用時更短；由于，雖然甲選手的發(fā)揮更穩(wěn)定，但穩(wěn)定在較大的平均數(shù)上，隨著訓練次數(shù)增加，甲、乙用時都在逐步減少，乙的方差大，說明乙進步更大；從（1）的計算結果進一步說明，選手乙代表公司參加技能挑戰(zhàn)賽更合適.2．大學先修課程，是在高中開設的具有大學水平的課程，旨在讓學有余力的高中生早接受大學思維方式、學習方法的訓練，為大學學習乃至未來的職業(yè)生涯做好準備.某高中成功開設大學先修課程已有兩年，共有250人參與學習先修課程，這兩年學習先修課程的學生都參加了高校的自主招生考試（滿分100分），結果如下表所示：分數(shù)人數(shù)25501005025參加自主招生獲得通過的概率0.90.80.60.40.3（Ⅰ）這兩年學校共培養(yǎng)出優(yōu)等生150人，根據(jù)下圖等高條形圖，填寫相應列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表檢驗能否在犯錯的概率不超過0.01的前提下認為學習先修課程與優(yōu)等生有關系？優(yōu)等生非優(yōu)等生總計學習大學先修課程250沒有學習大學先修課程總計150（Ⅱ）已知今年全校有150名學生報名學習大學選項課程，并都參加了高校的自主招生考試，以前兩年參加大學先修課程學習成績的頻率作為今年參加大學先修課程學習成績的概率.（?。┰诮衲陞⑴c大學先修課程學習的學生中任取一人，求他獲得高校自主招生通過的概率；（ⅱ）某班有4名學生參加了大學先修課程的學習，設獲得高校自主招生通過的人數(shù)為，求的分布列，試估計今年全校參加大學先修課程學習的學生獲得高校自主招生通過的人數(shù).參考數(shù)據(jù)：0.150.100．050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式：，其中【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析.【解析】（Ⅰ）列聯(lián)表如下：優(yōu)等生非優(yōu)等生總計學習大學先修課程50200250沒有學習大學先修課程1009001000總列聯(lián)表可得，因此在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為學習先修課程與優(yōu)等生有關系.（Ⅱ）（ⅰ）由題意得所求概率為.（ⅱ）設獲得高校自主招生通過的人數(shù)為，則，，，∴的分布列為01234估計今年全校參加大學先修課程的學生獲得大學自主招生通過的人數(shù)為.3．交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準保費）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，且保費與上一年車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：交強險浮動因素和費率浮動比率表浮動因素浮動比率A上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮10%B上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮20%C上三個以及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮30%D上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%E上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故上浮10%F上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故上浮30%某機構為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了70輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：類型ABCDEF數(shù)量1013720146（1）求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率；（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設購進一輛事故車虧損6000元，一輛非事故車盈利10000元，且各種投保類型車的頻率與上述機構調查的頻率一致，完成下列問題：①若該銷售商店內有7輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，某顧客欲在店內隨機挑選2輛，求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率；②若該銷售商一次性購進70輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求一輛車盈利的平均值(結果用分數(shù)表示).【答案】（1）；（2）①；②元【解析】（1）一輛普通6座以下私家車第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率為（2）①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該銷售商店內的7輛該品牌車齡已滿三年的二手車中有2輛事故車，設為，，5輛非事故車，設為，，，.從7輛車中隨機挑選2輛車的情況有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種．其中2輛車恰好有一輛為事故車的情況有，，，，，，，，共10種，所以該顧客在店內隨機挑選2輛車，這2輛車恰好有一輛事故車的概率為.②由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該銷售商一次購進70輛該品牌車齡已滿三年的二手車有事故車20輛，非事故車50輛，所以一輛車盈利的平均值為(元)．4．為了適應高考改革，某中學推行“創(chuàng)新課堂”教學.高一平行甲班采用“傳統(tǒng)教學”的教學方式授課，高一平行乙班采用“創(chuàng)新課堂”的教學方式授課，為了比較教學效果，期中考試后，分別從兩個班中各隨機抽取名學生的成績進行統(tǒng)計分析，結果如下表：（記成績不低于分者為“成績優(yōu)秀”）分數(shù)甲班頻數(shù)乙班頻數(shù)（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”？甲班乙班總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計（2）現(xiàn)從上述樣本“成績不優(yōu)秀”的學生中，抽取人進行考核，記“成績不優(yōu)秀”的乙班人數(shù)為，求的分布列.參考公式：，其中.臨界值表【答案】（1）有以上的把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”.（2）的分布列為【解析】（1）補充的列聯(lián)表如下表：甲班乙班總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀測值為，所以有以上的把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”.（2）的可能取值為，，，，，，，，所以的分布列為5．為了適應高考改革，某中學推行“創(chuàng)新課堂”教學.高一平行甲班采用“傳統(tǒng)教學”的教學方式授課，高一平行乙班采用“創(chuàng)新課堂”的教學方式授課，為了比較教學效果，期中考試后，分別從兩個班中各隨機抽取名學生的成績進行統(tǒng)計分析，結果如下表：（記成績不低于分者為“成績優(yōu)秀”）分數(shù)甲班頻數(shù)乙班頻數(shù)（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”？甲班乙班總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計（2）在上述樣本中，學校從成績?yōu)榈膶W生中隨機抽取人進行學習交流，求這人來自同一個班級的概率.參考公式：，其中.臨界值表【答案】（1）有以上的把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”.（2）【解析】（1）補充的列聯(lián)表如下表：甲班乙班總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀測值為，所以有以上的把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”.（2）設，表示成績?yōu)榈募装鄬W生，，，，表示成績?yōu)榈囊野鄬W生，則從這名學生中抽取名學生進行學習交流共有15種等可能的結果：，，，，，，，，，，，，，，，根據(jù)古典概率計算公式，從名學生中抽取名學生進行學習交流，來自同一個班級的概率為.6．經(jīng)過多年的努力，炎陵黃桃在國內乃至國際上逐漸打開了銷路，成為炎陵部分農民脫貧致富的好產品.為了更好地銷售，現(xiàn)從某村的黃桃樹上隨機摘下了100個黃桃進行測重，其質量分布在區(qū)間內（單位：克），統(tǒng)計質量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示：（1）按分層抽樣的方法從質量落在，的黃桃中隨機抽取5個，再從這5個黃桃中隨機抽2個，求這2個黃桃質量至少有一個不小于400克的概率；（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的黃桃樹上大約還有100000個黃桃待出售，某電商提出兩種收購方案：A.所有黃桃均以20元/千克收購；B.低于350克的黃桃以5元/個收購，高于或等于350克的以9元/個收購.請你通過計算為該村選擇收益最好的方案.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（2）B【解析】（1）由題得黃桃質量在和的比例為，∴應分別在質量為和的黃桃中各抽取3個和2個.記抽取質量在的黃桃為，，，質量在的黃桃為，，則從這5個黃桃中隨機抽取2個的情況共有以下10種：，，，，，，，，，其中質量至少有一個不小于400克的7種情況，故所求概率為.（2）方案好，理由如下：由頻率分布直方圖可知，黃桃質量在的頻率為同理，黃桃質量在，，，，的頻率依次為0.16，0.24，0.3，0.2，0.05若按方案收購：∵黃桃質量低于350克的個數(shù)為個黃桃質量不低于350克的個數(shù)為55000個∴收益為元若按方案收購：根據(jù)題意各段黃桃個數(shù)依次為5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是總收益為（元）∴方案的收益比方案的收益高，應該選擇方案.7．為了引導居民合理用電，國家決定實行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）.某市隨機抽取10戶同一個月的用電情況，得到統(tǒng)計表如下：（1）若規(guī)定第一階梯電價每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯每度0.8元，試計算居民用電戶用電410度時應交電費多少元？（2）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望；（3）以表中抽到的10戶作為樣本估計全市居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大，求的值.【答案】（1）元；（2）分布列見解析，期望為；（3）.【解析】（1）元（2）設取到第二階梯電量的用戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有3戶，則可取0,1,2,3，，，，故的分布列為∴（3）可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿足，可知（）令解得：，∴當時概率最大，∴.8．從某電子商務平臺隨機抽取了1000位網(wǎng)上購物者（年消費都達到2000元），并對他們的年齡進行了調查，統(tǒng)計情況如下表所示：年齡人數(shù)10015040020010050該電子商務平臺將年齡在的人群定義為消費主力軍，其它年齡段定義為消費潛力軍.（1）若該電子商務平臺共10萬位網(wǎng)上購物者，試估計消費主力軍的人數(shù)；（2）為了鼓勵消費潛力軍消費，該平臺決定對年消費達到2000元的購物者發(fā)放代金券，消費主力軍每人發(fā)放100元，消費潛力軍每人發(fā)放200元.現(xiàn)采用分層抽樣（按消費主力軍與消費潛力軍分層）的方式從參與調查的1000位網(wǎng)上購物者中抽取10人，并在這10人中隨機抽取3人進行回訪，求這3人獲得代金券總金額（單位：元）的分布列及數(shù)學期望.【答案】（1）萬；（2）分布列見解析，期望為元.【解析】（1）由表可知年齡分布在的頻率為，故消費主力軍的人數(shù)約為萬.（2）由題可知這10人中有6人屬于消費主力軍，4人屬于消費潛力軍，則的所有可能取值為300，400，500,600，，，，，故的分布列為300400500600元.9．未了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，某部門從年齡在15歲到65歲的人群中隨機調查了100人，將這100人的年齡數(shù)據(jù)分成5組：，，，，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.在這100人中不支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結果如下：年齡不支持“延遲退休”的人數(shù)155152317（1）由頻率分布直方圖，估計這100人年齡的平均數(shù)；（2）由頻率分布直方圖，若在年齡，，的三組內用分層抽樣的方法抽取12人做問卷調查，求年齡在組內抽取的人數(shù)；（3）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，據(jù)此表，能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的不支持態(tài)度存在差異？\45歲以下45歲以上總計不支持支持總計附：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）；（2）人；（3）表格見解析，能在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的不支持態(tài)度存在差異.【解析】（1）估計這100人年齡的平均數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知，年齡在，，內的頻率分別為0.1,0.2,0.3，所以在這三組內抽取的人數(shù)之比為1:2:3，所在年齡在組內抽取的人數(shù)為（人）.(3)由頻率分布直方圖可知，得年齡在，，這三組內的頻率和為0.5，所以45歲以下共有50人，45歲以上共有50人.列聯(lián)表如下：45歲以下45歲以上總計不支持354580支持15520總計5050100所以，所以能在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的不支持態(tài)度存在差異.10．2020年開始，國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分.為了應對新高考，某高中從高一年級1000名學生（其中男生55