第06講空間直線平面的垂直-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)(人教A版2019)

第6講空間直線、平面的垂直知識(shí)點(diǎn)1異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)異面直線所成的角θ的取值范圍：0°<θ≤90°.(3)如果兩條異面直線a，b所成的角是直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，記作a⊥b.知識(shí)點(diǎn)2直線與平面垂直的判定1．直線與平面垂直定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足．圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直注：1．對(duì)直線與平面垂直的幾點(diǎn)說(shuō)明(1)定義中的“任意一條直線”這一詞語(yǔ)與“所有直線”是同義語(yǔ)，與“無(wú)數(shù)條直線”不是同義語(yǔ)．(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形．(3)由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線．這是判斷兩條直線垂直的一種重要方法．2．直線與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，?l⊥α作用判斷直線與平面垂直注：1．理解直線與平面垂直的判定定理不能用“一條直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直來(lái)判斷此直線與平面垂直”．實(shí)際上，由基本事實(shí)4可知，平行具有“傳遞性”，因此一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么它與這個(gè)平面內(nèi)平行于這條直線的所有直線都垂直，但不能保證與其他直線平行．2．判定定理所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想直線與平面垂直的判定定理告訴我們：可以通過(guò)直線間的垂直來(lái)證明直線與平面垂直．通常我們將其記為“線線垂直，則線面垂直”．因此，處理線面垂直轉(zhuǎn)化為處理線線垂直來(lái)解決．也就是說(shuō)，以后證明一條直線和一個(gè)平面垂直，只要在這個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線和已知直線垂直即可．直線與平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，即將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直．在應(yīng)用該定理判斷一條直線和一個(gè)平面垂直時(shí)，一定要注意是這條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而不是任意的兩條直線3．直線和平面所成的角（1）定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足．過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．（2）規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角等于；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角等于．因此，直線與平面所成的角α的范圍是．注：(1)對(duì)斜線和平面所成的角的定義的理解斜線和平面所成的角定義表明斜線和平面所成的角是通過(guò)斜線在平面內(nèi)的射影而轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．(2)判斷方法首先，判斷直線和平面的位置，若直線在平面內(nèi)或與平面平行，此時(shí)直線與平面所成的角為0°的角；若直線與平面垂直，此時(shí)直線與平面所成的角為90°.其次，若直線與平面斜交，可在斜線上任取一點(diǎn)作平面的垂線(實(shí)際操作過(guò)程中，這一點(diǎn)的選取要有利于求角)，找出直線在平面內(nèi)的射影，從而確定出直線和平面所成的角，一般轉(zhuǎn)化到直角三角形、等邊三角形中求解．知識(shí)點(diǎn)3直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語(yǔ)言?圖形語(yǔ)言作用（1）證明兩直線平行；（2）構(gòu)造平行線注1．剖析直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)該定理考查的是在直線與平面垂直的條件下，可得出什么結(jié)論．(2)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法(只要判定這兩條直線都與同一個(gè)平面垂直)．(3)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)．(4)定理的推證過(guò)程采用了反證法．2．直線與平面垂直的性質(zhì)(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,b?α))?l⊥b；(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b；(3)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α；(4)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊥α))?a⊥β；(5)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥β))?α∥β.知識(shí)點(diǎn)4平面與平面垂直的判定1．二面角概念平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面．從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面圖示二面角的平面角文字在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個(gè)二面角的平面角圖示符號(hào)OA?α，OB?β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角范圍[0，π]二面角的大小及記法規(guī)定二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角記法棱為l，面分別為α，β的二面角記為．如圖所示，也可在α，β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P，Q，將這個(gè)二面角記作二面角．2．平面與平面垂直定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直.表示方法：平面與垂直，記作.畫法：兩個(gè)互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.如圖：3．平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.符號(hào)語(yǔ)言：圖形語(yǔ)言：特征：線面垂直面面垂直注：1．二面角與平面幾何中的角的對(duì)比平面幾何中的角二面角圖形定義從平面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的圖形從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖形表示法由射線—點(diǎn)(頂點(diǎn))—射線構(gòu)成，即為∠AOB由半平面—線(棱)—半平面構(gòu)成，記為二面角α-l-β意義定量的反映兩條直線的位置關(guān)系定量的反映兩個(gè)平面的位置關(guān)系2．剖析平面與平面垂直(1)兩個(gè)平面垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況．例如正方體中任意相鄰兩個(gè)面都是互相垂直的．(2)兩個(gè)平面垂直和兩條直線互相垂直的共同點(diǎn)：都是通過(guò)所成的角是直角定義的．3．詳解平面與平面垂直的判定定理(1)本質(zhì)：通過(guò)直線與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直，即線面垂直?面面垂直．(2)證題思路：處理面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問(wèn)題來(lái)解決．知識(shí)點(diǎn)5平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言作用證明直線與平面垂直考點(diǎn)一異面直線所成的角解題方略：求異面直線所成的角的一般步驟(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法，遇題設(shè)中有中點(diǎn)，常考慮中位線；若異面直線依附于某幾何體，且直線對(duì)異面直線平移有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過(guò)解三角形，求出所找的角．(3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ.若0°＜θ≤90°，則θ為所求；若90°＜θ＜180°，則180°－θ為所求.【例1】如圖所示，點(diǎn)A是平面BCD外一點(diǎn)，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF＝eq\r(2)，求異面直線AD和BC所成的角．【解析】如圖，設(shè)G是AC的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，故EG∥BC且EG＝eq\f(1,2)BC＝1，F(xiàn)G∥AD，且FG＝eq\f(1,2)AD＝1.即∠EGF為所求，又EF＝eq\r(2)，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.變式1：正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為平面A′B′C′D′與AA′D′D的中心，則EF與CD所成角的度數(shù)是________．【解析】連接B′D′，則E為B′D′的中點(diǎn)，連接AB′，則EF∥AB′，又CD∥AB，所以∠B′AB為異面直線EF與CD所成角，即∠B′AB＝45°.答案：45°變式2：如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的正弦值為（）．A． B． C． D．【解析】連，相交于點(diǎn)，連、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，有，可得為異面直線與所成的角，不妨設(shè)正方形中，，則，由平面，可得，則，，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，．故選：D.考點(diǎn)二證明直線與直線垂直問(wèn)題解題方略：證明兩條直線垂直的策略(1)對(duì)于共面垂直的兩條直線的證明，可根據(jù)勾股定理證明．(2)對(duì)于異面垂直的兩條直線的證明，可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線所成的角為90°來(lái)證明．【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與直線AA1垂直的棱有________條．()A．2 B．4C．6 D．8【解析】在正方體AC1中，與AA1垂直的棱為A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8條．故選D.變式1：若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b∥c，則直線a與c()A．一定平行 B．一定垂直C．一定是異面直線 D．一定相交【解析】∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.故選B.【例3】如圖，已知在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F(xiàn)分別是BD1和AD的中點(diǎn)．求證：CD1⊥EF.【證明】取CD1的中點(diǎn)G，連接EG，DG.因?yàn)镋是BD1的中點(diǎn)，所以EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC.因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，且AD∥BC，AD＝BC，所以DF∥BC，DF＝eq\f(1,2)BC.所以EG∥DF，EG＝DF.所以四邊形EFDG是平行四邊形，所以EF∥DG，又A1A＝AB，所以四邊形ABB1A1、四邊形CDD1C1都是正方形，且G為CD1的中點(diǎn)，所以DG⊥CD1，所以CD1⊥EF.變式1：在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，求證：DB1⊥EF.【證明】如圖，連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，A1G，C1G.則OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點(diǎn)，∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°，即DB1⊥EF.變式2：如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．若EF＝eq\r(2).求證：AD⊥BC.【證明】取BD的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H，因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，且AD＝2，所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，F(xiàn)H＝1，所以∠EHF(或其補(bǔ)角)是異面直線AD，BC所成的角，又因?yàn)镋F＝eq\r(2)，所以EH2＋FH2＝EF2，所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜邊，所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.故AD⊥BC.考點(diǎn)三直線與平面垂直的判定解題方略：1、直線與平面垂直定義的“雙向”作用(1)證明線面垂直若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線都垂直，則該直線與已知平面垂直．即線線垂直?線面垂直．(2)證明線線垂直若一條直線與一個(gè)平面垂直，則該直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直．即線面垂直?線線垂直．2、線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化【例4】下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是()①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直，則l⊥α；③若直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線垂直，則l⊥α；④若直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α.A．4 B．2C．3 D．1【解析】對(duì)于①②，不能判定該直線與平面垂直，該直線與平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面內(nèi)，所以是錯(cuò)誤的．③④是正確的．故選B.變式1：直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直【解析】∵直線l⊥平面α，∴l(xiāng)與α相交，又∵m?α，∴l(xiāng)與m相交或異面，由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m.故l與m不可能平行．故選A.變式2：直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關(guān)系是()A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直C．l在平面α內(nèi) D．不能確定【解析】如下圖所示，直線l和平面α相互平行，或直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內(nèi)都有可能．故選D.變式3：若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC【解析】由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故選C.變式4：一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不確定【解析】一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則其垂直三角形所在平面，從而垂直第三邊．故選B.變式5：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是________．(填序號(hào))【解析】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理?xiàng)l件．答案：①③④【例5】如圖所示，直角△ABC所在的平面外一點(diǎn)S，SA＝SB＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)．求證：直線SD⊥平面ABC.【證明】∵SA＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC.如圖，連接BD，在Rt△ABC中，則AD＝DC＝BD，∴△ADS≌△BDS，∴∠ADS＝∠BDS，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.變式1：已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，且PA＝PC，PB＝PD.若O是AC與BD的交點(diǎn)，求證：PO⊥平面ABCD.【證明】在△PBD中，PB＝PD，O為BD的中點(diǎn)，∴PO⊥BD.在△PAC中，PA＝PC，O為AC的中點(diǎn)，∴PO⊥AC，又∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.變式2：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)．證明：PC⊥平面BEF.【證明】如圖，連接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中點(diǎn)，所以EF⊥PC.又BP＝eq\r(AP2＋AB2)＝2eq\r(2)＝BC，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，BF，EF?平面BEF，所以PC⊥平面BEF.變式3：如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E，要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長(zhǎng)為________．【解析】設(shè)B1F＝x，因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1∥DF.由已知可得A1B1＝eq\r(2)，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1,2)h.又2×eq\r(2)＝heq\r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),6).在Rt△DB1F中，由面積相等得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)x，解得x＝eq\f(1,2).即線段B1F的長(zhǎng)為eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)考點(diǎn)四求直線與平面所成的角解題方略：求直線與平面所成角的一般步驟(1)尋找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線．(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角．(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角．【例6】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)直線A1B與平面ABCD所成的角的大小為_______；(2)直線A1B與平面ABC1D1所成的角的大小為________；(3)直線A1B與平面AB1C1D所成的角的大小為______．【解析】(1)由線面角定義知，∠A1BA為A1B與平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(2)如圖，連接A1D，設(shè)A1D∩AD1＝O，連接BO，則易證A1D⊥平面ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1內(nèi)的射影為OB，∴A1B與平面ABC1D1所成的角為∠A1BO.∵A1O＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°.(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥平面AB1C1D，即A1B與平面AB1C1D所成的角的大小為90°.答案：(1)45°(2)30°(3)90°變式1：長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝eq\r(2)，BC＝AA1＝1，則BD1與平面A1B1C1D1所成的角的大小為________．【解析】如圖所示，連接B1D1.則B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，則∠BD1B1是BD1與平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝eq\f(BB1,B1D1)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，則∠BD1B1＝30°.答案：30°變式2：如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60° B．45°C．30° D．120°【解析】∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2)，即∠ABO＝60°.故選A.變式3：三棱錐S-ABC的所有棱長(zhǎng)都相等且為a，求SA與底面ABC所成角的余弦值．【解析】如圖，過(guò)S作SO⊥平面ABC于點(diǎn)O，連接AO，BO，CO.則SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.∵SA＝SB＝SC＝a，∴△SOA≌△SOB≌△SOC，∴AO＝BO＝CO，∴O為△ABC的外心．∵△ABC為正三角形，∴O為△ABC的中心．∵SO⊥平面ABC，∴∠SAO即為SA與平面ABC所成的角．在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，∴cos∠SAO＝eq\f(AO,SA)＝eq\f(\r(3),3)，∴SA與底面ABC所成角的余弦值為eq\f(\r(3),3).考點(diǎn)五直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用解題方略：1、證明線線平行常有如下方法(1)利用線線平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)；(2)利用三線平行基本事實(shí)：證兩線同時(shí)平行于第三條直線；(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．2、線線、線面垂直問(wèn)題的解題策略(1)證明線線垂直，一般通過(guò)證明一條直線垂直于經(jīng)過(guò)另一條直線的平面，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過(guò)哪條直線的平面．(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點(diǎn)在解題時(shí)一定要體現(xiàn)出來(lái)．【例7】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線l(與直線BB1不重合)⊥平面A1C1，則()A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B與l異面但不垂直D．B1B與l相交但不垂直【解析】因?yàn)锽1B⊥平面A1C1，又因?yàn)閘⊥平面A1C1，所以l∥B1B.故選B.變式1：設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若m∥n，m⊥α，則n⊥αD．若m∥α，α⊥β，則m⊥β【解析】∵m∥n，m⊥α，則n⊥α，故選C.變式2：已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．①若m∥α，m⊥n，則n⊥α；②若m⊥α，n∥α，則m⊥n；③若m?α，n?β，且α∥β，則m∥n；④若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面．其中為真命題的是________．(填序號(hào))【解析】①若m∥α，m⊥n，則n與α位置關(guān)系不確定，故為假命題．②若n∥α，則α內(nèi)存在直線l與n平行．因?yàn)閙⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n.故為真命題．③若m?α，n?β，且α∥β，則m，n可能異面．故為假命題．④原命題的逆否命題為“若m與n垂直于同一平面，則m，n平行”，為真命題，所以原命題為真命題，所以②④為真命題．答案：②④變式3：【多選】下列命題正確的是()A.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥αB.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥bC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥b))?b∥αD.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))?b⊥α【解析】由性質(zhì)定理可得A、B正確．故選A、B.變式4：如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，D是側(cè)面PBC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作平面ABC的垂線DE，其中D?PC，則DE與平面PAC的位置關(guān)系是________.【解析】因?yàn)镈E⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，所以DE∥PA.又DE?平面PAC，PA?平面PAC，所以DE∥平面PAC.答案：平行變式5：PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC【解析】PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正確；又BC⊥AC，所以BC⊥面PAC，所以BC⊥PC，B、D均正確．故選C.【例8】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1.【證明】因?yàn)樗倪呅蜛DD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因?yàn)锳1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因?yàn)镸N⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.變式1：如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.【證明】因?yàn)镋A⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因?yàn)镋B⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由線面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l.變式2：如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G.求證：AE⊥SB.【證明】因?yàn)镾A⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB⊥BC.因?yàn)镾A∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因?yàn)锳E?平面SAB，所以BC⊥AE.因?yàn)镾C⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.又因?yàn)锽C∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.變式3：如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).求證：A1C⊥平面BB1D1D.【證明】∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.又底面ABCD是正方形∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.又OA1是AC的中垂線∴A1A＝A1C＝eq\r(2)，且AC＝2，∴AC2＝AAeq\o\al(2,1)＋A1C2∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B，∴A1C⊥平面BB1D1D.考點(diǎn)六二面角大小的計(jì)算解題方略：解決二面角問(wèn)題的策略(1)清楚二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)，通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點(diǎn)作平面角的頂點(diǎn)．(2)求二面角的大小的方法：一作：即先作出二面角的平面角；二證：即說(shuō)明所作角是二面角的平面角；三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函數(shù)值，其中關(guān)鍵是“作”．【例9】如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面積是△ACD的面積的2倍，沿AD將△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此時(shí)二面角B-AD-C的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°【解析】由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小為60°.故選C.變式1：如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A-PD-C平面角的度數(shù)；(2)求二面角B-PA-C平面角的度數(shù)．【解析】(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C平面角的度數(shù)為90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角．又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B-PA-C平面角的度數(shù)為45°.變式2：如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小．【解析】由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角．由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.考點(diǎn)七面面垂直的判定解題方略：證明面面垂直常用的方法(1)定義法：即說(shuō)明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直，即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”；(3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面．【例10】經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．無(wú)數(shù)個(gè) D．1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)【解析】當(dāng)兩點(diǎn)連線與平面α垂直時(shí)，可作無(wú)數(shù)個(gè)垂面，否則，只有1個(gè)．故選D.變式1：在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD【解析】由面面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正確．故選C.變式2：若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是()A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．不確定【解析】若方向相同則相等，若方向相反則互補(bǔ)．故選C.【例11】如圖所示，在四面體ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.【證明】法一：(利用定義證明)因?yàn)椤螧SA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等邊三角形，則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．取BC的中點(diǎn)D，如圖所示，連接AD，SD，則AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角．在Rt△BSC中，因?yàn)镾B＝SC＝a，所以SD＝eq\f(\r(2),2)a，BD＝eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ABD中，AD＝eq\f(\r(2),2)a，在△ADS中，因?yàn)镾D2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S為直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二：(利用判定定理)因?yàn)镾A＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以點(diǎn)A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．因?yàn)椤鱏BC為直角三角形，所以點(diǎn)A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點(diǎn)，所以AD⊥平面SBC.又因?yàn)锳D?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.變式1：如圖，在四面體ABCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.證明：取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE，因?yàn)椤鰽BD與△BCD是全等的等腰三角形，所以AE⊥BD，CE⊥BD，即∠AEC為二面角A-BD-C的平面角，在△ABD中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，所以AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\f(\r(2),2)a，同理，CE＝eq\f(\r(2),2)a.在△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a，故AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，即∠AEC＝90°，所以二面角A-BD-C的平面角為90°，所以平面ABD⊥平面BCD.考點(diǎn)八平面與平面垂直的性質(zhì)解題方略：應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理要注意的問(wèn)題應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理證明相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般需要作輔助線——過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．【例12】如圖，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形．△PAD為正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.若G為AD邊的中點(diǎn)．求證：平面PBG⊥平面PAD.【證明】∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．∵G為AD邊的中點(diǎn)，∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.∵BG?平面PBG，∴平面PBG⊥平面PAD.變式1：如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.求證：BC⊥AC.【證明】如圖，在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC交PC于點(diǎn)D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AD⊥平面PBC，又∵BC?平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，∵AC?平面PAC，∴BC⊥AC.練習(xí)一異面直線所成的角1、在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（）A． B． C．2 D．【解析】如圖所示，分別取，，，的中點(diǎn)，，，，則，，，或其補(bǔ)角為異面直線與所成角．設(shè)，則，，，異面直線與所成角的余弦值為，故選：A．2、如圖，四面體中，，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，若，則與所成的角的大小是（）A． B． C． D．【解析】如圖所示：取BC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，因?yàn)镋，F(xiàn)，G都為中點(diǎn)，所以,所以，分別為異面直線EF與AB，EF與CD所成的角，因?yàn)椋杂忠驗(yàn)?，，所以所?因?yàn)?，所以故選：A練習(xí)二證明直線與直線垂直問(wèn)題1、如圖，已知正方體.（1）求與所成角的大?。唬?）若E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，求證：.【解析】（1）如圖，連接，由幾何體是正方體，知四邊形為平行四邊形，所以，從而與所成的角為與所成的角，由，可知.故與所成的角為.（2）如圖，連接，易知四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)闉榈闹形痪€，所以.又，所以，所以.2、如圖，已知多面體的底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，底面，，是的中點(diǎn)，且.(1)求證；(2)求三棱錐的體積.【解析】(1)由題意可知，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，所以為等邊三角形，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)榈酌?，平面，故，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，，所以面，平面，?(2)由（1）知，，底面，則點(diǎn)到平面的距離即，又因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)為等邊三角形，所以，因?yàn)榈酌?，，所以為直角梯形，所以，所?即三棱錐的體積為：.練習(xí)三直線與平面垂直的判定1、正方體ABCD-A1B1C1D1中與AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1CB．平面A1DBC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB1【解析】∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1.故選D.2、如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C點(diǎn)到AB1的距離為CE，D為AB的中點(diǎn)．求證：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.【證明】(1)由題意知AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以CD⊥AA1.(2)因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB，A1A?平面A1B1BA，所以CD⊥平面A1B1BA.因?yàn)锳B1?平面A1B1BA，所以CD⊥AB1.又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD，CE?平面CED，所以AB1⊥平面CED.練習(xí)四求直線與平面所成的角1、直線l與平面α所成的角為70°，直線l∥m，則m與α所成的角等于()A．20° B．70°C．90° D．110°【解析】∵l∥m，∴直線l與平面α所成的角等于m與α所成的角，又直線l與平面α所成的角為70°，∴m與α所成的角為70°.故選B.2、在三棱柱中，，，且，則直線與平面所成的角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【解析】∵，，∴，∵，，，平面，∴平面，∴就是與平面所成的角，即與平面所成的角是，∵棱柱中，∴與平面所成的角的大小為，故選：A．3、直三棱柱中，，，則與面成角的正弦值為（）A． B． C． D．【解析】如圖，過(guò)作，連接，在直三棱柱中，因?yàn)樗云矫?，故在平面上的射影?所以為直線與平面所成的角，設(shè)，又所以故故選：A練習(xí)五直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用1、已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，給定下列四個(gè)命題，其中的真命題是()①若m⊥n，n?α，則m⊥α；②若m⊥α，n?α，則m⊥n；③若m⊥α，n⊥α，則m∥n；④若m?α，n?β，α∥β，則m∥n.A．①和② B．②和③C．③和④ D．①和④【解析】①中，直線m垂直于平面α內(nèi)的一條直線n，則直線m與平面α不一定垂直，所以①不是真命題；②是直線與平面垂直的定義的應(yīng)用，所以②是真命題；③是直線與平面垂直的性質(zhì)定理，所以③是真命題；④中，分別在兩個(gè)平行平面α，β內(nèi)的直線m，n平行或異面，所以④不是真命題．故選B.2、如圖，?ADEF的邊AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，則CE＝()A．2 B．3C.eq\r(5) D.eq\r(13)【解析】因?yàn)樗倪呅蜛DEF為平行四邊形，所以AF∥DE且AF＝DE.因?yàn)锳F⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因?yàn)锳F＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\r(9＋4)＝eq\r(13).故選D.3、如圖，α∩β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是()A．異面 B．平行C．垂直 D．不確定【解析】∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l(xiāng)⊥平面ABC.∵AC?平面ABC，∴l(xiāng)⊥AC.故選C.4、線段AB在平面α的同側(cè)，A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點(diǎn)到α的距離為________．【解析】如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，分別過(guò)A，M，B向α作垂線，垂足分別為A1，M1，B1，則由線面垂直的性質(zhì)可知，AA1∥MM1∥BB1，四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1為其中位線，∴MM1＝4.答案：45、已知直線l，m，a，b，l⊥a，l⊥b，m⊥a，m⊥b，且a，b是異面直線，求證：l∥m.【證明】如圖，在直線b上任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作a′∥a，則直線b，a′確定一個(gè)平面α.∵a′∥a，l⊥a，∴l(xiāng)⊥a′.∵l⊥b，a′∩b＝O，∴l(xiāng)⊥α.同理可證m⊥α，∴l(xiāng)∥m.6、在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點(diǎn)E，l⊥平面PCD.求證：l∥AE.【證明】因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.又四邊形ABCD是矩形，所以CD⊥AD.因?yàn)镻A∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又AE?平面PAD，所以AE⊥DC.因?yàn)锳E⊥PD，PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因?yàn)閘⊥平面PCD，所以l∥AE.練習(xí)六二面角大小的計(jì)算1、若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，而△PBC和△ABC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA＝eq\r(6)，那么二面角P-BC-A的大小為________．【解析】取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OP(圖略)，則∠POA為二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝eq\r(3)，PA＝eq\r(6)，所以△POA為直