北師大版七年級數(shù)學上冊專項素養(yǎng)綜合練課件合集共9套

北師大版七年級數(shù)學上冊專項素養(yǎng)綜合練課件合集共9套專項素養(yǎng)綜合全練(一)忽略分類討論致錯歸類練易錯易錯點1遇數(shù)軸忽略分類討論1.(2024河南周口淮陽期中)數(shù)軸上點A表示的數(shù)是-4,將點A

在數(shù)軸上平移6個單位長度得到點B,則點B表示的數(shù)是

(

)A.2

B.-2或2

C.-10

D.2或-10D解析將點A向左平移6個單位,得到點B,此時點B表示的數(shù)

為-4-6=-10,將點A向右平移6個單位,得到點B,此時點B表示的數(shù)為-4+6=

2,所以點B表示的數(shù)是2或-10.故選D.2.(2024河南信陽息縣期中)如圖,圓的直徑為1個單位長度,該

圓上的點A與數(shù)軸上表示-1的點重合.將圓沿數(shù)軸滾動1周,點

A到達點B的位置,則點B表示的數(shù)是

(

)

A.π-1

B.-π-1C.-π+1

D.π-1或-π-1D解析因為圓的直徑為1個單位長度,所以該圓的周長為π.所以當圓沿數(shù)軸向左滾動1周時,點B表示的數(shù)是-π-1;當圓沿數(shù)軸向右滾動1周時,點B表示的數(shù)是π-1.故選D.易錯警示注意此題中沒有說明滾動的方向,應分兩種情況討論.3.(2023湖南邵陽綏寧期末)數(shù)軸上點P所表示的數(shù)是-3,點Q

到點P的距離是5,則點Q所表示的數(shù)是

.-8或2解析點Q可能在點P的左邊,也可能在點P的右邊,因此點Q

所表示的數(shù)是-8或2.易錯點2遇絕對值忽略分類討論4.(2024山東聊城東昌府期中)絕對值小于3的整數(shù)有(

)A.3個

B.4個

C.5個

D.2個C解析絕對值小于3的整數(shù)有5個:0,-1,1,-2,2.故選C.5.(2023湖南邵陽綏寧期末)若|m|=|-3|,則m的值為

(

)A.-3

B.3

C.±3

D.-

C解析因為|m|=|-3|,所以|m|=3,所以m=±3.故選C.6.(2024河南焦作溫縣期中)若|a|=2,|b|=7,則|a+b|的值是

(

)A.5

B.9

C.5或9

D.±5或±9C解析因為|a|=2,所以a=±2.因為|b|=7,所以b=±7.當a=2,b=7時,|a+b|=|2+7|=9;當a=2,b=-7時,|a+b|=|2-7|=5;當a=-2,b=7時,|a+b|=|-2+7|=5;當a=-2,b=-7時,|a+b|=|-2-7|=9.綜上,|a+b|的值是5或9,故選C.7.(2024廣東揭陽榕城期中)已知|m|=4,|n|=6,且m+n=|m+n|,則m

-n的值是

(

)A.-10

B.-2

C.-2或-10

D.2C解析因為m+n=|m+n|,|m|=4,|n|=6,所以m=4,n=6或m=-4,n=6.所以m-n=4-6=-2或m-n=-4-6=-10.故選C.8.(2023內(nèi)蒙古呼和浩特玉泉期末)若a的相反數(shù)是-2,b的絕對

值是5,則a-b=

.-3或7解析因為a的相反數(shù)是-2,b的絕對值是5,所以a=2,b=±5.所以a-b=-3或7.9.(2023河南安陽林州期中)對于有理數(shù)x,y,若

<0,則

+

+

的值是

.-1解析因為

<0,所以x,y異號.所以xy<0.所以

=

=-1,當x>0時,y<0,則

=

=-1,

=

=1,所以原式=-1+(-1)+1=-1.當x<0時,y>0,則

=

=1,

=

=-1,所以原式=-1+1-1=-1.故答案為-1.10.(2024山東聊城東昌府期中)若a,b互為相反數(shù),c,d互為倒

數(shù),m的絕對值為5.求m-cd+2(a+b)的值.解析因為a,b互為相反數(shù),所以a+b=0.因為c,d互為倒數(shù),所以cd=1.因為|m|=5,所以m=±5.當m=5時,原式=5-1+2×0=4.當m=-5時,原式=-5-1+2×0=-6.易錯點3遇偶次冪忽略分類討論11.平方等于

的數(shù)是

.±解析平方等于

的數(shù)是±

.易錯警示由于互為相反數(shù)的兩個數(shù)的平方相等,因此平方等于正

數(shù)的數(shù)有兩個.專項素養(yǎng)綜合全練(七)一元一次方程的熱點應用類型練題型類型一銷售問題1.為迎春節(jié),某商家將一件文具按進價的60%提價后標價,銷

售時按標價打折銷售,最后相對于進價仍獲利4%,則這件文

具銷售時打

折.六五解析設這件文具銷售時打x折,這件文具的進價為a元,依題意,得(1+60%)a×

-a=4%a,解得x=6.5.所以這件文具銷售時打六五折.2.(2024上海崇明期末)在元旦“迎新年”期間,商場開展促

銷優(yōu)惠活動,小明喜歡的一件定價為200元的棒球服打8折出

售,即使打折出售,商家的利潤率仍能達到60%,那么這套棒球

服的成本價是多少元?解析設這套棒球服的成本價是x元,根據(jù)題意,得200×80%-x=60%x,解得x=100.答:這套棒球服的成本價是100元.3.(一題多解)某超市第一次用7000元購進甲、乙兩種商品,

其中甲商品的件數(shù)是乙商品件數(shù)的2倍,甲、乙兩種商品的

進價和售價如下表:(注:利潤=售價-進價)

甲乙進價(元/件)2030售價(元/件)2540(1)該超市第一次購進甲、乙兩種商品各多少件?(2)該超市將第一次購進的甲、乙兩種商品全部賣完后一共

可獲得多少利潤?(3)該超市第二次以第一次的進價又購進甲、乙兩種商品,其

中甲商品的件數(shù)不變,乙商品的件數(shù)是第一次的3倍,甲商品

按原價銷售,乙商品打折銷售,第二次兩種商品都售完以后獲

得的總利潤比第一次獲得的總利潤多800元,第二次乙商品

打幾折銷售?解析

(1)設第一次購進乙種商品x件,則購進甲種商品2x件,根據(jù)題意,得20×2x+30x=7000,解得x=100.2x=200.答:該超市第一次購進甲種商品200件,購進乙種商品100件.(2)(25-20)×200+(40-30)×100=2000(元).答:該超市將第一次購進的甲、乙兩種商品全部賣完后一共

可獲得利潤2000元.(3)解法一:設第二次乙商品打y折銷售.根據(jù)題意,得(25-20)×200+

×100×3=2000+800,解得y=9.答:第二次乙商品打9折銷售.解法二:設第二次乙商品每件售價為y元,根據(jù)題意,得(25-20)×200+(y-30)×100×3=2000+800,解得y=36.

×100%=90%.答:第二次乙商品打9折銷售.類型二行程問題4.(情境題·現(xiàn)實生活)(2024重慶忠縣期末)沒有開通高速公路

以前,王老師從杉木村駕車到縣城需要2小時.高速公路開通

以后,王老師的車速平均每小時提高了60千米,結果40分鐘就

從杉木村到了縣城.(1)假設開通高速公路前后從杉木村駕車到縣城的路程不變,

求王老師在高速公路開通以前駕車的平均車速;(2)實際上在高速公路開通以后從杉木村到縣城的路程還減

少了20千米,求王老師在高速公路開通以后駕車的平均車速.解析

(1)設王老師在高速公路開通以前駕車的平均車速為x

千米/時,根據(jù)題意,得2x=

(x+60),解得x=30.答:王老師在高速公路開通以前駕車的平均車速為30千米/

時.(2)設王老師在高速公路開通以后駕車的平均車速為y千米/

時,根據(jù)題意,得2(y-60)=

y+20,解得y=105.答:王老師在高速公路開通以后駕車的平均車速為105千米/

時.5.(核心素養(yǎng)·模型觀念)(2022江蘇揚州廣陵月考)一科技小組

進行機器人行走性能測試,如圖,已知MN是周長為360米的圓

形跑道的直徑,機器人A從點M出發(fā),機器人B從點N出發(fā),機器

人A的行走速度為每分鐘a米,機器人B的行走速度為每分鐘5

米,當機器人B到達點M時,兩個機器人同時停止行走,設行走

的時間為t分鐘.(1)若a=15,機器人A順時針行走,機器人B逆時針行走,如圖1,

當t為何值時,機器人A與機器人B第一次相遇?(2)如圖2,A、B兩個機器人同時順時針行走,當t=10時,A與B第一次相遇.①求a的值;②當t為何值時,A、B兩個機器人在圓形跑道上相距60米?

圖1圖2解析

(1)由題意得15t+5t=360×

,解得t=9.答:當t為9時,機器人A與機器人B第一次相遇.(2)①由題意得10a-10×5=360×

,解得a=23.②相遇前,23t-5t=360×

-60,解得t=

;相遇后,23t-5t=360×

+60,解得t=

.答:當t為

或

時,A、B兩個機器人在圓形跑道上相距60米.類型三工程問題6.(情境題·勞動生產(chǎn))(2024天津西青期末)整理一批圖書,由一

個人整理要30小時完成,現(xiàn)在計劃由一部分人先整理2小時,

再增加3人和他們一起整理4小時,完成這項工作,假設每個人

的工作效率相同,先安排x人整理2小時,則可列方程為

(

)A.

x-

(x+3)=1

B.

x+

(x-3)=1C.

(x+3)+

x=1

D.

x+

(x+3)=1D解析由一個人整理要30小時完成,得一個人一小時能完成

全部工作的

.由題意可列方程為

x+

(x+3)=1,故選D.7.一項工程,甲隊單獨做需12天完成,乙隊單獨做需20天完成,

丙隊單獨做需15天完成,現(xiàn)在甲、乙兩隊先合作4天,剩余的

工作再由乙、丙兩隊合作完成,求乙隊一共做了幾天.解析設乙隊一共做了x天.則

+

+

=1,解得x=8.答:乙隊一共做了8天.8.(2023內(nèi)蒙古烏蘭察布涼城期末)一項工程,甲隊單獨完成

需30天,乙隊單獨完成需45天.(1)現(xiàn)甲隊先單獨做20天,之后兩隊合作完成.甲、乙兩隊合

作多少天才能把該工程完成?(2)甲隊施工一天需付工程款3.5萬元,乙隊施工一天需付工

程款2萬元.由甲、乙兩隊合作完成該工程需要多少錢?解析

(1)設甲、乙兩隊合作x天才能把該工程完成,由題意得

+

=1,解得x=6.答:甲、乙兩隊合作6天才能把該工程完成.(2)設甲、乙兩隊合作m天可以把該工程完成,由題意得

+

=1,解得m=18,(3.5+2)×18=99(萬元).答:甲、乙兩隊合作完成該工程需要99萬元.類型四配套問題9.(易錯題)(2024重慶江津期末)某校社團活動課中,手工制作

社的同學用一種彩色硬紙板制作某種長方體小禮品的包裝

盒,每張硬紙板可制作盒身8個或制作盒底12個,1個盒身與2

個盒底配成一套.現(xiàn)有28張這種彩色硬紙板,要使盒身和盒底

剛好配套,設需用x張制作盒身,則下面所列方程正確的是

(

)A.12(28-x)=8x

B.12(28-x)=2×8xC.2×12(28-x)=8x

D.12(14-x)=8xB解析根據(jù)“盒底的數(shù)量=盒身數(shù)量的2倍”可列方程為12(28-x)=2×8x,故選B.類型五分段計費問題10.(易錯題)(2024重慶渝北期末)雙“十一”活動期間,劉老

師在某平臺購買冰箱、彩電和洗衣機,雙“十一”活動具體

優(yōu)惠情況如下表:購物總金額(原價)優(yōu)惠率不超過5000元的部分10%超過5000元且不超過10000

元的部分20%超過10000元且不超過2000

0元的部分30%……已知劉老師買這三件電器總共花費了6820元.(1)請求出三件電器的原價之和是多少錢.(2)幾天后,劉老師發(fā)現(xiàn)洗衣機的尺寸不合適,需要退貨.商家

規(guī)定:消費者要支付優(yōu)惠差額(即退貨商品在購物時所享受的

優(yōu)惠),并且還要支付洗衣機原價5%的快遞費,最終該平臺退

還了劉老師2345元,該洗衣機的原價是多少錢?解析

(1)設三件電器的原價之和是x元,由題意,得x-5000×10%-(x-5000)×20%=6820.解得x=7900.答:三件電器的原價之和是7900元.(2)設洗衣機的原價為a元,由題意,得(7900-a)(1-10%)=6820-(2345+5%a),解得a=3100.答:洗衣機的原價為3100元.易錯警示注意此題退洗衣機后,原總價不到5000元,不能享受超

過5000元的優(yōu)惠.專項素養(yǎng)綜合全練(三)整式的化簡說理題練題型方法歸納在整式運算的過程中,若涉及“不含某項”或“與某項

無關”,其實質是指合并同類項后“不含項”或“無關項”

的系數(shù)為0.若一個多項式的值與某字母的取值無關,則該多

項式中含這個字母的項的系數(shù)為0.若整式加減運算的結果

為定值,則運算的結果中不含有任何字母.題型一“不含型”問題1.(2024廣東揭陽榕城期中)已知關于x的多項式-2x3+6x2+9x+

1-(3ax2-5x+3)化簡后不含x2項,那么a的值是

(

)A.-3

B.3

C.-2

D.2D解析-2x3+6x2+9x+1-(3ax2-5x+3)=-2x3+6x2+9x+1-3ax2+5x-3=-2x3+(6-3a)x2+14x-2.因為關于x的多項式-2x3+6x2+9x+1-(3ax2-5x+3)化簡后不含x2

項,所以6-3a=0,解得a=2.故選D.2.(2024山東濟寧梁山期中)若關于x的多項式3

-(mx2-6x-1)化簡后不含x項和x2項,則m+n=

.-1解析

3

-(mx2-6x-1)=3x3+x2+3nx-mx2+6x+1=3x3+(1-m)x2+(3n+6)x+1.因為關于x的多項式3

-(mx2-6x-1)化簡后不含x項和x2項,所以1-m=0,3n+6=0.所以m=1,n=-2,所以m+n=1-2=-1.3.已知多項式A=ay-1,B=3ay-5y-1,且多項式2A+B中不含字母

y,求a的值.解析

2A+B=2(ay-1)+(3ay-5y-1)=2ay-2+3ay-5y-1=5ay-5y-3=5(a-1)y-3.因為多項式2A+B中不含字母y,所以5(a-1)=0,所以a-1=0,所以a=1.題型二“無關型”問題4.若多項式3x2-3(5+y-2x2)+mx2的值與x的值無關,則m等于

(

)A.0

B.3

C.-3

D.-9D解析

3x2-3(5+y-2x2)+mx2=3x2-15-3y+6x2+mx2=(9+m)x2-3y-15.因為多項式3x2-3(5+y-2x2)+mx2的值與x的值無關,所以9+m=0,解得m=-9.故選D.5.已知A=2a2+3ab-2a-1,B=-a2+

ab+

.(1)求4A-(3A-2B)的值;(2)若(1)中式子的值與a的取值無關,求b的值.解析

(1)因為A=2a2+3ab-2a-1,B=-a2+

ab+

,所以原式=4A-3A+2B=A+2B=2a2+3ab-2a-1-2a2+ab+

=4ab-2a+

.(2)由(1)得原式=(4b-2)a+

,由(1)中式子的值與a的取值無關,得4b-2=0,解得b=

.題型三“定值型”問題6.在數(shù)學課上,王老師出示了這樣一道題目:“當a=

,b=-3時,求多項式2a2+4ab+2b2-2(a2+2ab+b2-1)的值.”解完這道題后,

小明指出:“a=

,b=-3是多余的條件.”師生討論后,一致認為小明的說法是正確的.(1)小明的說法為什么是正確的?(2)受此啟發(fā),王老師又出示了一道題目:“已知無論x,y取何

值,多項式2x2-my+12-(nx2+3y-6)的值都等于定值18,求m+n的

值.”請你解決這個問題.解析

(1)2a2+4ab+2b2-2(a2+2ab+b2-1)=2a2+4ab+2b2-2a2-4ab-2b2+2=2.所以該多項式的值為常數(shù),與a和b的取值無關,小明的說法是

正確的.(2)2x2-my+12-(nx2+3y-6)=2x2-my+12-nx2-3y+6=(2-n)x2+(-m-3)y+18,因為無論x,y取什么值,多項式2x2-my+12-(nx2+3y-6)的值都等

于定值18,所以2-n=0,-m-3=0,解得n=2,m=-3.所以m+n=-3+2=-1.7.(新考向·代數(shù)推理)(2024河南平頂山寶豐期中)已知A=2a2+

3ab-2a-1,B=a2+ab-1.(1)若(a+2)2+|b-3|=0,求A-2B的值.(2)當b=

時,無論a取何值,A-2B的值總是一個定值

.解析

(1)A-2B=2a2+3ab-2a-1-2(a2+ab-1)=2a2+3ab-2a-1-2a2-2ab+2=ab-2a+1.因為(a+2)2+|b-3|=0,(a+2)2≥0,|b-3|≥0,所以a+2=0,b-3=0,所以a=-2,b=3.所以原式=(-2)×3-2×(-2)+1=-6+4+1=-1.(2)由(1)知,A-2B=ab-2a+1=a(b-2)+1.所以當b=2時,無論a取何值,A-2B的值總是一個定值1.故答案為2;1.專項素養(yǎng)綜合全練(九)新定義型試題練趨勢類型一新運算型1.(2024山東聊城東昌府期中)用“☆”定義一種新運算:對

于任意有理數(shù)a和b,規(guī)定a☆b=ab2+a.如:1☆3=1×32+1=10,則(-2)☆3的值為

(

)A.10

B.-15

C.-16

D.-20D解析根據(jù)題意得(-2)☆3=-2×32-2=-18-2=-20,故選D.2.規(guī)定

=a1b2-a2b1,若

=-4,則x=

.2解析

因為

=a1b2-a2b1,

=-4,所以4(2x-3)-2(x+2)=-4.去括號,得8x-12-2x-4=-4.移項、合并同類項,得6x=12.系數(shù)化為1,得x=2.故答案為2.3.(2024河南焦作溫縣期中改編)符號“f”“g”分別表示一

種運算,它對一些數(shù)的運算結果如下:(1)f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,……,f(10)=9,……;(2)g

=2,g

=3,g

=4,g

=5,……,g

=11,…….利用以上規(guī)律計算:g

-f(2028)=

.1解析由題意,可得f(n)=n-1,g

=n,所以g

-f(2028)=2028-2027=1.4.定義一種新的運算:對于任意有理數(shù)a,b,都有a

b=a+b,a

b=a-b,等式右邊是通常的加法、減法運算,例如:a=2,b=1,則a

b=2+1=3,a

b=2-1=1.(1)求(-2)

3+4

(-2)的值.(2)化簡:a2b

3ab+5a2b

4ab.解析

(1)根據(jù)題意得(-2)

3+4

(-2)=(-2)+3+4-(-2)=7.(2)根據(jù)題意得a2b

3ab+5a2b

4ab=a2b+3ab+5a2b-4ab=6a2b-ab.5.(2022安徽阜陽潁州模擬)觀察下列各式,發(fā)現(xiàn)運算“?”

滿足規(guī)律如下:1?3=1×4+3=7;0?6=0×4+6=6;3?(-1)=3×4-1=11;(-8)?5=(-8)×4+5=-27;(-4)?(-3)=(-4)×4-3=-19;……根據(jù)以上規(guī)律,解決下列問題:(1)直接寫出:2?0=

;a?b=

(用含a、b的式子表示);(2)求證:當x=y時,x?y=y?x.解析

(1)由題意得2?0=2×4+0=8,a?b=a×4+b=4a+b.(2)證明:當x=y時,x?y=x×4+y=4x+y=5x,y?x=y×4+x=4y+x=5x,

所以x?y=y?x.類型二新概念型6.(2024山東臨沂臨沭期中)設[x]表示不超過x的最大整數(shù),如

[2.7]=2,[-4.5]=-5,則[3.7]和[-6.5]所對應的點在數(shù)軸上的距離

是

.10解析由題意得[3.7]=3,[-6.5]=-7,所以[3.7]和[-6.5]所對應的點在數(shù)軸上的距離是3-(-7)=10.7.如圖,射線OC在∠AOB的內(nèi)部,圖中共有3個角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩

倍,則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”.若∠AOB=60°,且射

線OC是∠AOB的“巧分線”,則∠AOC的度數(shù)為

.

20°或30°或40°解析若∠AOB=60°,且射線OC是∠AOB的“巧分線”,則

由“巧分線”的定義可知有三種情況:①∠BOC=2∠AOC,此時∠AOC=20°;②∠AOB=2∠AOC,此時∠AOC=30°;③∠AOC=2∠BOC,此時∠AOC=40°.故答案為20°或30°或40°.8.(新考法)(2023福建寧德福鼎期中)對于有理數(shù)a,b,n,d,若|a-n|+|b-n|=d,則稱a和b關于n的“理想值”為d,例如:|2-1|+|3-1|=

3,則2和3關于1的“理想值”為3.(1)-2和3關于2的“理想值”為

;(2)若a和-2關于1的“理想值”為4,求a的值;(3)若a和b關于1的“理想值”為2,求a+b的最大值.解析本題借助絕對值考查新定義中的整式計算.(1)-2和3關于2的“理想值”為|-2-2|+|3-2|=5.故答案為5.(2)因為a和-2關于1的“理想值”為4,所以|a-1|+|-2-1|=4,所以|a-1|=1,所以a=2或a=0.(3)因為a和b關于1的“理想值”為2,所以|a-1|+|b-1|=2,當a-1>0,b-1>0時,a+b的值最大,此時|a-1|+|b-1|=a-1+b-1=2,所以a+b=4,所以a+b的最大值是4.類型三新方法型9.任何一個無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式,應該怎樣

寫呢?我們以無限循環(huán)小數(shù)0.

為例進行說明:設0.

=x,由0.

=0.7777…可知,10x=7.7777…,所以10x-x=7,解方程,得x=

,于是得0.

=

.將0.

寫成分數(shù)的形式是

.

解析設0.

=x,則100x=45.

,所以100x-x=45.解得x=

.類型四新知識型10.(中點模型)(2024山東臨沂臨沭期中改編)【知識背景】數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具,利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完

美結合.研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了很多重要的規(guī)律:比如數(shù)軸上點

A,B表示的數(shù)為a,b,則A,B兩點之間的距離AB=|a-b|;線段AB的

中點P表示的數(shù)為

.【問題呈現(xiàn)】已知數(shù)軸上兩點A,B表示的數(shù)分別為-20,10,點M從點A出發(fā),以每秒3個單位長度的速度向點B運動,同時點N從點B出發(fā),

以每秒2個單位長度的速度向點A運動.設線段MN的中點

為P,點N的運動時間為t秒(t>0).(1)線段AB的中點表示的數(shù)為

,點M表示的數(shù)為

,點N表示的數(shù)為

(用含t的代數(shù)式表示);(2)當點P與數(shù)軸上表示-2的點重合時,求t的值;(3)當M,N兩點相距10個單位長度時,求t的值.

解析

(1)線段AB的中點表示的數(shù)為

=-5,由題意得t秒后,點M表示的數(shù)為3t-20,點N表示的數(shù)為10-2t,故答案為-5;3t-20;10-2t.(2)線段MN的中點P表示的數(shù)為

=

.由題意得

=-2,解得t=6.(3)點M表示的數(shù)為3t-20,點N表示的數(shù)為10-2t,由題意得|10-2t-(3t-20)|=10,整理得|30-5t|=10,解得t=8或t=4.所以t的值為8或4.專項素養(yǎng)綜合全練(二)有理數(shù)的運算技巧練方法方法一歸類相加方法歸納(1)互為相反數(shù)的兩數(shù)先相加——“相反數(shù)結合法”;(2)符號相同的數(shù)先相加——“同號結合法”;(3)分母相同的數(shù)先相加——“同形結合法”;(4)相加能得到整數(shù)的數(shù)先相加——“湊整法”.1.計算:(-41)+18+(-39)+12.解析原式=[(-41)+(-39)]+(18+12)=-50.2.計算:5

+4

+2

+2

.解析原式=

+

=8+7=15.3.計算:

+15.5+

+

.解析原式=

+15

+

+

=

+

=10-10=0.4.計算:(-45)-(+9)-(-45)+(+9).解析原式=(-45)+(-9)+45+9=[(-45)+45]+[9+(-9)]=0+0=0.5.計算:

+3+

-

+5+

-

.解析原式=

+

+(3+5)+

=0+0+8+

=8

.方法二拆項重組方法歸納帶分數(shù)相加時,先拆成整數(shù)和真分數(shù)的和,再利用加法的運算

律進行相加.6.閱讀下面文字:對于

+

+17

+

可以進行如下計算:原式=

+

+

+

=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+

+

-

+

+

-

=0+

=-1

.上面這種方法叫拆項法,類比上面的方法計算:(1)

+22

+

+24

;(2)

+

+4000

+

.解析

(1)

+22

+

+24

=

+

+

+

=(-23+22-21+24)+

=2-

=

.(2)

+

+4000

+

=

+

+

+

=[-1+(-2000)+4000+(-1999)]+

-

+

+

+

=0+

=-

.方法三倒序相加方法示例例題:計算1+2+3+…+98+99+100的和.解:令S=1+2+3+…+98+99+100①,S=100+99+98+…+3+2+1②,①+②,得2S=(1+100)×100,解得S=5050.7.計算:2+4+6+8+…+2024.解析令S=2+4+6+8+…+2024①,S=2024+…+8+6+4+2②,①+②得2S=(2+2024)×

=2026×1012,所以S=2026×506=1025156.方法四改變順序方法歸納可以利用運算律改變運算順序,簡化運算.其中,乘法分配律

可正用、逆用、拆項運用等.8.(2024廣東揭陽榕城期中)計算:-14-

×24+|-4|.解析原式=-1-

+4=-1-(14-20+36)+4=-1-30+4=-27.9.(2024山西大同期中)閱讀下面材料.利用運算律有時能進行簡便計算.例1:98×12=(100-2)×12=1200-24=1176.例2:-16×233+17×233=(-16+17)×233=233.參照上面的例題.利用運算律進行簡便計算:(1)

÷9;(2)

×

+

×

+2

×

.解析

(1)

÷9=

×

=-9×

-

×

=-1-

=-1

.(2)

×

+

×

+2

×

=

×

=

×

=

×1=

.方法五錯位相減方法歸納多個數(shù)求和,且相鄰兩數(shù)比值為定值,例如:1+a+a2+a3+…+an,

其中a≠1.令S=1+a+a2+a3+…+an,其中a≠1,等號左右兩邊同時乘a,得到

aS=a+a2+a3+…+an+an+1,兩個等式錯位相減,得(a-1)S=an+1-1,從

而求得S=

,所以1+a+a2+a3+…+an=

,其中a≠1.10.為了求1+3+32+33+…+3100的值,可令M=1+3+32+33+…+3100,

則3M=3+32+33+…+3101.因此3M-M=3101-1,所以M=

,即1+3+32+33+…+3100=

,仿照以上推理計算:1+5+52+53+…+52026的值.解析設M=1+5+52+53+…+52026,則5M=5+52+53+…+52027,所以5M-M=52027-1,所以4M=52027-1,所以M=

,即1+5+52+53+…+52026=

.方法六裂項相消方法歸納1.逆用分數(shù)的加減法法則,可得規(guī)律

=

-

(n為正整數(shù)).2.根據(jù)規(guī)律把每一項拆成兩項,再把互為相反數(shù)的項消去.11.計算:(1)

+

+

+

;(2)

+

+

+

+

.解析

(1)

+

+

+

=1-

+

-

+

-

+

-

=1-

=

.(2)

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

×

1-

+

-

+

-

+

-

+

-

=

×

=

.易錯警示把每一項拆成兩項時,注意變形前后的值相等,即要進行

恒等變形.專項素養(yǎng)綜合全練(五)線段與角計算中的思想方法練方法思想方法一方程思想1.(1)如圖1,已知點C為AB上一點,AC=15cm,CB=

AC,若D,E分別為AC,AB的中點,求DE的長.(2)如圖2,∠AOC∶∠COD∶∠DOB=2∶3∶4,OM平分∠AOC,ON平分∠DOB,且∠MON=90°,求∠AOB的度數(shù).

解析

(1)因為AC=15cm,CB=

AC,所以CB=

×15=10(cm).所以AB=15+10=25(cm).因為D,E分別為AC,AB的中點,所以AE=

AB=12.5cm,AD=

AC=7.5cm,所以DE=AE-AD=12.5-7.5=5(cm).(2)因為∠AOC∶∠COD∶∠DOB=2∶3∶4,所以設∠AOC=2x,∠COD=3x,∠DOB=4x,則∠AOB=9x.因為OM平分∠AOC,ON平分∠DOB,所以∠MOC=x,∠NOD=2x,所以∠MON=x+3x+2x=6x=90°,所以x=15°.所以∠AOB=135°.思想方法二分類討論思想2.(2024山東菏澤成武期中)點A,B,C是直線l上三點,如果點M

是線段AB的中點,點N是線段BC的中點,若AB=10,BC=4,則

MN=

(

)A.6

B.3或7

C.3

D.7B解析①當點C在線段AB的延長線上時,如圖1,因為點M為

線段AB的中點,點N為線段BC的中點,AB=10,BC=4,所以MB=

AB=5,BN=

BC=2.所以MN=MB+BN=5+2=7.

②當點C在線段AB上時,如圖2,因為點M為線段AB的中點,點

N為線段BC的中點,AB=10,BC=4,所以MB=

AB=5,BN=

BC=2,所以MN=MB-BN=5-2=3.

所以MN的長為7或3.故選B.3.(2023湖北武漢新洲期末)已知∠AOB=100°,過點O作射線

OC,使∠AOC=20°,OM是∠BOC的平分線,則∠BOM的度數(shù)

為

.40°或60°解析如圖1所示,當射線OC在∠AOB內(nèi)部時,因為∠AOB=100°,∠AOC=20°,所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=80°.因為OM是∠BOC的平分線,所以∠BOM=

∠BOC=40°.如圖2所示,當射線OC在∠AOB外部時,

因為∠AOB=100°,∠AOC=20°,所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=120°.因為OM是∠BOC的平分線,所以∠BOM=

∠BOC=60°.綜上所述,∠BOM=40°或60°.4.(情境題·中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化)(2023遼寧沈陽皇姑期末)圖①

中的水車是一種古老的提水灌溉工具,圖②是它的示意圖,水

車的主體是一個圓形,且被等分成了8份,△OAB是水車的支

架,∠AOB=60°.水車的支架固定不動,水車的主體可繞著圓

心O旋轉.(1)求∠COD的度數(shù);(2)在圖②中,若OC平分∠AOB,求∠BOD的度數(shù);(3)在水車的旋轉過程中,設∠BOD的度數(shù)為x°,直接寫出∠AOC的度數(shù)(用含x的代數(shù)式表示).解析

(1)∠COD=360°÷8=45°.(2)因為∠AOB=60°,OC平分∠AOB,所以∠BOC=

∠AOB=

×60°=30°,所以∠BOD=∠COD-∠BOC=45°-30°=15°.(3)當OC不在∠AOB外且OD不在∠AOB內(nèi)時,如圖1所示,因為∠BOD=x°,∠COD=45°,所以∠BOC=∠COD-∠BOD=45°-x°.因為∠AOB=60°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=(15+x)°;

當OC不在∠AOB外且OD在∠AOB內(nèi)時,如圖2所示,因為∠BOD=x°,∠COD=45°,∠AOB=60°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOD-∠COD=(15-x)°;

當OD在∠AOB左側時,如圖3所示,因為∠BOD=x°,∠COD=45°,∠AOB=60°,所以∠AOC=∠BOD+∠COD-∠AOB=(x-15)°;

當OC在∠AOB右側時,如圖4所示,因為∠BOD=x°,∠COD=45°,∠AOB=60°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOD-∠COD=(x+15)°;

當∠COD在圓形的頂部,且位于∠AOB的對頂角內(nèi)部時(角

的邊可以重合),如圖5所示,

此時,∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB+∠COD=345°.所以∠AOC=(345-x)°.綜上所述,∠AOC的度數(shù)為(x-15)°或(15-x)°或(x+15)°或(345

-x)°.思想方法三整體思想5.(2023湖北黃石期末)如圖,已知點A,B在數(shù)軸上表示的數(shù)分

別為-2和14,點C,D在線段AB上,且CD=4,點E,F分別是AC,BD

的中點.(1)若AC=4,求線段EF的長.(2)當線段CD在線段AB上運動時,試判斷EF的長度是否發(fā)生

變化.如果不變,請求出EF的長;如果變化,請說明理由.

解析

(1)因為點A,B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為-2和14,所以

AB=16.因為CD=4,AC=4,所以BD=AB-CD-AC=8.因為E,F分別是AC,BD的中點,所以CE=

AC=2,DF=

BD=4.所以EF=CE+CD+DF=10.(2)不變.因為AB=16,CD=4,所以AC+BD=AB-CD=12.因為E,F分別是AC,BD的中點,所以CE=

AC,DF=

BD.所以CE+DF=

AC+

BD=

(AC+BD)=6,所以EF=CE+CD+DF=10.專項素養(yǎng)綜合全練(八)跨學科專題練趨勢類型一信息技術中的探索規(guī)律1.在計算機程序中,二叉樹是一種表示數(shù)據(jù)結構的方法.如圖,

一層二叉樹的結點總數(shù)為1;二層二叉樹的結點總數(shù)為3;三層

二叉樹的結點總數(shù)為7;……,照此規(guī)律,七層二叉樹的結點總

數(shù)為

.127解析

根據(jù)題意可得,n層二叉樹的結點總數(shù)為2n-1,故七層二

叉樹的結點總數(shù)為27-1=127.類型二生物中的探索規(guī)律2.科學發(fā)現(xiàn):植物的花瓣、萼片、果實的數(shù)目以及其他方面

的特征,都非常吻合一個奇特的數(shù)列——著名的斐波那契數(shù)

列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,仔細觀察以上數(shù)列,則它的第12

個數(shù)應該是

.144解析因為數(shù)列為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,所以第11個數(shù)是34+55=89,所以第12個數(shù)是55+89=144.故答案為144.類型三醫(yī)學中的鐘面角3.現(xiàn)代人常常受到頸椎不適的困擾,其癥狀包括酸脹、隱

痛、發(fā)緊、僵硬等,而將兩臂向上抬,舉到10點10分處,每天

連續(xù)走200米,能有效緩解此癥狀.這里的10點10分處指的是

時鐘在10點10分時時針和分針的夾角,則這個夾角的度數(shù)是

°.115解析當時鐘的時間為10點整時,時針、分針的夾角是60°,當時鐘的時間為10點10分時,時針走了5°,分針正好走了60°,此時時針和分針的夾角是60°-5°+60°=115°.故答案為115.類型四語文中的圖形和一元一次方程4.(2024遼寧撫順望花期末)詩人張協(xié)在《雜詩十首》中用

“騰云似涌煙,密雨如散絲”描寫雨的細密.其中“細雨如散

絲”表現(xiàn)的數(shù)學原理是

.點動成線解析“細雨”可看成“點”,“絲”可看成“線”,因此

“細雨如散絲”表現(xiàn)的數(shù)學原理是點動成線.5.眾所周知,中華詩詞博大精深,集大量的情景、情感于短短

數(shù)字之間,或豪放,或婉約,或思民生疾苦,或抒發(fā)己身豪情逸

致,文化價值極高.而數(shù)學與古詩詞更是有著密切的聯(lián)系.古

詩中,五言絕句是四句詩,每句都是五個字;七言絕句是四句

詩,每句都是七個字.有一本詩集,其中五言絕句比七言絕句

多13首,總字數(shù)反而少了20個字,則七言絕句有多少首?解析設七言絕句有x首,根據(jù)題意,可列方程為28x-20(x+13)=20,解得x=35.答:七言絕句有35首.類型五地理中的科學記數(shù)法6.(2023江蘇無錫梁溪二模)古代為便于紀元,乃在無窮延伸

的時間中,取天地循環(huán)終始為一巡,稱為元,以元作為計算時

間的最大單位,1元=129600年,其中129600用科學記數(shù)法表

示為

.1.296×105

類型六物理中的角7.(2022山東威海中考)圖1是光的反射規(guī)律示意圖.其中,PO

是入射光線,OQ是反射光線,法線KO⊥MN,∠POK是入射角,

∠KOQ是反射角,∠KOQ=∠POK.圖2中,光線自點P射入,經(jīng)

鏡面EF反射后經(jīng)過的點是

(

)B圖1

圖2A.A點

B.B點

C.C點

D.D點解析如圖所示.

根據(jù)圖形可以得到∠POK=∠BOK,所以OB是反射光線,故選

B.專項素養(yǎng)綜合全練(六)一元一次方程的解法技巧練方法類型一逆向去括號1.(1)解方程

=7,下列變形最簡便的是哪一個?甲:兩邊乘5,得4

=35.乙:兩邊除以

,得

x-30=

.丙:去括號,得x-24=7.丁:方程整理,得

·

=7.(2)利用上面最簡便的解法解方程:

=1.解析

(1)變形最簡便的是丙.(2)由

=1得3

+2=1,即3x-2+2=1,解得x=

.2.解方程:

-x=2.解析去括號,得

-1-3-x=2.移項、合并同類項,得-

x=6.方程兩邊都乘-

,得x=-8.類型二化小數(shù)為整數(shù)3.(一題多解)解方程:

-

=3.解析解法一:整理,得

-

=3,5y-10-2y-2=3.移項、合并同類項,得3y=15.系數(shù)化為1,得y=5.解法二(方程左邊第一項分子、分母都乘50,第二項分子、分

母都乘2,直接化小數(shù)為整數(shù),并去掉分母):整理,得5y-10-2y-2=3.移項、合并同類項,得3y=15.系數(shù)化為1,得y=5.方法歸納首先利用分數(shù)的基本性質,把分母中的小數(shù)化為整數(shù),再

按常規(guī)解一元一次方程的方法求解.注意分數(shù)的基本性質與

等式的基本性質的區(qū)別.4.解方程:(1)

-1=

+1;(2)

-

=1.2;(3)

-

=x;(4)

-

=

.解析

(1)整理,得

-1=

+1.去分母,得4(20x+10)-12=3(10x-10)+12.去括號,得80x+40-12=30x-30+12.移項,得80x-30x=-30+12-40+12.合并同類項,得50x=-46.系數(shù)化為1,得x=-

.(2)去分母,得5(x-1)-3(x+2)=1.8.去括號,得5x-5-3x-6=1.8.移項,得5x-3x=1.8+5+6.合并同類項,得2x=12.8.系數(shù)化為1,得x=6.4.(3)整理,得

-

=x.去分母,得3(3x-5)-2(12-5x)=6x.去括號,得9x-15-24+10x=6x.移項,得9x+10x-6x=15+24.合并同類項,得13x=39.系數(shù)化為1,得x=3.(4)原方程整理,得2(4x-1.5)-5(5x-0.8)=10(1.2-x).去括號,得8x-3-25x+4=12-10x.移項,得8x-25x+10x=12+3-4.合并同類項,得-7x=11.系數(shù)化為1,得x=-

.類型三整體求解5.已知方程

-3

=

,求式子11+2

的值.解析

-3

=

,2-18

=5,-18

=3,x-

=-

.所以11+2

=1