高等數(shù)學(xué)教程　上冊　第4版 習(xí)題及答案匯 范周田 第6-9章 定積分及其應(yīng)用 -微分方程

PAGEPAGE2第六章定積分及其應(yīng)用習(xí)題6.11.利用定積分的定義計算：(1)解：因為在區(qū)間上連續(xù),定積分存在。將分成等分，不妨設(shè)分點為，小區(qū)間的長度為，取。則當(dāng)時(2)解：因為在區(qū)間上連續(xù),定積分存在。將分成等分，不妨設(shè)分點為，小區(qū)間的長度為，取。則2.利用定積分表示下列和式極限：(1)解：上式可看成函數(shù)在區(qū)間上將區(qū)間等分，并取小區(qū)間右端點處的函數(shù)值與對應(yīng)區(qū)間長度乘積的和，所以(2)解：3．利用定積分的幾何意義，求出下列定積分的值：(1)解：可以表示由直線，所圍成的三角形的面積，所以(2)解：可表示單位圓在第一象限內(nèi)的面積，所以(3)解：可表示函數(shù)及軸所圍的面積的代數(shù)和（軸上方取正，下方取負），所以4．一根長20cm的細直桿OA，其上任一點P處的線密度與OP的長度成正比，比例系數(shù)為，試用定積分表示此細桿的質(zhì)量。解：將細直桿置于軸上，直桿一頭和原點重合，則細桿的質(zhì)量可表示為5.比較下列每組兩積分的大小關(guān)系（1）_____解：因為當(dāng)時，，所以。（2）_____解：因為當(dāng)時，，所以。（3）解：因為當(dāng)時，，所以（4）_______解：因為當(dāng)時，，所以。（5）_______解：因為當(dāng)時，，所以。（6）解：因為當(dāng)時，，所以。6.估計下列各定積分的值：(1)解：令，因為，所以當(dāng)時，是單調(diào)增加的，故由定積分的估值定理得：即(2)解：函數(shù)在[0,2]上單調(diào)增加，所以

利用積分中值公式證明：解：由積分中值公式有，因為，所以,當(dāng)時，，習(xí)題6.21.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）設(shè)函數(shù)由方程所確定，求。解：等式兩邊同時對求導(dǎo)，得：即(6)設(shè)，求。解：，2.計算下列各定積分：(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解:(6)解：(7)解：（8）解：（9）解：(10)解：(11)解：(12)解：(13)其中解：3.求下列極限：(1)解:該極限是型的未定式，由羅比達法則得：(2)解:該極限是型的未定式，由羅比達法則得：(3)解：該極限是型的未定式，由羅比達法則得：(4)解:該極限是型的未定式，由羅比達法則得：4.求的極值。解：先求一階導(dǎo)數(shù),,令一階導(dǎo)數(shù)為零，得駐點。又,所以，函數(shù)在處取得極小值。5．求下列函數(shù)在所給點區(qū)間上的最大值和最小值：（1），。解：求一階導(dǎo)數(shù)，令一階導(dǎo)數(shù)等于零，有得駐點。，，，。。比較以上各值，得當(dāng)?shù)淖畲笞钚≈捣謩e為和。（2），。解：求一階導(dǎo)數(shù)，令一階導(dǎo)數(shù)等于零，有得駐點。，，，，比較以上各值，得當(dāng)?shù)淖畲笞钚≈捣謩e為和。6．設(shè)，求的最小值和最大值。解：令，得為惟一駐點，也是最小值點.的最小值是,無最大值。7．設(shè)函數(shù)，求．解：對關(guān)系式，兩邊取定積分（注意到是常數(shù)），有所以，習(xí)題6.31.計算下列定積分：(1)解:(2)解:(3)解:(4)解:(5)解:(6)解:(7)QUOTE解:(8)解:(9)解:(10)解:QUOTE (11)解:令,當(dāng)，則(12)解：令,當(dāng)，則(13)解：令,當(dāng)，則(14)解：令,當(dāng)，則(15)解：(16)解：(17)解：(18)解：（19）解：（20）解：習(xí)題6.41.計算廣義積分的值：(1)解:(2)解:(3)解:(4)解:(5)解:(6)解:(7)解:是瑕點.(8)解：是瑕點.習(xí)題6.51求由下列曲線所圍成的圖形的面積。（1）與解：曲線與的交點是和。所求面積為（2）與解：曲線與的交點是和。所求面積為（3）與直線解：（4）與直線及解：（5），與直線解：（6）與直線，解：（7）與直線及解：（8）與直線，及解：2．求由曲線及其在點和處的切線所圍成的圖形的面積。解：因為，所以，曲線及其在點和處的切線方程分別為和兩切線的交點坐標(biāo)為,所求面積為3．求的值，使得曲線與所圍圖形的面積是。解：曲線與的交點為和。所圍面積為4．設(shè)曲線與直線及所圍圖形面積為，曲線與直線及所圍圖形面積為，試求的值，使得最小，最小值是多少？解：令有，，所以，當(dāng)時，最小，最小值是。5.給定需求函數(shù)為,求時的消費者剩余。解：6.給定需求函數(shù)和供給函數(shù)，在完全競爭的假設(shè)下，計算消費者剩余和生產(chǎn)者剩余。解：在完全競爭的假設(shè)下，商品市場滿足供需平衡，即，因此解得均衡價格，均衡數(shù)量從而消費者剩余生產(chǎn)者剩余綜合習(xí)題6一、選擇或填空題1.定積分的值與（D）無關(guān)。A.積分下限B.積分上限C.對應(yīng)關(guān)系“”D.積分變量的記號2.設(shè)，則=（B）A.B.C.D.3.若，則（B）A.B.C.D.4.若，則（A）A.B.C.D.5.定積分（C）。A.B.C.D.6.已知函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且函數(shù)為的一個原函數(shù)，則當(dāng)（C）時，定積分的值不一定等于零。A.B.C.D.7.下列等式成立的是（D）A.B.C.D.8.已知函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)存在一點，使得，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，若函數(shù)為的一個原函數(shù)，則由曲線與直線所圍平面圖形的面積為（C）。A.B.C.D.二、計算或證明題1.已知,求。解:,2.求函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間。解:令,有,.當(dāng)x>1時,函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為(1,+∞)3.設(shè),求。解:

4.設(shè),求。解:5.求函數(shù)的極值和拐點。解：，令，得駐點，令，有又所以當(dāng)時，取得極小值。當(dāng),,當(dāng)時,,所以,函數(shù)的拐點為6.已知，試用分段函數(shù)表示。解：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，7．若連續(xù)，證明證明：8．證明：證明：令，則，且當(dāng)，，即9.設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，證明:。證明：令，則，且當(dāng)，，即10.設(shè)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)減少，，試證在閉區(qū)間上單調(diào)減少。證明：因為函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)減少，故當(dāng)時，，，所以，在閉區(qū)間上單調(diào)減少。第7章多元微積分習(xí)題7.11.設(shè)，證明:.證明：2.求下列各極限(1)(2)(3)(4)解：（1）（2）令，當(dāng)時，（3）（4）習(xí)題7．21．求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：（1），（2），（3）（4），（5）（6）2、設(shè)，求.解：3、曲線在點處的切線對于軸的傾角是多少？解：曲線在點處的切線的斜率是所以，曲線在點處的切線對于軸的傾角4．求下列函數(shù)的各個二階偏導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)(4)解：(1)，(2)，(3)，(4)，5．設(shè)，求及．解：，，6．設(shè)，求證：.證明：，7.設(shè)其中可導(dǎo)，證明；.證明：所以習(xí)題7．31．求下列函數(shù)的全微分：(1)(2)(3)（4）解：(1)，(2)(3)，(4)，2、求函數(shù)在點處的全微分.解：，3.求函數(shù)在時的全微分.解：，計算的近似值.解：設(shè)，取，由于習(xí)題7．41．設(shè)，而，求.解：2．設(shè)，而，求.解：3．設(shè)，而，求解：4.求下列全導(dǎo)數(shù)：(1)設(shè)，而，求.解：（2）設(shè)，而，求.解：(3)設(shè)，而，求.解：(4)設(shè)，而，求.解：5．設(shè)，而，驗證：.解：6．求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：(1)(2)解：（1）設(shè)（2）設(shè)7．設(shè)，而，可微，證明：.證明：8.設(shè)下列方程式確定了變量為的二元函數(shù)，求.（1）（2）(3)（4）解（1）設(shè)（2）設(shè)（3）設(shè)（4）設(shè)習(xí)題7.51.求下列各函數(shù)的駐點和極值：(1)(2)(3)(4)解：（1）先求函數(shù)駐點。解方程組求得駐點.再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得在駐點，有，因此，在點處取極大值.(2)先求函數(shù)駐點。解方程組求得駐點.再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得在駐點，有，因此，在點處無極值.(3)先求函數(shù)駐點。解方程組求得駐點.再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得在駐點，有，因此，在點處取極小值.(4)先求函數(shù)駐點。解方程組求得駐點.再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得在駐點，有，因此，在點處取極大值.2.要造一個容積等于定數(shù)的長方形無蓋水池，應(yīng)如何設(shè)計水池的尺寸，方可使它的表面積最小.解設(shè)水池底邊長為米，寬為米，高為米，則容積。此水池表面積為，作拉格朗日函數(shù)令，即解得由于水池表面積的最小值確實存在，又因為的駐點唯一，因此，求得的點距原點最近是最小值點，最小值為3.在平面上求一點，使得它到及三條直線的距離平方之和最小.解：平面上點到及三條直線的距離分別為問題是求函數(shù)的最小值。先求該函數(shù)的駐點。解方程組求得駐點.再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得，，在駐點，有，因此，在點處取極小值.又是唯一的駐點，而根據(jù)該問題，到三直線的距離平方之和最小的點一定存在，故點為所求。4.求半徑為的球中具有最大體積的內(nèi)接長方體.解：設(shè)球面方程為，是它的內(nèi)接長方體在第一卦限內(nèi)的一個頂點，則此長方體的長、寬、高分別為，體積為作拉格朗日函數(shù)令，即解得它是唯一的駐點，由題意可知這個長方體必有最大體積，所以當(dāng)長方體的長、寬、高都為時其體積最大。5.將周長為定數(shù)的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成的一個圓柱體，問矩形的邊長如何設(shè)計，才能使圓柱體的體積最大.解：設(shè)矩形的周長為，矩形的一邊為在軸上，其長為，則另一邊在軸上，其長為為，矩形繞軸旋轉(zhuǎn)，所得圓柱體的體積為令，求得駐點，由于駐點唯一，由題意可知這種圓柱體體積一定有最大值，所以當(dāng)矩形的邊長分別為和時，繞短邊旋轉(zhuǎn)所得的圓柱體體積最大。習(xí)題7.61.給定消費者對于市場上某種商品G的需求函數(shù) 式子中，，，，求（1）需求的價格彈性；（2）需求的交叉彈性；其他商品是替代性的還是互補性的？（3）需求的收入彈性；這種商品G是優(yōu)等品還是劣等品？解（1）（2），說明其他商品是替代性的。（3），說明這種商品是優(yōu)等品。2.一個廠商被容許對家庭和工業(yè)消費者采取不同的價格，如果和表示家庭市場的價格和需求，那么需求方程為如果和表示工業(yè)市場的價格和需求，那么需求方程為總成本函數(shù)為其中，確定公司最大化帶有價格歧視的價格政策并計算最大化利潤的值.解：由家庭市場的需求方程有，家庭市場的總收益是 由工業(yè)市場的需求方程有，工業(yè)市場的總收益是這兩個市場的總收益是生產(chǎn)這些產(chǎn)品的總成本為因此公司的利潤函數(shù)為求利潤函數(shù)的駐點，解方程組得駐點。再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得，，在駐點，有，因此，在點處取極大值.又是唯一的駐點，而根據(jù)該問題，最大化利潤存在，此時，（元）（元）即當(dāng)家庭市場和工業(yè)市場的價格分別是元和元時，公司獲得最大化利潤元。3.兩種產(chǎn)品和的一個生產(chǎn)者，有總成本函數(shù)其中分別表示生產(chǎn)和的量.如果和分別表示相應(yīng)的價格，那么需求函數(shù)為如果廠商的總成本固定為100，求最大利潤.解：產(chǎn)品和收益分別為 這兩個市場的總收益是生產(chǎn)這些產(chǎn)品的總成本為利潤函數(shù)為問題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)滿足的最大值。作拉格朗日函數(shù)令，即解得，，唯一駐點。而根據(jù)該問題，最大化利潤存在，此時兩種產(chǎn)品和的價格分別為，，而最大化利潤為。4.某公司通過電臺和報紙兩種方式作銷售某商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入（萬元）與電臺廣告費（萬元）和報紙廣告費（萬元）間的關(guān)系為求（1）在廣告費不受限制情況下的最優(yōu)廣告策略.在廣告費限制2（萬元）時，其相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.解：（1）銷售利潤為解方程組求得駐點.再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得，，在駐點，有，因此，在點處取極大值.又是唯一的駐點，而根據(jù)該問題，最優(yōu)廣告策略存在，故電臺廣告費和報紙廣告費分別為（萬元）、（萬元）時銷售收入最大。（2）限定時，令，即，解出。即相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略是：報紙廣告費用萬元。習(xí)題7.71.畫出下列積分的區(qū)域，并按兩種不同的次序,將二重積分化為二次積分,其中積分區(qū)域是:(1)由拋物線與直線所圍成.(2)由軸和左半圓所圍成.(3)由直線及曲線所圍成.解：（1）畫出積分區(qū)域示意圖，并計算交點坐標(biāo)。解方程組交點為和。（一）先對積分 表示為—區(qū)域：于是=（二）先對積分。表示為兩個—區(qū)域：與的并：于是（2）畫出積分區(qū)域示意圖。（一）先對積分 表示為—區(qū)域：于是=（二）先對積分。表示為—區(qū)域：于是（3）畫出積分區(qū)域示意圖，并計算交點坐標(biāo)。解方程組，得交點為和（一）先對積分。表示為兩個—區(qū)域與的并：于是=（二）先對積分。表示為兩個—區(qū)域與的并：于是2.計算下列二重積分：(1),其中是由和所圍成.解：和的交點為和。是—區(qū)域：先對積分。

=21+23(2),其中為.解：(3),其中為.解：(4)，其中是以為頂點的三角形區(qū)域.解：(5),其中是由和所圍成.解：(6),其中是由和軸所圍成的右半閉區(qū)域.解：(7),其中是以為頂點的矩形區(qū)域.解：(8),其中是由直線，及所圍成.解：3.已知區(qū)域求由曲線與所圍成的圖形，求（1）區(qū)域的面積.（2）二重積分.解：（1）（2）綜合習(xí)題7填空或選擇題1.函數(shù)的定義域是（D）．A．B．C．D．且2.已知函數(shù)，則（C）．A．B．C．D．3.二元函數(shù)的極小值點是（A）．A．B．C．D．4.二元函數(shù)的全微分（B）．A．B．C．D．5.（D）．A．B．C．D．二．計算或證明題1.設(shè)，和具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求.解：2.證明曲面上任何點處的切平面與坐標(biāo)平面圍成的四面體的體積為常數(shù).證明：設(shè)切點為，令曲面在點處的切平面為即因為切點在曲面上，所以切面方程即為或切平面在三個坐標(biāo)軸上的截距分別為在切點處的切平面與坐標(biāo)平面圍成的四面體的體積為（常數(shù)）3.設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：.證明：4.計算下列二重積分：(1),其中是由和所圍成.解：(2),其中是由及軸、軸圍成的在第一象限的閉區(qū)域.解：(3),其中是由直線及所圍成.解：(4),其中是由直線及所圍成.解：5.若在區(qū)域上連續(xù)，且求函數(shù)。解：設(shè)，則（*）對（*）式兩邊在區(qū)域上作二重積分，有又所以，有解得，再由（*）式，可知6.某工廠生產(chǎn)的兩種零件的單價分別是10元和9元，生產(chǎn)兩種零件個數(shù)分別為件和件時總費用為（元）則當(dāng)兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時，工廠能取得最大利潤？解：由題意，可知利潤函數(shù)為求利潤函數(shù)的駐點，解方程組得駐點，又，所以故當(dāng)時，利潤函數(shù)取得極大值，而該問題最大值一定存在，所以可知，生產(chǎn)兩種零件個數(shù)分別為120件和80件時獲得最大利潤。7.建造一個寬和深相同的長方形水池，已知四周的單位面積材料費是底面單位面積材料費的1.2倍，設(shè)總材料費為A元，問水池的長和寬（深）各為多少時，能使水池的容積最大？解：設(shè)水池的長和寬（深）分別為，則水池的體積為因為四周的單位面積材料費是底面單位面積材料費的1.2倍，總費用作拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點，駐點唯一，根據(jù)問題的最大值一定存在，所以駐點也是最大值點，即當(dāng)水池的長和寬（深）分別為時，水池的容積最大。8.求拋物線上的點，使它與直線的距離最近。解：平面上任意一點到直線的距離為作拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點，駐點唯一，根據(jù)問題的最小距離一定存在，所以駐點也是最小值點。故拋物線上的點到直線的距離最近。第8章無窮級數(shù)習(xí)題8.11.根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判別下列級數(shù)的收斂性:(1)解：因為所以，級數(shù)發(fā)散。(2)解：因為所以，級數(shù)發(fā)散。(3)解：因為所以，級數(shù)收斂。（4）解：因為所以，級數(shù)收斂。2.已知級數(shù)的部分和，試求該級數(shù)的通項，并說明該級數(shù)的斂散性。解：所以，該級數(shù)收斂。3．判別下列級數(shù)的收斂性:(1)解：級數(shù)由調(diào)和級數(shù)發(fā)散及級數(shù)的性質(zhì)知該級數(shù)也發(fā)散。(2)解：是公比為的等比級數(shù)，而，所以，該級數(shù)收斂。(3)解：該級數(shù)的通項的極限不存在，所以，該級數(shù)也發(fā)散。(4)解：該級數(shù)的通項的極限，所以，該級數(shù)也發(fā)散。(5)解：該級數(shù)的通項的極限，所以，該級數(shù)也發(fā)散。(6)解：是公比為的等比級數(shù)，而，所以，該級數(shù)收斂。習(xí)題8.21.用比較判別法，判定下列級數(shù)的斂散性：(1)解：因為且發(fā)散，所以由比較判別法得，原級數(shù)發(fā)散。(2)解：因為而級數(shù)收斂，所以由比較判別法得，原級數(shù)收斂。(3)解：因為而級數(shù)收斂，所以由比較判別法得，原級數(shù)收斂。(4)解：因為而級數(shù)是公比為的等比級數(shù)，收斂，所以由比較判別法得，原級數(shù)收斂。2.用比值判別法判別下列級數(shù)的收斂性:(1)解：由比值判別法得，原級數(shù)發(fā)散。(2)解：由比值判別法得，原級數(shù)發(fā)散。(3)解：由比值判別法得，原級數(shù)收斂。(4)解：由比值判別法得，原級數(shù)收斂。(5)解：由比值判別法得，原級數(shù)收斂。(6解：由比值判別法得，原級數(shù)收斂。(7)解：由比值判別法得，原級數(shù)發(fā)散。(8)解：由比值判別法得，原級數(shù)發(fā)散。3.判定下列級數(shù)是否收斂？如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂？(1)解：，而級數(shù)收斂，（它是的級數(shù)）所以，原級數(shù)絕對收斂。(2)解：因為，所以，級數(shù)收斂，原級數(shù)絕對收斂。(3)解：該級數(shù)的通項的極限，故該級數(shù)發(fā)散。(4)解：而級數(shù)是發(fā)散的，（它是的級數(shù)）故該級數(shù)非絕對收斂的。又因為數(shù)列滿足：所以，由萊布尼茲判別法得該級數(shù)是條件收斂的。(5)解：，而級數(shù)是公比為的等比級數(shù)，收斂，故原級數(shù)絕對收斂。（6）解：，由于，級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)也發(fā)散，因而原級數(shù)非絕對收斂的。又因為數(shù)列滿足：所以，由萊布尼茲判別法得原級數(shù)是條件收斂的。（7）解：先考察級數(shù)，因為所以，級數(shù)是收斂的，故原級數(shù)絕對收斂。（8）解：而級數(shù)發(fā)散，（它是的級數(shù)）故該級數(shù)非絕對收斂的。又因為數(shù)列滿足：所以，由萊布尼茲判別法得原級數(shù)是條件收斂的。設(shè)正項級數(shù)收斂，證明級數(shù)也收斂。證明：因為是正項級數(shù)，故，又正項級數(shù)收斂，由比較判別法得級數(shù)也收斂。習(xí)題8.31.求下列冪級數(shù)的收斂域：(1)解:因為所以，收斂半徑。當(dāng)時，原級數(shù)收斂；當(dāng)，原級數(shù)為發(fā)散；當(dāng)，原級數(shù)為發(fā)散；所以，原級數(shù)的收斂域為。(2)解:因為所以，收斂半徑。當(dāng)時，原級數(shù)收斂；當(dāng)，原級數(shù)為收斂；當(dāng)，原級數(shù)為收斂；所以，原級數(shù)的收斂域為。(3)解:因為所以，收斂半徑。原級數(shù)的收斂域為。(4)解：因為所以，收斂半徑。當(dāng)時，原級數(shù)收斂；當(dāng)，原級數(shù)為收斂；當(dāng)，原級數(shù)為發(fā)散；所以，原級數(shù)的收斂域為。(5)解：因為所以，收斂半徑。當(dāng)時，原級數(shù)收斂；當(dāng)，原級數(shù)為發(fā)散；當(dāng)，原級數(shù)為發(fā)散。所以，原級數(shù)的收斂域為。(6)解:因為所以，收斂半徑。當(dāng)，即時，原級數(shù)收斂；當(dāng)，原級數(shù)為收斂；當(dāng)，原級數(shù)為發(fā)散。所以，原級數(shù)的收斂域為 。(7)解:因為所以，收斂半徑。當(dāng)，即時，原級數(shù)收斂；當(dāng)，原級數(shù)為發(fā)散；當(dāng)，原級數(shù)為發(fā)散。所以，原級數(shù)的收斂域為。(8)解:因為所以，收斂半徑。當(dāng)，即時，原級數(shù)收斂；當(dāng)，原級數(shù)為收斂；當(dāng)，原級數(shù)為發(fā)散。所以，原級數(shù)的收斂域為 。2.求下列冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)：(1)解：因為級數(shù)的收斂半徑為1.容易知道在均發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為.設(shè)冪級數(shù)的和函數(shù)為，即，逐項積分，并注意到經(jīng)過逐項積分得到的新級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑，有即兩端對求導(dǎo)，得，即，，(2)解：因為級數(shù)的收斂半徑為1.容易知道在收斂，在發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為.設(shè)冪級數(shù)的和函數(shù)為，即，逐項求導(dǎo)，（得到的新級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑），有，對上式兩邊積分，得當(dāng)時，顯然.又當(dāng)時，原級數(shù)為，是收斂的，利用冪級數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性得到(3)解：由（1）題有，所以3.設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑是，求級數(shù)，的收斂區(qū)間。解：級數(shù)逐項求導(dǎo)得到級數(shù)，所以，級數(shù)和級數(shù)有相同的收斂半徑，級數(shù)的收斂半徑也是。級數(shù)的收斂區(qū)間是當(dāng)時，級數(shù)收斂，級數(shù)收斂區(qū)間是。習(xí)題7.41.將下列函數(shù)展開為的冪級數(shù)，并確定收斂區(qū)間.(1)解：利用，(2)解：利用(3)解：利用(4)解：利用(5)解：利用(6)解：，，，2.將下列函數(shù)在指定點處展開為冪級數(shù)，并確定收斂區(qū)間.（1）解：當(dāng)，即當(dāng)時，（2）解：當(dāng)，即當(dāng)時，（3）解：3.利用級數(shù)展開法計算的近似值（要求誤差不超過）．解：取前三項作近似值，有4.利用，求的近似值，并估計誤差．解:，利用，5.計算下列積分的近似值（要求誤差不超過）．（1）解：先求積分的冪級數(shù)展開式。利用得所以=在上式中，令，得取前兩項作近似值，有（2）解：先求積分的冪級數(shù)展開式。利用，得在上式中，令，得取前兩項作近似值，有綜合習(xí)題8選擇或填空題（1）設(shè)級數(shù)是收斂的，則（B）。A級數(shù)必收斂B級數(shù)未必收斂CD級數(shù)發(fā)散（2）下列級數(shù)條件收斂的是（A）。ABCD（3）設(shè)，則級數(shù)（B）。A發(fā)散B條件收斂C絕對收斂D收斂性與值有關(guān)（4）冪級數(shù)的收斂域是（B）。ABCD二．計算或證明題1.判別下列級數(shù)的收斂性:(1)解：因為級數(shù)通項的極限，所以，級數(shù)發(fā)散。(2)解：因為又級數(shù)收斂，所以，原級數(shù)絕對收斂。(3)解：因為考察級數(shù)，由比值判別法易得該級數(shù)收斂，所以原級數(shù)絕對收斂。(4)解：當(dāng)時，級數(shù)通項的極限，級數(shù)發(fā)散。當(dāng)時，，級數(shù)發(fā)散。當(dāng)時，，且收斂，故原級數(shù)收斂。(5)解：因為且級數(shù)和級數(shù)均收斂，所以，原級數(shù)收斂。(6)解：因為由比值判別法得該級數(shù)收斂。2.利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)，求解：，（2），求解：3．設(shè)級數(shù)收斂，試證明級數(shù)也收斂。證明：因為級數(shù)收斂，所以級數(shù)收斂，故級數(shù)也收斂。4．已知級數(shù)收斂，證明級數(shù)也收斂。證明：因為故又級數(shù)收斂，由上式知級數(shù)也收斂。5.已知級數(shù)收斂，求常數(shù)的取值范圍。解：冪級數(shù)的收斂半徑。當(dāng)時，收斂；當(dāng)時，發(fā)散。所以冪級數(shù)的收斂域是，所以如果級數(shù)收斂，有時收斂，即當(dāng)時，級數(shù)收斂。求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求數(shù)項級數(shù)的和。解：冪級數(shù)的收斂域為，當(dāng)，設(shè)故第九章微分方程習(xí)題9.11.指出下列微分方程的階數(shù)，并指出哪些方程是線性微分方程：(1)(2)(3)(4)解:方程（1）是二階非線性微分方程。方程（2）是三階線性微分方程。方程（3）是二階線性微分方程。方程（4）是一階非線性微分方程。2.檢驗下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解：(1)(2)(3)(4)解：（1），則有，即滿足方程，所以是方程的解。（2），，，則有，既滿足方程，所以是方程的解。（3）,，，則即函數(shù)不滿足方程，所以，不是方程的解。（4），，即函數(shù)滿足方程，所以函數(shù)是方程的解。3.設(shè)曲線在點處的切線的斜率為，試建立該曲線所滿足的微分方程。解：設(shè)該曲線的方程為，則曲線在點處的切線的斜率為，由題意該曲線所滿足的微分方程為用微分方程表示一物理命題：某種氣體的氣壓對于溫度的變化率與氣壓成正比,與溫度的平方成反比。解：習(xí)題9.21.求下列微分方程的通解：(1)(2)(3)解：（1）該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有，該方程的通解為（2）該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有，該方程的通解為（3）該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有，該方程的通解為2.求下列微分方程的特解：(1)(2)解：(1)該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有，該方程的通解為,又,代入通解中有,得,所以,該方程的特解為(2)該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有該方程的通解為,又,代入通解中有,得,所以,該方程的特解為.3.設(shè)曲線過點,且它任意一點的切線的斜率等于橫坐標(biāo)的兩倍,求這曲線的方程。解:設(shè)該曲線的方程為，則曲線在點處的切線的斜率為，由題意該曲線所滿足的微分方程為由,方程兩邊取不不定積分,存在常數(shù)C,使得,再由,得,所以,所求曲線方程為4.求下列微分方程的通解或特解：(1)(2)(3)(4)解:（1）該方程變形為這是齊次方程，令，則，則原方程變?yōu)榧礊榉蛛x變量得，兩邊積分有即，還原變量得，原方程的通解為（2）該方程變形為這是齊次方程，令，則，則原方程變?yōu)榧礊?，兩邊積分有即，還原變量得原方程的通解為（3）該方程變形為這是齊次方程，令，則，則原方程變?yōu)榧矗瑑蛇叿e分有即，還原變量得原方程的通解為，即（4）該方程變形為這是齊次方程，令，則，則原方程變?yōu)榧礊榉蛛x變量得兩邊積分有即，還原變量得原方程的通解為由，有，得，所求原方程的特解為5.求下列微分方程的通解：(1)(2)(3)(4)解：（1）該方程是一階線性微分方程，其中，由一階線性方程通解公式，有（2）該方程是一階線性微分方程，其中，由一階線性方程通解公式，有（3）該方程是一階線性微分方程，其中，由一階線性方程通解公式，有(4)該方程不是以為未知函數(shù)的一階線性方程，方程變形為，即，這是以為自變量，未知函數(shù)的一階線性方程，其中，它的通解為6.設(shè)有連接和的上凸曲線弧，是上任意一點，若曲線弧與直線所圍成的面積為，試求曲線弧的方程。解:設(shè)曲線方程為，由題意有，，對上述積分方程，兩邊求導(dǎo)得當(dāng)時，有這是一階線性微分方程，所以有由，有，所以，所求曲線方程為求滿足方程的連續(xù)函數(shù)。解：對方程兩邊求導(dǎo)得，此方程為一階線性微分方程，它的通解為由，有，習(xí)題9.31.求下列微分方程的通解:(1)(2)(3)(4)（5）（6）解：（1）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為（2）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為(3)方程的特征方程為，特征根是方程的通解為（4）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為（5）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為（6）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為2.求下列微分方程的特解:（1）（2）（3）（4）解：（1）先求方程的通解。方程的特征方程為，特征根是方程的通解為由初始條件，有，解得，所以方程的特解為（2）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為由初始條件，有，解得，所以方程的特解為（3）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為由初始條件，有，所以方程的特解為（4）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為由初始條件，有，即，所以方程的特解為3.求下列微分方程的通解:(1)(2)(3)(4)（5）解：（1）先求對應(yīng)的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個特解。設(shè)該方程的特解為，代入方程后有再設(shè)，代入上式有比較兩邊冪的系數(shù)，有解得，所以，該方程一個特解，方程的通解為（2）先求對應(yīng)的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個特解。設(shè)該方程的特解為，代入方程后有再設(shè)，代入上式有比較兩邊冪的系數(shù)，有解得，所以，該方程一個特解，方程的通解為(3)先求對應(yīng)的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個特解。設(shè)該方程的特解為，代入方程后有則，特解為，方程通解為(4)先求對應(yīng)的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個特解。設(shè)該方程的特解為，代入方程后有解得，該方程的特解為，方程的通解為（5）先求對應(yīng)的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是對應(yīng)齊次方程的通解為再求方程的一個特解。先求的特解，設(shè)它的特解為，代入方程后有設(shè)，代入得，所以，的特解為的虛部即是方程的特解，所以，原方程的通解為4.求下列微分方程的特解:（1）（2）(3)(4)解：（1）先求該方程對應(yīng)的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為易知該方程的一個特解為，所以，方程的通解為由初始條件，有，解得，所以，所求特解為（2）特征方程是，特征根是對應(yīng)齊次方程的通解為再求方程的一個特解。設(shè)它的特解為，代入方程后有則有，所以方程的通解為再由初始條件，有，既，所以，所求特解為(3)特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個特解。設(shè)它的特解為，代入方程后有則有，所以，方程的通解為再由初始條件，有，則有，所以，所求特解為。(4)特征方程是，特征根是對應(yīng)齊次方程的通解為再求方程的一個特解。先求的特解，設(shè)它的特解為，代入方程后有解得，所以的特解的虛部即是方程的特解，所以，原方程的通解為再由初始條件，有解得，所以，原方程的通解為習(xí)題9.41.確定下列方程的階：（1）(2)解：（1）因為，所以方程的階為3。（2）因為，所以方程的階為6。2.求下列一階差分方程的通解和滿足初值條件的特解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：（1）對應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。設(shè)特解為，則，即。原差分方程通解為。(2)對應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。設(shè)特解為，代入原方程比較系數(shù)得，解得原差分方程通解為。(3)原方程即為對應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。做變量代換，代入原方程得消去，整理得設(shè)特解為，代入方程整理得，原差分方程特解。原差分方程通解為。（4）對應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。做變量代換，代入原方程得消去，整理得設(shè)特解為，代入方程整理得比較系數(shù)，解得，即。原差分方程通解為。（5）原方程即為對應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。設(shè)原方程的特解為設(shè)特解為，代入原方程比較系數(shù)得，解得原差分方程通解為。由初始條件，代入通解中，得，所求特解為（6）對應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。設(shè)非齊次方程的特解為，代入原方程得消去，整理得則，代入方程有，即。得非齊次方程的特解為。又非齊次方程的特解為。原方程的一個特解為。原方程的通解為由初始條件，得，所求特解為（7）對應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。原方程的一個特解為，代入原方程得整理得比較系數(shù)有解得，原方程的一個特解為，原方程的通解為由初始條件，得，所求特解為（8）先求解。對應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。做變量代換，代入方程得消去，整理得設(shè)該方程的特解為，代入上式有，原方程的一個特解為，取其虛部得原方程的一個特解，原方程的通解為由初始條件，得，所求特解為3.設(shè)分別是下列差分方程的解，證明：是差分方程的解。證明：因為分別是下列差分方程的解，所以，，，。滿足差分方程，所以是該差分方程的解。習(xí)題9.51.在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，種植先于產(chǎn)出及產(chǎn)品出售一個適當(dāng)?shù)臅r期，時刻該產(chǎn)品的價格決定著生產(chǎn)者在下一時期愿意提供市場的產(chǎn)量，還決定著本期該產(chǎn)品的需求量，因此有（均為正的常數(shù)）假設(shè)每個時期中價格總是在市場售清的水平上，且當(dāng)時，是初值價格，求（1）確定價格滿足的差分方程，并求解該差分方程。（2）分析價格隨時間變動的規(guī)律。解：（1）因為假設(shè)在每一個時期中價格總是確定在市場售清的水平上，即，因此可以得到即，于是，得到價格滿足的差分方程為該方程的通解為（為任意常數(shù)）將當(dāng)時，初值條件代入上式得記（靜態(tài)均衡價格），于是，滿足初值價格時的解為（2）（i）若初值價格，則由上式通解知這是“靜態(tài)均衡”的情形。（ii）若，當(dāng)時，即價格（振蕩）穩(wěn)定地趨于均衡價格。當(dāng)時，，即隨著時間延續(xù)，價格將無限增大。當(dāng)時，在時，價格在兩個數(shù)值和上來回擺動。2.求的均衡解并分析其穩(wěn)定性。解：差分方程的均衡解為方程的通解為。因為，所以差分方程的均衡解為不是穩(wěn)定的。3.求的均衡解，并分析其穩(wěn)定性。解：方程的均