2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計(jì)案例3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)案含解析北師大版選修2-3

PAGE2獨(dú)立性檢驗(yàn)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第56頁[自主梳理]一、2×2列聯(lián)表設(shè)A，B為兩個(gè)變量，每一個(gè)變量都可以取兩個(gè)值，變量A：A1，A2＝eq\x\to(A1)；變量B：B1，B2＝eq\x\to(B1).BAB1B2總計(jì)A1aba＋bA2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d其中a表示__________________時(shí)的數(shù)據(jù)；b表示________________時(shí)的數(shù)據(jù)；c表示______________時(shí)的數(shù)據(jù)；d表示________________時(shí)的數(shù)據(jù)．二、統(tǒng)計(jì)量χ2的計(jì)算公式依據(jù)上表給定的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)量χ2的表達(dá)式為：χ2＝______________________.三、事務(wù)A、B相關(guān)性的判定方法大小比較結(jié)論χ2≤2.706沒有充分的證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的χ2>2.706有______的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)χ2>3.841有______的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)χ2>6.635有______的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)[雙基自測(cè)]1．對(duì)兩變量X與Y的χ2的值說法正確的是()A．χ2越大，“X與Y有關(guān)系”的把握性越小B．χ2越小，“X與Y有關(guān)系”的把握性越小C．χ2越接近于0，“X與Y無關(guān)系”的把握性越小D．χ2越大，“X與Y無關(guān)系”的把握性越大2．下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：y1y2總計(jì)x1a2173x282533總計(jì)b46則表中a，b處的值分別為()A．94,96 B．52,50C．52,60 D．54,523．考察棉花種子是否經(jīng)過處理跟得病之間的關(guān)系，得如下表所示的數(shù)據(jù)：種子處理種子未處理總計(jì)得病32101133不得病61213274總計(jì)93314407依據(jù)以上數(shù)據(jù)得χ2的值是________．[自主梳理]一、變量A取A1，且變量B取B1變量A取A1，且變量B取B2變量A取A2，且變量B取B1變量A取A2，且變量B取B2二、eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)三、90%95%99%[雙基自測(cè)]1．Bχ2越大，X與Y越不獨(dú)立，所以關(guān)聯(lián)越大；相反，χ2越小，關(guān)聯(lián)越?。?．Ca＋21＝73，∴a＝52，b＝a＋8＝60.3．0.164χ2＝eq\f(407×32×213－61×1012,93×314×133×274)≈0.164.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第56頁探究一兩個(gè)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)(兩個(gè)事務(wù)不獨(dú)立)[例1]某電視臺(tái)在一次對(duì)收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計(jì)20到40歲401858大于40歲152742總計(jì)5545100(1)由表中數(shù)據(jù)分析，是否有99.9%的把握認(rèn)為收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡有關(guān)？(2)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名，大于40歲的觀眾應(yīng)當(dāng)抽取幾名？(3)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)隨機(jī)變量χ2的概率分布：P(χ2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828[解析](1)χ2＝eq\f(100×40×27－18×152,58×42×55×45)＝eq\f(24300,2233)≈10.88>10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡有關(guān)．(2)抽取的比例為eq\f(5,45)＝eq\f(1,9)，所以大于40歲的觀眾應(yīng)當(dāng)抽取eq\f(1,9)×27＝3(名)．(3)在年齡20至40歲的2名觀眾和年齡大于40的3名觀眾中任取2名，恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率為eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).本題是利用公式求出χ2的值，再利用其與臨界值的大小關(guān)系來推斷獨(dú)立性，解題時(shí)應(yīng)留意精確代入數(shù)據(jù)與計(jì)算，不行錯(cuò)用公式，要精確地進(jìn)行比較與推斷．1．從發(fā)生汽車碰撞事故的司機(jī)中抽取2000名．依據(jù)他們的血液中是否含有酒精以及他們是否對(duì)事故負(fù)有責(zé)任．將數(shù)據(jù)整理如下：有無責(zé)任有無酒精有無總計(jì)有650150800無7005001200總么，司機(jī)對(duì)事故負(fù)有責(zé)任與血液中含有酒精是否有關(guān)系？若有關(guān)系，你認(rèn)為在多大程度上有關(guān)系？解析：在假設(shè)“對(duì)事故負(fù)有責(zé)任與血液中含酒精沒有關(guān)系”的前提下，χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)≈114.9，且P(χ2≥10.828)≈0.001，而χ2的觀測(cè)值χ2≈114.9，超過10.828，這就意味著“對(duì)事故負(fù)有責(zé)任與血液中含酒精沒有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可能性為0.001，即有99.9%的把握認(rèn)為“對(duì)事故負(fù)有責(zé)任與血液中含有酒精之間有關(guān)系”．探究二兩個(gè)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)(兩個(gè)事務(wù)獨(dú)立)[例2]探討人員選取170名青年男女高校生的樣本，對(duì)他們進(jìn)行一種心理測(cè)驗(yàn)，發(fā)覺有60名女生對(duì)該心理測(cè)驗(yàn)中的最終一個(gè)題目的反應(yīng)是：作確定的有18名，否定的有42名；110名男生在相同的題目上作確定的有22名，否定的有88名．問：性別與看法之間是否存在某種關(guān)系？用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法進(jìn)行推斷．[解析]依據(jù)題目所給數(shù)據(jù)列出下列表格：看法性別確定否定總計(jì)男生2288110女生184260總計(jì)40130170提出假設(shè)H0：性別與看法不存在某種關(guān)系，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(170×22×42－18×882,110×60×40×130)≈2.158.因?yàn)楫?dāng)H0成立時(shí)，2.158<2.706，所以沒有充分的理由說明性別與看法有關(guān)．要得到兩個(gè)變量之間有關(guān)或無關(guān)的精確的可信程度，需作獨(dú)立性檢驗(yàn)的有關(guān)計(jì)算，χ2越小變量間的關(guān)系越弱，當(dāng)χ2≤2.706時(shí)，我們認(rèn)為兩個(gè)變量無關(guān)．2．為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對(duì)外語的愛好有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對(duì)外語有愛好的有138人，無愛好的有98人，文科對(duì)外語有愛好的有73人，無愛好的有52人．試分析學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語的愛好是否有關(guān)？解析：列出2×2列聯(lián)表：理文合計(jì)有愛好13873211無愛好9852150合計(jì)236125361代入公式得χ2的觀測(cè)值χ2＝eq\f(361×138×52－73×982,236×125×211×150)≈1.871×10－4.∵1.871×10－4<2.706，∴可以認(rèn)為學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語的愛好無關(guān)．探究三獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)用[例3]某推銷商為某保健藥品做廣告，在廣告中宣揚(yáng)：“在服用該藥品的105人中有100人未患A疾病”．經(jīng)調(diào)查發(fā)覺，在不服用該藥品的418人中僅有18人患A疾?。?qǐng)用所學(xué)學(xué)問分析該藥品對(duì)預(yù)防A疾病是否有效？[解析]將問題中的數(shù)據(jù)寫成2×2列聯(lián)表：患A疾病不患A疾病合計(jì)服用該藥品5100105不服用該藥品18400418合計(jì)23500523將上述數(shù)據(jù)代入公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋cb＋da＋bc＋d)中，計(jì)算可得χ2≈0.0414，因?yàn)?.0414<2.706，故沒有充分的理由認(rèn)為該保鍵藥品對(duì)預(yù)防A疾病有效．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)可以幫助我們定量地分析兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系，因此利用它可以幫助我們理性地看待廣告中的某些數(shù)字，從而不被某些虛假廣告所蒙騙．3．對(duì)某校小學(xué)生進(jìn)行心理障礙測(cè)試，得到如下列聯(lián)表：焦慮說謊懶散總計(jì)女生5101530男生20105080總計(jì)252065110試說明在三種心理障礙中哪一種與性別關(guān)系最大？解析：對(duì)于上述三種心理障礙分別構(gòu)造三個(gè)隨機(jī)變量χeq\o\al(2,1)，χeq\o\al(2,2)，χeq\o\al(2,3)，由表中數(shù)據(jù)可得χeq\o\al(2,1)＝eq\f(110×5×60－25×202,30×80×25×85)≈0.863，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(110×10×70－20×102,30×80×20×90)≈6.366，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(110×15×30－15×502,30×80×65×45)≈1.410.由于6.366>3.841,0.863<2.706,1.410<2.706，故有95%的把握認(rèn)為說謊與性別有關(guān)，沒有充分的證據(jù)顯示懶散、焦慮與性別有關(guān)．因不理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的含義致誤[典例]對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤探討，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：又發(fā)作過心臟病未發(fā)作過心臟病總計(jì)心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196總計(jì)68324392試依據(jù)上述數(shù)據(jù)，比較這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別．[解析]由公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得χ2＝eq\f(392×39×167－157×292,39＋15729＋16739＋29157＋167)≈1.780.因?yàn)棣?＝1.780<2.706，所以我們沒有充分證據(jù)顯示“心臟搭橋手術(shù)”、“血管清障手術(shù)”與“又發(fā)作過心臟病”有關(guān)系，所以沒有充分證據(jù)表明這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病影響有差別．[錯(cuò)因與防范]1.在解答時(shí)，在得到χ2≤2.706后，會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論：“我們判定又發(fā)作過心臟病和他是否做過這兩種手術(shù)無關(guān)”，出錯(cuò)的緣由是沒有弄清晰獨(dú)立性檢驗(yàn)中χ2≤2.706的含義．2．防范措施：(1)強(qiáng)化對(duì)概念或原理的理解數(shù)學(xué)概念或原理是一切學(xué)問生成和拓展的基礎(chǔ)，正確理解數(shù)學(xué)概念或原理是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵．如本例的求解主要涉及獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，即對(duì)“χ2≤2.706”(2)嚴(yán)格執(zhí)行解題步驟此類題目的解答規(guī)律性強(qiáng)，近乎格式化，填表、計(jì)算、分析比較即可．假如χ2≤2.706，并不是表示兩個(gè)變量沒有關(guān)系，只有沒有充分證據(jù)表明它們有關(guān)系而已，所以在解題中不要濫用．巴西醫(yī)生馬廷思收集的犯有各種貪污、受賄罪的官員與廉潔官員的壽命的調(diào)查資料如下：500名貪官中有348人的壽命小于平均壽命，152人的壽命大于或等于平均壽命；590名廉潔官員中有93人的壽命小于平均壽命，497人的壽命大于或等于平均壽命．這里，平均壽命