2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第7章三角函數(shù)7.17.1.1任意角學(xué)案蘇教版必修第一冊_第1頁
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文檔簡介

7.1角與弧度7.學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1.了解隨意角的概念,了解兩角的和、互為相反角和兩角的差的概念.2.理解象限角的概念及終邊相同的角的含義.(重點(diǎn))3.駕馭推斷象限角及表示終邊相同的角的方法.(難點(diǎn))1.通過終邊相同角的計(jì)算,培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.借助隨意角的終邊位置的確定,提升邏輯推理素養(yǎng).初中對角的定義是:射線OA繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周回到起始位置,在這個(gè)過程中可以得到0°~360°范圍內(nèi)的角.但是現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見超出0°~360°范圍的角.例如體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540°”,主動輪和被動輪的旋轉(zhuǎn)方向不一樣,如何定義角才能解決這些問題呢?學(xué)問點(diǎn)1隨意角的概念(1)角的概念:一個(gè)角可以看作平面內(nèi)一條射線圍著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.射線的端點(diǎn)稱為角的頂點(diǎn),射線旋轉(zhuǎn)的起先位置和終止位置稱為角的始邊和終邊.(2)角的分類:按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類:類型定義圖示正角按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角負(fù)角按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),稱它形成了一個(gè)零角1.假如一個(gè)角的始邊與終邊重合,那么這個(gè)角肯定是零角嗎?[提示]不肯定,若角的終邊未作旋轉(zhuǎn),則這個(gè)角是零角.若角的終邊作了旋轉(zhuǎn),則這個(gè)角就不是零角.(3)兩角的和、互為相反角、兩角的差:對于兩個(gè)隨意角α,β,將角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β(當(dāng)β是正角時(shí),按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn);當(dāng)β是負(fù)角時(shí),按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn);當(dāng)β是零角時(shí),不旋轉(zhuǎn)),這時(shí)終邊所對應(yīng)的角稱為α與β的和,記作α+β.射線OA繞端點(diǎn)O分別按逆時(shí)針方向、順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角稱為互為相反角.角α的相反角記為-α,于是有α-β=α+(-β).1.如圖,角α=________,β=________.240°-120°[α是按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的,為240°,β是按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的,為-120°.]學(xué)問點(diǎn)2象限角與軸線角(1)象限角:以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),角的始邊為x軸正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系.這樣,角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限,就說這個(gè)角是第幾象限角.(2)軸線角:終邊在坐標(biāo)軸上的角.2.思索辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)180°是其次象限角.()(2)-30°是第四象限角.()(3)第一象限內(nèi)的角都小于其次象限內(nèi)的角.()[提示](1)180°是軸線角.(3)如375°>120°,而375°和120°分別是第一、二象限內(nèi)的角.[答案](1)×(2)√(3)×學(xué)問點(diǎn)3終邊相同的角與角α終邊相同的角的集合為{β|β=k·360°+α,k∈Z}.2.終邊相同的角肯定相等嗎?其表示法唯一嗎?[提示]終邊相同的角不肯定相等,但相等的角終邊肯定相同.終邊相同的角的表示方法不唯一.3.與-215°角終邊相同的角的集合可表示為________.{β|β=k·360°-215°,k∈Z}[由終邊相同的角的表示可知與-215°角終邊相同的角的集合是{β|β=k·360°-215°,k∈Z}.]類型1角的概念辨析【例1】(1)給出下列說法:①銳角都是第一象限角;②第一象限角肯定不是負(fù)角;③小于180°的角是鈍角、直角或銳角;④始邊和終邊重合的角是零角.其中正確說法的序號為________(把正確說法的序號都寫上).(2)已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,作出下列各角,并指出它們是第幾象限角.①420°.②855°.③-510°.(1)①[①銳角是大于0°且小于90°的角,終邊落在第一象限,是第一象限角,所以①正確;②-350°角是第一象限角,但它是負(fù)角,所以②錯誤;③0°角是小于180°的角,但它既不是鈍角,也不是直角或銳角,所以③錯誤;④360°角的始邊與終邊重合,但它不是零角,所以④錯誤.](2)[解]作出各角的終邊,如圖所示:由圖可知:①420°是第一象限角.②855°是其次象限角.③-510°是第三象限角.1.理解角的概念的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵:正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念.(2)技巧:推斷命題為真須要證明,而推斷命題為假只要舉出反例即可.2.象限角的判定方法(1)在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的角,視察終邊的位置,確定象限.(2)第一步,將α寫成α=k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式;其次步,推斷β的終邊所在的象限;第三步,依據(jù)β的終邊所在的象限,即可確定α的終邊所在的象限.提示:理解隨意角這一概念時(shí),要留意“旋轉(zhuǎn)方向”確定角的“正負(fù)”,“旋轉(zhuǎn)幅度”確定角的“肯定值大小”.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1.時(shí)鐘走了3小時(shí)20分,則時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的角的度數(shù)為________,分針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為________.-100°-1200°[時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°,分針每小時(shí)轉(zhuǎn)360°,由于旋轉(zhuǎn)方向均為順時(shí)針方向,故轉(zhuǎn)過的角度均為負(fù)值,又3小時(shí)20分等于eq\f(10,3)小時(shí),故時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為-eq\f(10,3)×30°=-100°;分針轉(zhuǎn)過的角度為-eq\f(10,3)×360°=-1200°.]類型2終邊相同的角與象限角【例2】已知α=-1910°.(1)把α寫成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第幾象限角;(2)求θ,使θ與α的終邊相同,且-720°≤θ<0°;(3)若與α終邊相同的最大負(fù)角、最小正角分別為θ1,θ2,求θ1+θ2.[思路點(diǎn)撥](1)把α寫成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式后,推斷β所在的象限即可.(2)將θ寫成θ=β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,用視察法驗(yàn)證k的不同取值即可.[解](1)法一:∵-1910°=-6×360°+250°,∴-1910°角與250°角終邊相同,∴α=-6×360°+250°,它是第三象限角.法二:設(shè)α=β+k·360°(k∈Z),則β=-1910°-k·360°(k∈Z).令-1910°-k·360°≥0,解得k≤-eq\f(1910,360)=-5eq\f(11,36).k的最大整數(shù)解為k=-6,相應(yīng)的β=250°,于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.(2)由(1)知令θ=250°+k·360°(k∈Z),取k=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角:250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或-470°.(3)因?yàn)榕cα終邊相同的角為β=k·360°+250°(k∈Z).所以取k=-1,0得與α終邊相同的最大負(fù)角為θ1=-110°,最小正角為θ2=250°,所以θ1+θ2=140°.1.把隨意角化為k·360°+α(k∈Z且0°≤α<360°)的形式,關(guān)鍵是確定k,可以用視察法(α的肯定值較小),也可用除法.2.要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角時(shí),其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式,再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.3.終邊相同的角常用的三個(gè)結(jié)論(1)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍.(2)終邊在同始終線上的角之間相差180°的整數(shù)倍.(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍.提示:k∈Z,即k為整數(shù)這一條件不行少.[跟進(jìn)訓(xùn)練]2.在0°~360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判定它們是第幾象限角.(1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′.[解](1)因?yàn)椋?50°=-360°+210°,所以在0°~360°范圍內(nèi),與-150°角終邊相同的角是210°角,它是第三象限角.(2)因?yàn)?50°=360°+290°,所以在0°~360°范圍內(nèi),與650°角終邊相同的角是290°角,它是第四象限角.(3)因?yàn)椋?50°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°~360°范圍內(nèi),與-950°15′角終邊相同的角是129°45′角,它是其次象限角.3.在與10030°角終邊相同的角中,求滿意下列條件的角.(1)最大的負(fù)角;(2)-360°~720°內(nèi)的角.[解]與10030°角終邊相同的角的一般形式為β=10030°+k·360°(k∈Z).(1)由10030°+k·360°<0°.得k·360°<-10030°,所以k<-eq\f(1003,36),又k∈Z,故所求的最大負(fù)角為β=-50°.(2)由-360°≤10030°+k·360°<720°,得-10390°≤k·360°<-9310°,又k∈Z,解得k=-28,-27,-26.當(dāng)k=-28時(shí),β=10030°-28·360°=-50°,當(dāng)k=-27時(shí),β=10030°-27·360°=310°,當(dāng)k=-26時(shí),β=10030°-26·360°=670°,故所求的角β的值為-50°,310°,670°.類型3區(qū)域角的表示【例3】已知,如圖所示.①分別寫出終邊落在OA,OB位置上的角的集合;②寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.[解]①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z};終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.②由題干圖可知,陰影部分(包括邊界)的角的集合是由全部介于[-30°,135°]之間的與之終邊相同的角組成的集合,故該區(qū)域可表示為{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.1.(變條件)若將本例改為如圖所示的圖形,那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示?[解]在0°~360°范圍內(nèi),終邊落在陰影部分(包括邊界)的角為60°≤β<105°與240°≤β<285°,所以全部滿意題意的角β為{β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}∪{β|k·360°+240°≤β<k·360°+285°,k∈Z}={β|2k·180°+60°≤β<2k·180°+105°,k∈Z}∪{β|(2k+1)·180°+60°≤β<(2k+1)·180°+105°,k∈Z}={β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.故角β的取值集合為{β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.2.(變條件)若將本例改為如圖所示的圖形,那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示?[解]在0°~360°范圍內(nèi),陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為:150°≤β≤225°,則全部滿意條件的角β為{β|k·360°+150°≤β≤k·360°+225°,k∈Z}.表示區(qū)間角的三個(gè)步驟第一步:先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界;其次步:按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的-360°~360°范圍內(nèi)的角α和β,寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β},其中β-α<360°;第三步:起始、終止邊界對應(yīng)角α,β再加上360°的整數(shù)倍,即得區(qū)間角集合.[跟進(jìn)訓(xùn)練]4.寫出終邊落在如圖所示陰影部分的角的集合.[解]法一:設(shè)終邊落在陰影部分的角為α,角α的集合由兩部分組成:①{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}.②{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z},∴角α的集合應(yīng)當(dāng)是集合①與②的并集:{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z}∪{α|(2k+1)180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°,k∈Z}={α|n·180°+30°≤α<n·180°+105°,n∈Z}.法二:與30°角終邊在同一條直線上的角的集合為{α|α=k·180°+30°,k∈Z}.與180°-75°=105°角終邊在同一條直線上的角的集合為{α|α=k·180°+105°,k∈Z},結(jié)合圖形可知,陰影部分的角的集合為{α|k·180°+30°≤α<k·180°+105°,k∈Z}.類型4角eq\f(α,n),nα(n∈N*)所在象限的確定【例4】已知α是其次象限角,求角eq\f(α,2)所在的象限.[解]法一:∵α是其次象限角,∴k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z).∴eq\f(k,2)·360°+45°<eq\f(α,2)<eq\f(k,2)·360°+90°(k∈Z).當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),令k=2n(n∈Z),得n·360°+45°<eq\f(α,2)<n·360°+90°,這表明eq\f(α,2)是第一象限角;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),令k=2n+1(n∈Z),得n·360°+225°<eq\f(α,2)<n·360°+270°,這表明eq\f(α,2)是第三象限角.∴eq\f(α,2)為第一或第三象限角.法二:如圖,先將各象限分成2等份,再從x軸正向的上方起,依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四,則標(biāo)有二的區(qū)域即為eq\f(α,2)的終邊所在的區(qū)域,故eq\f(α,2)為第一或第三象限角.在本例條件下,求角2α的終邊的位置.[解]∵α是其次象限角,∴k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z).∴k·720°+180°<2α<k·720°+360°(k∈Z).∴角2α的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上.倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角α終邊所在的象限,確定nα終邊所在的象限,可依據(jù)角α的范圍求出nα的范圍,再干脆轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可.留意不要漏掉nα的終邊在坐標(biāo)軸上的狀況.(2)已知角α終邊所在的象限,確定eq\f(α,n)終邊所在的象限,分類探討法要對k的取值分以下幾種狀況進(jìn)行探討:k被n整除;k被n除余1;k被n除余2,…,k被n除余n-1.然后方可下結(jié)論.幾何法依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想,簡潔直觀.[跟進(jìn)訓(xùn)練]5.已知α與330°角的終邊相同,推斷eq\f(α,3)是第幾象限角.[解]由α=k·360°+330°(k∈Z),可得eq\f(α,3)=k·120°+110°(k∈Z).若k=3n(n∈Z),則eq\f(α,3)=n·360°+110°(n∈Z),與110°角的終邊相同,是其次象限角;若k=3n+1(n∈Z),則eq\f(α,3)=n·360°+230°(n∈Z),與230°角的終邊相同,是第三象限角.若k=3n+2(n∈Z),則eq\f(α,3)=n·360°+350°(n∈Z),與350°角的終邊相同,是第四象限角.所以eq\f(α,3)是其次或第三或第四象限角.1.(多選題)以下說法,其中正確的有()A.-75°是第四象限角 B.265°是第三象限角C.475°是其次象限角 D.

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