4.1線段、射線、直線（10大題型提分練）2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步課堂（北師大版2024）

第第頁（北師大版）七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第4章基本平面圖形》4.1線段、射線、直線知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一線段、射線、直線相關(guān)概念◆1、線段、射線、直線（1）線段：繃緊的琴弦、筷子可以近似的看作線段.線段有兩個(gè)端點(diǎn)，不能向任何方向延伸.（2）射線：射向空中的光可以近似的看作是射線.在幾何上，我們把線段向一個(gè)方向無限延長(zhǎng)就形成了射線.射線有一個(gè)端點(diǎn)，可以向一個(gè)方向延伸.（3）直線：向遠(yuǎn)方延伸的鐵軌、公路可以近似的看作是直線.在幾何上，我們把線段向兩個(gè)方向無限延長(zhǎng)就形成了直線.直線沒有端點(diǎn)，可以向兩個(gè)方向延伸.◆2、線段、射線、直線三者的聯(lián)系：（1）將線段向一個(gè)方向無限延長(zhǎng)就形成了射線.（2）將線段向兩個(gè)方向無限延長(zhǎng)就形成了直線.（3）線段和射線都是直線的一部分.◆3、線段、射線、直線的表示方法、聯(lián)系與區(qū)別直線射線線段圖形表示方法1用兩個(gè)大寫字母表示：直線AB或（直線BA）用它的端點(diǎn)和射線上的另一點(diǎn)來表示：射線OA用表示端點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母表示：線段AB(或線段BA)2用一個(gè)小寫字母表示：直線m用一個(gè)小寫字母表示：射線d用一個(gè)小寫字母表示：線段a端點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)伸展性向兩個(gè)方向無限延伸向一個(gè)方向無限延伸不能延伸度量不可度量不可度量可度量◆4、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系（1）點(diǎn)在直線上，也可以說直線經(jīng)過該點(diǎn).（2）點(diǎn)在直線外，也可以說直線不經(jīng)過該點(diǎn).示例：點(diǎn)與直線的位置關(guān)系如圖，點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B在直線l外.或者說：直線l經(jīng)過點(diǎn)A，直線l不經(jīng)過點(diǎn)B(點(diǎn)B不在直線l上).◆5、基本事實(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線.簡(jiǎn)述為：兩點(diǎn)確定一條直線.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二兩點(diǎn)之間線段最短 ◆1、線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短.簡(jiǎn)單說成：兩點(diǎn)之間，線段最短.◆2、兩點(diǎn)之間的距離的定義：連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三比較兩條線段的長(zhǎng)短 ◆比較兩條線段的長(zhǎng)短方法一：度量法：分別測(cè)量線段AB、CD的長(zhǎng)度，再進(jìn)行比較；方法二：疊合法：將點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再進(jìn)行比較；利用尺規(guī)作圖把其中的一條的線段移到另一條線段上作比較圖1圖2圖3①如圖1若點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B落在C，D之間，那么AB＜CD.②如圖2若點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，那么AB=CD.③如圖3若點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線上，那么AB＞CD.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四作一條線段等于已知線段◆1、用尺規(guī)作圖的方法可以將一條線段移到另一條線段上.在數(shù)學(xué)中，我們常限定用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，這就是尺規(guī)作圖.◆2、線段的畫法：作一條線段（AB）等于已知線段（a）的作法：①畫射線AC；②在射線AC上截取AB=a.◆3、線段的和、差、倍、分（1）線段的和、差的意義及畫法在直線上畫出線段AB=a，再在AB的延長(zhǎng)線上畫線段BC=b，線段AC就是a與b的和，記作AC=a＋b，如果在AB上畫線段BD=b，那么線段AD就是a與b的差，記作AD=a－b.（2）線段倍、分的意義：如圖，線段AB上有M、N、P三點(diǎn)，它們的長(zhǎng)度關(guān)系是：AM＝MN＝NP=PB，則AN=2AM，AP=3AM，MN=12AN，NP=23知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五線段的中點(diǎn)及等分點(diǎn)的概念◆1、線段的中點(diǎn)：如圖，點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM與BM，點(diǎn)M叫做線段AB的中點(diǎn).◆2、等分線段（1）把一條線段分成三條相等的線段的點(diǎn)，叫做線段的三等分點(diǎn).如圖點(diǎn)M、N是線段AB三等分點(diǎn),則AM＝MN＝BN＝13（2）類似的，把一條線段分成四條相等的線段的點(diǎn)，叫做線段的四等分點(diǎn).如圖點(diǎn)M、N、P是線段AB四等分點(diǎn)，則AM＝MN＝NP＝PB＝14題型一直線、射線、線段的表示方法解題技巧提煉直線、射線、線段的表示方法①直線：用一個(gè)小寫字母表示，如：直線l，或用兩個(gè)大寫字母（直線上的）表示，如直線AB．②射線：是直線的一部分，用一個(gè)小寫字母表示，如：射線l；用兩個(gè)大寫字母表示，端點(diǎn)在前，如：射線OA．注意：用兩個(gè)字母表示時(shí)，端點(diǎn)的字母放在前邊．③線段：線段是直線的一部分，用一個(gè)小寫字母表示，如線段a；用兩個(gè)表示端點(diǎn)的字母表示，如：線段AB（或線段BA）．1．（2023秋?三元區(qū)期末）下列各圖中，表示“射線CD”的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)射線的圖上表示方法即可求解．【解答】解：觀察圖形可知，表示“射線CD”的是．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是直線、射線、線段，掌握直線、射線、線段的表示方法是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?孝南區(qū)期末）如圖，下列說法不正確的是（）A．直線AB與直線BA是同一條直線 B．線段AB與線段BA是同一條線段 C．射線OA與射線OB是同一條射線 D．射線OA與射線AB是同一條射線【分析】根據(jù)直線的表示方法可對(duì)選項(xiàng)A進(jìn)行判斷；根據(jù)線段的表示方法對(duì)選項(xiàng)B進(jìn)行判斷；根據(jù)射線的表示方法可對(duì)選項(xiàng)C，D進(jìn)行判斷，綜上所述可得出答案．【解答】解：∵直線AB與直線BA是同一條直線，∴選項(xiàng)A正確，不符合題意；∵線段AB與線段BA是同一條線段，∴選項(xiàng)B正確，不符合題意；∵射線OA與射線是同一條射線，∴選項(xiàng)C正確，不符合題意；∵射線OA與射線AB不是同一條射線，∴選項(xiàng)D不正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要線段、射線、直線，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握線段、射線、直線的概念及其表示方法是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023秋?盧龍縣期中）如圖中射線OA與OB表示同一條射線的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)射線的端點(diǎn)相同，方向相同的兩條射線是同一條射線，可得答案．【解答】解：A、方向相反，不是同一條射線，故本選項(xiàng)不符合題意；B、端點(diǎn)相同，方向相同，是同一條射線，故本選項(xiàng)符合題意；C、端點(diǎn)相同，方向不同，不是同一條射線，故本選項(xiàng)不符合題意；D、方向相反，不是同一條射線，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了射線，注意射線的端點(diǎn)，射線的方向．4．（2023秋?襄城縣期末）如圖，小軒同學(xué)根據(jù)圖形寫出了四個(gè)結(jié)論：①圖中共有2條直線；②圖中共有7條射線；③圖中共有6條線段；④圖中射線BD與射線CD是同一條射線．其中結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【分析】根據(jù)直線、線段、射線的區(qū)別逐項(xiàng)分析判斷即可．【解答】解：①圖中只有1條直線BD，故錯(cuò)誤；②以B、C為端點(diǎn)可以各引出兩條射線，以D為端點(diǎn)可以引出3條射線，以A端點(diǎn)可以引出1條射線，則圖中共有2×2+3+1＝8條射線，故錯(cuò)誤；③圖中共有6條線段，即線段AB、AC、AD、BC、BD、CD，故正確；④圖中射線BD與射線CD不是同一條射線，故錯(cuò)誤；∴錯(cuò)誤的有①②④．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線、線段、射線的區(qū)別與聯(lián)系，理解三者的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?泊頭市期末）如圖，已知三點(diǎn)A，B，C畫直線AB，畫射線AC，連接BC，按照上述語句畫圖正確的是（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)直線、射線和線段的畫法，即可得出圖形．【解答】解：畫直線AB，畫射線AC，連接BC，如圖所示：故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線、射線和線段，掌握直線、射線和線段的區(qū)別是解決問題的關(guān)鍵．題型二點(diǎn)與直線的位置關(guān)系解題技巧提煉點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：①點(diǎn)經(jīng)過直線，說明點(diǎn)在直線上；②點(diǎn)不經(jīng)過直線，說明點(diǎn)在直線外．1．如圖，下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)B在直線MC上 B．點(diǎn)A在直線BC外 C．點(diǎn)C在線段MB上 D．點(diǎn)M在線段CB的延長(zhǎng)線上【分析】根據(jù)直線、線段的概念求解即可．【解答】解：A．點(diǎn)B在直線MC上，正確，不符合題意；B．點(diǎn)A在直線BC外，正確，不符合題意；C．點(diǎn)C在線段MB上，正確，不符合題意；D．點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上，原表述不正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線、射線、線段，解題的關(guān)鍵是掌握直線和線段的概念．2．下列幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的是（）A．如圖1所示，點(diǎn)C在線段BA上 B．如圖2所示，射線BC經(jīng)過點(diǎn)A C．如圖3所示，延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)C D．如圖4所示，圖中共有4條射線【分析】根據(jù)直線、射線和線段的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判定即可．【解答】解：A．如圖1，點(diǎn)C在射線BA上，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B．如圖2所示，射線BC不經(jīng)過點(diǎn)A，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．如圖3所示，延長(zhǎng)線段BA到點(diǎn)C，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D．如圖4所示，圖中共有4條射線，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線、射線和線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是直線、射線和線段性質(zhì)定理的應(yīng)用．3．（2023秋?鞍山期末）如圖，用適當(dāng)?shù)恼Z句表述圖中點(diǎn)與直線的關(guān)系，錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)P在直線AB外 B．點(diǎn)C在直線AB外 C．直線AC不經(jīng)過點(diǎn)M D．直線AC經(jīng)過點(diǎn)B【分析】由點(diǎn)和直線的位置關(guān)系，即可判斷．【解答】解：A、點(diǎn)P在直線AB外，正確，故A不符合題意；B、點(diǎn)C在直線AB上，故B符合題意；C、直線AB不經(jīng)過點(diǎn)P，正確，故C不符合題意；D、直線AB經(jīng)過點(diǎn)B，正確，故D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)和直線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)和直線位置關(guān)系．4．（2023秋?欒城區(qū)期中）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．直線l經(jīng)過點(diǎn)A B．直線a，b相交于點(diǎn)A C．點(diǎn)C在線段AB上 D．射線CD與線段AB有公共點(diǎn)【分析】點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為：①點(diǎn)經(jīng)過直線，說明點(diǎn)在直線上；②點(diǎn)不經(jīng)過直線，說明點(diǎn)在直線外；兩條不重合的直線存在相交和平行兩種位置關(guān)系，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、由圖可得，點(diǎn)A在直線l上，故直線l經(jīng)過點(diǎn)A；B、由圖可得，點(diǎn)A為直線a，b的公共點(diǎn)，故直線a，b相交于點(diǎn)A；C、由圖可得，點(diǎn)C在線段AB的上方，故點(diǎn)A不在線段AB上，即C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由圖可得，射線CD與線段AB有交點(diǎn)，故射線CD與線段AB有公共點(diǎn)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線、射線、線段的概念，解題時(shí)注意：直線向兩端無限延伸，射線向一段無限延伸，而線段有兩個(gè)端點(diǎn)．5．（2023秋?朝陽區(qū)期末）（1）讀語句，并畫出圖形：三條直線AB，BC，AC兩兩相交，在射線AB上取一點(diǎn)D（不與點(diǎn)A重合），使得BD＝AB，連接CD．（2）在（1）的條件下，回答問題：①用適當(dāng)?shù)恼Z句表述點(diǎn)D與直線BC的關(guān)系：；②若AB＝3，則AD＝．【分析】（1）根據(jù)語句畫出圖形即可；（2）①根據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：點(diǎn)在直線上或點(diǎn)在直線外可求解；②由作圖可得AD＝AB+BD＝2AB，進(jìn)而可求解．【解答】解：（1）如圖所示；（2）①點(diǎn)D在直線BC外；②∵AB＝3，BD＝AB，∴AD＝AB+BD＝2AB＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線，射線，線段，理解直線，射線，線段的概念是解題的關(guān)鍵．題型三兩條直線相交解題技巧提煉兩條直線相交：當(dāng)兩條直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們就稱這兩條直線相交，這個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn).1．（2023秋?漢陽區(qū)期末）如圖，對(duì)于直線AB，線段CD，射線EF，其中能相交的圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)直線、射線、線段的特征逐一判斷即可．【解答】解：∵直線沒有端點(diǎn)，可以向兩方無限延長(zhǎng)，射線只有一個(gè)端點(diǎn)，可以向一方無限延長(zhǎng)，線段有兩個(gè)端點(diǎn)，不能向兩方無限延長(zhǎng)，∴A，B，D不符合題意，C符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線、射線、線段，熟練掌握它們的特征是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?天元區(qū)期末）下列幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的是（）A．如圖1所示，延長(zhǎng)線段BA到點(diǎn)C B．如圖2所示，射線BC經(jīng)過點(diǎn)A C．如圖3所示，直線a和直線b相交于點(diǎn)A D．如圖4所示，射線CD和線段AB沒有交點(diǎn)【分析】直接利用延長(zhǎng)線段以及直線或射線相交和過一點(diǎn)畫直線的作法分別分析得出答案．【解答】解：A．如圖1所示，延長(zhǎng)線段BA到點(diǎn)C，幾何圖形與相應(yīng)語言描述不相符；B．如圖2所示，射線BC不經(jīng)過點(diǎn)A，幾何圖形與相應(yīng)語言描述不相符；C．如圖3所示，直線a和直線b相交于點(diǎn)A，幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符；D．如圖4所示，因?yàn)樯渚€CD可以延伸，會(huì)有交點(diǎn)，幾何圖形與相應(yīng)語言描述不相符；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直線、射線、線段，正確把握相關(guān)圖形畫法是解題的關(guān)鍵．3．（2023春?鋼城區(qū)期末）如圖，下列表述不正確的是（）A．直線AC和直線BC相交于點(diǎn)C B．點(diǎn)D在直線AB外 C．線段BD和射線AC都是直線CD的一部分 D．直線BD不經(jīng)過點(diǎn)A【分析】根據(jù)直線、射線與線段的定義，結(jié)合圖形解答．【解答】解：A、直線AC和直線BC相交于點(diǎn)C，此選項(xiàng)正確，故不符合題意；B、點(diǎn)D在直線AB外，此選項(xiàng)正確，故不符合題意；C、線段BD是直線CD的一部分，射線AC不是直線CD的一部分，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，故符合題意；D、直線BD不經(jīng)過點(diǎn)A，此選項(xiàng)正確，故不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線、射線、線段，解題的關(guān)鍵是掌握直線、射線、線段的定義，注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系．4．直線AB，BC，CA的位置關(guān)系如圖所示，則下列語句：①點(diǎn)B在直線BC上；②直線AB經(jīng)過點(diǎn)C；③直線AB，BC，CA兩兩相交；④點(diǎn)B是直線AB，BC的交點(diǎn)，以上語句正確的有（只填寫序號(hào)）【分析】依據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系進(jìn)行判斷，即可得到正確結(jié)論．【解答】解：由圖可得，①點(diǎn)B在直線BC上，正確；②直線AB不經(jīng)過點(diǎn)C，錯(cuò)誤；③直線AB，BC，CA兩兩相交，正確；④點(diǎn)B是直線AB，BC的交點(diǎn)，正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：①點(diǎn)經(jīng)過直線，說明點(diǎn)在直線上；②點(diǎn)不經(jīng)過直線，說明點(diǎn)在直線外．5．根據(jù)下列語句，畫出圖形．已知四點(diǎn)A、B、C、D．①畫直線AB；②連接AC、BD，相交于點(diǎn)O；③畫射線AD、BC，交于點(diǎn)P．【分析】根據(jù)直線、線段和射線的定義作出即可．【解答】解：如圖所示．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線、射線、線段，主要是對(duì)文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言的能力的培養(yǎng)．題型四線段的尺規(guī)作圖問題解題技巧提煉1、尺規(guī)作圖：在數(shù)學(xué)中，我們常限定用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，這就是尺規(guī)作圖.2、做一條線段等于已知線段，可以通過度量的方法，先量出已知線段的長(zhǎng)度，再利用刻度尺畫條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段，也可以利用圓規(guī)在射線上截取一條線段等于已知線段．1．（2023秋?灞橋區(qū)校級(jí)期中）尺，使MN＝2b﹣a．【分析】先在射線MP上依次截取MA＝AB＝b，然后在BM上截取BN＝a，則線段MN滿足條件．【解答】解：如圖，MN為所作．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．2．（2023秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知線段a,b,請(qǐng)用尺規(guī)求作線段AB，使得AB=2a+b（不寫作法，保留作圖痕跡）．【分析】作射線AM，在射線AM上截取線段AC=2a,CB=b即可．【解答】解：如圖，線段AB即為所求．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，直線，射線，線段等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．3．尺規(guī)作圖：如圖，已知線段a,b（a＞2b），求作線段AB，使得AB=a﹣2b.（不寫作法，但要保留作圖痕跡）【分析】作射線AM，在射線AM上截取AC，使得AC=a,在線段CA上取一點(diǎn)B，使得CB=2b,線段AB即為所求．【解答】解：如圖，線段AB即為所求．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的和差定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．4．（2023秋?灞橋區(qū)校級(jí)期中）尺，使MN＝2b﹣a．【分析】先在射線MP上依次截取MA＝AB＝b，然后在BM上截取BN＝a，則線段MN滿足條件．【解答】解：如圖，MN為所作．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．5．如圖，平面上有射線AP和點(diǎn)B，C，請(qǐng)用尺規(guī)按下列要求作圖：（1）連接AB，并在射線AP上截取AD＝AB；（2）連接BC，并延長(zhǎng)BC到E，使CE＝2BC．【分析】（1）由題意畫出圖形即可；（2）由題意畫出圖形即可．【解答】解：（1）連接AB，并在射線AP上截取AD＝AB；如圖1所示：（2）連接BC，并延長(zhǎng)BC到E，使CE＝2BC．如圖2所示．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段的畫法；熟練掌握尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．題型五直線的基本事實(shí)的應(yīng)用解題技巧提煉直線的性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線（1）直線公理：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線．簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)確定一條直線．（2）經(jīng)過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條，過兩點(diǎn)就唯一確定，過三點(diǎn)就不一定了．1．（2023秋?越秀區(qū)期末）小明想在墻上釘一根細(xì)木條，要使細(xì)木條固定，至少需釘?shù)尼斪觽€(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)，即可解答．【解答】解：小明想在墻上釘一根細(xì)木條，要使細(xì)木條固定，至少需釘?shù)尼斪觽€(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的性質(zhì)，熟練掌握直線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024?新城區(qū)模擬）如圖，小亮為將一個(gè)衣架固定在墻上，他在衣架兩端各用一個(gè)釘子進(jìn)行固定，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋他這樣操作的原因，應(yīng)該是（）A．過一點(diǎn)有無數(shù)條直線 B．兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．兩點(diǎn)之間，線段最短【分析】根據(jù)公理“兩點(diǎn)確定一條直線”來解答即可．【解答】解：因?yàn)椤皟牲c(diǎn)確定一條直線”，所以他在衣架兩端各用一個(gè)釘子進(jìn)行固定．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線的性質(zhì)，即兩點(diǎn)確定一條直線．3．（2023秋?霍林郭勒市期末）在下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象中，可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋的是（）①用兩顆釘子就可以把木條固定在墻上；②把筆尖看成一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)便得到一條線；③把彎曲的公路改直，就能縮短路程；④植樹時(shí)，只要栽下兩棵樹，就可以把同一行樹栽在同一條直線上．A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【分析】直接利用直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：①用兩顆釘子就可以把木條固定在墻上，可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋；②把筆尖看成一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)便得到一條線，可以用基本事實(shí)“無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成線”來解釋；③把彎曲的公路改直，就能縮短路程，可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”來解釋；④植樹時(shí)，只要栽下兩棵樹，就可以把同一行樹栽在同一條直線上，可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023秋?長(zhǎng)垣市期末）如圖，經(jīng)過刨平的木板上的兩個(gè)點(diǎn)，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是．【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線即可得．【解答】解：能解釋這一實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是：兩點(diǎn)確定一條直線，故答案為：兩點(diǎn)確定一條直線．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的性質(zhì)，掌握直線的性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?慈利縣期末）開學(xué)整理教室時(shí)，衛(wèi)生委員總是先把每一列最前和最后的課桌擺好，然后再依次擺中間的課桌，一會(huì)兒一列課桌就擺在一條線上，整整齊齊，其運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是．【分析】利用直線的性質(zhì)進(jìn)而分析得出即可．【解答】解：其運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是兩點(diǎn)確定一條直線．故答案為：兩點(diǎn)確定一條直線．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直線的性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線，正確將實(shí)際生活知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系是解題關(guān)鍵．題型六線段的基本事實(shí)的應(yīng)用解題技巧提煉1、線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短2、線段公理：兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．簡(jiǎn)單說成：兩點(diǎn)之間，線段最短．1．（2023秋?羅莊區(qū)期末）如圖，用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，則剩下的樹葉周長(zhǎng)小于原樹葉的周長(zhǎng)，能解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)道理是（）A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)之間線段最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)解答即可．【解答】解：用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長(zhǎng)比原樹葉的周長(zhǎng)要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是兩點(diǎn)之間，線段最短，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)之間，線段最短．2．（2023秋?晉州市期中）如圖所示，從學(xué)校到公園有①②③④四條路線可走，其中最短的路線是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】應(yīng)用兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．進(jìn)行判定即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意可得，從學(xué)校到公園有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是③．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段的性質(zhì)，熟練掌握線段的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023秋?遵化市期中）下列說法中，不能用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解釋的有（）①用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上；②植樹時(shí)，只要確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；③把彎曲的公路改直就能縮短路程．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】3個(gè)現(xiàn)象依據(jù)是兩點(diǎn)之間，線段最短和兩點(diǎn)確定一條直線，據(jù)此作出判斷．【解答】解：用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解釋的有③；①②的依據(jù)是兩點(diǎn)確定一條直線．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短定理的應(yīng)用，正確確定現(xiàn)象的本質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2024?船營(yíng)區(qū)一模）如圖，利用隧道，把彎曲的公路改直，就能縮短兩地的路程，這其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是．【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短，解答即可．【解答】解：由線段的性質(zhì)可知：兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段的性質(zhì)，即兩點(diǎn)之間線段最短．5．（2023秋?安鄉(xiāng)縣期末）如圖，從教室到圖書館總有少數(shù)同學(xué)不走人行道而橫穿草坪，雖然明知不對(duì)，可他們還是要這樣做，用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)可以解釋他們的動(dòng)機(jī)：．【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【解答】解：從教室到圖書館總有少數(shù)同學(xué)不走人行道而橫穿草坪，雖然明知不對(duì)，可他們還是要這樣做，用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)可以解釋他們的動(dòng)機(jī)：兩點(diǎn)之間線段最短；故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了線段的性質(zhì)，題目比較簡(jiǎn)單．題型七線段的和、差、倍、分解題技巧提煉1、線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)．2、線段的和、差、倍、分如圖，AC＝BC，C為AB中點(diǎn)，AC=12AB，AB＝2AC，D為CB中點(diǎn)，則CD＝DB=12AB＝4CD，這就是線段的和、差、倍、分．1．（2023秋?深圳期末）如圖，用圓規(guī)比較兩條線段AB和A′B′的長(zhǎng)短，其中正確的是（）A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．沒有刻度尺，無法確定【分析】根據(jù)比較線段的長(zhǎng)短進(jìn)行解答即可．【解答】解：由圖可知，A′B′＜AB；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了比較線段的長(zhǎng)短，解題的關(guān)鍵是正確比較線段的長(zhǎng)短．2．（2024?灤南縣校級(jí)模擬）如圖AB＝CD，則AC與BD的大小關(guān)系是（）A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．無法確定【分析】根據(jù)AB＝CD兩邊都加上線段BC得出AB+BC＝CD+BC，即可得出答案．【解答】解：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比較線段的長(zhǎng)度的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．3．（2023秋?鐵西區(qū)期末）如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段CB上一點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．CD＝AC﹣BD B．CD＝AD﹣BC C．CD=12BC D．CD=1【分析】根據(jù)CD＝BC﹣BD和CD＝AD﹣AC兩種情況和AC＝BC對(duì)各選項(xiàng)分析后即不難選出答案．【解答】解：∵C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC＝BC=12A、CD＝BC﹣BD＝AC﹣BD，正確；B、CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，正確；C、D不一定是BC的中點(diǎn)，故CD=12D、CD＝BC﹣BD=12AB﹣故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線段中點(diǎn)的定義和等量代換，只要細(xì)心進(jìn)行線段的代換便不難得到正確答案．4．（2023秋?柘城縣期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CB上任意一點(diǎn)，則下列表示線段關(guān)系的式子不正確的是（）A．AB＝2AC B．AC+CD+DB＝AB C．CD＝AD?12AB D．AD=12（【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)圖形直接對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)AC=12AB，則CD＝AD﹣AC＝AD?12AB可對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)AD＝AC+CD=12【解答】解：A、由點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則AB＝2AC，正確，不符合題意；B、AC+CD+DB＝AB，正確，不符合題意；C、由點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則AC=12AB，CD＝AD﹣AC＝AD?D、AD＝AC+CD=12AB+故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比較線段的長(zhǎng)短：線段上一點(diǎn)把這條線段分成兩條線段，這兩條線段的和等于原線段．也考查了線段中點(diǎn)的定義．5．（2023秋?官渡區(qū)期末）已知A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，則下列：①AC+BC＝AB；②AC=12AB；③AC＝BC；④AB＝2BC．可以判斷點(diǎn)C是線段A．③ B．②④ C．②③④ D．①②③④【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義逐項(xiàng)分析可得答案．【解答】解：①當(dāng)AC+BC＝AB時(shí)，點(diǎn)C不一定是AB中點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；②當(dāng)AC=12AB時(shí)，點(diǎn)C不一定在線段AB上，故③當(dāng)AC＝BC時(shí)，點(diǎn)C一點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，故③正確；④當(dāng)AB＝2BC時(shí)，點(diǎn)C不一定在線段AB上，故④錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義是解題關(guān)鍵．6．（2023秋?定遠(yuǎn)縣期末）如圖，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則下列等式中成立的有（）①CD＝AD﹣BD；②CD＝AD﹣BC；③2CD＝2AD﹣AB；④CD=1A．①② B．②③ C．①③ D．②④【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)、結(jié)合圖形解答即可．【解答】解：∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AC＝BC=12AB，CD＝BD=則CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，①不符合題意；②符合題意；2AD﹣AB＝2AC+2CD﹣AB＝2CD，③符合題意；CD=14故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離，掌握線段中點(diǎn)的概念和性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．7．如圖，C，D是線段AB上兩點(diǎn)，M，N分別是線段AD，BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若AM＝BN，則AC＝BD；②若AB＝3BD，則AD＝BM；③AB﹣CD＝2MN；④AC﹣BD＝3（MC﹣DN）．其中正確的結(jié)論是（填序號(hào)）．【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義與線段的和差結(jié)合圖形進(jìn)行分析．【解答】解：∵M(jìn)，N分別是線段AD，BC的中點(diǎn)，∴AD＝2AM，BC＝2BN，∵AM＝BN，∴AD＝BC，∴AD﹣CD＝BC﹣CD，即AC＝BD；①正確；∵M(jìn)是線段AD的中點(diǎn)，∴AM＝MD，∵AB＝3BD，∴AM＝MD＝BD，∴AD＝BM，故②正確；∵2MN＝2MC+2CN，MC＝MD﹣CD，∴2MN＝2（MD﹣CD）+2CN，∵M(jìn)D=12AD，CN=∴2MN＝2（12AD+12BC﹣CD）＝AD﹣CD+BC﹣CD＝AB故③正確；∵AC﹣BD＝AD﹣BC，∴AC﹣BD＝2MD﹣2CN＝2（MC﹣DN），故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，能夠利用中點(diǎn)的性質(zhì)求解一些線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型八線段的計(jì)算問題解題技巧提煉1、求線段的長(zhǎng)，通常先將待求線段轉(zhuǎn)化成其它線段的和或差，在轉(zhuǎn)化時(shí)盡可能向已知長(zhǎng)度的線段或與中點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的線段.2、當(dāng)已知幾條線段之間的比的關(guān)系或倍、分關(guān)系時(shí)，通常采用設(shè)未知數(shù)列方程的方法求解線段的長(zhǎng).3、當(dāng)點(diǎn)的位置不確定時(shí)，我們要分情況畫圖分類討論，確定所有可能的情況，然后根據(jù)中點(diǎn)的概念以及圖形進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．1．（2023秋?興隆縣期中）如圖所示，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，若AB＝10，AC＝6，則CD＝（）A．4 B．2 C．3 D．1【分析】因?yàn)辄c(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，所以CD=12BC，而BC＝AB﹣【解答】解：∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，又∵點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∴CD=12BC故選：B．【點(diǎn)評(píng)】準(zhǔn)確解決此類問題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，提高讀圖能力和分析能力．2．已知線段AB＝8cm，點(diǎn)P在直線AB上，AP＝2cm，則線段BP的長(zhǎng)是（）A．6cm B．10cm C．12cm D．6cm或10cm【分析】根據(jù)題意，顯然此題要分情況討論：點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上．因?yàn)锳B大于AP，所以點(diǎn)P不可能在線段BA的延長(zhǎng)線上．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，則BP＝AB﹣AP＝6；（上圖1）（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，BP＝AB+AP＝10；（上圖2）故選：D．【點(diǎn)評(píng)】要根據(jù)題意正確畫出圖形，然后根據(jù)線段的和與差計(jì)算即可．3．（2023秋?深圳期末）如圖所示，若C為線段AB的中點(diǎn)，D在線段CB上，DA＝6，DB＝4，則CD的長(zhǎng)度是．【分析】由已知條件知AB＝DA+DB，AC＝BC=12AB，故CD＝AD﹣【解答】解：∵線段DA＝6，線段DB＝4，∴AB＝10，∵C為線段AB的中點(diǎn)，∴AC＝BC＝5，∴CD＝AD﹣AC＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)間的距離．利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的長(zhǎng)短關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?九龍坡區(qū)期末）線段AB＝12cm，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=13BC，M為BC的中點(diǎn)，則AM的長(zhǎng)為【分析】根據(jù)點(diǎn)C在線段AB上，且AC=13BC，可得BC＝3AC，再根據(jù)M為BC的中點(diǎn)，即可求得【解答】解：如圖，∵點(diǎn)C在線段AB上，AC=13BC，即BC＝3∴AC+BC＝AB＝12即4AC＝12AC＝3∴BC＝9∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴CM=12∴AM＝AC+CM＝7.5cm．故答案為7.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解決本題的關(guān)鍵是利用線段中點(diǎn)定義．5．（2023秋?文山市期末）如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)．（1）若AM＝1，BC＝4，求MN的長(zhǎng)度．（2）若AB＝6，求MN的長(zhǎng)度．【分析】（1）由已知可求得CN的長(zhǎng)，從而不難求得MN的長(zhǎng)度；（2）由已知可得AB的長(zhǎng)是NM的2倍，已知AB的長(zhǎng)則不難求得MN的長(zhǎng)度．【解答】解：（1）∵N是BC的中點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，AM＝1，BC＝4∴CN＝2，AM＝CM＝1∴MN＝MC+CN＝3；（2）∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，AB＝6，∴NM＝MC+CN=12【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系，在不同情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡(jiǎn)潔性，此類題還要注意不要漏掉單位．6．（2023秋?隨縣期末）如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，AC＝12cm，AC=32CB，D、E分別為AC、AB【分析】根據(jù)AC＝12cm，AC=32CB，可得CB的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得AB的長(zhǎng)，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得AD【解答】解：∵AC＝12cm，AC=3∴CB=2∴AB＝AC+CB＝12+8＝20cm，∵D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，∴AD=12AC=6cm∴DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線段的和差，線段中點(diǎn)的性質(zhì)．7．（2023秋?伊川縣期末）線段AB＝12cm，點(diǎn)C為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)．（1）若點(diǎn)C恰好是AB中點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)？（2）若AC＝4cm，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)題意和圖形可以求得DC和CE的長(zhǎng)，從而可以求得DE的長(zhǎng)；（2）根據(jù)題意和圖形可以求得DC和CE的長(zhǎng)，從而可以求得DE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵AB＝12cm，點(diǎn)C恰好是AB中點(diǎn)，∴AC＝BC＝6cm，∵點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)，∴CD＝3cm，CE＝3cm，∴DE＝CD+CE＝6cm，即DE的長(zhǎng)是6cm；（2）∵AB＝12cm，AC＝4cm，∴CB＝8cm，∵點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)，∴DC＝2cm，CE＝4cm，∴DE＝DC+CE＝6cm，即DE的長(zhǎng)是6cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩點(diǎn)間的距離，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8．（2023秋?河池期末）如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)．求：（1）求AD的長(zhǎng)度；（2）求DE的長(zhǎng)度；（3）若M在直線AB上，且MB＝6cm，求AM的長(zhǎng)度．【分析】（1）直接根據(jù)D是AC的中點(diǎn)可得答案；（2）先求出AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)E是AB的中點(diǎn)求出AE，做好應(yīng)AE﹣AD即為DE的長(zhǎng)；（3）分M在點(diǎn)B的右側(cè)、M在點(diǎn)B的左側(cè)兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）由線段中點(diǎn)的性質(zhì)，AD=12AC＝6（（2）由線段的和差，得AB＝AC+BC＝12+8＝20（cm），由線段中點(diǎn)的性質(zhì)，得AE=12AB=由線段的和差，得DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4（cm）；（3）當(dāng)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，AM＝AB+MB＝20+6＝26（cm），當(dāng)M在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，AM＝AB﹣MB＝20﹣6＝14（cm），∴AM的長(zhǎng)度為26cm或14cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于線段的中點(diǎn)的計(jì)算，線段的和與差的計(jì)算，讀懂題意熟練運(yùn)用線段的和差倍分是解本題的關(guān)鍵．題型九類比線段計(jì)數(shù)規(guī)律解決實(shí)際問題解題技巧提煉3.交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：n（n≥2）條直線相交，最多有n(1．往返于甲、乙兩地的火車，中途?？咳?，每?jī)烧鹃g距離各不相等，需要準(zhǔn)備（）種不同的車票．A．4 B．8 C．10 D．20【分析】A、E兩點(diǎn)代表甲、乙兩地，中途?？康娜痉謩e是B、C、D，數(shù)出線段的條數(shù)即可得出車票的種類．【解答】解：如圖所示，A、E兩點(diǎn)代表甲、乙兩地，中途停靠的三站分別是B、C、D，∴不同的線段數(shù)就是車票的種類，從甲到乙的線段有：AB，AC，AD，AE；BC，BD，BE；CD，CE；DE；∴4+3+2+1＝10（種），∵往返車票不同，∴需要準(zhǔn)備車票種類：10×2＝20（種）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查了線段，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問題，解題的關(guān)鍵是掌握正確數(shù)線段的方法．2．（2023秋?定西期末）由西安北站到蘭州西站的D2681號(hào)動(dòng)車，運(yùn)行途中停靠的車站依次是西安北—岐山—寶雞南—天水南—定西北—蘭州西，則鐵路運(yùn)營(yíng)公司要為這條線路（往返路線都包括）制作的車票共種．【分析】求出單程車票的種類，即可得到答案．【解答】解：由題意知這條線路有6個(gè)站點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)站點(diǎn)都要有車票，單程車票有5+4+3+2+1＝15（種），∴往返的車票共有15×2＝30（種）．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線，射線，線段，關(guān)鍵是注意求的是往返路線的車票．3．（2023秋?振興區(qū)校級(jí)期中）某高鐵線路為往返于A市和E市，全長(zhǎng)106千米，全線共設(shè)A、B、C、D、E五個(gè)車站，任意兩站之間的距離都不相等，高鐵集團(tuán)要為乘客準(zhǔn)備種車票，有種票價(jià)．【分析】根據(jù)線段的定義以及線段條數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行解答即可．【解答】解：如圖：高鐵集團(tuán)要為乘客準(zhǔn)備：（4+3+2+1）×2＝20（種）車票；不同的票價(jià)有1+2+3+4＝10（種），故答案為：20；10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線、射線、線段，理解線段的定義，掌握線段條數(shù)的計(jì)算方法是正確解答的前提．4．（2023秋?宜城市期末）【觀察思考】如圖，線段AB上有兩個(gè)點(diǎn)C、D，分別以點(diǎn)A、B、C、D為端點(diǎn)的線段共有條．【模型構(gòu)建】若線段上有m個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則該線段上共有條線段．【拓展應(yīng)用】若有10支球隊(duì)參加校級(jí)籃球比賽，比賽采用單循環(huán)制（即每支球隊(duì)之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽），請(qǐng)你應(yīng)用上述模型構(gòu)建，求一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【分析】根據(jù)直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)與線段條數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：【觀察思考】3+2+1＝6（條），故答案為：6；【模型構(gòu)建】1+2+3+……+（m﹣1）=m(m?1)故答案為：m(m?1)2【拓展應(yīng)用】把10支球隊(duì)看作直線上的10個(gè)點(diǎn)，每?jī)芍蜿?duì)之間的一場(chǎng)比賽看作一條線段，由題知，當(dāng)m＝10時(shí)，m(m?1)2【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線、射線、線段，掌握直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)與線段條數(shù)之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．5．（2023秋?宜城市期末）【觀察思考】如圖，線段AB上有兩個(gè)點(diǎn)C、D，分別以點(diǎn)A、B、C、D為端點(diǎn)的線段共有條．【模型構(gòu)建】若線段上有m個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則該線段上共有條線段．【拓展應(yīng)用】若有10支球隊(duì)參加校級(jí)籃球比賽，比賽采用單循環(huán)制（即每支球隊(duì)之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽），請(qǐng)你應(yīng)用上述模型構(gòu)建，求一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【分析】根據(jù)直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)與線段條數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：【觀察思考】3+2+1＝6（條），故答案為：6；【模型構(gòu)建】1+2+3+……+（m﹣1）=m(m?1)故答案為：m(m?1)2【拓展應(yīng)用】把10支球隊(duì)看作直線上的10個(gè)點(diǎn)，每?jī)芍蜿?duì)之間的一場(chǎng)比賽看作一條線段，由題知，當(dāng)m＝10時(shí)，m(m?1)2【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線、射線、線段，掌握直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)與線段條數(shù)之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．題型十動(dòng)點(diǎn)問題解題技巧提煉解決線段的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題關(guān)鍵是化動(dòng)為靜，以不變應(yīng)萬變，查找突破口（動(dòng)點(diǎn)速度，運(yùn)動(dòng)的路程等），設(shè)出未知數(shù)，建立所求的的等量關(guān)系式，求出未知數(shù)等等，有時(shí)還需要分類討論.一般的步驟：①畫圖形；②表線段；③列方程；④求正解.1．如圖，數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)A，B，C，表示的數(shù)分別是﹣4，﹣2，3．（1）若使C、B兩點(diǎn)的距離是A、B兩點(diǎn)的距離的2倍，則需將點(diǎn)C向左移動(dòng)個(gè)單位；（2）點(diǎn)A、B、C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：①點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別是、、（用含a、t的代數(shù)式表示）；②若點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為d1，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為d2，當(dāng)a為何值時(shí)，5d1﹣3d2的值不會(huì)隨著時(shí)間t的變化而改變，并求此時(shí)5d1﹣3d2的值．【分析】（1）由AB＝2，結(jié)合數(shù)軸即可得出點(diǎn)C向左移動(dòng)的距離；（2）①結(jié)合路程＝時(shí)間×速度寫出答案；②先求出d1＝3t+5，d2＝3t+2，從而得出d1﹣d2＝2．【解答】解：（1）由數(shù)軸可知：A、B兩點(diǎn)的距離為2，B點(diǎn)、C點(diǎn)表示的數(shù)分別為：﹣2、3，所以當(dāng)C、B兩點(diǎn)的距離是A、B兩點(diǎn)的距離的2倍時(shí)，需將點(diǎn)C向左移動(dòng)1或9個(gè)單位；故答案為：1或9；（2）①點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣4﹣at；點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣2+2t；點(diǎn)C所表示的數(shù)是3+5t．故答案為：﹣4﹣at；﹣2+2t；3+5t；②∵點(diǎn)A以每秒a個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，∴d1＝3t+5，d2＝（a+2）t+2，∴5d1﹣3d2＝5（3t+5）﹣3[（a+2）t+2]＝（9﹣3a）t+19，9﹣3a＝0，解得a＝3，故當(dāng)a為3時(shí)，5d1﹣3d2的值不會(huì)隨著時(shí)間t的變化而改變，此時(shí)5d1﹣3d2的值為19．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸與絕對(duì)值，通過數(shù)軸把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．2．如圖1，線段AB長(zhǎng)為24個(gè)單位長(zhǎng)度，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)，設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．（1）當(dāng)PB＝2AM時(shí)，求x的值；（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2BM﹣BP＝，請(qǐng)?zhí)羁詹⒄f明理由；（3）如圖2，當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N長(zhǎng)度不變；②MA+PN的值不變，選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并求出其值．【分析】（1）根據(jù)PB＝2AM建立關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）將BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x代入2BM﹣BP后，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；（3）利用PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN＝；PB＝x﹣12，分別表示出MN及MA+PN的長(zhǎng)度，即可作出判斷．【解答】解：（1）M是線段AP的中點(diǎn)，∴AM=12AP＝PB＝AB﹣AP＝24﹣2x．∴PB＝2AM，∴24﹣2x＝2x，解得x＝6；（2）∵AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，2BM﹣BP＝2（24﹣x）﹣（24﹣2x）＝24，即2BM﹣BP為定值；故答案為：24．（3）當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)，∵PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN=12PB＝①M(fèi)N＝PM﹣PN＝x﹣（x﹣12）＝12是定值；②MA+PN＝x+x﹣12＝2x﹣12，是變化的．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解答本題的關(guān)鍵是用含時(shí)間的式子表示出各線段的長(zhǎng)度．3．（2023秋?廣州期末）如圖，線段AB＝20cm，C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿線段AB向右運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段AB向左運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A停止．若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（x＞0）s．（1）AC＝cm．（2）是否存在某一時(shí)刻，使得C，P，Q這三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰為另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)？若存在，求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)線段AB＝20cm，C為AB的中點(diǎn)即可得AC的長(zhǎng)；（2）依題意得：AP＝2xcm，BQ＝xcm，AC＝BC＝10cm，然后分三種情況討論如下：①當(dāng)點(diǎn)C為PQ的中點(diǎn)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P為CQ的中點(diǎn)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)Q為PC的中點(diǎn)時(shí)，再根據(jù)每一種情況畫出圖形，利用線段中點(diǎn)的定義列出方程求出x即可．【解答】解：（1）∵線段AB＝20cm，C為AB的中點(diǎn)，∴AC＝BC=12AB=1故答案為：10．（2）存在．依題意得：AP＝2xcm，BQ＝xcm，由（1）可知：AC＝BC＝10cm，分三種情況討論如下：①當(dāng)點(diǎn)