導數(shù)與不等式證明 課件-2025屆高三數(shù)學一輪復習

第四單元高考專攻二導數(shù)與不等式證明2025屆1在證明與函數(shù)有關的不等式時，我們可以把不等式問題轉化為函數(shù)的最值問題，也常構造函數(shù)，把不等式的證明問題轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或最值問題．01課堂突破

01課堂突破特訓點1特訓點2特訓點3典例1

(2023·新高考全國Ⅱ卷)證明：當0＜x＜1時，x－x2＜sinx＜x.[解題指導]

分別構建函數(shù)F(x)＝x－sinx，x∈(0，1)，G(x)＝x2－x＋sinx，x∈(0，1)→分別求導→利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調性→最小值大于0→確定結論．特訓點1移項構造差函數(shù)證明不等式【師生共研類】證明：構建函數(shù)F(x)＝x－sinx，x∈(0，1)，則F′(x)＝1－cosx＞0對?x∈(0，1)恒成立，則F(x)在(0，1)上單調遞增，可得F(x)＞F(0)＝0，所以x＞sinx，x∈(0，1)．構建函數(shù)G(x)＝sinx－(x－x2)＝x2－x＋sinx，x∈(0，1)，則G′(x)＝2x－1＋cosx，x∈(0，1)．構建函數(shù)g(x)＝G′(x)，x∈(0，1)，則g′(x)＝2－sinx＞0對?x∈(0，1)恒成立，則g(x)在(0，1)上單調遞增，可得g(x)＞g(0)＝0，即G′(x)＞0對?x∈(0，1)恒成立，則G(x)在(0，1)上單調遞增，可得G(x)＞G(0)＝0，所以sinx＞x－x2，x∈(0，1)．綜上所述，x－x2＜sinx＜x.

待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，利用研究其單調性等相關函數(shù)性質證明不等式．

…………………練能力學方法

特訓點2分拆函數(shù)法證明不等式【師生共研類】

若直接求導比較復雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構造兩個函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達到證明的目的.本例中同時含lnx與ex，不能直接構造函數(shù)，把指數(shù)與對數(shù)分離兩邊，分別計算它們的最值，借助最值進行證明．已知函數(shù)f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；…………………練能力學方法

(2)當a＝e時，證明：xf(x)－ex＋2ex≤0.

特訓點3放縮后構造函數(shù)證明不等式【師生共研類】

導數(shù)方法證明不等式中，最常見的是ex和lnx與其他代數(shù)式結合的問題，對于這類問題，可以考慮先對ex和lnx進行放縮，使問題簡化，簡化后再構建函數(shù)進行證明．常見的放縮公式如下：(1)ex≥1＋x，當且僅當x＝0時取等號；(2)lnx≤x－1，當且僅當x＝1時取等號．

…………………練能力學方法∴當x∈(0，1)時，φ′(x)＜0，當x∈(1，＋∞)時，φ′(x)＞0，∴φ(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，∴φ(x)min＝φ(1)＝0，∴φ(x)≥0，∴f(x)≥φ(x)≥0，即f(x)≥0.(方法二)令g(x)＝ex－x－1，則g′(x)＝ex－1.當x∈(－∞，0)時，g′(x)＜0，當x∈(0，＋∞)時，g′(x)＞0，∴g(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，∴g(x)min＝g(0)＝0，故ex≥x＋1，當且僅當x＝0時取“＝”．同理可證lnx≤x－1，當且僅當x＝1時取“＝”．由ex≥x＋1得ex-1≥x(當且僅當x＝1時取“＝”)，由x－1≥lnx得x≥lnx＋1(當且僅當x＝1時取“＝”)