第04講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示（人教A版2019選擇性）（原卷版）

第04講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示【人教A版2019】·模塊一空間直角坐標(biāo)系·模塊二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算·模塊三用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決相關(guān)的幾何問題·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一空間直角坐標(biāo)系1．空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念①空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较?，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.②相關(guān)概念：O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分．(2)右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．2．空間一點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．【考點(diǎn)1求空間點(diǎn)的坐標(biāo)】【例1.1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(?2,1,4)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．(?2,1,?4) B．(2,1,?4) C．(?2,?1,?4) D．(2,?1,4)【例1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）平行六面體ABCD?A1B1C1DA．0,4,7 B．?2,0,1 C．2,0,?1 D．2,0,1【變式1.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A2,4,0、B1,3,3，且滿足2AQ=QBA．113,53,1 B．53【變式1.2】（2023·高二單元測試）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x,y,z)下列敘述中正確的是（

）①點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是P②點(diǎn)P關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)是P③點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是P④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是PA．①② B．①③ C．②④ D．②③模塊二模塊二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【考點(diǎn)1空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示】【例1.1】（2023春·安徽合肥·高二?？计谀┮阎猘=(1,2,1)，b=(2,?4,1)，則2aA．(4,?2,0) B．(4,0,3)C．(?4,0,3) D．(4,0,?3)【例1.2】（2023春·甘肅張掖·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量a=(1,?2,1),a+b=(?1,2,?1),A．(2,?4,2) B．(?2,4,?2)C．(?2,0,?2) D．(2,1,?3)【變式1.1】（2023春·全國·高二開學(xué)考試）已知A1,1,0，B2,0,?1，C?1,3,?2，則ABA．4,?4,0 B．?4,4,0 C．2,?2,0 D．?2,2,0【變式1.2】（2023秋·河南周口·高二統(tǒng)考期末）已知a=1,0,1，b=?2,?1,1，c=A．?9,?3,0 B．0,2,?1C．9,3,0 D．9,0,0【考點(diǎn)2空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示】【例2.1】（2023春·寧夏固原·高二?？茧A段練習(xí)）已知AB=(2,?1,3)，BC=(?4,1,1)，則AB?A．?7 B．?6 C．?5 D．?4【例2.2】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量a=(1,1,x)，b=(?2,2,3)，若(2a?bA．?3 B．3 C．?1 D．6【變式2.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)QA?QB取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（A．12,34,13 B．【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正六棱柱ABCDEF?A1B1C1DA．(?12,C．(?12,1)模塊三模塊三用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決相關(guān)的幾何問題1．空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).2．空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).3．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以求得．【考點(diǎn)1空間向量的模與兩點(diǎn)間的距離】【例1.1】（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)A1,2,3關(guān)于Oxy平面的對(duì)稱點(diǎn)為B，而點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則BC=（A．210 B．213 C．2【例1.2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知a=(1?t,1?t,t)，b=(2,t,t)，則|aA．355 B．555 C．11【變式1.1】（2023春·江蘇常州·高二?？计谥校┢叫辛骟wABCD?A1B1C1D1中，AB=(1,2,4)A．43 B．12 C．52【變式1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC?A′B′C′中，AB=BC=BB′=2，AB⊥BC，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段CA．55 B．255 C．1【考點(diǎn)2空間向量夾角問題】【例2.1】（2023秋·河北唐山·高二統(tǒng)考期末）已知向量a=0,?1,1，b=1,2,y，a?b=?3A．30° B．60° C．120° D．150°【例2.2】（2023春·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若向量a=1,λ,1,b=2,?1,?2，且a與b夾角的余弦值為A．?2 B．2 C．?2或2【變式2.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a=cosα,?1,sinα，b=sinA．90° B．60° C．30° D．0°【變式2.2】（2023秋·浙江杭州·高二?？计谀┰O(shè)空間兩個(gè)單位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p與向量OC=A．π6 B．π4 C．π3【考點(diǎn)3空間向量的平行與垂直】【例3.1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)a=2,2m?3,n+2，b=4,2m+1,3n?2且a//【例3.2】（2023秋·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）已知a=(2,?1,?4),(1)若(a?b(2)若(a+3b【變式3.1】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）已知a=(3,4,x),(1)若(a+2b(2)若a+b⊥a?【變式3.2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A?2，0，2、B?1，(1)若c=3，且c//BC(2)求cosa(3)若ka+b與k模塊四模塊四課后作業(yè)1．（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A(3,?1,0)，若向量AB=?1,6,?3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（A．(1,?6,3) B．(5,4,?3) C．(?1,6,?3) D．(2,5,?3)2．（2023秋·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量a=2,?1,2,b=A．4,?2,4 B．2,?1,2 C．3,0,3 D．1,?2,13．（2023秋·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，若點(diǎn)M2a?a2,b+1,2c?1關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)為?1,2,9A．3 B．5 C．7 D．94．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若a=2,3,2,b=A．?1 B．0 C．1 D．25．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知空間三點(diǎn)A1,0,0,B3,1,1,C2,0,1，則ABA．6，120° B．6，150° C．6，60° D．6，30°6．（2023春·遼寧阜新·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量a=?2,1,4,b=x,?1A．5 B．21 C．4 D．217．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量a=1,t,2，b=2,?2,s，若a∥A．?2 B．2 C．?4 D．?58．（2023·江蘇淮安·江蘇省校考模擬預(yù)測）若向量a→=(1,λ,0)，b→=(2,?1,2)，且a→,b→的夾角的余弦值為23A．0 B．?43 C．0或?49．（2023·全國·高三對(duì)口高考）向量a=?2,?3,1,A．a(chǎn)∥b,b⊥c B．a(chǎn)10．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=π2，AB=AC=AA1=1，已知G和E分別為A1B1和CCA．55,1 B．55,1 C．11．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，12．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量a→=4,2,?4，b(1)2a(2)a→(3)a→13．（2023春·福建龍巖·高二校考階段練習(xí)）如圖