31三角函數(shù)的定義（精講）（基礎(chǔ)版）

3.1三角函數(shù)的定義（精講）（基礎(chǔ)版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一扇形的弧長與面積【例11】（2021·安徽黃山市）若一扇形的圓心角為144°，半徑為cm，則扇形的面積為______cm2．【答案】．【解析】扇形的圓心角為144°，半徑為，所以扇形的面積為．故答案為：．【例12】（2022·全國·貴陽一中二模）已知圓錐的母線長為3，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的底面半徑為___________.【答案】【解析】因為圓錐的母線長為3，所以側(cè)面展開圖扇形的半徑為3，設(shè)該圓錐的底面半徑為，所以有，故答案為：【例13】（2022·全國·高三專題練習）中國傳統(tǒng)扇文化有著深厚的底蘊，一般情況下，折扇可以看做是從一個圓形中前下的扇形制作而成的，當折扇所在扇形的弧長與折扇所在扇形的周長的比值為時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所在扇形的圓心角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，圓心角的弧度數(shù)為，由題意得，變形可得，因為，所以折扇所在扇形的圓心角的弧度數(shù)為．故選：A.【一隅三反】1．（2022·浙江浙江·二模）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，其中有這樣一個問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”其意思為：“有一塊扇形的田，弧長為30步，其所在圓的直徑為16步，問這塊田的面積是多少平方步？”該問題的答案為___________平方步.【答案】120【解析】由題意得：扇形的弧長為30，半徑為8，所以扇形的面積為：，故答案為：1202．（2022·全國·高三專題練習）已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)α是（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【答案】C【解析】設(shè)扇形所在圓的半徑為，由扇形的周長是6，面積是2，可得，解得或，又由弧長公式，可得，即，當時，可得；當時，可得，故選：C.3．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，扇環(huán)的兩條弧長分別是4和10，兩條直邊與的長都是3，則此扇環(huán)的面積為（

）A．84 B．63 C．42 D．21【答案】D【解析】設(shè)扇環(huán)的圓心角為，小圓弧的半徑為，由題可得且，解得，，從而扇環(huán)面積.故選：D．4．（2022·全國·高三專題練習）《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為米，肩寬約為米，“弓”所在圓的半徑約為1.25米，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（

）A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米【答案】B【解析】由題得：弓所在的弧長為：；所以其所對的圓心角；兩手之間的距離．故選：B．考點二三角函數(shù)的定義【例21】（2022·江西·蘆溪中學）已知點是角終邊上的一點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因點是角終邊上的一點，則，所以.故選：D【例22】（2022·安徽）在平面直角坐標系中，若角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由角的終邊經(jīng)過點，即，所以.故選：D.【例23】（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）若角的終邊過點P（8m，），且，則m的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，故選：A.【例24】（2022·北京四中高三階段練習）角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】角的終邊過點，，.故選：B.【一隅三反】1．（2022·四川成都）如圖，角以為始邊，它的終邊與圓相交于點，點的坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義，.故選：A2．（2022·安徽）已知角的終邊上有一點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，.故選：B3．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模（理））已知點A是的終邊與單位圓的交點，若A的橫坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，，所以.故選：C4．（2022·重慶巴蜀中學）已知角的終邊過點，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為角的終邊過點，且，故可得，解得，則.故選：B.5．（2022·河南洛陽）已知角的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由正切函數(shù)的定義得．故選：C考點三象限的判斷【例31】（2022·重慶·高三開學考試）若，則下列三角函數(shù)值為正值的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以C選項正確.當時，，所以ABD選項錯誤.故選：C【例32】（2022·全國·高三專題練習）若α是第四象限角，則π－α是第（

）象限角.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【解析】∵α是第四象限角，∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－2kπ<－α<－2kπ＋，k∈Z，∴π－2kπ<π－α<－2kπ＋π，k∈Z，故π－α是第三象限角.故選：C【例33】（2022·浙江·高三專題練習）已知是第三象限角，滿足，則是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】是第三象限角，，，則，，即為第二或第四象限角，又，為第四象限角．故選：D．【一隅三反】1．（2022·山東棗莊·高三期末）為第三或第四象限角的充要條件是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A：第三或第四象限角，以及終邊在y軸負半軸，故A錯誤；對于B：第二或第三象限角，以及終邊在x軸負半軸，故B錯誤；對于C：第二或第三象限角，故C錯誤；對于D：第三或第四象限角，故D正確.故選：D2．（2022·甘肅酒泉·高三期中）若角滿足，，則角所在的象限是（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由知，是一、三象限角，由知，是三、四象限角或終邊在y軸負半軸上，故是第三象限角．故選：C3．（2022·全國·高三專題練習（理））角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵角的終邊在第一象限，∴，，則，，當時，此時的終邊落在第一象限，當時，此時的終邊落在第二象限，當時，此時的終邊落在第三象限，綜上，角的終邊不可能落在第四象限，故選：D.4．（2022·昆明市）若，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】因為，又，所以，所以是第二象限角.故選：B5．（2021·湖南高三月考）已知，，則是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B【解析】由得，則，又，所以是第二象限角.故選：B.考點四三角函數(shù)線【例41】（2022·全國·高三專題練習）已知，且，則的取值范圍是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出單位圓以及，，，∵，且，從圖中可知的取值范圍是故選：D.【例42】（2022·全國·高三專題練習）若－＜α＜－，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sinα，cosα，tanα的大小是（

）A．sinα＜tanα＜cosα B．cosα＜sinα＜tanαC．sinα＜cosα＜tanα D．tanα＜sinα＜cosα【答案】C【解析】如圖所示作出角α的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，因為－＜α＜－，所以O(shè)M，MP均為負值，且，AT為正值，，故有sinα＜cosα＜tanα.故選：C【例43】（2022·河南·南陽市第二完全學校高級中學高一階段練習）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】先證明：當0＜x＜時，如圖，角x終邊為OP，其中點P為角x的終邊與單位圓的交點，PM⊥x軸，交x軸與點M，A點為單位圓與x軸的正半軸的交點，AT⊥x軸，交角x終邊于點T，則有向線段MP為角x的正弦線，有向線段AT為角x的正切線，設(shè)弧PA＝l＝x×1＝x，由圖形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即所以＜＜，即所以又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以又由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則所以所以，即故選：C．【一隅三反】1．（2020·安徽·合肥市廬陽高級中學高三階段練習（理））設(shè)，使且同時成立的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，由正弦曲線得：時，由余弦曲線得：時，