22第六章第二節(jié)

第二節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系考點圓與特殊四邊形例(2019·河南)如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°.以AB為直徑的半圓O交AC于點D，點E是上不與點B，D重合的任意一點，連接AE交BD于點F，連接BE并延長交AC于點G.(1)求證：△ADF≌△BDG；(2)填空：①若AB＝4，且點E是的中點，則DF的長為________；②取的中點H，當(dāng)∠EAB的度數(shù)為________時，四邊形OBEH為菱形．【分析】(1)利用直徑所對的圓周角是直角，可得∠ADB＝∠AEB＝90°，再根據(jù)同角的余角相等可得∠DAF＝∠DBG，易得AD＝BD，得證；(2)①作FM⊥AB，應(yīng)用等弧所對的圓周角相等得∠BAE＝∠DAE，再應(yīng)用角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論；②由菱形的性質(zhì)可得BE＝OB，結(jié)合特殊三角函數(shù)值可得∠EAB＝30°.【自主解答】(1)∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°.∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB＝∠BDG＝∠AEB＝∠AEG＝90°，∴∠DAF＋∠BGD＝∠DBG＋∠BGD＝90°，∴∠DAF＝∠DBG.∵∠ABD＋∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠BAC＝45°，∴AD＝BD，∴△ADF≌△BDG.(2)①4－2②30°1．(2019·河南一模)如圖，已知BC是⊙O的切線，AC是⊙O的直徑，連接AB交⊙O于點D.在AB上截取AE＝AC，在△ABC中，連接CE，交⊙O于點F.(1)求證：∠BAC＝2∠BCE；(2)連接OD，DF，當(dāng)∠B＝________時，四邊形OCFD是菱形．(1)證明：如圖，連接AF.∵AC為直徑，∴∠AFC＝90°，即AF⊥CE.∵AC＝AE，∴AF平分∠EAC，即∠EAF＝∠CAF.∵BC切⊙O于C，∴∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠CAF，∴∠BAC＝2∠BCE.(2)30°提示：如圖，連接OF.∵∠EAF＝∠CAF，∴FD＝FC.當(dāng)∠ACE＝60°時，CF＝OC＝OD＝FD，此時四邊形OCFD為菱形．∵AE＝AC，∴△ACE為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，即當(dāng)∠B＝30°時，四邊形OCFD是菱形．2．(2019·安陽一模)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，點P是AB的延長線上一點，且∠PDB＝∠A，連接DE，OE.(1)求證：PD是⊙O的切線；(2)填空：①當(dāng)∠P的度數(shù)為________時，四邊形OBDE是菱形：②當(dāng)∠BAC＝45°時，△CDE的面積為________．(1)證明：如圖，連接OD.∵OB＝OD，∠PDB＝∠A，∴∠ODB＝∠ABD＝90°－∠A＝90°－∠PDB，∴∠ODB＋∠PDB＝90°，∴∠ODP＝90°.又∵OD是⊙O的半徑，∴PD是⊙O的切線．(2)①30°②2－2.3．(2019·駐馬店一模)如圖，AB為⊙O的直徑，點D是⊙O上一動點，過點B作⊙O的切線，連接AD并延長，交過點B的切線于點C，點E是BC的中點，連接DE，OD.(1)求證：DE是⊙O切線；(2)當(dāng)∠A＝________度時，四邊形OBED為正方形；(3)連接OE交⊙O于點F，連接DF，若OA＝2，BC＝________時，四邊形ADFO為菱形．(1)證明：如圖，連接BD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.∵在Rt△BDC中，點E是BC的中點，∴DE＝BE＝CE＝BC，∴∠DBE＝∠BDE.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠DBE＋∠OBD＝∠BDE＋∠ODB，即∠OBE＝∠ODE.又∵BC是⊙O的切線，∴∠ODE＝∠OBE＝90°.∵點D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線．(2)45(3)4核心考點與切線有關(guān)的證明與計算1．命題規(guī)律分析：2．命題研究專家點撥：(1)“連半徑，證垂直”：若直線與圓有公共點，則連接圓心與交點得到半徑，證明半徑與直線垂直．(2)“作垂直，證等徑”：若未給出直線與圓的公共點，則過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于半徑．在判定時，必須說明“是半徑”或“點在圓上”，這是最容易犯錯的地方．(3)利用切線的性質(zhì)解決問題時，常連接切點與圓心，構(gòu)造垂直，然后通過勾股定理、解直角三角形或相似解題．百變例題

(2017·河南)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，過點C作CF∥AB，與過點B的切線交于點F，連接BD.(1)求證：BD＝BF；(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的長．【分析】(1)尋找條件證明△BDC≌△BFC，從而得出結(jié)論；(2)利用勾股定理求出BC的長即可．【自主解答】(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠ACB＝∠BCF.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.∵BF為⊙O的切線，∴AB⊥BF.∵AB∥CF，∴∠F＝90°.在△BDC和△BFC中，∴△BDC≌△BFC，∴BD＝BF.(2)∵AC＝AB＝10，CD＝4，∴AD＝6，∴BD＝8，∴BC＝百變一：在百變例題的基礎(chǔ)上，若BC與⊙O交于點E，如圖，過點E作⊙O的切線，交AB的延長線于點G，交AC于點M，連接DE.(1)求證：BE＝CE；(2)若∠G＝40°，求∠ADE的度數(shù)；(3)若BG＝6，CM＝2，求⊙O的半徑．(1)證明：如圖，連接AE.∵AB為直徑，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.(2)解：如圖，連接OE.∵GM是切線，OE是半徑，∴OE⊥GM，∴∠OEG＝90°.∵∠G＝40°，∴∠GOE＝50°.∵OB＝OE，∴∠OBE＝65°.∵點A，B，D，E都在⊙O上，∴∠ABE＋∠ADE＝180°，∴∠ADE＝115°.(3)解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵OB＝OE，∴∠ABC＝∠OEB，∴∠OEB＝∠ACB，∴OE∥AC，∴△GOE∽△GAM，設(shè)⊙O的半徑是r，則AB＝AC＝2r，∴AM＝2r－2，∴r＝3，即⊙O的半徑是3.百變二：如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC，AC于E，D兩點，過點E作⊙O的切線，交AC于點M，交AB的延長線于點G.(1)求證：DM＝CM；(2)若cos∠ABC＝，AB＝10，求線段AM的長．(1)證明：如圖，連接AE.∵AB為直徑，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.∵AO＝OB，∴OE＝AC，OE∥AC.∵EM為⊙O的切線，∴OE⊥EM，∴AC⊥EM.∵A，B，E，D四點共圓，∴∠EDC＝∠ABE.∵AB＝AC，∴