2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)50直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系含解析新人教A版

PAGE課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(五十)(建議用時(shí)：45分鐘)A組全考點(diǎn)鞏固練1．(2024·鶴壁中學(xué)高三月考)已知直線(xiàn)l：x－y＋3＝0與雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1,4)是弦AB的中點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率為()A．eq\f(4,3)B．2C．eq\f(\r(5),2)D．eq\r(5)D解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．因?yàn)辄c(diǎn)P(1,4)是弦AB的中點(diǎn)，依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2，,y1＋y2＝8.))因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在直線(xiàn)l：x－y＋3＝0上，依據(jù)兩點(diǎn)斜率公式可得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1.因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)C上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)－\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)－\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))所以eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)＝0，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝eq\f(y1＋y2y1－y2,x1＋x2x1－x2)＝eq\f(8,2)×1＝4，解得eq\f(b,a)＝2.所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2))＝eq\r(5).2．(2024·大連一中模擬)已知雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為eq\f(π,3)，且雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(2,3)，雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)與過(guò)右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，則△AOB的面積為()A．4eq\r(3)B．2eq\r(3)C．8D．12A解析：由題意得，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±eq\r(3)x，可得雙曲線(xiàn)的方程為x2－eq\f(y2,3)＝λ(λ>0)，把點(diǎn)(2,3)代入可得4－3＝λ，得λ＝1，所以雙曲線(xiàn)的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1，c2＝1＋3＝4，c＝2，F(xiàn)(2,0)，可得A(2，2eq\r(3))，B(2，－2eq\r(3))，可得S△AOB＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(3)＝4eq\r(3).故選A．3．(2024·重慶高三月考)已知雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F(－c,0)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)．若線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)P(2c，0)，則雙曲線(xiàn)C的離心率為()A．eq\f(\r(5),2)B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2D解析：設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋c)＝1，,\f(y0,x0－2c)＝－1))?x0＝eq\f(c,2)，y0＝eq\f(3,2)c，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入雙曲線(xiàn)方程有eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，兩式相減得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)－eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)＝0，可得eq\f(b2,a2)＝eq\f(y1－y2y1＋y2,x1－x2x1＋x2)＝3，即b2＝3a2，所以c＝2a，e＝2.4．(2024·新高考全國(guó)卷Ⅰ)斜率為eq\r(3)的直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.eq\f(16,3)解析：(方法一)在拋物線(xiàn)y2＝4x中，2p＝4，斜率為eq\r(3)的直線(xiàn)傾斜角θ＝eq\f(π,3)，所以過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(4,sin2\f(π,3))＝eq\f(4,\f(3,4))＝eq\f(16,3).(方法二)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知可得拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，過(guò)點(diǎn)F且斜率k＝eq\r(3)的直線(xiàn)方程為y＝eq\r(3)(x－1)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝\r(3)x－1，))消去y得3x2－10x＋3＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(10,3)，,x1x2＝1，))所以|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋3)×eq\r(\f(100,9)－4)＝eq\f(16,3).5．過(guò)點(diǎn)P(1,1)作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)x2－eq\f(y2,2)＝λ交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)P恰為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是____________．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：因?yàn)殡p曲線(xiàn)方程為x2－eq\f(y2,2)＝λ，所以λ≠0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．因?yàn)辄c(diǎn)P恰為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－\f(y\o\al(2,1),2)＝λ，,x\o\al(2,2)－\f(y\o\al(2,2),2)＝λ.))兩式相減并化簡(jiǎn)可得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝2×eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝2.即直線(xiàn)l的斜率為2，所以直線(xiàn)的方程為y＝2x－1.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x2－\f(y2,2)＝λ，))化簡(jiǎn)可得2x2－4x＋2λ＋1＝0.因?yàn)橹本€(xiàn)l與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以Δ＝16－4×2×(2λ＋1)>0，解得λ<eq\f(1,2)且λ≠0.所以λ的取值范圍為(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).6．(2024·雅安市高三二模)已知F是拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，過(guò)F作直線(xiàn)與C相交于P，Q兩點(diǎn)，且Q在第一象限．若2eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\o(FQ,\s\up6(→))，則直線(xiàn)PQ的斜率是________．2eq\r(2)解析：設(shè)l是準(zhǔn)線(xiàn)，過(guò)P作PM⊥l于M，過(guò)Q作QN⊥l于N，過(guò)P作PH⊥QN于H，如圖，則|PM|＝|PF|，|QN|＝|QF|.因?yàn)?eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\o(FQ,\s\up6(→))，所以|QF|＝2|PF|，所以|QN|＝2|PM|，所以|QH|＝|NH|＝|PM|＝|PF|，|PH|＝eq\r(3|PF|2－|PF|2)＝2eq\r(2)|PF|，所以tan∠HQF＝eq\f(|PH|,|QH|)＝2eq\r(2)，所以直線(xiàn)PQ的斜率為2eq\r(2).7．(2024·鶴壁市高三模擬)已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M(2，p)在拋物線(xiàn)C上．(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于另一點(diǎn)N.若△AMN的面積為eq\f(64,9)，求直線(xiàn)l的方程．解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)M(2，p)在拋物線(xiàn)y2＝2px上，所以p2＝4p，所以p＝4或p＝0(舍去)，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為y2＝8x.(2)由(1)知拋物線(xiàn)C的方程為y2＝8x，M(2,4)，A(－2，0)，kMA＝eq\f(4－0,2－－2)＝1，所以直線(xiàn)MA的方程為y＝x＋2，即x－y＋2＝0，且|MA|＝4eq\r(2)，所以點(diǎn)N到直線(xiàn)MA的距離d＝eq\f(2S△AMN,|MA|)＝eq\f(16\r(2),9).設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),8)，y0))，則d＝eq\f(\f(y\o\al(2,0),8)－y0＋2,\r(2))＝eq\f(16\r(2),9)，解得y0＝eq\f(28,3)或y0＝－eq\f(4,3)，即N點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(98,9)，\f(28,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，－\f(4,3))).若取Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(98,9)，\f(28,3)))，則kMN＝eq\f(\f(28,3)－4,\f(98,9)－2)＝eq\f(3,5)，所以直線(xiàn)l的方程為y－4＝eq\f(3,5)(x－2)，即3x－5y＋14＝0；若取Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，－\f(4,3)))，則kMN＝eq\f(－\f(4,3)－4,\f(2,9)－2)＝3，所以直線(xiàn)l的方程為y－4＝3(x－2)，即3x－y－2＝0.所以直線(xiàn)l的方程為3x－5y＋14＝0或3x－y－2＝0.8．(2024·桂林模擬)橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\f(\r(2),2)，過(guò)點(diǎn)A(－a,0)和B(0，b)的直線(xiàn)與原點(diǎn)間的距離為eq\f(\r(6),3).(1)求橢圓M的方程；(2)過(guò)點(diǎn)E(1,0)的直線(xiàn)l與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)，且點(diǎn)D位于第一象限，當(dāng)eq\f(|CE|,|DE|)＝3時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．解：(1)由題意可得直線(xiàn)AB的方程為bx－ay＋ab＝0.依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ab,\r(a2＋b2))＝\f(\r(6),3)，,e＝\r(\f(a2－b2,a2))＝\f(\r(2),2)，))解得a2＝2，b2＝1，所以橢圓M的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)(x2>0，y2>0)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＝my＋1(m∈R)．代入橢圓方程整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0.Δ＝8m2＋8>0，所以y1＋y2＝－eq\f(2m,m2＋2)，y1y2＝－eq\f(1,m2＋2).①由eq\f(|CE|,|DE|)＝3，依題意可得y1＝－3y2.②結(jié)合①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝\f(m,m2＋2)，,3y\o\al(2,2)＝\f(1,m2＋2)，))消去y2解得m＝1，m＝－1(不合題意)．所以直線(xiàn)l的方程為y＝x－1.B組新高考培優(yōu)練9．(2024·大連市高考模擬)已知直線(xiàn)y＝2x＋m與橢圓C：eq\f(x2,5)＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)△AOB的面積取得最大值時(shí)，|AB|＝()A．eq\f(5\r(42),21)B．eq\f(\r(210),21)C．eq\f(2\r(42),7)D．eq\f(2\r(42),21)A解析：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，,\f(x2,5)＋y2＝1，))得21x2＋20mx＋5m2－5＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(20m,21)，x1x2＝eq\f(5m2－5,21)，|AB|＝eq\r(1＋22)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(\r(5)×\r(2021－m2),21)＝eq\f(10\r(21－m2),21).又O到直線(xiàn)AB的距離d＝eq\f(|m|,\r(5))，則△AOB的面積S＝eq\f(1,2)d·|AB|＝eq\f(\r(5)×\r(m221－m2),21)≤eq\f(\r(5)×\r(m2＋21－m2),21)＝eq\f(\r(105),21)，當(dāng)且僅當(dāng)m2＝21－m2，即m2＝eq\f(21,2)時(shí)，△AOB的面積取得最大值．此時(shí)，|AB|＝eq\f(10\r(21－m2),21)＝eq\f(5\r(42),21).10．(多選題)已知曲線(xiàn)C的方程為x2＋eq\f(y2,9)＝1(0＜x≤1)，A(0，－3)，B(0,3)，D(－1,0)，點(diǎn)P是C上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)AP與直線(xiàn)x＝5交于點(diǎn)M，直線(xiàn)BP與直線(xiàn)x＝5交于點(diǎn)N，則△DMN的面積可能為()A．73B．76C．68D．72ABD解析：設(shè)P(x0，y0)，則kPA·kPB＝eq\f(y\o\al(2,0)－9,x\o\al(2,0))＝eq\f(y\o\al(2,0)－9,1－\f(y\o\al(2,0),9))＝－9.設(shè)kpA＝k(k＞0)，則kPB＝－eq\f(9,k).直線(xiàn)AP的方程為y＝kx－3，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(5,5k－3)，直線(xiàn)BP的方程為y＝－eq\f(9,k)x＋3，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－\f(45,k)＋3)).所以|MN|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5k－3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(45,k)＋3))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5k＋\f(45,k)－6))≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(5k·\f(45,k))－6))＝24，當(dāng)且僅當(dāng)5k＝eq\f(45,k)，即k＝3時(shí)等號(hào)成立．從而△DMN面積的最小值為eq\f(1,2)×24×6＝72.故選ABD．11．(2024·宜賓市高二月考)設(shè)A，B是拋物線(xiàn)y2＝4x上兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)N.已知弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，記直線(xiàn)AB和MN的斜率分別為k1和k2，則keq\o\al(2,1)＋keq\o\al(2,2)的最小值為()A．2eq\r(2)B．2C．eq\r(2)D．1D解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(3，t)，N(－1，0)，可得yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2.相減可得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，可得k1＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝eq\f(4,2t)＝eq\f(2,t).又由k2＝eq\f(t,4)，所以k1k2＝eq\f(1,2)，則keq\o\al(2,1)＋keq\o\al(2,2)≥2|k1k2|＝1，當(dāng)且僅當(dāng)|k1|＝|k2|＝eq\f(\r(2),2)時(shí)取等號(hào)，即keq\o\al(2,1)＋keq\o\al(2,2)的最小值為1.12．已知拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l過(guò)F且與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，∠MAF的角平分線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)P，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為Q.若|AB|＝8，則|PQ|＝()A．2B．4C．6D．8B解析：如圖，過(guò)點(diǎn)B作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為N.由題意得∠MAP＝∠QAP，|AF|＝|AM|，所以AP⊥MF，|MG|＝|GF|.所以|PM|＝|PF|.所以△MPA≌△FPA．所以∠PFB＝∠PNB＝90°.所以△PFB≌△PNB．所以|PF|＝|PN|.所以|PM|＝|PN|，即點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)．所以|PQ|＝eq\f(1,2)(|AM|＋|BN|)＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)|AB|＝4.13．(多選題)(2024·滕州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l.設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為K，P為C上異于O的隨意一點(diǎn)，P在l上的射影為E，∠EPF的外角平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)Q，過(guò)Q作QN⊥PE交EP的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，作QM⊥PF交線(xiàn)段PF于點(diǎn)M，則()A．|PE|＝|PF|B．|PF|＝|QF|C．|PN|＝|MF|D．|PN|＝|KF|ABD解析：由拋物線(xiàn)的定義，知|PE|＝|PF|，A正確；因?yàn)镻N∥QF，PQ是∠FPN的平分線(xiàn)，所以∠FQP＝∠NPQ＝∠FPQ，所以|PF|＝|QF|，B正確；若|PN|＝|MF|，由PQ是∠FPN的平分線(xiàn)，QN⊥PE，QM⊥PF得|QM|＝|QN|，從而有|PM|＝|PN|，于是有|PM|＝|FM|，這樣就有|QP|＝|QF|，△PFQ為等邊三角形，∠FPQ＝60°，也即有∠FPE＝60°，這只是在特別位置才有可能，因此C錯(cuò)誤；由A，B知|PE|＝|QF|，因?yàn)閨EN|＝|KQ|，所以|KF|＝|PN|，D正確．14．(2024·邢臺(tái)市高三三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l：y＝kx＋m(k>0)交橢圓E：eq\f(x2,4)＋y2＝1于C，D兩點(diǎn)．(1)若m＝k＝1，且點(diǎn)P滿(mǎn)意eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＝0，證明：點(diǎn)P不在橢圓E上；(2)若橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線(xiàn)l與線(xiàn)段F1F2和橢圓E的短軸分別交于兩個(gè)不同點(diǎn)M，N，且|CM|＝|DN|，求四邊形CF1DF2面積的最小值．解：設(shè)直線(xiàn)l：y＝kx＋m(k>0)交橢圓E：eq\f(x2,4)＋y2＝1于C(x1，y1)，D(x2，y2)兩點(diǎn)．(1)把y＝x＋1代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，得5x2＋8x＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(8,5)，y1＋y2＝x1＋x2＋2＝－eq\f(8,5)＋2＝eq\f(2,5).因?yàn)閑q\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝－(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝(－x1－x2，－y1－y2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(2,5)))，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(2,5))).因?yàn)閑q\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))eq\s\up12(2),4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,5)≠1，所以點(diǎn)P不在橢圓E