2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分專題篇素養(yǎng)提升文理專題四概率與統(tǒng)計文科第1講概率學(xué)案含解析新人教版

PAGE專題四概率與統(tǒng)計(文科)第1講概率JIETICELUEMINGFANGXIANG解題策略·明方向⊙︱考情分析︱1．以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型的基本應(yīng)用，同時滲透互斥事務(wù)、對立事務(wù)．2．概率常與統(tǒng)計學(xué)問結(jié)合在一起命題，主要以解答題形式呈現(xiàn)，中檔難度．⊙︱真題分布︱(文科)年份卷別題號考查角度分值2024Ⅰ卷4、17古典概型，概率綜合題17Ⅱ卷4概率應(yīng)用5Ⅲ卷18(1)古典概型42024Ⅰ卷17用頻率估計概率12Ⅱ卷5古典概型5Ⅲ卷3古典概型52024Ⅰ卷19(1)用頻率估計概率4Ⅱ卷5古典概型5Ⅲ卷5互斥事務(wù)的概率5KAODIANFENLEIXIZHONGDIAN考點(diǎn)分類·析重點(diǎn)考點(diǎn)一古典概型eq\x(知)eq\x(識)eq\x(再)eq\x(現(xiàn))古典概型的概率(1)公式P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(A中所含的基本領(lǐng)件數(shù),基本領(lǐng)件總數(shù)).(2)古典概型的兩個特點(diǎn)：全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個；每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．eq\x(典)eq\x(例)eq\x(悟)eq\x(通)典例1(1)(2024·安慶模擬)古代《冰糖葫蘆》算法題：一個小攤上擺滿了五彩繽紛的“冰糖葫蘆”，“冰糖葫蘆”制作有兩種，一種是5個山楂；另一種是2個山楂、3個小桔子．若小攤上山楂共640個，小桔子共360個，現(xiàn)從小攤上隨機(jī)選取一個“冰糖葫蘆”，則這個“冰糖葫蘆”是5個山楂的概率為(B)A．0.3 B．0.4C．0.5 D．0.6(2)(2024·長春質(zhì)監(jiān))小明和小勇玩一個四面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的正四面體形玩具，每人拋擲一次，則兩次朝下面的數(shù)字之和不小于5的概率為(C)A．eq\f(3,8) B．eq\f(1,2)C．eq\f(5,8) D．eq\f(3,4)【解析】(1)設(shè)5個山楂的“冰糖葫蘆”有x個，2個山楂、3個小桔子的“冰糖葫蘆”有y個，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝640,3y＝360))，解得x＝80，y＝120，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝80＋120＝200，這個“冰糖葫蘆”是5個山楂包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m＝80，則這個“冰糖葫蘆”是5個山楂的概率為P＝eq\f(m,n)＝eq\f(80,200)＝0.4．故選B．(2)用(x，y)表示兩次朝下面的數(shù)字的結(jié)果：由題意可得(x，y)可能出現(xiàn)的結(jié)果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個基本領(lǐng)件；滿意“兩次朝下面的數(shù)字之和不小于5”所以兩次朝下面的數(shù)字之和不小于5的概率為eq\f(10,16)＝eq\f(5,8).故選C．eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)求解古典概型應(yīng)留意的地方(1)求古典概型的概率的關(guān)鍵是正確列舉出基本領(lǐng)件的總數(shù)和待求事務(wù)包含的基本領(lǐng)件數(shù)．(2)兩點(diǎn)留意：①對于較困難的題目，列出事務(wù)數(shù)時要正確分類，分類時應(yīng)不重不漏．②當(dāng)干脆求解有困難時，可考慮求其對立事務(wù)的概率．eq\x(跟)eq\x(蹤)eq\x(訓(xùn))eq\x(練)1．(2024·四川省成都市期末)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則關(guān)于x，y方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by－8＝0,x2＋y2－4＝0))，有實(shí)數(shù)解的概率為(B)A．eq\f(2,9) B．eq\f(7,9)C．eq\f(7,36) D．eq\f(9,36)【解析】因為方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by－8＝0,x2＋y2－4＝0))有解，故直線ax＋by－8＝0與圓x2＋y2＝4有公共點(diǎn)，所以eq\f(|8|,\r(a2＋b2))≤2即a2＋b2≥16，當(dāng)a＝1時，b＝4,5,6，有3種情形；當(dāng)a＝2時，b＝4,5,6，有3種情形；當(dāng)a＝3時，b＝3,4,5,6，有4種情形；當(dāng)a＝4,5,6時，b＝1,2,3,4,5,6，有18種情形；故方程有解有28種情形，而(a，b)共有36種不同的情形，故所求的概率為eq\f(28,36)＝eq\f(7,9).故選B．2．(2024·江蘇省天一中學(xué)調(diào)研)從甲，乙，丙，丁4個人中隨機(jī)選取兩人，則甲、乙兩人中有且只一個被選取的概率為__eq\f(2,3)__.【解析】從甲，乙，丙，丁4個人中隨機(jī)選取兩人，共有(甲乙)，(甲丙)，(甲丁)，(乙丙)，(乙丁)，(丙丁)六種，其中甲乙兩人中有且只一個被選取，則(甲丙)，(甲丁)，(乙丙)，(乙丁)，共4種，故甲乙兩人中有且只一個被選取的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).考點(diǎn)二幾何概型eq\x(知)eq\x(識)eq\x(再)eq\x(現(xiàn))幾何概型的概率(1)幾何概型應(yīng)滿意兩個條件：①試驗中全部可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本領(lǐng)件)有無限多個；②每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．(2)P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).eq\x(典)eq\x(例)eq\x(悟)eq\x(通)典例2(1)(2024·益陽模擬)軸截面是正方形的圓柱叫做等邊圓柱，已知某等邊圓柱O′O中，以底面圓O為底面圓，OO′的中點(diǎn)O″為頂點(diǎn)作圓錐O″O，現(xiàn)在等邊圓柱O′O中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自圓錐O″O內(nèi)的概率是(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,12)(2)(2024·中衛(wèi)一模)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則coseq\f(πx,2)的值介于0到eq\f(1,2)之間的概率為__eq\f(1,3)__.【解析】(1)設(shè)等邊圓柱O′O的高為h，由幾何概型的概率計算公式知，該點(diǎn)取自圓錐O″O內(nèi)的概率是P＝eq\f(V圓錐O″O,V等邊圓柱O′O)＝eq\f(\f(1,3)·S圓O·\f(1,2)h,S圓O·h)＝eq\f(1,6).故選C．(2)由于函數(shù)y＝coseq\f(πx,2)是一個偶函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則coseq\f(πx,2)的值介于0到0.5之間的概率，在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取一個數(shù)x，即x∈[0,1]時，要使coseq\f(1,2)πx的值介于0到0.5之間，需使eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)x≤eq\f(π,2)，∴eq\f(2,3)≤x≤1，區(qū)間長度為eq\f(1,3)，由幾何概型知coseq\f(πx,2)的值介于0到0.5之間的概率為eq\f(1,3).eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)求解幾何概型應(yīng)把握的兩點(diǎn)(1)幾何概型適用條件：當(dāng)構(gòu)成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積時，應(yīng)考慮運(yùn)用幾何概型求解．(2)求解關(guān)鍵：找尋構(gòu)成試驗的全部結(jié)果的區(qū)域和事務(wù)發(fā)生的區(qū)域，有時須要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所須要的區(qū)域．eq\x(跟)eq\x(蹤)eq\x(訓(xùn))eq\x(練)3．(1)(2024·蚌埠一模)如圖是一個邊長為3的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1089個點(diǎn)，其中落入白色部分的有484個點(diǎn)，據(jù)此可估計黑色部分的面積為(B)A．4 B．5C．8 D．9(2)(2024·南通模擬)已知區(qū)域A＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}和B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x＋y≤2}，若在區(qū)域A內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在區(qū)域B內(nèi)的概率為__eq\f(1,8)__.【解析】(1)由題意在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1089個點(diǎn)，其中落入白色部分的有484個點(diǎn)，則其中落入黑色部分的有605個點(diǎn)，由隨機(jī)模擬試驗可得：eq\f(S黑,S正)＝eq\f(605,1089)，又S正＝9，可得S黑＝eq\f(605,1089)×9≈5．故選B．(2)因為A＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}表示的區(qū)域是以4為邊長的正方形，面積為16，由B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x＋y≤2}可知，其區(qū)域為如圖所示的陰影部分，面積S＝eq\f(1,2)×2×2＝2，故在區(qū)域A內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在區(qū)域B內(nèi)的概率P＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).考點(diǎn)三概率與統(tǒng)計的綜合問題eq\x(知)eq\x(識)eq\x(再)eq\x(現(xiàn))作為大數(shù)據(jù)分析的一項必備技能，“概率與統(tǒng)計”已成為當(dāng)今的命題熱點(diǎn)，且難度漸呈增大的趨勢．本題因閱讀量大、理解困難；圖表多、觀摩分析實(shí)力要求較高；運(yùn)算計算量大，耗時傷神而成為考生考出優(yōu)異成果的“攔路虎”．找到了“限制”才能找到“自由”，突破概率與統(tǒng)計大題，先從制約解題的“四大關(guān)口”著手．(1)文字關(guān)——抓關(guān)鍵語句，破干擾信息(2)圖表關(guān)——會轉(zhuǎn)換信息，建解題模型(3)運(yùn)算關(guān)——數(shù)據(jù)巧處理，公式活變形(4)計算關(guān)——重計算實(shí)力，防不慎失分eq\x(典)eq\x(例)eq\x(悟)eq\x(通)典例3(2024·衡陽模擬)為了實(shí)行中心、省、市關(guān)于新型冠狀病毒肺炎疫情防控工作要求，主動應(yīng)對新型冠狀病毒疫情，切實(shí)做好2024年春季開學(xué)工作，保障校內(nèi)平安穩(wěn)定，普及防控學(xué)問，確保師生生命平安和身體健康．某校開學(xué)前，組織高三年級800名學(xué)生參與了“疫情防控”網(wǎng)絡(luò)學(xué)問競賽(滿分150分)．已知這800名學(xué)生的成果均不低于90分，將這800名學(xué)生的成果分組如下：第一組[90,100)，其次組[100,110)，第三組[110,120)，第四組[120,130)，第五組[130,140)，第六組[140,150]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求a的值并估計這800名學(xué)生的平均成果(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；(2)該?！叭悍廊嚎亍倍讲榻M為更好地督促高三學(xué)生的“個人防控”，打算從這800名學(xué)生中選取2名學(xué)生參與督查工作，其選取方法是：先在其次組、第五組、第六組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生，再從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生．記這2名學(xué)生的競賽成果分別為x、y.求事務(wù)|x－y|≤20的概率．【解析】(1)由頻率分布直方圖可知(0.010×2＋0.025＋a＋0.015＋0.005)×10＝1，解得a＝0.035．這800名學(xué)生數(shù)學(xué)成果的平均數(shù)為：95×0.010×10＋105×0.010×10＋115×0.025×10＋125×0.035×10＋135×0.015×10＋145×0.005×10＝120．(2)由題意可知：其次組抽取2名學(xué)生，其成果記為A，B，則100≤A，B＜110，第五組抽取3名學(xué)生，其成果記為C，D，E，則130≤C，D，E＜140，第六組抽取1名學(xué)生，其成果記為F，則140≤F≤150，現(xiàn)從這6名學(xué)生中抽取2名學(xué)生的成果的基本領(lǐng)件為：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共15個．其中事務(wù)|x－y|≤20包含的基本領(lǐng)件為：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共7個，記“這2名學(xué)生的競賽成果分別為x、y，其中|x－y|≤20”為事務(wù)M則事務(wù)|x－y|≤20的概率為P(M)＝eq\f(7,15).eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)解答概率與統(tǒng)計的綜合問題的解題策略(1)概率與統(tǒng)計的綜合題一般是先給出樣本數(shù)據(jù)或樣本數(shù)據(jù)的分布等，在解題中首先要處理好數(shù)據(jù)，如數(shù)據(jù)的個數(shù)、數(shù)據(jù)的分布規(guī)律等，即把數(shù)據(jù)分析清晰，然后再依據(jù)題目要求進(jìn)行相關(guān)計算．(2)在求解該類問題時要留意兩點(diǎn)：①明確頻率與概率的關(guān)系，頻率可近似替代概率．②此類問題中的概率模型多是古典概型，在求解時，要明確基本領(lǐng)件的構(gòu)成eq\x(跟)eq\x(蹤)eq\x(訓(xùn))eq\x(練)4．(2024·襄城區(qū)校級模擬)近年來，在新高考改革中，打破文理分科的“3＋3”模式初露端倪，其中語、數(shù)、外三門課為必考科目，剩下三門為選考科目選考科目成果采納“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不干脆用，而是依據(jù)學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最終得分，假定A省規(guī)定：選考科目按考生成果從高到低排列，依據(jù)占總體15%、35%、35%、15%分別賦分70分、60分、50分、40分，為了讓學(xué)生們體驗“賦分制”計算成果的方法，A(1)采納賦分制后，求小明物理成果的最終得分；(2)若小明的化學(xué)成果最終得分為60分，求小明的原始成果的可能值；(3)若小明必選物理，其他兩科從化學(xué)、生物、歷史、地理、政治五科中任選，求小明此次考試選考科目包括化學(xué)的概率．【解析】(1)∵eq\f(1,2)×[1－10×(0.005＋0.015＋0.025＋0.035)]＝0.1，10×0.005＝0.05，∴此次考試物理落在(80,90]，(90,100]內(nèi)的頻率依次為0.1,0.05，概率之和為0.15，小明的物理成果為82分，大于80分，∴小明的物理成果的最終得分為70分．(2)∵40名學(xué)生中，賦分70分的有40×15%＝6人，這六人成果分別為89,91,92,93,93,96，賦分60分的有40×35%＝14人，其中包含80多分的共有10人，70多分的有4人，分?jǐn)?shù)分別為76,77,78,79，∵小明的化學(xué)成果最終得分為60分，且小明化學(xué)70多分，∴小明的原始成果的可能值為76,77,78,79．(3)記物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治依次為A，a，b，c，d，e，小明的全部可能選法有10種，分別為：(A，a，b)，(A，a，c)，(A，a，d)，(A，a，e)，(A，b，c)，(A，b，d)，(A，b，e)，(A，c，d)，(A，c，e)，(A，d，e)，其中包含化學(xué)的有：(A，a，b)，(A，a，c)，(A，a，d)，(A，a，e)，共4種，∴若小明選物理，其他兩科在剩下的五科中任選，所選科目包括化學(xué)的概率p＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).YICUOQINGLINGMIANSHIWU易錯清零·免失誤1．概念相識不清致誤典例1先后拋擲三枚勻稱硬幣，求出現(xiàn)“兩個正面、一個反面”的概率．【錯解】拋擲3枚勻稱硬幣只出現(xiàn)“三個正面”、“三個反面”、“兩個正面一個反面”、“一個正面兩個反面”共四種結(jié)果．記出現(xiàn)“兩個正面，一個反面”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(1,4).【剖析】上述錯解的緣由在于沒有正確理解等可能性事務(wù)的概念，事實(shí)上，由于概念不清，致使所列出的基本領(lǐng)件不完備，由于前面列舉的四個事務(wù)發(fā)生的概率是不相等的，而干脆用等可能事務(wù)概率公式P(A)＝eq\f(m,n)求解，必定導(dǎo)致錯誤．【正解】我們可以將基本領(lǐng)件一一列舉出來，不妨將不同硬幣出現(xiàn)的結(jié)