2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章三角函數(shù)5.1.2蝗制課時跟蹤訓練含解析新人教A版必修第一冊

PAGE弧度制一、復習鞏固1．下列各種說法中，不正確的是()A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)C．1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關解析：依據角度制和弧度制的定義，可知無論是角度制還是弧度制，角的大小都與圓的半徑大小無關，而是與弧長與半徑的比值有關．答案：D2．下列各說法中，錯誤的說法是()A．半圓所對的圓心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度解析：依據弧度的定義及角度與弧度的換算知A，B，C均正確，D錯誤．答案：D3．下列說法中，正確的是()A．1弧度是1度的圓心角所對的弧B．1弧度是長度為半徑的弧C．1弧度是1度的弧與1度的角之和D．1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角，弧度是角的一種度量單位解析：由1弧度的概念知選項D正確．答案：D4．－690°化為弧度是()A．－eq\f(5π,3) B．－eq\f(7π,3)C．－eq\f(23π,6) D．－eq\f(13π,6)解析：因為1°＝eq\f(π,180)，所以－690°＝－690×eq\f(π,180)＝－eq\f(23,6)π.答案：C5．假如一個圓的半徑變?yōu)樵瓉淼囊话耄￠L變?yōu)樵瓉淼膃q\f(3,2)倍，那么該弧所對的圓心角是原來的()A.eq\f(1,2)倍 B．2倍C.eq\f(1,3)倍 D．3倍解析：設圓的半徑為r，弧長為l，則該弧所對圓心角的弧度數(shù)為eq\f(l,r)，若將半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，弧長變?yōu)樵瓉淼膃q\f(3,2)倍，則該弧所對圓心角的弧度數(shù)變?yōu)閑q\f(\f(3,2)l,\f(1,2)r)＝3·eq\f(l,r)，即該弧所對的圓心角變?yōu)樵瓉淼?倍．答案：D6．下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達式中，正確的是()A．2kπ＋45° B．k·360°＋eq\f(9π,4)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)解析：與eq\f(9π,4)的終邊相同的角可以寫成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確．答案：C7．已知α＝－3，則角α的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：因為1≈57.3°，故α＝－3≈－171.9°，所以α在第三象限．答案：C8．與－660°角終邊相同的最小正角是________．(用弧度制表示)解析：因為與角α終邊相同的角為α＋k·360°(k∈Z)，所以與－660°角終邊相同的角是－660°＋k·360°(k∈Z)，其中最小正角是60°，化為弧度為eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)9．在扇形中，已知半徑為8，弧長為12，則圓心角是________弧度，扇形面積是________．解析：|α|＝eq\f(l,r)＝eq\f(12,8)＝eq\f(3,2)，S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)×12×8＝48.答案：eq\f(3,2)4810．設α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(π,3).(1)將α1，α2用弧度制表示出來，并指出它們各自的終邊所在的象限；(2)將β1，β2用角度制表示出來，并在－720°～0°范圍內找出與它們終邊相同的全部角．解析：(1)∵180°＝πrad∴α1＝－570°＝－eq\f(570π,180)＝－eq\f(19π,6)＝－2×2π＋eq\f(5π,6)，α2＝750°＝eq\f(750π,180)＝eq\f(25π,6)＝2×2π＋eq\f(π,6).∴α1的終邊在其次象限，α2的終邊在第一象限．(2)β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3,5)×180°＝108°，設θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，則由－720°≤θ＜0°，即－720°≤108°＋k·360°＜0°，得k＝－2，或k＝－1.故在－720°～0°范圍內，與β1終邊相同的角是－612°和－252°.β2＝－eq\f(π,3)＝－60°，設γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，則由－720°≤－60°＋k·360°＜0°，得k＝－1，或k＝0.故在－720°～0°范圍內，與β2終邊相同的角是－420°.二、綜合應用11．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．－eq\f(3π,4) B．－eq\f(π,4)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3π,4)解析：∵－eq\f(11π,4)＝－2π－eq\f(3π,4).∴－eq\f(11π,4)與－eq\f(3π,4)是終邊相同的角，且此時|－eq\f(3π,4)|＝eq\f(3π,4)是最小值．答案：A12．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，則A∩B等于()A．?B．{α|0≤α≤π}C．{α|－4≤α≤4}D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}解析：利用數(shù)軸取交集的方法，如圖畫出表示A，B的角的集合．由圖形可知，A∩B＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}，故選D.答案：D13．若α，β滿意－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則α－β的取值范圍是________．解析：由題意，得－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，∴－π<α－β<π.又α<β，∴α－β<0.∴－π<α－β<0.答案：(－π，0)14．若角α的終邊與角eq\f(8,5)π的終邊相同，則在[0,2π]上，終邊與角eq\f(α,4)的終邊相同的角是________．解析：由題意，得α＝eq\f(8,5)π＋2kπ(k∈Z)，所以eq\f(α,4)＝eq\f(2,5)π＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得eq\f(α,4)＝eq\f(2,5)π，eq\f(9,10)π，eq\f(7,5)π，eq\f(19,10)π.答案：eq\f(2,5)π，eq\f(9,10)π，eq\f(7,5)π，eq\f(19,10)π15．把下列角化成2kπ＋α，k∈Z,0≤α＜2π的形式，并推斷該角是第幾象限角：(1)eq\f(31π,4)；(2)－1104°.解析：(1)eq\f(31π,4)＝6π＋eq\f(7π,4)，∵eq\f(7π,4)是第四象限角，∴eq\f(31π,4)是第四象限角．(2)∵－1104°＝－1104×eq\f(π,180)＝－eq\f(92,15)π＝－8π＋eq\f(28π,15)，∴eq\f(28π,15)是第四象限角，∴－1104°是第四象限角．16．(1)已知扇形的周長為20cm，面積為9cm(2)已知某扇形的圓心角為75°，半徑為15cm，解析：(1)如圖所示，設扇形的半徑為rcm，弧長為lcm，圓心角為θ(0<θ<2π)，由l＋2r＝20，得l＝20－2r，由eq\f(1,2)lr＝9，得eq\f(1,2)(20－2r)r＝9，∴r2－10r＋9＝0，解得r1＝1，r2＝9.當r1＝1cm時，l＝18cm，θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(18,1)＝18>2π(舍去)．當r2＝9cm時，l＝2