2024-2025學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共10小題）1．已知，，且，則（

）A． B． C．2 D．102．若直線過(guò)兩點(diǎn)和，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．過(guò)點(diǎn)，且橫、縱截距相等的直線方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或4．已知以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．在圓內(nèi) B．在圓上C．在圓外 D．無(wú)法判斷5．如圖，在平行六面體中，，為線段CH的中點(diǎn)，則可表示為（

）

A． B．C． D．6．在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．7．過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C． D．8．設(shè)A，B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且，若直線PA的方程為，則直線PB的方程為（

）A． B．C． D．9．在棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)有一點(diǎn)P，它到該正方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的距離分別為2，1，1，記正方體的中心為點(diǎn)O，則OP=（

）A． B． C．2 D．10．在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)M滿足=x+y-(x+y-1)，點(diǎn)N滿足=λ+(1-λ)，當(dāng)AM、BN最短時(shí)，·=（

）A．- B． C．- D．二、填空題（本大題共5小題）11．圓的圓心坐標(biāo)為；半徑為.12．已知直線，且的方向向量為，平面的法向量為，則.13．已知兩平行直線，，則與間的距離是.14．已知，，，若四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù).15．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及直線上任一點(diǎn)，稱(chēng)的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”，記作.已知點(diǎn)和直線，則=；若定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)所在的曲線所圍成圖形的面積是.三、解答題（本大題共6小題）16．已知直線過(guò)點(diǎn)，直線：．(1)若，求直線的方程；(2)若直線與軸和直線圍成的三角形的面積為，求直線的方程．17．如圖所示，在三棱柱中，，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.(1)用表示向量；(2)求；(3)求證.18．已知圓，圓及點(diǎn).(1)判斷圓和圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切，求直線的方程.19．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在上，且.(1)求直線與直線所成角的大小；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)若點(diǎn)在側(cè)面上，且點(diǎn)到直線和的距離相等，求點(diǎn)P到直線距離的最小值．20．如圖，在四棱錐中，平面，為等腰三角形，，，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)．(1)求證：直線平面；(2)求直線到平面的距離；(3)試判斷棱上是否存在一點(diǎn)G，使平面與平面夾角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．已知圓M的圓心在y軸上，半徑為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線，交圓M于P，Q兩點(diǎn)（P，Q不在y軸上），過(guò)點(diǎn)D作與直線垂直的直線，交圓M于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，記四邊形EPFQ的面積為S，求S的最大值.

答案1．【正確答案】C【詳解】由題意得，即，所以，解得.故選：C2．【正確答案】B【詳解】由題意，設(shè)直線的斜率為，傾斜角為故由于，故故選：B3．【正確答案】D【詳解】解：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，則直線方程為；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，所求的直線方程為，綜上知，所求直線方程為或．故選：D.4．【正確答案】A【詳解】由題意，圓心，點(diǎn)，圓的半徑為，因?yàn)?，因此，點(diǎn)在圓內(nèi).故選：A.5．【正確答案】B【詳解】由題可得：，所以.故選：B.6．【正確答案】A【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，則，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，則，因此，.故選：A.7．【正確答案】B【詳解】過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線為，即，圓心到的距離，故直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為.故選：B8．【正確答案】C【詳解】如圖：因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且橫坐標(biāo)為2，所以點(diǎn)坐標(biāo)為2,3，點(diǎn)為直線與軸交點(diǎn)，所以，又點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)2,0是的中點(diǎn)，所以，所以直線PB的方程為，即.故選：C.9．【正確答案】D【詳解】由題意知在棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)有一點(diǎn)P，它到該正方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的距離分別為2，1，1，不妨設(shè)該頂點(diǎn)為D，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，根據(jù)正方體的對(duì)稱(chēng)性，可取，故.故選：D10．【正確答案】A【分析】首先由向量的關(guān)系式得M∈平面BCD，N∈直線AC，由條件判斷點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由共面向量定理和共線向量定理可知，M∈平面BCD，N∈直線AC，當(dāng)AM、BN最短時(shí)，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，所以M為△BCD的中心，N為AC的中點(diǎn)，此時(shí)，2||==，∴||=，∵AM⊥平面BCD，MC?平面BCD，∴AM⊥MC，∴||===.又=(+)，∴·=(·+·)=-||2=-.故選：A.11．【正確答案】；【分析】配方后可得圓心坐標(biāo)和半徑．【詳解】將圓的一般方程化為圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心坐標(biāo)為，半徑為．故；．12．【正確答案】【詳解】因?yàn)橹本€，且的方向向量為，平面的法向量為，所以，解得.故13．【正確答案】/【詳解】由兩直線平行可知，此時(shí)將可化為，所以與間的距離為.故14．【正確答案】3【詳解】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，所以，解得，所以.故答案為.15．【正確答案】【詳解】設(shè)為直線上一點(diǎn)，則，由，解得，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值，由，解得或，即有，的范圍為，無(wú)最小值，綜上，的最小值為，所以.設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為Px,y，則，等價(jià)于或，所以點(diǎn)的軌跡是以為中心，邊長(zhǎng)為的正方形，所以點(diǎn)所在的曲線所圍成圖形的面積為.故16．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為因?yàn)椋杂忠驗(yàn)?，所以又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)直線的方程為，即．（2）若直線斜率不存在，則直線：此時(shí)，直線與軸和直線圍成的三角形面積為，符合題意．若直線斜率存在，設(shè)直線的斜率為設(shè)直線：，與軸交點(diǎn)為點(diǎn)令，解得所以點(diǎn)坐標(biāo)為直線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)因?yàn)橹本€與軸和直線圍成的三角形面積為即即，可求得則直線的方程為綜上：直線的方程為或．17．【正確答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）；（2），則；（3），所以，所以，即.18．【正確答案】(1)圓和圓相交，理由見(jiàn)解析(2)或.【詳解】（1）圓方程可整理為：，則圓心，半徑，由圓方程可知：圓心，半徑，因?yàn)?，，，所以，所以圓和圓相交.（2）當(dāng)過(guò)的直線斜率不存在，即直線為時(shí)，其與圓不相切，所以可設(shè)所求切線方程為：，即，所以圓心到切線的距離，即，解得：或，所以切線方程為：或，即或.19．【正確答案】(1)(2)(3)1【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：,則，

，所以直線與直線所成角為.（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，因?yàn)?，所以，即，令，則，所以，

設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)，根據(jù)題意有，即，

，則點(diǎn)到的距離，

當(dāng)時(shí)，取得最小值1.所以點(diǎn)到的距離最小值為1.20．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，【詳解】（1）連接，如圖所示：，因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，

因?yàn)槠矫?，平面?/p>

所以平面；（2）由（1）知直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，

，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋裕?，設(shè)，則所以，，所以直線到平面的距離；（3）棱上存在點(diǎn)，使平面與平面夾角的余弦值為設(shè)設(shè)平面的一個(gè)法向量為因?yàn)椋?，，設(shè)，則，所以，，解得，所以.21．【正確答案】