2024-2025學(xué)年甘肅省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年甘肅省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知，，，則（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．13．過點(diǎn)，且法向量為的直線方程為（

）A． B．C． D．4．2020年1月，教有部出臺(tái)《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見》（簡(jiǎn)稱“強(qiáng)基計(jì)劃），明確從2020年起強(qiáng)基計(jì)劃取代原高校自主招生方式，如果甲?乙?兩人通過強(qiáng)基計(jì)劃的概率分別為，，那么甲?乙兩人中恰有1人通過的概率為（

）A． B． C． D．5．若直線與平行，則與間的距離為（

）A． B．C． D．6．《周髀算經(jīng)》是我國(guó)古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，其書中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)損益相同（晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長(zhǎng)即為所測(cè)影子的長(zhǎng)度），夏至?小暑?大暑?立秋?處暑?白露?秋分?寒露?霜降是連續(xù)的九個(gè)節(jié)氣，其晷長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測(cè)算，這九個(gè)節(jié)氣的所有晷長(zhǎng)之和為49.5尺，夏至?大暑?處暑三個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)之和為10.5尺，則秋分的晷長(zhǎng)為（

）A．4.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．7.5尺7．已知等比數(shù)列滿足：，則的值為（

）A．20 B．10 C．5 D．8．設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為,則到直線的距離最大值為A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．今年”國(guó)慶"假期期間，各大商業(yè)綜合體?超市等紛紛抓住節(jié)日商機(jī)，積極開展各類促銷活動(dòng).在某超市購買80元以上商品的顧客可以參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，若顧客小王中獎(jiǎng)的概率為0.4，顧客小張中獎(jiǎng)的概率為0.2，且兩人能否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則（

）A．小王和小張都中獎(jiǎng)的概率為0.1B．小王和小張都沒有中獎(jiǎng)的概率為0.48C．小王和小張中只有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為0.44D．小王和小張中至少有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為0.5210．下列說法正確的是（

）A．是直線的一個(gè)方向向量；B．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上的截距都相等的直線方程為；C．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為；D．已知兩點(diǎn)，若直線過點(diǎn)且與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍是11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B．C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．為奇數(shù)時(shí)，三、填空題（本大題共3小題）12．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且成等比數(shù)列，則.13．已知，直線和垂直，則的最小值為.14．已知數(shù)列滿足，且，若表示不超過的最大整數(shù)（例如，記，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.四、解答題（本大題共5小題）15．的三個(gè)頂點(diǎn)是，求：(1)邊上的中線所在直線的方程；(2)邊上的垂直平分線所在直線的方程.16．甲、乙、丙三人進(jìn)行投球練習(xí)，每人投球一次．已知甲命中的概率是，甲、丙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是．若每人是否命中互不影響，(1)求乙、丙兩人各自命中的概率；(2)求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率．17．設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)令，若對(duì)一切成立，求最小正整數(shù)的值.18．已知直線：．（1）求經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)．①的面積為，求的最小值和此時(shí)直線的方程；②當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．19．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，數(shù)列前項(xiàng)和為，且，.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；(3)證明.

答案1．【正確答案】C【詳解】由得：，設(shè)其傾斜角為，，所以斜率，故傾斜角為，故選：C2．【正確答案】B【分析】依題意根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，則，所以事件與事件不相互獨(dú)立，．故選：B3．【正確答案】A【詳解】由題意得，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以將代入各選項(xiàng)可得，B，C選項(xiàng)直線不過，故排除B，C，對(duì)于選項(xiàng)A，取直線上兩點(diǎn)，，可得直線的一個(gè)方向向量為，由于，所以，故是直線的法向量，故正確對(duì)于選項(xiàng)D，取直線上兩點(diǎn)，，可得直線的一個(gè)法向量為，由于，與不垂直，所以不是直線的法向量，故錯(cuò)誤.故選：A.4．【正確答案】A【詳解】由題意，甲乙兩人通過強(qiáng)基計(jì)劃的事件是相互獨(dú)立的，那么甲乙兩人中恰有一人通過的概率為故選：A.5．【正確答案】B【分析】由兩直線平行的判定有且求參數(shù)a，應(yīng)用平行線距離公式求與間的距離.【詳解】∵直線與平行，∴且，解得．∴直線與間的距離．故選：B．6．【正確答案】D【詳解】設(shè)夏至，小暑，大暑，立秋，處暑，白露，秋分，寒露，霜降其晷長(zhǎng)分別為，且an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，依題意有，解得，則.故選：D.7．【正確答案】D【詳解】在等比數(shù)列中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.所以．故選：D8．【正確答案】A【分析】先求出的坐標(biāo)，再求出直線所過的定點(diǎn)，則所求距離的最大值就是的長(zhǎng)度.【詳解】由可以得到，故，直線的方程可整理為：，故直線過定點(diǎn)，因?yàn)榈街本€的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故選A.一般地，若直線和直線相交，那么動(dòng)直線（）必過定點(diǎn)（該定點(diǎn)為的交點(diǎn)）.9．【正確答案】BCD【詳解】記事件：顧客小王中獎(jiǎng)，事件：顧客小張中獎(jiǎng)，則小王、小張未中獎(jiǎng)可記為；易知；由題意可知與相互獨(dú)立，所以與，與，與均相互獨(dú)立；所以小王和小張都中獎(jiǎng)的概率為，即A錯(cuò)誤；小王和小張都沒有中獎(jiǎng)的概率為，可得B正確；小王和小張中只有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為，即C正確；小王和小張中至少有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為，即D正確.故選：BCD10．【正確答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，的斜率為，故直線的一個(gè)方向向量為，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)直線的截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入得，，故此時(shí)直線方程為，當(dāng)直線的截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入得，解得，故直線方程為，綜上，直線方程為或，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)0,2關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，故對(duì)稱點(diǎn)為，C正確；D選項(xiàng)，畫出圖形如下：則，直線過點(diǎn)且與線段有公共點(diǎn)，則或，則的取值范圍是，D正確.故選：ACD11．【正確答案】ABD【分析】利用并項(xiàng)求和法可判斷AD選項(xiàng)；利用等差數(shù)列的定義可判斷BC選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，對(duì)任意的，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，所以，數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，綜上所述，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故數(shù)列不是等差數(shù)列，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，則，D對(duì).故選：ABD.12．【正確答案】0【詳解】因?yàn)楣睿页傻缺葦?shù)列，所以，即，解得，所以．故013．【正確答案】8.【詳解】由題意得，因?yàn)橹本€和垂直，則，即，所以，因?yàn)?，所以，，所以根?jù)基本不等式，，所以，所以的最小值為8，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故答案為8.14．【正確答案】2025【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，故，由累加法可知當(dāng)時(shí)，，所以，，又也符合該式，所以.所以，又時(shí)，，又時(shí)，，此時(shí)，所以的前2024項(xiàng)和為.故2025.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）點(diǎn)的中點(diǎn)，直線CD的斜率為，所以邊上的中線所在直線的方程為，即；（2）點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，則邊上的垂直平分線的斜率為，所以邊上的垂直平分線所在直線的方程為，即.16．【正確答案】(1)乙、丙兩人各自命中的概率分別為、(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算求解；（2）分甲、乙、丙三人中2人命中和甲、乙、丙三人中都命中兩種情況，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）記“甲投球命中”為事件A，“乙投球命中”為事件B，“丙投球命中”為事件C，則，解得，，解得，所以乙、丙兩人各自命中的概率分別為、（2）甲、乙、丙三人中2人命中的概率，甲、乙、丙三人中都命中的概率，所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）結(jié)合題意可知，兩邊取倒數(shù)可得：，即.所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.（2）由上問可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.所以.又，也滿足上式，所以由可得：，所以，因?yàn)閷?duì)一切成立，所以,解得.最小正整數(shù)的值為.18．【正確答案】（1）；（2）①的最小值為，；②.【分析】（1）整理已知方程，使得的系數(shù)等于即可求解；（2）①求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用表示的面積為，利用基本不等式求最值，由等號(hào)成立的條件可得的值，進(jìn)而可得直線的方程；②設(shè)直線的傾斜角為，則，可得，，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算的最小值，以及此時(shí)的值，進(jìn)而可得的值以及直線的方程.【詳解】（1）由可得：，由可得，所以經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直線：，令可得；令，可得，所以，由可得：，①的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為，此時(shí)直線的方程為：即；②設(shè)直線的傾斜角為，則，可得，，所以，令，因?yàn)椋傻?，，，將兩邊平方可得：，所以，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，此時(shí)，可得，所以，所以直線的方程為.19．【