《瞬時(shí)變化率-導(dǎo)數(shù)-曲線上一點(diǎn)處的切線》教案(一)

1.1.2《瞬時(shí)變化率-導(dǎo)數(shù)》教案（一）曲線上一點(diǎn)處的切線一、教學(xué)目標(biāo)1.理解并掌握曲線在某一點(diǎn)處的切線的概念2．掌握用割線逼近切線的方法．3．會(huì)求曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率與切線方程，二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：理解曲線在一點(diǎn)處的切線和切線的斜率的定義，掌握曲線在一點(diǎn)處切線斜率的求法；難點(diǎn)：理解曲線在一點(diǎn)處的切線的定義，特別是對(duì)“無限逼近”、“局部以直代曲”的理解三、教學(xué)過程【問題情景】導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)的最大值、最小值問題的有力工具.導(dǎo)數(shù)的知識(shí)形成一門學(xué)科，就是我們通常所說的微積分.微積分除了解決最大值、最小值問題，還能解決一些復(fù)雜曲線的切線問題.導(dǎo)數(shù)的思想最初是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat)為解決極大、極小問題而引入的.但導(dǎo)數(shù)作為微分學(xué)中最主要概念，卻是英國科學(xué)家牛頓(Newton)和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(Leibniz)分別在研究力學(xué)與幾何學(xué)過程中建立的.微積分能成為獨(dú)立的科學(xué)并給整個(gè)自然科學(xué)帶來革命性的影響，主要是靠了牛頓和萊布尼茲的工作.但遺憾的是他們之間發(fā)生了優(yōu)先權(quán)問題的爭執(zhí).其實(shí)，他們差不多是在相同的時(shí)間相互獨(dú)立地發(fā)明了微積分.方法類似但在用語、符號(hào)、算式和量的產(chǎn)生方式稍有差異.牛頓在1687年以前沒有公開發(fā)表，萊布尼茲在1684年和1686年分別發(fā)表了微分學(xué)和積分學(xué).所以，就發(fā)明時(shí)間而言，牛頓最于萊布尼茲，就發(fā)表時(shí)間而言，萊布尼茲則早于牛頓.關(guān)于誰是微積分的第一發(fā)明人，引起了爭論.而我們現(xiàn)在所用的符號(hào)大多數(shù)都是萊布尼茲發(fā)明的.而英國認(rèn)為牛頓為第一發(fā)明人，拒絕使用萊布尼茲發(fā)明的符號(hào)，因此，使自己遠(yuǎn)離了分析的主流【學(xué)生活動(dòng)，建構(gòu)數(shù)學(xué)】（一）點(diǎn)附近的曲線1．平均變化率：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為．即曲線上兩點(diǎn)的連線（割線）的斜率。顯然平均變化率近似地刻畫了曲線在某個(gè)區(qū)間上的變化趨勢。2．如何精確地刻畫曲線上某一點(diǎn)處的變化趨勢呢？（點(diǎn)附近的曲線的研究）（從直線上某點(diǎn)的變化趨勢的研究談起，結(jié)合“天圓地方”的故事帶來“宏觀上曲，微觀上直”，“曲絕對(duì)，直相對(duì)”的初步感受，后提出“放大圖形”的樸素方法．）放大放大再放大C1放大再放大放大再放大C2（1）觀察“點(diǎn)附近的曲線”，隨著圖形放大，你看到了怎樣的現(xiàn)象？曲線有點(diǎn)像直線（2）這種現(xiàn)象下，這么一條特殊位置的曲線從其趨勢看幾乎成了直線這種思維方式就叫做“逼近思想”。從上面的學(xué)習(xí)過程來看：1）．曲線在點(diǎn)附近看上去幾乎成了直線2468121416P2468121416PDEmQl3）．點(diǎn)附近可以用這條直線代替曲線這樣，我們就可以用直線的斜率來刻畫曲線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的變化趨勢練習(xí)：見課本（文P62，理P10）第3題：；。3.怎樣找到經(jīng)過曲線上一點(diǎn)P處最逼近曲線的直線呢？如圖（1）試判斷哪條直線在點(diǎn)附近更加逼近曲線？（2）在點(diǎn)附近能作出比更加逼近曲線的直線么？（3）在點(diǎn)附近能作出比，更加逼近曲線的直線么？說明：隨著點(diǎn)沿曲線向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，直線在點(diǎn)附近越來越逼近曲線．（二）圓的切線與曲線的切線直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切。這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。問題：能不能把圓的切線推廣為一般曲線的切線呢？（請(qǐng)學(xué)生說出推廣的結(jié)果后，教師引導(dǎo)學(xué)生加以剖析）。曲線的切線觀察圖形得出：相切可能不止一個(gè)交點(diǎn)，有惟一交點(diǎn)的也不一定是相切。所以對(duì)于一般的曲線，必須重新尋求曲線切線的定義。（三）曲線上點(diǎn)P處的切線及其斜率1．割線逼近切線為曲線上不同于點(diǎn)的一點(diǎn)，這時(shí)，直線稱為曲線的割線；隨著點(diǎn)沿曲線向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，割線在點(diǎn)附近越來越逼近曲線，當(dāng)點(diǎn)無限逼近點(diǎn)時(shí)，直線最終成為點(diǎn)處最逼近曲線的直線，這條直線也稱為曲線在點(diǎn)處的切線．2．割線斜率逼近切線斜率切線的概念提供了求切線斜率的方法．問題：對(duì)比平均變化率這一近似刻畫曲線在某個(gè)區(qū)間上的變化趨勢的數(shù)學(xué)模型，在這里平均變化率表示為什么？又用怎樣數(shù)學(xué)模型來刻畫曲線上點(diǎn)處的變化趨勢呢？為了更好地反映點(diǎn)沿曲線向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，我們選擇了一個(gè)變量．不妨設(shè)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則割線的斜率為=，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線向點(diǎn)無限靠近時(shí)，割線的斜率就會(huì)無限逼近點(diǎn)處切線斜率，即當(dāng)無限趨近于0時(shí)，無限趨近點(diǎn)處切線斜率（即為取0時(shí)的值）．【數(shù)學(xué)運(yùn)用】例1試求f(x)=x2在點(diǎn)(2,4)處的切線斜率。分析：設(shè)則割線PQ的斜率為當(dāng)Q沿曲線逼近點(diǎn)P時(shí)，割線PQ逼近點(diǎn)P處的切線，從而割線斜率逼近切線斜率；當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)無限趨近于P點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，即無限趨近于2時(shí)，無限趨近于常數(shù)4；.練習(xí)：試求f(x)=x2+1在x=1處的切線斜率．解：由題意，設(shè)，則割線PQ的斜率當(dāng)無限趨近于0時(shí)，無限趨近于常數(shù)2，從而曲線在點(diǎn)的切線斜率為2.總結(jié)：求曲線y=f(x)上一點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線斜率的一般步驟:1.設(shè)曲線上另一點(diǎn)Q(x0+Δx，f(x0+Δx))；2.求出割線PQ的斜率，并化簡；3.令Δx趨向于0,若上式中的割線斜率“逼近”一個(gè)常數(shù)，則其即為所求切線斜率。變1：已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程．變2：已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程．變3：已知，求曲線在處的切線斜率是多少？例2已知曲線y=2x2上一點(diǎn)A(1，2)，求(1)點(diǎn)A處的切線的斜率.(2)點(diǎn)A處的切線方程.【課堂練習(xí)】2.已知，求曲線在處的切線斜率是多少？【課堂總結(jié)】1.曲線上一點(diǎn)P處的切線是過點(diǎn)P的所有直線中最接近P點(diǎn)附近曲線的直線，則P點(diǎn)處的變化趨勢可以由該點(diǎn)處的切線反映。(局部以直代曲)2.根據(jù)定義,利用割線逼近切線的方法,可以求出曲線在一點(diǎn)處的切線斜率和方程?！菊n后作業(yè)】1．曲線的方程為y=x2+1，那么求此曲線在點(diǎn)P(1，2)處的切線的斜率，以及切線的方程.2．求曲線f(x)=x3+2x+1在點(diǎn)(1，4)處的切線方