專題53導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

專題5.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性一般地，在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)：（1）如果，函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;（2）如果，函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;（3）如果，函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．注意：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號；（2）在某個區(qū)間內(nèi)，()是函數(shù)f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分條件，而不是必要條件.例如，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，但.（3）函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充要條件是()在(a,b)內(nèi)恒成立，且在(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.這就是說，在區(qū)間內(nèi)的個別點處有,不影響函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.2．函數(shù)的極值一般地，對于函數(shù)y=f(x)，（1）若在點x=a處有f′(a)=0，且在點x=a附近的左側(cè)，右側(cè)，則稱x=a為f(x)的極小值點，叫做函數(shù)f(x)的極小值.（2）若在點x=b處有=0，且在點x=b附近的左側(cè)，右側(cè)，則稱x=b為f(x)的極大值點，叫做函數(shù)f(x)的極大值．（3）極小值點與極大值點通稱極值點，極小值與極大值通稱極值.3．函數(shù)的最值函數(shù)的最值，即函數(shù)圖象上最高點的縱坐標(biāo)是最大值，圖象上最低點的縱坐標(biāo)是最小值，對于最值，我們有如下結(jié)論：一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值與最小值的步驟為：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.4．函數(shù)的最值與極值的關(guān)系（1）極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（?。┲悼赡苡卸鄠€（或者沒有），但最大（小）值只有一個（或者沒有）；（3）函數(shù)f(x)的極值點不能是區(qū)間的端點，而最值點可以是區(qū)間的端點；（4）對于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點或區(qū)間端點處取得.（5）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)變化快慢的關(guān)系：如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快，這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.（6）導(dǎo)函數(shù)為正的區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)為負的區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)為函數(shù)的極值點.5．利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實質(zhì)上就是判斷或證明不等式（）在給定區(qū)間上恒成立．一般步驟為：（1）求f′(x)；（2）確認f′(x)在(a,b)內(nèi)的符號；（3）作出結(jié)論，時為增函數(shù)，時為減函數(shù)．注意：研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論．6．在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解題過程中，只能在定義域內(nèi)討論，定義域為實數(shù)集可以省略不寫.在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點外，還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點和不可導(dǎo)點.7．由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法（1）可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上(或)(在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0)恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍；（2）可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成了不等式問題；（3）若已知在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍.8．函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略（1）函數(shù)極值的判斷：先確定導(dǎo)數(shù)為0的點，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號．（2）求函數(shù)極值的方法：①確定函數(shù)的定義域．②求導(dǎo)函數(shù)．③求方程的根．④檢查在方程的根的左、右兩側(cè)的符號，確定極值點．如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值；如果在這個根的左、右兩側(cè)符號不變，則在這個根處沒有極值．（3）利用極值求參數(shù)的取值范圍：確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)，求方程的根的情況，得關(guān)于參數(shù)的方程(或不等式)，進而確定參數(shù)的取值或范圍.9．求函數(shù)f(x)在[a,b]上最值的方法（1）若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增或遞減，f(a)與f(b)一個為最大值，一個為最小值．（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值，先求出函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值，與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．（3）函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有唯一一個極值點時，這個極值點就是最大(或最小)值點．注意：（1）若函數(shù)中含有參數(shù)時，要注意分類討論思想的應(yīng)用.（2）極值是函數(shù)的“局部概念”，最值是函數(shù)的“整體概念”，函數(shù)的極值不一定是最值，函數(shù)的最值也不一定是極值.要注意利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象直觀研究確定.重點一利用導(dǎo)數(shù)的研究函數(shù)單調(diào)性一般地，從函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負之間的關(guān)系；函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)正負的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x)：f′(x)正負f(x)單調(diào)性f′(x)＞0單調(diào)遞增f′(x)＜0單調(diào)遞減類型一：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間例題1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：A.例題2．已知定義在［0，3］上的函數(shù)的圖像如圖，則不等式＜0的解集為（

）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(0，1)(2，3)【答案】B【解析】由圖象知在上是減函數(shù)，所以的解集是．故選：B．例題3．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，圖像如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】的解集即為單調(diào)遞增區(qū)間結(jié)合圖像可得單調(diào)遞增區(qū)間為則的解集為故選：C．例題4．的單調(diào)遞減區(qū)間為__________．【答案】【解析】解：因為，所以，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；故答案為：類型二：含參函數(shù)的單調(diào)性例題1．若函數(shù)在是增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分離數(shù)數(shù)后轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值可得．【詳解】∵在上是增函數(shù)，故在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時，，則為減函數(shù).∴，故.故選：D.例題2．若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)定義域為.，若，則，故在上為減函數(shù)，故在上至多一個零點，與題設(shè)不合，舍.故，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因為函數(shù)在上有兩個零點，故，所以，故.此時，而，，在上有一個零點；又由可得，故，而，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，故，所以在上有一個零點；綜上，當(dāng)時，在上有兩個不同的零點，故選：D.例題3．已知，若成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，由得，由偶函數(shù)的性質(zhì)得，由于函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，整理得，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.例題4．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以.因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即，即可令，則由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)知，在上減函數(shù)，，即.所以實數(shù)的取值范圍為。故選：A.例題5．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得：，，，令，易得在上單調(diào)遞增，，記，則,故當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，故，故只需故實數(shù)的取值范圍為．故選：A例題6．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，然后利用分離參數(shù)法即可得出答案.【詳解】解：，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，又在上遞減，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.例題7．已知，若在區(qū)間上存在，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】由題可得，因為在區(qū)間上存在，使得成立，所以函數(shù)在區(qū)間不是單調(diào)函數(shù)，所以在上有解，所以在上有解，所以.所以，實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.類型三：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值與最值例題1．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的部分圖象如圖所示，則（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在處取得極小值D．函數(shù)在處取得極大值【答案】B【解析】由圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A錯誤；函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確，C錯誤；函數(shù)在處取得極小值，D錯誤.故選：B.例題2．已知函數(shù)的定義域為(a，b)，導(dǎo)函數(shù)在(a，b)上的圖象如圖所示，則函數(shù)在(a，b)上的極大值點的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)極大值點的定義結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象分析判斷即可【詳解】由函數(shù)極值的定義和導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，在(a，b)上與x軸的交點個數(shù)為4，但是在原點附近的導(dǎo)數(shù)值恒大于零，故x＝0不是函數(shù)f(x)的極值點．其余的3個交點都是極值點，其中有2個點滿足其附近的導(dǎo)數(shù)值左正右負，故極大值點有2個．故選：B例題3．導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法正確的個數(shù)是（

）①導(dǎo)函數(shù)在處有極小值②函數(shù)在處有極大值③函數(shù)在上是減函數(shù)④函數(shù)在是增函數(shù)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由的圖象可知，故①正確；在兩邊，所以在無極值，②錯誤；由圖象可知，在上先大于0，后小于0，故在上先增后減，③錯誤；在上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，④正確.故選：B例題4．已知函數(shù)有極值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求導(dǎo)，由題設(shè)得必有兩個不等的實根，再利用判別式求解即可.【詳解】由題意知，定義域為R，，要使函數(shù)有極值，則必有兩個不等的實根，則，解得.故選：D.例題5．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，取得極小值1 B．當(dāng)時，取得極大值1C．當(dāng)時，取得極大值33 D．當(dāng)時，取得極大值【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)可得解析式，令，可得極值點，利用表格法，可得的單調(diào)區(qū)間，代入數(shù)據(jù)，可得的極值，分析即可得答案.【詳解】由題意得，令，解得或，當(dāng)x變化時，、變化如下x1+00+極大值極小值所以當(dāng)時，取得極大值1，故B正確、C、D錯誤，當(dāng)時，取得極小值，故A錯誤，故選：B例題6．若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，求得其最小值點，再根據(jù)在區(qū)間上有最小值，由最小值點在區(qū)間內(nèi)求解可得.【詳解】因為函數(shù)，所以，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最小值，因為在區(qū)間上有最小值，且所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C例題7．已知函數(shù)在處取得極小值，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．5 D．9【答案】D【解析】，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故選：D．例題8．已知函數(shù)有兩個不同極值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，函數(shù)有兩個不同極值點有兩個不同解有兩個不同交點.如圖所示，與切于點，故，又，綜上可解得，故當(dāng)時有兩個不同交點，故選：C例題9．若函數(shù)有兩個極值點，則常數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：因為定義域為，，令，函數(shù)有兩個極值點，則在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，因此在區(qū)間上不可能有兩個不相等的實數(shù)根，應(yīng)舍去；當(dāng)時，令，解得，令，解得，即在上單調(diào)遞增；令，解得，即在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，函數(shù)取得極大值即最大值．要使在區(qū)間上有兩個不相等實數(shù)根，則，解得，實數(shù)的取值范圍是，故選：A．類型四：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)不等式問題例題1．若函數(shù)在R上可導(dǎo)，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿足，，時，函數(shù)單調(diào)遞增，（3）（2），即，即，故選：A例題2．設(shè)，分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，時，，遞增，又是奇函數(shù)，所以，從而，由得，，，所以是奇函數(shù)，所以在時也是增函數(shù)，，所以由得，綜上，不等式的解為．故選：D．例題3．已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且不等式恒成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，構(gòu)造函數(shù)，則因為不等式恒成立，所以，即在上單調(diào)遞增，對于A選項，因為，即，即，故A選項錯誤對于B選項，因為，即，即，故B選項正確對于C選項，因為，即，即，故C選項錯誤對于D選項，因為，即，即，故D選項錯誤故選：B例題4．已知函數(shù)，，若，恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在上的最大值是．，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在上的最小值是，若，，恒成立，則，即，所以，所以實數(shù)k的取值范圍是．故選:D．例題5．已知不等式恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)，可知：，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，則，當(dāng)時，即遞增；當(dāng)時，即遞減；所以，故.故選：B例題6．若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】由得，令，因為都是單調(diào)遞增函數(shù)，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即對任意時恒成立，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以，即.故選：A.例題7．若函數(shù)對任意的都有恒成立，則（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系不確定【答案】B【解析】：由可得對任意的都成立，設(shè)，則對任意的都成立，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，即，所以.故選：B.例題8．定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足，，則不等式的解集為（

）A．（－∞，0） B．（－∞，1）C．（0，+∞） D．（1，+∞）【答案】C【解析】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，且，所以由得：結(jié)合單調(diào)性可得：，解得：，故選：C例題9．已知定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為當(dāng)時，，所以．令，則，所以在上單調(diào)遞減，因為是定義在上的偶函數(shù)，所以是上的奇函數(shù)，又因為是的導(dǎo)函數(shù)，所以的圖象連續(xù)，故在上單調(diào)遞減．因為，所以，所以當(dāng)時，等價于解得；當(dāng)時，等價于，解得．綜上可知，不等式的解集為．故選A．類型五：利用導(dǎo)數(shù)比較大小例題1．，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】：由題可知，所以只需比較，，的大?。O(shè)，因為，所以，記，∴，∴，∴當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，故.故選：C．例題2．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，時，，是減函數(shù)，又，所以，即，故選：D．例題3．已知，，，設(shè)曲線在處的切線斜率為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞減；根據(jù)大小關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，，，，，在上單調(diào)遞減；，即，.故選：C.例題4．已知函數(shù)，設(shè)，，，則a，b，c的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：因為，則，所以又時，，所以恒成立所以在上單調(diào)遞增；又，，所以，則.故選：A.例題5．設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，當(dāng)時，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，，則為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，又，，，又，，且在上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D例題6．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，，，令，則，所以在為減函數(shù)，所以，即，所以，則，即.故選：D例題7．設(shè)，，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，，，令，，，，故在，上是減函數(shù)，故，即，故，即，故選：D．例題8．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，成立，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，可知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，即為偶函數(shù)，構(gòu)造，當(dāng)，，故在上單調(diào)遞減，且易知為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，由，所以.故選：B.例題9．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：設(shè)，，令，解得.，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增.所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以.又，，故，所以；設(shè)，，令，解得.，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減.所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以，故，又，所以，故.故選：B.類型六：函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用二熱點題型歸納【題型一】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【題型二】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【題型三】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立、存在性問題例題1已知函數(shù)的定義域為．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)在上的零點個數(shù)【解析】（1），因為，所以的零點為0和1.令，得；令，得或.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）知，在上的極大值為，極小值為，因為，，所以.，由，得.當(dāng)或時，的零點個數(shù)為0；當(dāng)或時，的零點個數(shù)為1；當(dāng)或時，的零點個數(shù)為2；當(dāng)時，的零點個數(shù)為3.例題2已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）已知，若方程在有且只有兩個解，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）依題可得，函數(shù)的定義域為，所以.當(dāng)時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得，則的增區(qū)間為.當(dāng)時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得或，則的增區(qū)間為和.當(dāng)時，，則的增區(qū)間為.當(dāng)時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得或，則的增區(qū)間為和.（2）.在上有兩個零點，即關(guān)于方程在上有兩個不相等的實數(shù)根.令，，則.令，，則，顯然在上恒成立，故在上單調(diào)遞增.因為，所以當(dāng)時，有，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時，有，即，所以單調(diào)遞增.因為，，，所以的取值范圍是.☆技巧點撥☆1.判斷函數(shù)零點個數(shù)的思路判斷函數(shù)在某區(qū)間[a,b]((a,b))內(nèi)的零點的個數(shù)時,主要思路為:一是由f(a)·f(b)<0及零點存在性定理,說明在此區(qū)間上至少有一個零點;二是求導(dǎo),判斷函數(shù)在區(qū)間(a,b)上的單調(diào)性,若函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減,則說明至多只有一個零點;若函數(shù)在區(qū)間[a,b]((a,b))上不單調(diào),則要求其最大值或最小值,借用圖象法等判斷零點個數(shù).2.利用函數(shù)零點情況求參數(shù)范圍的方法(1)分離參數(shù)(a=g(x))后,將問題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線y=a與y=g(x)的圖象的交點個數(shù)問題(優(yōu)選分離,次選分類)求解.(2)利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解.【題型二】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例題3已知函數(shù)且.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：.【解析】（1），，即,解得或.，解得，∴,∴，令，得.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）要證成立，只需證成立.令，則，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又由（1）可得在上，所以，所以，所以原不等式成立.例題4已知函數(shù)有兩個零點，.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.【解析】（1）解：的定義域為，.①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，故至多有一個零點，不符合題意；②當(dāng)時，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以（i）若，則，故至多有一個零點，不符合題意；（ii）若，則，，由（i）知，∴，∴，.又∵，，故存在兩個零點，分別在，內(nèi).綜上，實數(shù)的取值范圍為.（2）證明：方法1：由題意得，令，兩式相除得，變形得.欲證，即證，即證.記，，故在上單調(diào)遞減，從而，即，所以得證.方法2：由題意得：由（1）可知，，令，則，則，兩式相除得，，，欲證，即證，即證.記，，令，，故在上單調(diào)遞減，則，即，∴在上單調(diào)遞減，從面，∴得證，即得證.☆技巧點撥☆1.證明不等式的基本方法(1)利用單調(diào)性:若f(x)在[a,b]上是增函數(shù),則①?x∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b),②?x1,x2∈[a,b],且x1<x2,有f(x1)<f(x2).對于減函數(shù)有類似結(jié)論.(2)利用最值:若f(x)在某個范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m),則?x∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m).(3)構(gòu)造法:如若證明f(x)<g(x),可構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g(x),證明F(x)<0.2.證明含雙變量不等式的常見思路(1)將雙變量中的一個看作變量,另一個看作常數(shù),構(gòu)造一個含參數(shù)的輔助函數(shù)證明不等式.(2)整體換元.對于齊次式往往可將雙變量整體換元,化為一元不等式.(3)若雙變量的函數(shù)不等式具有對稱性,并且可以將兩個變量分離開,分離之后的函數(shù)結(jié)構(gòu)具有相似性,從而構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明.【題型三】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立、存在性問題例題5已知函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx,x)(x≠0).(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若f(x)<a在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的最小值.【解析】(1)f′(x)＝eq\f(xcosx－sinx,x2)，令g(x)＝xcosx－sinx，x∈，則g′(x)＝－xsinx，顯然，當(dāng)x∈時，g′(x)＝－xsinx<0，即函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且g(0)＝0.從而g(x)在區(qū)間上恒小于零，所以f′(x)在區(qū)間上恒小于零，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.(2)不等式f(x)<a，x∈恒成立，即sinx－ax<0恒成立.令φ(x)＝sinx－ax，x∈，則φ′(x)＝cosx－a，且φ(0)＝0.當(dāng)a≥1時，在區(qū)間上φ′(x)<0，即函數(shù)φ(x)單調(diào)遞減，所以φ(x)<φ(0)＝0，故sinx－ax<0恒成立.當(dāng)0<a<1時，φ′(x)＝cosx－a＝0在區(qū)間上存在唯一解x0，當(dāng)x∈(0，x0)時，φ′(x)>0，故φ(x)在區(qū)間(0，x0)上單調(diào)遞增，且φ(0)＝0，從而φ(x)在區(qū)間(0，x0)上大于零，這與sinx－ax<0恒成立相矛盾.當(dāng)a≤0時，在區(qū)間上φ′(x)>0，即函數(shù)φ(x)單調(diào)遞增，且φ(0)＝0，得sinx－ax>0恒成立，這與sinx－ax<0恒成立相矛盾.故實數(shù)a的最小值為1.例題6已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，若在上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)，定義域為，，當(dāng)時，令，解得：或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；函數(shù)的極小值為，函數(shù)的極大值為.（2）令，在上存在一點，使得成立，即在上存在一點，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零.由得：，，，又，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，此時不成立，②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，；由可得：，，；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.【提分秘籍】1.分離參數(shù)法解含參不等式恒成立的思路用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題是指在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負的情況下,可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來,得到一個一端是參數(shù),另一端是變量表達式的不等式,只要研究變量表達式的最值就可以解決問題.2.含參數(shù)的能成立(存在型)問題的解題方法(1)a≥f(x)在x∈D上能成立,則a≥f(x)min;(2)a≤f(x)在x∈D上能成立,則a≤f(x)max.3.含全稱、存在量詞不等式能成立問題(1)存在x1∈A,任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)max≥g(x)max;(2)任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)min≥g(x)min.一、單選題1．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【來源】安徽省黃山市20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】B【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍為故選：B.2．若過點可以作曲線的三條切線，則（）A． B．C． D．【來源】安徽省安慶市第二中學(xué)20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】由題可得，設(shè)切點，則，整理得，由題意知關(guān)于的方程有三個不同的解，設(shè)，，由，得或，又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，當(dāng)時，，且，，函數(shù)的大致圖像如圖所示，因為的圖像與直線有三個交點，所以，即.故選：D.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題：（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.3．已知函數(shù)，，若，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【答案】A【解析】【詳解】，使得成立，等價為使得成立，由得，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，，故在成立，當(dāng)時，，設(shè)，，則，由，得，所以在遞減，所以，則在遞減，所以，則，所以．故選：A4．定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【來源】四川省遂寧市20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)文科試題【答案】C【解析】令，則，∴在R上單調(diào)遞減，又∵，∴，即，∴.故選：C.5．已知函數(shù)在處取得極小值，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．5 D．9【來源】河南省商丘市名校20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)理科試題【答案】D【解析】，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故選：D．6．已知函數(shù)，過點M（1，t）可作3條與曲線相切的直線，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【來源】山東省棗莊市20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】設(shè)切點為，由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，因為點M（1，t）在切線上，所以，化簡整理得，令，則，所以當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在和上遞減，在上遞增，所以的極小值為，極大值為，當(dāng)時，，所以的圖象如圖所示，因為過點M（1，t）可作3條與曲線相切的直線，所以的圖象與直線有三個不同的交點，所以由圖象可得，故選：D7．已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實數(shù)，都有，當(dāng)時，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【來源】安徽名校20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】：因為，所以，令，則，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，因為，所以，所以，即，解得或.故選：C.8．已知函數(shù)的極值點為，若有且只有一個，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【來源】陜西省商洛市20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試題【答案】B【解析】因為函數(shù)在上有且只有一個極值點，所以在上有且只有一個變號零點，由，得，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，．由，解得．故選：B.9．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【來源】安徽名校20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】A【解析】，因為函數(shù)在[2，4]上為增函數(shù)，所以在上恒成立，故在上恒成立，故在上恒成立，所以.故選：A10．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是（

）A．在區(qū)間（－2，1）上，是增函數(shù)B．當(dāng)時，取到極小值C．在區(qū)間（1，3）上，是減函數(shù)D．在區(qū)間（4，5）上，是增函數(shù)【來源】湖南省長沙市長郡中學(xué)20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系判斷．【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖象知，在時，，遞減，A錯；時，取得極大值（函數(shù)是先增后減），B錯；時，，遞增，C錯；時，，遞增，D正確．故選：D．11．若關(guān)于x的不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【來源】四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題【答案】A【解析】【分析】令，故，原不等式變?yōu)?，進而令，利用最值分析法，通過對的導(dǎo)數(shù)進行討論，即得.【詳解】由題意得，，令，故，故.令，則.若，則，則在上單調(diào)遞增，又，則當(dāng)時，，不合題意，舍去；若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，所以若，則當(dāng)，，舍去；若，則當(dāng)，，舍去；若，則，符合題意，故.故選：A【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.12．已知，，若存在，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】原命題等價于，再求和解不等式即得解.【詳解】，使得成立，則，由題得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在（∞，0）單調(diào)遞增，在（0，+∞）單調(diào)遞減，所以，由題得，∴故選：B.13．已知函數(shù)，若對任意的，，且，都有，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【來源】陜西省西安市雁塔區(qū)第二中學(xué)、渭北中學(xué)20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)的正負問題，參數(shù)分離后構(gòu)造函數(shù)即可求解.【詳解】由可知:在單調(diào)遞增.故在上恒成立,記,當(dāng)時,,則單調(diào)遞減,當(dāng)時,,則單調(diào)遞增,所以在上有最小值為,所以,故選:B14．一般地，對于一元三次函數(shù)，若，則為三次函數(shù)的對稱中心，已知函數(shù)圖象的對稱中心的橫坐標(biāo)為（），且有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【來源】河南省鄧州市第一高級中學(xué)20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末考前拉練（二）數(shù)學(xué)（理）試題【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，用a表示，再求出的極大值與極小值，列式求解作答.【詳解】由函數(shù)求導(dǎo)得：，則，由解得，則有，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，取得極小值，因函數(shù)有三個零點，即函數(shù)的圖象與x軸有三個公共點，由三次函數(shù)圖象與性質(zhì)知，，于是得，解得，綜上得：，實數(shù)a的取值范圍是.故選：A.15．已知函數(shù)，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【來源】河南省洛陽市20212022學(xué)年高二下學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)，可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解.【詳解】因為，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，有，可得，有，令，有，令，可得，由，可得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，可得，故的最大值為.故選：D.16．已知函數(shù)，（）．若在上恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【來源】河南省九師聯(lián)盟20212022學(xué)年高二下學(xué)期4月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】【分析】在上恒成立，即在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出答案.【詳解】解：在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，所以.故選：D.17．已知，是函數(shù)的兩個極值點，且，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【來源】福建省泉州市城東中學(xué)20212022學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【答案】B【解析】【分析】先求導(dǎo)由，是極值點，得，進而將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)求得最小值，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得，，，所以，是方程的兩個正根，所以，不等式恒成立，即恒成立；又，則，又，可得，則.令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：B.【點睛】解決極值點問題，通常求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)根的問題，結(jié)合韋達定理可將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題；而恒成立問題，通常采用參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)加以解決.18．已知定義域為的函數(shù)滿足（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【來源】四川省南充市南部縣第二中學(xué)20212022學(xué)年高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)（理）試題【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的含導(dǎo)數(shù)的不等式，構(gòu)造函數(shù)，再分段討論求解不等式作答.【詳解】依題意，令，則，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由知，，當(dāng)時，不等式為成立，則，當(dāng)時，，即，于是得，因此有，解得，即得，當(dāng)時，，同理有，即有，解得或，因此得，綜上得，所以不等式的解集為.故選：A19．已知實數(shù)，，滿足，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【來源】黑龍江省大慶實驗中學(xué)20212022學(xué)年高二實驗一部下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】由，得，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，因為，所以，所以，故，則，即有，故.故選：C.20．已知是定義在的減函數(shù).設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【來源】四川省成都市第七中學(xué)20212022學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)文科試題【答案】B【解析】令且，則，所以上，即遞減，故，則，又，即，由在的減函數(shù)，則.故選：B二、多選題21．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．函數(shù)在上遞減，在上遞減B．函數(shù)在上遞增，在上遞增C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值【來源】福建省漳州市第一外國語學(xué)校（漳州八中）20212022學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【答案】BD【解析】：由圖可知：當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增；故函數(shù)在時取得極大值，在時取得極小值，即函數(shù)有極大值和極小值；故選：BD．22．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，的圖像關(guān)于y軸對稱B．當(dāng)時，的圖像關(guān)于點中心對稱C．，使得為上的增函數(shù)D．當(dāng)時，若在上單調(diào)遞增，則的最小值為【來源】江蘇省無錫市普通高中20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】BCD【解析】【分析】時，，，是奇函數(shù)，A錯；時，，，所以的圖象關(guān)于點對稱，B正確；，，當(dāng)時，恒成立，在上遞增，C正確；，，，所以有兩個不等的實根，設(shè)，在或時，，時，，即在上單調(diào)遞增，，，，所以時，取得最小值，即取得最小值，D正確．故選：BCD．23．定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，以下結(jié)論錯誤的是（

）A．是的一個極小值點 B．的單調(diào)遞增區(qū)間是C．的單調(diào)減區(qū)間是 D．和都是的極值點【來源】四川省鹽亭中學(xué)20212022學(xué)年高二下學(xué)期第四學(xué)月教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)（理）試題【答案】ABC【解析】，且在的左側(cè)，，右側(cè)，是極小值點，A正確；雖然，但在的兩側(cè)，都有，因此不是極值點，，也不是極值點，D錯誤；在上，恒成立，的解只有一個，因此此時遞增，B正確；時，，是的減區(qū)間，C正確．故選：ABC．24．對于定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，下列說法不正確的是（

）A．使的一定是函數(shù)的極值點B．在R上單調(diào)遞增是在R上恒成立的充要條件C．若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極小值一定不會比它的極大值大D．若在R上存在極值，則它在R一定不單調(diào)【來源】重慶市三峽名校聯(lián)盟20212022學(xué)年高二下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】ABC【解析】A選項，的不一定是函數(shù)的極值點，比如在處導(dǎo)函數(shù)的值為0，但不是的極值點，A說法錯誤；在R上單調(diào)遞增，可能會在某點導(dǎo)函數(shù)等于0，比如為單調(diào)遞增函數(shù)，在處導(dǎo)函數(shù)值為0，故在R上單調(diào)遞增不是在R上恒成立的充要條件，B說法錯誤；若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極小值可能會比它的極大值大，比如，在處取得極大值2，在處取得極小值2，極小值大于極大值，故C說法錯誤；根據(jù)極值點和極值的定義可以判斷，若在R上存在極值，則它在R一定不單調(diào)，D說法正確.故選：ABC三、填空題25．已知偶函數(shù)若方程有且只有6個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為_______．【來源】陜西省渭南市富平縣20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試題【答案】【解析】(1)當(dāng)時，由得；由得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，.(2)當(dāng)時，，于是可畫出右邊的函數(shù)圖象，又因為為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，從而可畫出左邊的圖象.由圖象知：.故答案為：.26．已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點A，B，則的最小值為___________．【來源】福建省廈門外國語學(xué)校20212022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末模擬試題（2）【答案】1【解析】先證明：，證明：設(shè)，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，故.設(shè)，則且即，故，由的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，故答案為：1.27．函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是______．①，，，；②，，，；③，，，；④，，，．【來源】人教A版（2019）選修第二冊實戰(zhàn)演練全冊綜合驗收檢測【答案】①【解析】由圖知，由可得由圖知當(dāng)或時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，的大致圖象如圖所示：所以，因為和是的兩個極值點，即的兩根為和，，，所以，可得，，綜上所述：，，，，故答案為：①.28．已知函數(shù)，，若，則的最小值為______.【答案】【解析】設(shè)，即，，解得，，所以，令，則，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以的最小值為.故答案為：.29．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，給出下列命題：①當(dāng)時，；②函數(shù)有2個零點；③的解集為；④，都有.其中正確的命題是___________.【來源】第08周周練（拓展三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題；拓展四：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根）【周測打卡】20212022學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步好題好卷周周練（人教A版2019選擇性必修第二冊）【答案】①④【解析】①當(dāng)，則，由，而，故正確；②時，，故在上遞增，上遞減且極大值為、有，值域為；由題設(shè)知：在上遞增，上遞減且極小值為、有，值域為，又，易知共有3個零點，故錯誤；③由②知：的解集為，故錯誤；④由②知：時有，即都有，故正確.故答案為：①④30．設(shè)函數(shù)，若，則函數(shù)有_____個零點；若函數(shù)有且僅有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.【來源】北京市昌平區(qū)20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題【答案】

3

【解析】解：當(dāng)時，，時，令，即，解得或，時，，易知在上單調(diào)遞減，又，所以由函數(shù)零點存在定理可得在上有且只有一個零點，綜上，時，函數(shù)有3個零點；因為函數(shù)有且僅有兩個零點，所以由第一空的解答可知，當(dāng)時，方程，即無解，令，則，令，可得，令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時，；時，，且，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：3；.31．已知函數(shù)，則的極小值為___________；若函數(shù)，對于任意的，總存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是___________.【來源】天津市部分區(qū)20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】

【解析】由，得，令，得，列表如下：遞減極小值遞增所以，函數(shù)的極小值為；（2），，使得，即，.①當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，，，即；②當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，，，即；③當(dāng)時，，不符合題意.綜上：.故答案為：；.五、解答題32．已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值.【來源】廣東省廣州市南沙區(qū)20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】(1)(2)最大值為，最小值0【解析】（1）解：，則，所以曲線在點處的切線方程為，即；（2）解：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，又，所以函數(shù)在上的最大值為，最小值0.33．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【來源】安徽省黃山市20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）解：由知定義域為，且①時，在上，故在上單調(diào)遞增；②時，當(dāng)時，時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）解：由得，令①當(dāng)時，在，恒成立，所以不可能；②當(dāng)時在上單調(diào)遞減且，當(dāng)時，，故在上存在，使得時，，則在上單調(diào)遞增，所以與題不符.

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意.綜上所述，34．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(2)若在恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【來源】江蘇省南京市六校聯(lián)合體20212022學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】(1)答案見解析(2)【解析】(1)當(dāng)時設(shè)，則即在遞減，在遞增，當(dāng)，當(dāng)而當(dāng)所以當(dāng)遞減；遞增.故函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)，令在遞增，而，，使，即當(dāng)時，在遞減，當(dāng)時，在遞增因為可變形為又在遞增，由（**）可得故取值范圍為35．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個極值點，，且，當(dāng)時，求的取值范圍．【來源】安徽省滁州市20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）解：的定義域為，，令，當(dāng)，即時，在上恒成立，故此時是增函數(shù)；當(dāng)，即時，有兩個正根，，或，顯然，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減期間為；同理當(dāng)時，在上恒成立，故此時是增函數(shù)；綜上可知：當(dāng)時，是增函數(shù)；時，的兩根為，或，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）解：由（1）知，，再令當(dāng)，的兩個極值點為的兩個互異實根，，且，，則，即，顯然，由整理得，所以，而，將代入上式整理得，再將代入上式得：，，令，，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，，，且，即的取值范圍為.36．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在處取得極值，不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【來源】甘肅省金昌市永昌縣第一高級中學(xué)20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題【答案】(1)當(dāng)時函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)【解析】(1)函數(shù)的定義域是且當(dāng)時，，從而，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，若，則，從而；若，則，從而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)由（1）可知，函數(shù)的極值點是，若，則.若在上恒成立，即在上恒成立，只需在上恒成立.

令，則，易知為函數(shù)在內(nèi)唯一的極小值點，也是最小值點，故，即=，故只要即可.所以b的取值范圍是.37．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，若對任意恒成立，求整數(shù)的最大值.【來源】黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】(1)答案見解析(2)3【解析】(1)解：∵,，所以，當(dāng)時，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，令，∴，當(dāng)時，當(dāng)時，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時，令，∴，當(dāng)時，當(dāng)時，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，