專題9-5圓錐曲線大題基礎(chǔ)定點(diǎn)歸類-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練

專題95圓錐曲線大題基礎(chǔ)：定點(diǎn)歸類目錄TOC\o"13"\h\u【題型一】直線過定點(diǎn)基礎(chǔ)：y=kx+m型 1【題型二】直線過定點(diǎn)基礎(chǔ)：x=tx+m型 3【題型三】定點(diǎn)轉(zhuǎn)化1：斜率積型 5【題型四】定點(diǎn)轉(zhuǎn)化2：斜率和型 7【題型五】斜率轉(zhuǎn)化3：斜率比值型 8【題型六】訂單轉(zhuǎn)化4：三斜率型 11【題型七】圓過定點(diǎn) 13【題型八】切線型定點(diǎn) 15【題型九】圓切線切點(diǎn)弦定點(diǎn) 17真題再現(xiàn) 18模擬檢測(cè) 24【題型一】直線過定點(diǎn)基礎(chǔ)：y=kx+m型【典例分析】設(shè)橢圓C：（）過點(diǎn)，離心率為，橢圓的右頂點(diǎn)為A.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)M，N（M，N不同于點(diǎn)A），若，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)【答案】(1)(2)證明見解析；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得，從而求得橢圓C的方程；分類討論直線斜率存在與否的情況，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得，從而得到直線過定點(diǎn).【詳解】（1）依題意得，，又，解得（負(fù)值舍去），所以橢圓方程為.（2）由（1）得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可設(shè)直線為，代入，得，所以，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，因?yàn)?，故，又，所以，則，即，解得或(舍去)，所以直線過定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線，，聯(lián)立，消去，得，則，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，即，解得或，?dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)（舍去）；所以直線直線過定點(diǎn)；綜上：直線直線過定點(diǎn).【提分秘籍】基本規(guī)律定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理整理；④由所得等式恒成立可整理得到定點(diǎn).【變式演練】已知橢圓E：的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知定點(diǎn)，直線l：滿足且與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A，B，始終滿足，證明：直線l過一定點(diǎn)T，并求出定點(diǎn)T的坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率得到，把點(diǎn)代入橢圓方程解得答案.（2）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用向量的運(yùn)算法則根據(jù)得到，代入直線方程得到定點(diǎn).【詳解】（1）橢圓離心率，故，設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)，故，解得，故橢圓方程為.（2）設(shè)，由，得，，即.，，，，故，故，即，解得：（舍去），且滿足.當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn).綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【題型二】直線過定點(diǎn)基礎(chǔ)：x=tx+m型【典例分析】已知橢圓的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)，(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓短軸上有兩點(diǎn)(不與短軸端點(diǎn)重合)滿足，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由由焦距為得，代入點(diǎn)得方程，結(jié)合即可求解；（2）由得，設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可化簡整理得m、n的關(guān)系式，即可由的關(guān)系，進(jìn)一步討論過定點(diǎn)問題.【詳解】（1）由焦距為得，則，故代入點(diǎn)得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明：由題意可知AB斜率不為0，可設(shè)直線AB方程為，，聯(lián)立，由得①，②，③.直線PA：，則有，同理有.由得，代入②③整理得，若，則直線AB：過點(diǎn)P，不合題意；若，則直線AB：，此時(shí)直線AB過定點(diǎn)，得證.【提分秘籍】基本規(guī)律（1）直線AB方程為，聯(lián)立曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡整理得到只關(guān)于t、m的方程，即可求出t、m的關(guān)系，即可進(jìn)一步討論直線AB過定點(diǎn)的情況；（2）設(shè)直線時(shí)注意考慮AB斜率不存在的情況，聯(lián)立方程也要注意討論判別式.【變式演練】如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，.(1)若過點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；(2)若，求的面積取得最大值時(shí)直線的方程；(3)設(shè)，，若，求證：直線過一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)(3)證明見解析，定點(diǎn).【分析】（1）由題意，可設(shè)，，，由中點(diǎn)列關(guān)于方程組即可求解出坐標(biāo)，計(jì)算斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）由，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式列式，由基本不等式求解得，從而可得當(dāng)，時(shí)三角形面積最大，從而得坐標(biāo)，計(jì)算斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程；（3）設(shè)的方程為，表示出坐標(biāo)，從而可得，，代入計(jì)算可得，即可得直線方程為，判斷得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）易知直線的方程為，設(shè)，，，為線段的中點(diǎn)，則，解得，所以，，所以，故直線的方程為：，即.（2）設(shè)，，.由，得，即.∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的面積，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，，，所以，直線的方程為：，即.（3）由題意，直線斜率不為，設(shè)的方程為.令，得，即；令，得，即∴，由得：，即，∴的方程為，即，∴直線恒過定點(diǎn).【題型三】定點(diǎn)轉(zhuǎn)化1：斜率積型【典例分析】已知圓C的圓心坐標(biāo)為，與y軸的正半軸交于點(diǎn)A且y軸截圓C所得弦長為8．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線n交圓C于的M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M，N異于A點(diǎn)），若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線n過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1);(2)證明見解析，定點(diǎn)為.【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)為，求出即得解；（2）直線n斜率不存在時(shí)，不存在；直線n斜率存在時(shí)，設(shè)直線n：，，，，，求出直線的方程為即得解.【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)為，y軸截圓C所得弦長為8，即，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：令，可得，，又點(diǎn)在正半軸，故，當(dāng)直線n斜率不存在時(shí)，設(shè)，，直線，的斜率之積為2，，即，點(diǎn)在圓上，，聯(lián)立，，舍去，當(dāng)直線n斜率存在時(shí)，設(shè)直線n：，，，，，①聯(lián)立方程，，，代入①，得，化簡得或，若，則直線過，與題設(shè)矛盾，舍.直線n的方程為：，所以且所以.所以過定點(diǎn)．【變式演練】已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且．(1)求的方程；(2)若不過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，且直線，的斜率之積為1，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）利用拋物線焦半徑公式與拋物線方程列出關(guān)于的方程組，解之即可；（2）聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得，再由整理得，由此得到，直線為，從而求得定點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€：，所以準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以由拋物線焦半徑公式得，，聯(lián)立，解得或（由于，舍去），所以拋物線的方程為.（2）依題意，易知，直線的斜率存在（若不存在，則與拋物線至多只有一個(gè)交點(diǎn)），設(shè)直線為，，聯(lián)立，消去，得，則，，因?yàn)橹本€，的斜率之積為1，即，故，整理得，所以，得，故直線為，所以直線過定點(diǎn).【題型四】定點(diǎn)轉(zhuǎn)化2：斜率和型【典例分析】在平面直角坐標(biāo)系中，已知等軸雙曲線過點(diǎn)(1)求雙曲線的方程；(2)已知點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），且，求證直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意，代入點(diǎn)，求解即可；（2）設(shè)，聯(lián)立直線和雙曲線，用坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理，可得或,分析即得解.（1）由等軸雙曲線知，又過點(diǎn)，所以，

解之得，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)，,聯(lián)立得,當(dāng)時(shí)，,又因?yàn)?，?即，化簡得解得或,當(dāng),直線方程為,過定點(diǎn),與重合，不成立，舍去；當(dāng)，直線方程為，恒過點(diǎn).【變式演練】．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)訄A與圓內(nèi)切，且與直線相切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)曲線上存在一點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率之和為，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線與圓相切，兩圓內(nèi)切的條件可得圓心到點(diǎn)的距離與直線的距離相等，再由拋物線的定義和方程可得解.（2）求得的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用判別式大于和韋達(dá)定理，由兩點(diǎn)的斜率公式，化簡整理可得與的關(guān)系，再由直線過定點(diǎn)的求法，可得所求定點(diǎn)，即可得證.（1）圓的圓心為，半徑為，題意可得，動(dòng)圓的圓心到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為；（2）將代入拋物線可得（舍去），所以，因?yàn)橹本€的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線，可得，由題意可知，即，又，，因?yàn)橹本€與的斜率之和為，所以，化簡可得，此時(shí)，解得或，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以直線的方程為即，可得直線恒過定點(diǎn).【題型五】斜率轉(zhuǎn)化3：斜率比值型【典例分析】已知雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)與軸不重合的直線與雙曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)，直線與雙曲線分別交于另一點(diǎn).①若直線與直線的斜率都存在，并分別設(shè)為.是否存在實(shí)常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.②證明：直線恒過定點(diǎn).【答案】(1)(2)①存在，；②證明見解析【分析】（1）由點(diǎn)差法可得，結(jié)合及，可求得結(jié)果.（2）①又直線與雙曲線相交可求得，再設(shè)，聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理可求得的坐標(biāo)，進(jìn)而得，代入可求解.②由①知,由對(duì)稱性知過的定點(diǎn)在軸上，計(jì)算可得解.【詳解】（1）由題意知，直線的斜率為，設(shè)，由題意，兩式相減得：，整理得：，即，又，所以，即雙曲線，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.（2）①因?yàn)榈男甭蚀嬖谇?，設(shè)，，聯(lián)立，消去整理得：，由題意得，解得又，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，由韋達(dá)定理得，又，，于是，故，同理可得，，，為定值，所以的值。②由①知（*），由對(duì)稱性知過的定點(diǎn)在軸上，在（*）令，得，解得直線恒過定點(diǎn)【變式演練】在一張紙上有一個(gè)圓：，定點(diǎn)，折疊紙片使圓上某一點(diǎn)好與點(diǎn)重合，這樣每次折疊都會(huì)留下一條直線折痕，設(shè)折痕與直線的交點(diǎn)為．(1)求證：為定值，并求出點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)，為曲線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析，定點(diǎn)【分析】（1）利用對(duì)稱性可知為定值，結(jié)合雙曲線定義可得點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線所過定點(diǎn)，則由對(duì)稱性得定點(diǎn)在軸上，設(shè)定點(diǎn)，三點(diǎn)共線得，從而可得定點(diǎn).【詳解】（1）解：由題意得，所以，即的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線，又，，所以，所以的方程為；（2）解：由已知得：，：，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去整理得，由韋達(dá)定理得，所以，即，所以，聯(lián)立直線方程與圓方程，消去整理得，由韋達(dá)定理得，所以，即，因?yàn)?，即，所以，若直線所過定點(diǎn)，則由對(duì)稱性得定點(diǎn)在軸上，設(shè)定點(diǎn)，由三點(diǎn)共線得，即，所以直線過定點(diǎn)．【題型六】訂單轉(zhuǎn)化4：三斜率型【典例分析】已知橢圓：（）的離心率為，的長軸的左、右端點(diǎn)分別為、，與圓上點(diǎn)的距離的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)一條不垂直坐標(biāo)軸的直線交于C、D兩點(diǎn)（C、D位于x軸兩側(cè)），設(shè)直線、、、的斜率分別為、、、，滿足，問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，否則說明理由.【答案】(1)(2)直線過定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)條件可求得，然后即可得到橢圓的方程；（2）直線的方程為：，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理然后根據(jù)條件求得直線的方程，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，由題意知：，又∵，∴，則?！鄼E圓方程為：.（2）設(shè)直線的方程為：聯(lián)立方程得：，設(shè)、，∴，∵∴，同理∵∴∴∵∴∴即∴∴∴∴∴或.顯然直線不過點(diǎn)所以直線過定點(diǎn)【變式演練】且橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B．(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P在橢圓上，求線段的長度的最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)不過點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記直線l，的斜率分別為，若，證明：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)證明見解析，定點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)題意，得到，再利用離心率，即可求出，得到橢圓C的方程.（2），設(shè)，①，利用②，把②代入①，得，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出，以及取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).（3）設(shè)直線l的方程為，則，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參，等參數(shù)，進(jìn)而化簡，即可得與的關(guān)系，進(jìn)而，代入直線方程，可得，最后得到所求的直線的必過點(diǎn).【詳解】（1）解：由題意可知，則，所以，所以（2）由（1）得橢圓C的方程為，則，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，則，則，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以；（3）證明：，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，消y得，則，則因?yàn)椋瑒t，即，即，即，即，化簡得，解得或，時(shí)過點(diǎn)A，舍去所以，所以直線l得方程為，所以直線l過定點(diǎn)．【題型七】圓過定點(diǎn)【典例分析】已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程.(2)若動(dòng)直線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)【分析】（1）由漸近線夾角得或，結(jié)合雙曲線所過點(diǎn)可求得，由此可得雙曲線方程；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，可知；假設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可化簡整理，根據(jù)等式恒成立的求解方法可得的值.【詳解】（1）兩條漸近線的夾角為，漸近線的斜率或，即或；當(dāng)時(shí)，由得：，，雙曲線的方程為：；當(dāng)時(shí)，方程無解；綜上所述：雙曲線的方程為：.（2）由題意得：，假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，則恒成立；方法一：①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，由得：，，，，，，整理可得：，由得：；當(dāng)時(shí)，恒成立；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，，，成立；綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).方法二：①當(dāng)直線斜率為時(shí)，，則，，，，，，解得：；②當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)，，，由得：，，，，；當(dāng)，即時(shí)，成立；綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).【變式演練】.已知雙曲線：與雙曲線有相同的漸近線，直線被雙曲線所截得的弦長為6．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)定點(diǎn)坐標(biāo)為，詳見解析.【分析】（1）由題可得雙曲線的漸近線為，然后直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合弦長可得方程，進(jìn)而即得；（2）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，可設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理法可得以為直徑的圓的方程，然后令，結(jié)合條件可得定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，易得以為直徑的圓過此定點(diǎn)，即得.【詳解】（1）由雙曲線，可得其漸近線為，∴雙曲線：的漸近線為，∴，即，∴雙曲線：，由，可得，解得，∴直線被雙曲線所截得的弦長為，解得，所以雙曲線的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，可設(shè)，由，可得，設(shè)，則，，∴，，設(shè)以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則，∴以為直徑的圓的方程為，令，可得，∴，∴，由，可得，即以為直徑的圓恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)為實(shí)軸端點(diǎn)，顯然以為直徑的圓過點(diǎn)，綜上，以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為.【題型八】切線型定點(diǎn)【典例分析】動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到直線的距離之比為，(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；(2)設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，求證：直線過某一個(gè)定點(diǎn).【答案】(1)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線；；(2)證明見解析.【分析】（1）由題可得，化簡可得軌跡方程，進(jìn)而即得；（2）由題可設(shè)，，聯(lián)立雙曲線方程，利用判別式為0結(jié)合條件可得，，然后根據(jù)點(diǎn)在切線，上，進(jìn)而可得直線方程，即得.【詳解】（1）由題可得，化簡可得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線；（2）設(shè)，由題可知切線的斜率存在，可設(shè)切線的斜率為，則，由，可得，所以，所以，即，又，所以，即，所以，所以，即，同理可得，又在切線，上，所以，所以滿足直線方程上，而兩點(diǎn)唯一確定一條直線，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，即直線過定點(diǎn).【變式演練】已知雙曲線的漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)若點(diǎn)Q是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q引雙曲線兩條切線，切點(diǎn)為A，B，試探究：直線AB是否恒過定點(diǎn).若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)直線恒過定點(diǎn)為.【分析】（1）由題意可設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入即可求解；（2）設(shè)，，，設(shè)過的切線方程：代入雙曲線方程，由可求出切線，同理可得切線，從而得到直線，進(jìn)而即可求解【詳解】（1）由題意可設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入得到：，即.（2）設(shè)，，，設(shè)過A的切線方程：，代入雙曲線方程并整理得：.由得：，化簡得，展開整理得，由點(diǎn)A在雙曲線上，∴，∴，∴，即，當(dāng)時(shí)，解得：，則切線；同理切線.當(dāng)時(shí)，,切線方程為，檢驗(yàn)知上述結(jié)論仍然成立；同理當(dāng)時(shí)，，，檢驗(yàn)知上述結(jié)論同樣成立.則點(diǎn)A、都是直線上的點(diǎn)，即（*）又點(diǎn)在直線上，則，代入（*）式有：，則定點(diǎn)為.【題型九】圓切線切點(diǎn)弦定點(diǎn)【典例分析】已知直線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q滿足，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線l與圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)時(shí)，求k的值；(3)若，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，探究：直線CD是否過定點(diǎn).【答案】(1)(2)(3)過定點(diǎn)【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)，根據(jù)，代入坐標(biāo)運(yùn)算，即可求曲線的方程；（2）由題中的幾何條件可知，點(diǎn)O到l的距離，代入公式，即可求解；（3）首先求過四點(diǎn)O、P、C、D的圓的方程，再與曲線的方程相減，可得直線的方程，根據(jù)方程的形式，求直線所過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，依題意知，整理得，∴曲線C的方程為

（2）∵點(diǎn)O為圓心，，∴點(diǎn)O到l的距離∴；（3）由題意可知：O、P、C、D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四頂點(diǎn)共圓）設(shè)，則圓心，半徑得即

又C、D在圓上∴即（直線CD是兩圓的公共弦所在直線，故兩圓方程相減便得其方程）由，得∴直線CD過定點(diǎn)【變式演練】．已知圓?，點(diǎn)?是直線?上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)?作圓?的切線?，切點(diǎn)分別是?和?.(1)當(dāng)點(diǎn)?的橫坐標(biāo)為3時(shí)，求切線的方程;(2)試問直線?是否恒過定點(diǎn)，若是求出這個(gè)定點(diǎn)，若否說明理由.【答案】(1)或；(2)直線?恒過定點(diǎn)?，理由見解析【分析】（1）分斜率存在，不存在討論，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即得；（2）設(shè)?，由題可得以?為直徑的圓的方程，結(jié)合條件可得公共弦?的方程進(jìn)而即得.【詳解】（1）由題可知，由圓?，可知圓心為，半徑為1，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，滿足題意，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)切線為，則，解得，所以切線為，即，所以切線的方程為或；（2）直線?恒過定點(diǎn)?，設(shè)?，由題意知?在以?為直徑的圓上，又?，則以?為直徑的圓的方程為?，即?，又圓?，即?，兩式相減，故直線?的方程為?，即?，由?，解得?，即直線?恒過定點(diǎn)?.1.（·北京·高考真題）如圖，為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)寫出橢圓的方程及準(zhǔn)線方程；(2)過線段上異于O，A的任一點(diǎn)K作的垂線，交橢圓于P，兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)M．求證：點(diǎn)M在雙曲線上．【答案】(1)橢圓的方程為，準(zhǔn)線方程為；(2)詳見解析.【分析】（1）由題可得，進(jìn)而即得；（2）設(shè)，點(diǎn)，由題可得直線與的方程，進(jìn)而可得交點(diǎn)的坐標(biāo)，驗(yàn)證即得.【詳解】（1）由題可設(shè)橢圓的方程為，則，∴，所以橢圓的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）設(shè)，點(diǎn)，其中，則，直線的方程為，直線的方程為，由，可得，所以，又，因?yàn)?，所以直線與交于點(diǎn)M在雙曲線上.2．（·重慶·高考真題（理））如圖，和是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，，，【分析】由已知，可根據(jù)橢圓的定義，判斷點(diǎn)P的軌跡為橢圓，設(shè)出橢圓方程，利用待定系數(shù)法，分別求解出即可；由已知，由可得：，將這個(gè)式子代入到中，利用余弦定理得到中，可得：，從而判斷點(diǎn)P的軌跡滿足雙曲線，求解出雙曲線的方程，令橢圓和雙曲線方程聯(lián)立，即可求解坐標(biāo).【詳解】（1）由已知，和是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，所以由橢圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以和為焦點(diǎn)，長軸為的橢圓，設(shè)橢圓方程為：，由已知可得：半焦距，長半軸，所以，所以點(diǎn)P的軌跡方程為：.（2）由，得，①又因?yàn)椋渣c(diǎn)P不為橢圓長軸的頂點(diǎn)，故點(diǎn)P、點(diǎn)M、點(diǎn)N三點(diǎn)組成三角形，在中，，，由余弦定理可知：，②將①代入②得：，所以，即，故點(diǎn)P的軌跡是以和為焦點(diǎn)，實(shí)軸為的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為：，由已知可得：，，所以點(diǎn)P的軌跡方程為：.又因?yàn)辄c(diǎn)P又滿足橢圓方程：，所以由方程組：解得：，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，，，.3．（·上?！じ呖颊骖}）設(shè)分別為橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)若橢圓C上的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程；(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；(3)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．【答案】(1)；(2)；(3)見解析【分析】（1）由橢圓定義、代入點(diǎn)坐標(biāo)得方程組，求解可得參數(shù)；（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，代入橢圓方程即可得；（3）類比橢圓與雙曲線寫出性質(zhì)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式，利用雙曲線方程消元化簡即可證明【詳解】（1）點(diǎn)在橢圓C上，且到兩點(diǎn)的距離之和等于4，則，，解得，橢圓C的方程為；（2），則有，設(shè)，線段的中點(diǎn)為，則有，又K是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則有，即，即.故線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（3）類似特性的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．證明：設(shè)，，則，，，又，則4（·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)請(qǐng)問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b無關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.【答案】(1)，且；(2)（，且）；(3)過定點(diǎn)和.【分析】（1）令得拋物線與軸交點(diǎn)，此交點(diǎn)不能是原點(diǎn)；令，則方程＞0，即可求的范圍．（2）設(shè)出所求圓的一般方程，令得到的方程與是同一個(gè)方程；令得到的方程有一個(gè)根為，由此求得參數(shù)及圓的一般方程．（3）把圓方程里面的b合并到一起，令b的系數(shù)為零，得到方程組，求解該方程組，即得圓過的定點(diǎn)．【詳解】（1）令得拋物線與軸交點(diǎn)是；令，由題意，且，解得，且．即實(shí)數(shù)的取值范圍，且．（2）設(shè)所求圓的一般方程為，由題意得的圖象與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)即為圓和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，令得，，由題意可得，這與是同一個(gè)方程，故，．令得，，由題意可得，此方程有一個(gè)根為，代入此方程得出，∴圓的方程為（，且）．（3）把圓的方程改寫為，令，解得或，故圓過定點(diǎn)和．5．（2020·山東·高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【答案】（1）；（2）詳見解析.【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線恒過定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)的位置.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因?yàn)?，所以，即，根?jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡得，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過點(diǎn).令為的中點(diǎn)，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系平移，原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡得，即．設(shè)，因?yàn)閯t，即．代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲線系A(chǔ)點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點(diǎn)A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對(duì)比項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得將①代入②③，消去并化簡得，即．故直線的方程為，直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法四］：設(shè)．若直線的斜率不存在，則．因?yàn)?，則，即．由，解得或（舍）．所以直線的方程為．若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則．令，則．又，令，則．因?yàn)?，所以，即或．?dāng)時(shí)，直線的方程為．所以直線恒過，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線恒過．綜上，直線恒過，所以．又因?yàn)椋?，所以點(diǎn)D在以線段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．取線段的中點(diǎn)為，則．所以存在定點(diǎn)Q，使得為定值．1．已知直線：，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(1)求曲線的方程；(2)若直線與圓：交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)∠時(shí)，求的值；(3)若，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，探究：直線是否過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)(3)直線過定點(diǎn)【分析】(1)設(shè)點(diǎn)，由兩點(diǎn)間的距離公式代入已知，化簡即可.(2)由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.(3)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四頂點(diǎn)共圓，求出公共弦所在直線的方程，得出該直線過定點(diǎn).（1）設(shè)點(diǎn)，依題意知，整理得，曲線的方程為（2）點(diǎn)為圓心，∠，點(diǎn)到的距離，；（3）由題意可知：四點(diǎn)共圓且在以為直徑的圓上，(對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四頂點(diǎn)共圓)設(shè)，則圓心，半徑得即又在圓：上即

(直線是兩圓的公共弦所在直線，故兩圓方程相減便得其方程)由得，直線過定點(diǎn).2．已知圓C的圓心坐標(biāo)為C（3，0），且該圓經(jīng)過點(diǎn)A（0，4）．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線n交圓C于的M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M，N異于A點(diǎn)），若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線n過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)證明見解析；定點(diǎn).【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)為，求出即得解；直線n斜率不存在時(shí)，不存在；直線n斜率存在時(shí)，設(shè)直線n：，，，，，求出直線的方程為即得解.（1）解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)為，把代入得，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：當(dāng)直線n斜率不存在時(shí)，設(shè)，，直線，的斜率之積為2，，，即，點(diǎn)在圓上，，聯(lián)立，，舍去，當(dāng)直線n斜率存在時(shí)，設(shè)直線n：，，，，，①聯(lián)立方程，，，代入①，得，化簡得或，若，則直線過，與題設(shè)矛盾，舍.直線n的方程為：，所以且所以.所以過定點(diǎn)．3．已知點(diǎn)在橢圓上，橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.（i）證明：；（ii）證明：直線AB過定點(diǎn).【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）利用，結(jié)合三角形的面積公式，求出，即可求橢圓的方程.(2)（i）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由題意可知，可得是方程的兩根，利用韋達(dá)定理即可證明.（ii）設(shè)直線的方程為，