專題06大題專攻（二）（解三角形大題的思維建模）2022年高考數(shù)學(xué)二輪提素養(yǎng)高分進(jìn)階新方案（新高考專版）

專題06大題專攻（二）（解三角形大題的思維建模）目錄一宏觀掌握解題通路：解三角形問(wèn)題重在：“變”－變角、變式。二微觀優(yōu)化解題細(xì)節(jié)：解三角形必須具備的三個(gè)意識(shí)。意識(shí)一：邊角互化(邊化角，角化邊）意識(shí)二：函數(shù)與方程思想的應(yīng)用意識(shí)三：厘清圖形應(yīng)用體驗(yàn)精選好題做一當(dāng)十一宏觀掌握解題通路：解三角形問(wèn)題重在：“變”－變角、變式。盡管解三角形的解答題起點(diǎn)低、位置前,但由于其公式多、性質(zhì)繁,使得不少考生對(duì)其有種畏懼感.突破此難點(diǎn)的關(guān)鍵在于“變”－變角與變式,從“變角”來(lái)看,主要有:已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換以及三角形內(nèi)角和定理的變換運(yùn)用,如:，，，，等。從“變式”來(lái)看,在解決解三角形的問(wèn)題時(shí),常利用正余弦定理化邊為角或化角為邊等。三角形解答題1．（2021·安徽·淮南第一中學(xué)高三月考（理））在中，角，，所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，，，．（1）求角的大小；（2）若，求的周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）（2）（1）解：由和正弦定理得得得．又，所以，所以又，所以.（2）解：由余弦定理得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以．故的周長(zhǎng)的最大值是．解三角形中的注意點(diǎn)(1)涉及求范圍的問(wèn)題,一定要搞清已知變量的范圍,利用已知的范圍進(jìn)行求解,已知邊的范圍求角的范圍時(shí)可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化(2)注意題目中的隱含條件,如,,三角形中大邊對(duì)大角等(3)注意挖掘特殊關(guān)系量,如:①已知兩角,與一邊,由及，可求出角,再求出。②已知兩邊與其夾角,由,求出,再由余弦定理,求出角;③已知三邊，由余弦定理可求出角。應(yīng)用體驗(yàn)1．（2021·廣東惠州·高三月考）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若是銳角三角形，且，求邊長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由正弦定理，所以，化簡(jiǎn)得，由余弦定理，得，因?yàn)?，所?（2）由正弦定理，得，因是銳角三角形，所以，解得，所以.所以，解得，所以邊長(zhǎng)的取值范圍為.二微觀優(yōu)化解題細(xì)節(jié)：解三角形必須具備的三個(gè)意識(shí)?！敖馊切巍钡目傮w難度適中,入手比較容易,但在具體解決問(wèn)題時(shí),學(xué)生易出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì),對(duì)而不全”的情況.主要表現(xiàn)為:公式記憶不準(zhǔn)確;在三角函數(shù)公式變形中轉(zhuǎn)化不當(dāng),導(dǎo)致后續(xù)求解復(fù)雜或運(yùn)算錯(cuò)誤;忽視三角形中的隱含條件,求邊、角時(shí)忽略其范圍等.基于以上誤區(qū),解決此類問(wèn)題要強(qiáng)化以下三個(gè)意識(shí).意識(shí)一：邊角互化(邊化角，角化邊）1．（2021·河北石家莊·高三月考）中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）（1）由及正弦定理得，所以，∴，又∵，∴，又∵，∴；（2）由，，根據(jù)余弦定理得，由的面積為，得,所以，得，所以周長(zhǎng).2．（2021·海南·農(nóng)墾中學(xué)高三月考）在中，．（1）求角的大小；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）（2）3【詳解】（1）在中，由正弦定理：（2）由（1），代入即由均值不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故故周長(zhǎng)l故周長(zhǎng)l的最大值為3.3．（2021·海南昌茂花園學(xué)校高三月考）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且求（1）求的大??；（2）若的面積，，求值．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，即，所以，又，所以；?）由題意，，，由得，所以．反思領(lǐng)悟：正弦定理、余弦定理應(yīng)用的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角互化.一般地,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的齊次式,則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時(shí),則要考慮兩個(gè)定理是否都要應(yīng)用.正弦定理、余弦定理的靈活應(yīng)用需深入領(lǐng)會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化思想,需要在解題中多歸納、多總結(jié),抽象概括,總結(jié)方法規(guī)律。涉及應(yīng)用正弦定理、余弦定理的還有一種題型是判斷三角形的形狀,通常從兩個(gè)方向進(jìn)行變形:一個(gè)方向是邊,考慮代數(shù)變形,通常正弦定理、余弦定理結(jié)合使用;另一個(gè)方向是角，考慮三角形，通常運(yùn)用正弦定理.意識(shí)二：函數(shù)與方程思想的應(yīng)用1．（2021·江西·高三月考）設(shè)，，分別是的內(nèi)角，，的對(duì)邊，已知.（1）求角的大小；（2）若的面積為，且，求，的值.【答案】（1）；（2）或.【詳解】解：（1）由正弦定理，得，∴.由余弦定理，得，，∴.（2），∴.①由余弦定理，得，∴.由①②解得或∴或反思領(lǐng)悟三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù),函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法之一,在解決解三角形問(wèn)題時(shí)常常用到該思想方法.對(duì)于求值或最值問(wèn)題,也要求學(xué)生具有較強(qiáng)的函數(shù)與方程意識(shí),構(gòu)建未知量的函數(shù)與方程關(guān)系從而解決問(wèn)題.同時(shí),利用函數(shù)、方程、不等式解題時(shí)要注意變量范圍的限制,要特別注意對(duì)一些隱含條件的挖掘,縮小角的取值范圍。意識(shí)三：厘清圖形1．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知與關(guān)于直線對(duì)稱，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若，，，四點(diǎn)共線，且，.（1）求；（2）求的面積.【答案】（1）（2）解法一：（1）由題意可得，，所以△ACE為正三角形，（旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小?形狀相同及旋轉(zhuǎn)角度得到△ACE為正三角形），則，在△ABC中，，，設(shè)，則由余弦定理可得，即，整理得，得（負(fù)值舍去），所以；解法二：（1）由題意可得，，所以△ACE為正三角形，（旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小?形狀相同及旋轉(zhuǎn)角度得到△ACE為正三角形），則，在△ABC中，，，由正弦定理得：，所以，易得，所以，在△ABC中，由正弦定理得，即，得；（2）解法一：（2）在△ABC中，由余弦定理可得：，所以，所以.在△ADE中，，，所以△ADE的面積.解法二：（2）由（1）知，易得，所以，在△ADE中，，，所以△ADE的面積.反思領(lǐng)悟?qū)τ谏鲜鰡?wèn)題的解答,應(yīng)先厘清圖形中邊、角的關(guān)系,將已知條件抽象概括后,一般有兩個(gè)方向:(1)把已知量全部集中在一個(gè)三角形中,利用正弦定理、余弦定理求解;(2)已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形,先考慮解條件充分的三角形,再逐步解其他三角形,有時(shí)需要設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程(組),解方程(組).應(yīng)用體驗(yàn)精選好題做一當(dāng)十1．（2021·福建·莆田第二十五中學(xué)高三月考）在①，②這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線處，然后解答問(wèn)題．在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，設(shè)的面積為，已知___．（1）求角的值；（2）若，點(diǎn)在邊上，為的平分線，的面積為，求邊長(zhǎng)的值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）答案不唯一，見解析（2）2（1）選①，由可得：，整理可得a2+b2﹣c2＝ab，可得＝，因?yàn)镃∈（0，π），所以C＝．選②，由sin（A+B）＝1+2sin2可得，可得2sin（C+）＝2，可得：sin（C+）＝1，因?yàn)镃∈（0，π），C+∈（，），所以C+＝，可得C＝．（2）在△ABC中，可得可得，①又S△CDB＝a×CD＝，②由①②可得：＝，解得a＝2，或a＝﹣（舍去），所以邊長(zhǎng)a的值為2．2．（2021·湖北·高三期中）在銳角三角形中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角的大?。唬?）若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）（1）解：∵，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴，∵為銳角，∴，∴，∴；（2）解：由題意可知，設(shè)，∴，∵，又∵，∴，在中，由正弦定理可得：，即：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴三角形面積的取值范圍為.3．（2021·江蘇·蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué)高三月考）在中，，點(diǎn)D在邊上，且為銳角．（1）若，求的值；（2）若，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）如圖，由于點(diǎn)D在邊上，，所以，在中，，由余弦定理得：，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以.（2）在中，，由正弦定理得：，即，所以，又為銳角，所以在中，，由余弦定理得：﹐所以.4．（2021·江蘇·高三月考）在中，已知，，.（1）求；（2）若點(diǎn)在邊上，且滿足，求.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）結(jié)合已知條件，由余弦定理可得.（2），，，，.5．（2021·福建·高三月考）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，，，.（1）求角的大?。唬?）若，求和.【答案】（1）；（2），.【詳解】（1）在中，因?yàn)椋?，，所?因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，，所?在中，由余弦定理：，得.由正弦定理，解得：.6．（2021·河北·高三月考）圖一是東漢末年與三國(guó)初期東吳數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形（陰影部分）圍成一個(gè)大正方形，類比趙爽弦圖，三個(gè)全等的不等腰三角形構(gòu)成一個(gè)大的正三角形和一個(gè)小的正三角形（如圖二）.已知與的面積比為7∶1.圖一圖二（1）求證：；（2）求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）∵與的面積比為7∶1，∴，設(shè)，，則，，由余弦定理可得，即，，∴，即.（2）由（1）知，，由正弦定理得，∴，，因此，，∴.7．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，且滿足，，求的面積．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【詳解】（Ⅰ）由及正弦定理得，解得,又由得，整理得，由正、余弦定理得，得，所以．（Ⅱ）解法一：設(shè)，則，則．在中，由余弦定理得，即．①在中，利用余弦定理得，即，即．在中，，即且，兩式相加得，②聯(lián)立①②，解得，，則為等邊三角形，所以．解法二：由題意得，故，即．又，則，解得或（舍）．又，，所以為等邊三角形，所以．8．（2021·重慶市育才中學(xué)高三月考）在三角形中，，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，.（1）求的面積；（2）的角平分線交邊于點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【詳解】（1），，，（負(fù)值舍），.（2）法1：由得.法2：由三角形內(nèi)角平分線定理，，，在三角形中，根據(jù)余弦定理得，，解得或（舍去）.9．（2021·黑龍江·大慶中學(xué)高三開學(xué)考試（文））在中，角，，的對(duì)邊分別是，且滿足（1）求角．（2）