考向14等差數(shù)列-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專(zhuān)題（原卷版）

考向14等差數(shù)列1．（2021·山東高考真題）某學(xué)校合唱團(tuán)參加演出，需要把120名演員排成5排，而且從第二排起，每排比前一排多3名，求第一排應(yīng)安排多少名演員．2．（2020·山東高考真題）某男子擅長(zhǎng)走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和為390里.若從第2天起，每天比前一天多走的路程相同，問(wèn)該男子第5天走多少里.這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)嘗試解決.3．（2019·上海高考真題）已知數(shù)列，，前項(xiàng)和為.（1）若為等差數(shù)列，且，求；（2）若為等比數(shù)列，且，求公比的取值范圍.1.數(shù)列是特殊的函數(shù)，要利用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列.2.已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的三種常見(jiàn)方法：(1)算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想.(2)形如“an＋1＝pan＋q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系數(shù)法求出λ，再化為等比數(shù)列.(3)遞推公式化簡(jiǎn)整理后，若為an＋1－an＝f(n)型，則采用累加法；若為eq\f(an＋1,an)＝f(n)型，則采用累乘法.1.等差數(shù)列的概念(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N+，d為常數(shù)).(2)如果三個(gè)數(shù)x，A，y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng)，且A＝eq\f(x＋y,2).2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差為md的等差數(shù)列.(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.一、單選題1．（2021·上海高三專(zhuān)題練習(xí)）橢圓上有10個(gè)不同的點(diǎn)，若點(diǎn)坐標(biāo)為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則的最大值為（）A． B． C． D．2．（2020·上海高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則()A．0 B． C． D．二、填空題3．（2020·上海高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若數(shù)列滿足：存在三個(gè)不同的正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，也成等比數(shù)列，則的最小值為_(kāi)__________.4．（2020·上海高三其他模擬）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.已知，是雙曲線：的左右焦點(diǎn)，，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題5．（2020·上海高三專(zhuān)題練習(xí)）已知無(wú)窮數(shù)列的首項(xiàng)為，其前項(xiàng)和為，且（），其中為常數(shù)且．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求的值；（2）設(shè)，，是否存在正整數(shù)使得數(shù)列中的項(xiàng)成立？若存在，求出滿足條件的所有值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）求證：數(shù)列中不同的兩項(xiàng)之和仍為此數(shù)列中的某一項(xiàng)的充要條件為存在整數(shù)且，使得．6．（2020·上海高三專(zhuān)題練習(xí)）是等差數(shù)列，為數(shù)列前項(xiàng)和．求：（1）；（2）．7．（2020·上海高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列中，，，求的通項(xiàng)公式.8．（2020·上海高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列滿足，，求的值和.1．（2021·上海徐匯區(qū)·位育中學(xué)高三）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差為_(kāi)_______.2．（2021·上海高三）等差數(shù)列中，，則______.3．（2020·上海市進(jìn)才中學(xué)高三期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則=______.4．（2020·上海市七寶中學(xué)高三期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則_________.5．（2019·上海閔行區(qū)·閔行中學(xué)高三期中）2和8的等差中項(xiàng)是________.6．（2021·上海民辦南模中學(xué)高三）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，則的最小值是___________.7．（2021·寶山·上海交大附中高三）袋中裝有7個(gè)大小相同的小球，每個(gè)小球上標(biāo)記一個(gè)正整數(shù)號(hào)碼，號(hào)碼各不相同，且成等差數(shù)列，這7個(gè)號(hào)碼的和為49，現(xiàn)從袋中任取兩個(gè)小球，則這兩個(gè)小球上的號(hào)碼均小于7的概率為_(kāi)_________.8．（2021·上海長(zhǎng)寧·高三）在公差不為零的等差數(shù)列中，是與的等比中項(xiàng)，則＝_____．9．（2021·上海虹口·高三）在數(shù)列中，對(duì)任意，，當(dāng)且僅當(dāng)，若滿足，則的最小值為_(kāi)__________.一、單選題1．（2021·上海民辦南模中學(xué)高三）已知遞增正整數(shù)數(shù)列滿足，則下列結(jié)論中正確的有（）（1）??可能成等差數(shù)列；（2）??可能成等比數(shù)列；（3）中任意三項(xiàng)不可能成等比數(shù)列；（4）當(dāng)時(shí)，恒成立.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)二、填空題2．（2021·上海交大附中高三開(kāi)學(xué)考試）下列五個(gè)命題中正確的是________（填序號(hào)）．①若為銳角三角形，且滿足，則②在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為③函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)④設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則⑤函數(shù)的最小值為23．（2021·上海高三）將橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn).已知，將約束條件表示的平面區(qū)域內(nèi)格點(diǎn)的個(gè)數(shù)記作，若，則___________.三、解答題4．（2022·上海）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．5．（2021·上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境中學(xué)高三月考）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線于兩點(diǎn)，且．（1）求此拋物線的方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，且滿足，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C，求C的方程；（3）數(shù)列為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和記為，若點(diǎn)是（2）中的軌跡C上的點(diǎn)，且總有，試求滿足條件的M的最小值．6．（2021·上海徐匯·）若數(shù)集M至少含有3個(gè)數(shù)，且對(duì)于其中的任意3個(gè)不同數(shù)a，b，c（a＜b＜c），a，b，c都不能成為等差數(shù)列，則稱(chēng)M為“α集”．（1）判斷集合{1，2，4，8，?，2n}（n∈N*，n≥3）是否是α集？說(shuō)明理由；（2）已知k∈N*，k≥3．集合A是集合{1，2，3，?，k}的一個(gè)子集，設(shè)集合B＝{x+2k﹣1|x∈A}，求證：若A是α集，則A∪B也是α集；（3）設(shè)集合，判斷集合C是否是α集，證明你的結(jié)論．7．（2021·上海長(zhǎng)寧·高三）數(shù)列滿足：，且對(duì)任意，都有．（1）求；（2）設(shè)，求證：對(duì)任意，都有；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．8．（2021·上海市奉賢中學(xué)）已知函數(shù)，，各項(xiàng)均不相等的數(shù)列滿足：，令.（1）試舉例說(shuō)明存在不少于項(xiàng)的數(shù)列，使得；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：對(duì)恒成立；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，證明：對(duì)恒成立.9．（2021·上海市青浦高級(jí)中學(xué)高三）已知數(shù)列滿足，，．（1）若，，，求x的取值范圍；（2）設(shè)是公比為q的等比數(shù)列，，若，，求q的取值范圍；（3）若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)k的最大值，以及k取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差．10．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，為前n項(xiàng)的和，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求；（3）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.一、單選題1．（2021·北京高考真題）已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（）A．9 B．10 C．11 D．122．（2021·北京高考真題）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為(單位:cm),且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．1603．（2017·上海高考真題）已知、、為實(shí)常數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)，，則“存在，使得、、成等差數(shù)列”的一個(gè)必要條件是（）A． B． C． D．二、填空題4．（2013·上海高考真題（文））在等差數(shù)列{an}中，若a1+a2+a3+a4=30，則a2+a3=___．5．（2021·江蘇高考真題）已知等比數(shù)列的公比為，且，，成等差數(shù)列，則的值是___________.6．（2013·上海高考真題（理））設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列的公差，隨機(jī)變量等可能地取值，則方差__________三、解答題7．（2021·湖南高考真題）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.8．（2021·全國(guó)高考真題（文））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．9．（2021·全國(guó)高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.10．（2021·天津高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明11．（2007·上海高考真題（理））若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足即（是正整數(shù)，且），就稱(chēng)該數(shù)列為“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”。（1）已知數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的對(duì)稱(chēng)數(shù)列，且成等差數(shù)列，，試寫(xiě)出的每一項(xiàng)（2）已知是項(xiàng)數(shù)為的對(duì)稱(chēng)數(shù)列，且構(gòu)成首項(xiàng)為50，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)為何值時(shí)，取到最大值？最大值為多少？（3）對(duì)于給定的正整數(shù)，試寫(xiě)出所有項(xiàng)數(shù)不超過(guò)的對(duì)稱(chēng)數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，試求其中一個(gè)數(shù)列的前