141用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練（人教A版2019選擇性）

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識(shí)歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：直線的方向向量；平面的法向量；線線平行；線面平行；面面平行；線線垂直；線面垂直；面面垂直。課堂知識(shí)小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升知識(shí)歸納一．直線的方向向量和平面的法向量⑴．直線的方向向量：若A、B是直線上的任意兩點(diǎn)，則為直線的一個(gè)方向向量；與平行的任意非零向量也是直線的方向向量.

⑵．平面的法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．②設(shè)平面的法向量為．③求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)．④根據(jù)法向量定義建立方程組.⑤解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.二、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系⑴線線平行。設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即.⑵線面平行。設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明∥，只需證明，即.⑶面面平行。若平面的法向量為，平面的法向量為，要證∥，只需證∥，即證.三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系

⑴線線垂直。設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即.⑵線面垂直①（法一）設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明∥，即.②（法二）設(shè)直線的方向向量是，平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為，若考點(diǎn)講解⑶面面垂直。若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證.考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：直線的方向向量例1．（多選）設(shè)，是空間直線l上的兩點(diǎn)，則直線l的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是（

）A．（2，1，3） B．（4，1，6）C． D．【答案】AC【詳解】設(shè)點(diǎn),，那么，即為空間直線l的一個(gè)方向向量，也是空間直線l的一個(gè)方向向量.故選：AC【方法技巧】利用是空間直線l上的兩點(diǎn)，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，即可求出空間直線l的方向向量..【變式訓(xùn)練】【變式】．若，在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直線的方向向量的定義直接求解.【詳解】因?yàn)?，在直線l上，所以直線l的一個(gè)方向向量為.故選：C.考點(diǎn)2：平面的法向量例2．（多選）已知空間中三點(diǎn)A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），則正確的有（

）A．與是共線向量B．平面ABC的一個(gè)法向量是（1，－1，3）C．與夾角的余弦值是D．與方向相同的單位向量是（1，1，0）【答案】BC【分析】A選項(xiàng)直接寫(xiě)出與，按照共線向量即可判斷；B選項(xiàng)直接計(jì)算法向量即可.C選項(xiàng)通過(guò)夾角公式計(jì)算即可；D選項(xiàng)由單位向量的求法進(jìn)行判斷；【詳解】對(duì)A，，，因?yàn)?，顯然與不共線，A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)平面的法向量，則，令，得，B正確.對(duì)C，，，C正確；對(duì)D，方向相同的單位向量，即，D錯(cuò)誤；故選：BC【方法技巧】設(shè)出法向量，利用數(shù)量積為0列出方程組，求出一個(gè)法向量即可.【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知平面，寫(xiě)出平面的一個(gè)法向量______．【答案】（答案不唯一）【詳解】設(shè)法向量為，則有，令得：，所以故答案為：【變式2】．如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．(1)求平面的一個(gè)法向量；(2)求平面的一個(gè)法向量．【答案】(1)(答案不唯一)(2)(答案不唯一)【分析】（1）由x軸垂直于平面，可得平面的一個(gè)法向量；（2）利用求解平面的法向量的方法進(jìn)行求解.(1)因?yàn)閤軸垂直于平面，所以是平面的一個(gè)法向量．(2)因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為3，，所以M，B，的坐標(biāo)分別為，，，因此，，設(shè)是平面的法向量，則，，所以，取，則，．于是是平面的一個(gè)法向量．考點(diǎn)3：線線平行例3：若直線，的方向向量分別為，，則，的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，所以或與重合.故選：D.【方法技巧】1.建立合適的空間直角坐標(biāo)系2.求出需要直線的方向向量。看方向向量是否共線【變式訓(xùn)練】（多選）已知，，若，則與的值可以是（

）.A．2， B．， C．， D．，2【詳解】由，可設(shè)，即，得，解得，或2，故A，C都符合選項(xiàng).故選：AC考點(diǎn)4：線面平行例4：如圖，四邊形為正方形，平面，，.證明：平面.【答案】證明見(jiàn)解析.判斷為平面的一個(gè)法向量，由，且平面，利用線面平行的判定定理即可證出.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)題意，，，，故有，，所以為平面的一個(gè)法向量.又因?yàn)?，且，即，且平面，故有平?.【方法技巧】建立合適的空間空間直角坐標(biāo)系。求出平面的法向量和直線的方向向量。求出方向向量與法向量的關(guān)系即可【變式訓(xùn)練】【變式】如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)．試用向量的方法證明：平面．證明：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可令，，所以平面.考點(diǎn)5：面面平行例5：在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，DA=2，DC=3，DD1=4，M，N，E，F(xiàn)分別為棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點(diǎn).求證：平面AMN∥平面EFBD.證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，B(2，3，0)，M(1，0，4)，N，E，F(xiàn)(1，3，4).∴，.∴.∴MN∥EF，AM∥BF.∴MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD.又MN∩AM=M，∴平面AMN∥平面EFBD.【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的判定，關(guān)鍵是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)證明線面平行，屬于基礎(chǔ)題.【方法技巧】首先建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法證明直線和平面平行或者兩個(gè)平面的法向量共線最后根據(jù)面面平行判定定理得證.【變式訓(xùn)練】【變式】：如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點(diǎn)，求證：平面∥平面.【詳解】由正方體的棱長(zhǎng)為4，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，,,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即，令，解得所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即，令，解得所以所以∴平面∥平面.考點(diǎn)6：線線垂直例6．如圖，空間四邊形中，.求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】試題分析：利用三個(gè)不共面的向量作為基底，利用空間向量的數(shù)量積為0，證明向量垂直，即線線垂直.試題解析：∵，∴.∵，∴.∴（1）同理:由得（2）由（1）－（2）得∴，∴，∴，∴.【方法技巧】建立合適的空間的空間直角坐標(biāo)系。求的兩條直線的方向向量，利用向量的運(yùn)算即可。【變式訓(xùn)練】【變式1】設(shè)直線的方向向量分別為，若，則實(shí)數(shù)等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，則，解得.故選：B.【變式2】如圖，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)E在側(cè)棱上，點(diǎn)F在側(cè)棱上，且,．求證：；證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得（Ⅰ） 考點(diǎn)7：線面垂直例7.如圖，在正方體中，O是AC與BD的交點(diǎn)，M是的中點(diǎn)．求證：平面MBD．【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，，，由于，所以平面.【方法技巧】①（法一）設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明∥，即.②（法二）設(shè)直線的方向向量是，平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為，若【變式訓(xùn)練】【變式】：若直線l的一個(gè)方向向量為，平面a的一個(gè)法向量為，則直線l與平面的位置關(guān)系是______．【詳解】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為，平面a的一個(gè)法向量為，且，所以與共線，，所以直線l與平面的位置關(guān)系為垂直，故答案為：垂直或考點(diǎn)8：面面垂直例8．如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，是以為直角的等腰直角三角形，平面平面.證明：平面平面.【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】首先取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，得到，根據(jù)平面平面，得到平面，根據(jù)，得到，再以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，，根據(jù)，即可證明平面平面.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，又平面平面，平面平面，所以平面，又，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，，則，，，，，所以，，，設(shè)是平面的法向量，是平面的法向量，則由，，得令，則，即，同理，，令，可得，即.因?yàn)?，所以平面平?【點(diǎn)睛】本題主要考查利用向量法證明面面垂直，同時(shí)考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于簡(jiǎn)單題.【方法技巧】若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證.【變式】如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E在棱上，，D，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，EF與相交于點(diǎn)H．(1)求證：平面ABD．(2)求證：平面平面ABD．證明：（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，所以，，，所以，，所以，，所以，．又，所以平面ABD．(2)由（1）可得，，，，所以，，所以，．所以，．因?yàn)槠矫妫矫嫠云矫嫱砜勺C：平面又，所以平面平面ABD．知識(shí)小結(jié)知識(shí)小結(jié)⑴線線平行。設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即.⑵線面平行。設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明∥，只需證明，即.⑶面面平行。若平面的法向量為，平面的法向量為，要證∥，只需證∥，即證.

（4）線線垂直。設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即.（5）線面垂直①（法一）設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明∥，即.②（法二）設(shè)直線的方向向量是，平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為，若（6）面面垂直。若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證.鞏固提升鞏固提升一、單選題1．“點(diǎn)在直線上，但不在平面內(nèi)”，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示正確的是（

）A．且A?aB．且C．且A?a D．且【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)線關(guān)系和點(diǎn)面關(guān)系判定即可.【詳解】點(diǎn)在直線上，則，因?yàn)辄c(diǎn)不在平面內(nèi)，所以.故選：A.2．已知向量，分別為直線方向向量和平面的法向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】由題意得到，列出方程，求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意得：，所以，解得：故選：C3．已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)，，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】首先求出的坐標(biāo)，依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，則，解得，故選：C.4．在直三棱柱中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖像，根據(jù)直棱柱側(cè)棱垂直于底面即可求解．【詳解】如圖，∵、、均垂直于平面ABC，故選項(xiàng)D中可以作為平面ABC的法向量．故選：D．5．如圖，在長(zhǎng)方體體中，分別是棱的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（

）A．平面B．平面C．D．【答案】A【分析】對(duì)A：由平面平面，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可判斷；對(duì)B：若平面，則，這與和不垂直相矛盾，從而即可判斷；對(duì)C、D：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由與不是共線向量，且，從而即可判斷.【詳解】解：對(duì)A：由長(zhǎng)方體的性質(zhì)有平面平面，又平面，所以平面，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，且，所以與不垂直，所以若平面，則，這與和不垂直相矛盾，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C、D：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，因?yàn)榕c不是共線向量，且，所以與不平行，且與不垂直，故選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.故選：A.6．若直線l的一個(gè)方向向量為，平面α的一個(gè)法向量為，則（）A．l∥α或l?α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交【答案】A【分析】直線的一個(gè)方向向量，平面α的一個(gè)法向量為，計(jì)算數(shù)量積，即可判斷出結(jié)論．【詳解】直線的一個(gè)方向向量為，平面α的一個(gè)法向量為，，，或，故選：A二、多選題7．下列命題是真命題的有（

）A．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)是平面α的法向量，則【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空間位置關(guān)系的向量證明依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則共面，可得A，B，M，N共面，A正確；對(duì)于B，，故，可得l與m垂直，B正確；對(duì)于C，，故，可得l在α內(nèi)或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，易知，故，故，D正確.故選：ABD.8．已知，分別為直線的，方向向量（，不重合），，分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說(shuō)法中，正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量的定義判斷．【詳解】?jī)芍本€的方向向量平行，而兩直線不重合，則它們平行，A錯(cuò)；兩直線的方向向量垂直，則它們也垂直，B正確；兩個(gè)平面的法向量平行，則這兩個(gè)不重合的平面平行，C錯(cuò)．兩個(gè)平面的法向量垂直，則這兩個(gè)平面垂直，D正確．故選：BD．三、填空題9．已知平面的一個(gè)法向量為，直線的一個(gè)方向向量為，且平面，則______.【答案】【分析】根據(jù)可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫妫?，則，解得.故答案為：10．若點(diǎn)，，，則平面ABC的一個(gè)法向量______．【答案】【分析】根據(jù)題意求得向量，結(jié)合法向量的求法，即可求解.【詳解】由題意，點(diǎn)點(diǎn)，，，可得向量，設(shè)平面的法向量為，可得，取，可得，所以平面的一個(gè)法向量為.故答案為：.11．在三棱錐中，，，，，則直線SC與BC的位置關(guān)系是______.【答案】垂直【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AS所在直線分別為y軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AS所在直線分別為y軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則由，，，得，，，，.因?yàn)?，所?故答案為：垂直12．已知，分別是直線，的方向向量，那么“，不平行”是“，異面”的________條件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【分析】根據(jù)直線方向向量的定義和異面直線的定義即可的得到答案.【詳解】若，不平行，則，相交或異面，若，異面，則，不平行.所以“，不平行”是“，異面”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分.四、解答題13．已知長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)S、P在棱、上，且，，點(diǎn)R、Q分別為AB、的中點(diǎn)．求證：直線直線．【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】利用坐標(biāo)法，利用向量共線定理即得.【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以、與的方向?yàn)閤、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．則、、、、、、、，由題意知、、、，∴，．∴，又，不共線，∴.14．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，，，，，Q為PD的中點(diǎn)．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【詳解】證明：由題意，在四棱錐中，平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，．以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，．因?yàn)镼為PD的中點(diǎn)，所以，所以，，所以，所以．15．如圖，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD，B1C的中點(diǎn)，利用