專(zhuān)題14導(dǎo)數(shù)概念及運(yùn)算-2024年數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)重點(diǎn)題型（原卷版）

專(zhuān)題14導(dǎo)數(shù)概念及運(yùn)算一、核心體系導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算))二、關(guān)鍵能力1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，能通過(guò)函數(shù)圖象直觀(guān)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．2．能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y＝c(c為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的導(dǎo)數(shù)．3．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并能利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù)．三、教學(xué)建議從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的必考內(nèi)容．預(yù)測(cè)2022年高考將會(huì)涉及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義．以客觀(guān)題的形式考查導(dǎo)數(shù)的定義，求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義也可能會(huì)作為解答題中的一問(wèn)進(jìn)行考查，試題難度屬中低檔.四、高頻考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1．導(dǎo)數(shù)的概念1．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)定義：稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即.2．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱(chēng)函數(shù)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．(4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．知識(shí)點(diǎn)3．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線(xiàn)y＝f(x)上點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線(xiàn)的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線(xiàn)方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．五、重點(diǎn)題型題型一、求導(dǎo)運(yùn)算例11(2020·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x＋a).若f′(1)＝eq\f(e,4)，則a＝________.例12設(shè)函數(shù)f(x)＝lneq\r(1＋2x).，則f′(x)=例13.已知函數(shù)，則（）A． B． C．6 D．14例14.（2023·陜西咸陽(yáng)）英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（BrookTaylor，1685.8~1731.11）以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)而聞名于世.根據(jù)泰勒公式，我們可知：如果函數(shù)在包含的某個(gè)開(kāi)區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于，有，若取，則，此時(shí)稱(chēng)該式為函數(shù)在處的階泰勒公式.計(jì)算器正是利用這一公式將，，，，等函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù)，通過(guò)計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)值近似求出原函數(shù)的值，如，，則運(yùn)用上面的想法求的近似值為（

）A．0.50 B． C． D．0.56訓(xùn)練題組1.(2018·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝exlnx，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(1)的值為_(kāi)_______.2．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2022(x)＝()A．－sinx－cosx B．sinx－cosxC．－sinx＋cosx D．sinx＋cosx3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f′(x)，且滿(mǎn)足f(x)＝2xf′(1)＋lneq\f(1,x)，則f(1)＝()A.－e B.2 C.－2 D.e考點(diǎn)二、求切線(xiàn)方程例21（2020·新課標(biāo)Ⅰ）函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A.B.C. D.例22（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）曲線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的方程為，．訓(xùn)練題組1.已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，則（）A． B． C． D．2．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則___________.3.已知函數(shù)，點(diǎn)為函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，則到直線(xiàn)距離的最小值為_(kāi)__________.(注)4.（2019·江蘇高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線(xiàn)y=lnx上，且該曲線(xiàn)在點(diǎn)A處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（e，1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____，切線(xiàn)方程為考點(diǎn)三、兩只曲線(xiàn)的公切線(xiàn)問(wèn)題例31.若直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，也是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則．例32（2020·全國(guó)高考真題（理））若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+例33．（2023·湖北省模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)與，若曲線(xiàn)和恰有一個(gè)公切點(diǎn)，則的最小值是．訓(xùn)練題組1.與曲線(xiàn)和都相切的直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則b的值為（）A． B． C． D．2.過(guò)引拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，.若的斜率等于2，則（）A． B． C．1 D．2考點(diǎn)四、切線(xiàn)的探究例41（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若曲線(xiàn)有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)，則a的取值范圍是．例42（2021·全國(guó)高考真題）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，則（）A． B．C． D．例43.已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象在點(diǎn)A(x1，f(x1))與點(diǎn)B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)處的切線(xiàn)互相垂直，則x2－x1的最小值為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2訓(xùn)練題組1．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？家荒＃┤暨^(guò)點(diǎn)可以作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，則的取值范圍是.2.函數(shù)的圖象存在與直線(xiàn)平行的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．3．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）若過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五、切線(xiàn)的綜合應(yīng)用例51.在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，是拋物線(xiàn)上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的圓的圓心為，若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.例52.設(shè)曲線(xiàn)f(x)＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則x1·x2·x3·x4·…·x2017＝A． B． C． D．例53.（2023·山東）若，則.訓(xùn)練題組1.焦點(diǎn)為的拋物線(xiàn)：的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則的取值范圍是___________.2.已知函數(shù)，記是的導(dǎo)函數(shù)，將滿(mǎn)足的所有正數(shù)從小到大排成數(shù)列，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是A．B．C． D．3．（2023·安徽安慶一中）（多選題）已知，是函數(shù)與的圖像的兩條公切線(xiàn)，記的傾斜角為，的傾斜角為，且，的夾角為，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C．若，則 D．與的交點(diǎn)可能在第三象限4．(多選)丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(x)在(a，b)上的導(dǎo)函數(shù)為f″(x)，若在(a，b)上f″(x)<0恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在(a，b)上為“凸函數(shù)”，以下四個(gè)函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函數(shù)的是()A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x考點(diǎn)六：導(dǎo)數(shù)的概念例61.已知函數(shù)，若，則（）A．36 B．12 C．4 D．2例62.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．訓(xùn)練題組1.若，則（）A．B．C．D．2．我國(guó)魏晉時(shí)期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近似計(jì)算，用正n邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國(guó)最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一．借用“以直代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線(xiàn)近似代替在切點(diǎn)附近的曲線(xiàn)來(lái)近似計(jì)算．設(shè)f(x)＝ln(1＋x)，則曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______，用此結(jié)論計(jì)算ln2022－ln2021≈________．鞏固訓(xùn)練一、單選題1．一個(gè)港口的某一觀(guān)測(cè)點(diǎn)的水位在退潮的過(guò)程中，水面高度y(單位：cm)關(guān)于時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)為y＝h(t)＝eq\f(100,2t＋1)，當(dāng)t＝3時(shí)，水面下降的速度為()A．－eq\f(200,49)cm/sB．eq\f(200,49)cm/sC．－eq\f(100,49)cm/s D．eq\f(100,49)cm/s2．設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q＝100－5P，其中Q，P分別表示需求量和價(jià)格，如果商品需求彈性eq\f(EQ,EP)大于1，其中eq\f(EQ,EP)＝－eq\f(Q′,Q)P，Q′是Q的導(dǎo)數(shù)，則商品價(jià)格P的取值范圍是()A．(0,10)B．(10,20)C．(20,30)D．(20，＋∞)3．(2022·內(nèi)江期末)曲線(xiàn)y＝f(x)在x＝1處的切線(xiàn)如圖所示，則f′(1)－f(1)＝()A．0B．2C．－2 D．－14．(2022·青島模擬)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，則f2022(x)＝()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx5．（2021年全國(guó)高中名校名師原創(chuàng)預(yù)測(cè)卷新高考數(shù)學(xué)（第三模擬））已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)相同，則（）A．1 B．2 C．1 D．26．（2020·安徽馬鞍山市·馬鞍山二中高三月考（理））已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，記，．若，則（）A． B． C． D．7．（2020·安徽高三其他模擬（文））記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若存在x0∈R，滿(mǎn)足f(x0)=g(x0)且，則稱(chēng)x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“真實(shí)點(diǎn)”，若函數(shù)與有且只有一個(gè)真實(shí)點(diǎn)"，則實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C． D．8．（2021·遼寧）已知函數(shù)．若曲線(xiàn)存在兩條過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)，則a的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題9．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．f′(3)>f′(2)B．f′(3)<f′(2)C．f(3)－f(2)>f′(3)D．f(3)－f(2)<f′(2)10．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，則稱(chēng)x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”．下列選項(xiàng)中有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnx D．f(x)＝tanx11．（2020·山東高三二模）已知，，記，則A．的最小值為 B．當(dāng)最小時(shí)，C．的最小值為 D．當(dāng)最小時(shí)，某地下車(chē)庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常．排氣4分鐘后測(cè)得車(chē)庫(kù)內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測(cè)得濃度為32ppm．由檢驗(yàn)知該地下車(chē)庫(kù)一氧化碳濃度y（ppm）與排氣時(shí)間t（分鐘）之間存在函數(shù)關(guān)系，其中（R為常數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0．5ppm為正常，人就可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)了，則（）A．B．C．排氣12分鐘后，人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)D．排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)三、填空題13．(2022·南平二模)請(qǐng)寫(xiě)出與曲線(xiàn)f(x)＝x3＋1在點(diǎn)(0,1)處具有相同切線(xiàn)的一個(gè)函數(shù)(非常數(shù)函數(shù))的解析式為g(x)＝________．14．已知曲線(xiàn)在，，兩點(diǎn)處的切線(xiàn)分別與曲線(xiàn)相切于，，則的值為四、解答題15．(1)求曲線(xiàn)f(x)＝x3－3x2＋2x過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程；(2)已知f(x)在R上可導(dǎo)，F(xiàn)(x)＝f(x3