第08講 有理數(shù)的乘方（3種題型）（原卷版）

第08講有理數(shù)的乘方（3種題型）1.掌握有理數(shù)乘方的意義，正確判斷冪的底數(shù)，掌握乘方運(yùn)算的符號法則；2.理解科學(xué)記數(shù)法的表示，會正確算出科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的結(jié)果；一．有理數(shù)的乘方（1）有理數(shù)乘方的定義：求n個相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時，也可以讀作a的n次冪．）（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．（3）方法指引：①有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值；②由于乘方運(yùn)算比乘除運(yùn)算又高一級，所以有加減乘除和乘方運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，再做乘除，最后做加減．二．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負(fù)性．任意一個數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．三．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負(fù)號．一．有理數(shù)的乘方（共11小題）1．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）下列各組數(shù)中，相等的是（）A．+32與+23 B．﹣23與（﹣2）3 C．﹣32與（﹣3）2 D．|﹣3|3與（﹣3）32．（2022秋?鹽都區(qū)期中）計算：＝．3．（2023?南京二模）與（﹣3）2的值相等的是（）A．﹣32 B．32 C．（﹣2）3 D．234．（2022秋?儀征市期末）若一個數(shù)的立方為﹣27，則這個數(shù)是（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．﹣95．（2023春?泰興市校級月考）計算：（）3＝．6．（2022春?灌南縣期中）已知83＝a9＝2b，試求ba的值．7．（2023?海陵區(qū)一模）﹣32的值等于（）A．﹣9 B．9 C．6 D．﹣68．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，A，B，C，D，E是數(shù)軸上5個點(diǎn)，A點(diǎn)表示的數(shù)為9，E點(diǎn)表示的數(shù)為9100，AB＝BC＝CD＝DE，則數(shù)999所對應(yīng)的點(diǎn)在線段上．9．（2023春?宿豫區(qū)期中）已知310＝m5＝（）n，求m+n的值．10．（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）已知|x|＝5，y2＝16，且x+y＞0，那么x﹣y＝．11．（2023春?吳江區(qū)期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因?yàn)?3＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（3，9）＝，（，16）＝2，（﹣2，﹣8）＝；（2）有同學(xué)在研究這種運(yùn)算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：（3n，4n）＝（3，4），他給出了如下的證明：設(shè)（3n，4n）＝x，∴（3n）x＝4n即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）．①若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，請你嘗試運(yùn)用上述這種方法證明a+b＝c；②猜想[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝（，）（結(jié)果化成最簡形式）．二．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方（共7小題）12．（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）如果|a+3|+（b﹣2）2＝0，則（a+b）2022的值是．13．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）已知|ab﹣2|+（b+1）2＝0，則（a﹣b）2023＝．14．（2022秋?射陽縣月考）已知（x﹣3）2+|2x﹣3y+6|＝0，求x﹣y的值．15．（2023春?東臺市期中）若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，則x+y的值為（）A． B． C． D．16．（2022秋?儀征市期末）若|a﹣2|+（b+3）2＝0，則ba＝．17．（2023春?東臺市期中）已知|x+2y+3|與（2x+y）2的值互為相反數(shù)，則x﹣y＝．18．（2022秋?江陰市期中）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代數(shù)式（a+b）2021的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021三．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（共4小題）19．（2023?蘇州）在比例尺為1：8000000的地圖上，量得A，B兩地在地圖上的距離為3.5厘米，即實(shí)際距離為28000000厘米．?dāng)?shù)據(jù)28000000用科學(xué)記數(shù)法可表示為．20．（2023?鎮(zhèn)江一模）2023年2月15日春運(yùn)結(jié)束，春運(yùn)40天，全國發(fā)送旅客約15.95億人次，比去年同期增長50.5%，其中，數(shù)據(jù)15.95億用科學(xué)記數(shù)法可表示為．21．（2023春?吳江區(qū)校級期中）光在真空中的傳播速度約是3×108m/s，光在真空中傳播一年的距離稱為光年．（1）1光年約是多少千米？（一年以3×107s計算）（2）銀河系的直徑達(dá)10萬光年，約是多少千米？（3）如果一架飛機(jī)的飛行速度為1000km/h，那么光的速度是這架飛機(jī)速度的多少倍？（1m/s＝3.6km/h）22．（2022春?儀征市校級月考）某銀行去年新增加居民存款10億元人民幣．（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）（1）經(jīng)測量，100張面值為100元的新版人民幣大約厚0.9厘米，如果將10億元面值為100元的新版人民幣摞起來，大約有多高？（2）一臺激光點(diǎn)鈔機(jī)的點(diǎn)鈔速度是8×104張/時，按每天點(diǎn)鈔5小時計算，如果讓點(diǎn)鈔機(jī)點(diǎn)一遍10億元面值為100元的新版人民幣，點(diǎn)鈔機(jī)大約要點(diǎn)多少天？一、單選題1．（2023秋·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）某省計劃建成畝高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田，其中用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇無錫·七年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┰冢?.2，，0，，中，負(fù)數(shù)的個數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個3．（2022秋·江蘇淮安·七年級校考期中）已知x，y滿足，則的值是（

）A．5 B． C．4 D．14．（2022秋·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期中）下列計算結(jié)果相等為（

）A．和 B．和C．和 D．和5．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級校聯(lián)考期中）的結(jié)果為（）A． B． C． D．6．（2022秋·江蘇南京·七年級校聯(lián)考期末）若x、y、z是三個連續(xù)的正整數(shù)，若x2＝44944，z2＝45796，則y2＝（

）A．45369 B．45371 C．45465 D．46489二、填空題7．（2022秋·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┑箶?shù)等于本身的數(shù)是______，相反數(shù)等于本身的數(shù)是______，平方等于它本身的數(shù)是______，立方等于它本身的數(shù)是______．8．（2022秋·江蘇淮安·七年級淮陰中學(xué)新城校區(qū)?？计谀?shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為____________．9．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）如果ab＝c，那么我們規(guī)定[a，c]＝b．例如：因?yàn)?3＝8，所以[2，8]＝3．若[3，5]＝n，[9，m]＝n；則[3，m+2]＝_______．10．（2022秋·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）下列情景描述的結(jié)果與相符的是________（填寫所有正確選項(xiàng)的序號）①把一張報紙沿同一方向連續(xù)對折5次得到的后折痕條數(shù)；②把一團(tuán)和好的面，揉搓成一根長條后，連續(xù)拉扣5次得到的面條根數(shù)③細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，由2個分裂成4個，以此類推，一個這樣的細(xì)胞分裂5次形成的細(xì)胞個數(shù)．11．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）根據(jù)全國第七次人口普查數(shù)據(jù)顯示，截至2020年11月1日零時，泗陽總?cè)丝诩s1063000人，數(shù)據(jù)1063000用科學(xué)記數(shù)法表示____．12．（2022秋·江蘇淮安·七年級校考期末）已知，則___________．13．（2022秋·江蘇泰州·七年級?？计谀┤?，則的值為___________．14．（2021秋·江蘇無錫·七年級無錫市東林中學(xué)?？计谥校┤襞c互為相反數(shù)，則___________．三、解答題15．（2023春·江蘇泰州·七年級姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？茧A段練習(xí)）記，，，……，（其中為正整數(shù)）(1)計算：；(2)求的值；(3)說明與互為相反數(shù)．16．（2022秋·江蘇鹽城·七年級?？计谥校?，，0，，各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并按從小到大的順序用“<”號連接起來．17．（2022秋·江蘇·七年級期中）【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）記作a?，讀作“a的圈c次方”．（1）【初步探究】直接寫出計算結(jié)果：3③＝，（）⑤＝；（2）關(guān)于除方，下列說法錯誤的是；A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；B．對于任何正整數(shù)n，1?＝1；C.3④＝4③；D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)．（3）【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？Ⅰ．試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝；⑩＝；Ⅱ．想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式等于；Ⅲ．算一算：④⑤⑥＝．18．（2022秋·江蘇泰州·七年級泰州市第二中學(xué)附屬初中校考期中）我們把數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離用表示這兩點(diǎn)的大寫字母一起標(biāo)記，比如，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離記作．如圖：在數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)C表示數(shù)c，且a、b滿足，將數(shù)軸沿點(diǎn)C折疊，點(diǎn)A和點(diǎn)B重合．(1)，，；(2)點(diǎn)P是數(shù)軸上之間的一個動點(diǎn)（不包括），點(diǎn)P表示數(shù)x．現(xiàn)將數(shù)軸沿點(diǎn)P折疊，數(shù)軸上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)記為D．①若點(diǎn)P在之間，則，（用含x的代數(shù)式表示）；②隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，都發(fā)生變化，問和是否存在一定的倍數(shù)關(guān)系？試寫出說明過程．19．（2022秋·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）某公司培養(yǎng)綠藻細(xì)胞制作綠藻粉，該公司制作1克的綠藻粉需要60億個綠藻細(xì)胞．(1)在光照充沛的環(huán)境下，1個綠藻細(xì)胞每20小時可分裂成4個綠藻細(xì)胞，且分裂后的細(xì)胞繼續(xù)分裂．現(xiàn)從1個綠藻細(xì)胞開始培養(yǎng)，經(jīng)過15天后，共分裂成4k個綠藻細(xì)胞，求k的值．(2)已知210＝1024，請判斷（1）問中的4k個綠藻細(xì)胞是否足夠制作10克的綠藻粉，并說明理由．一．選擇題1．下列各組數(shù)中，相等的是（）A．（﹣3）2與﹣32 B．|﹣3|2與﹣32 C．（﹣3）3與﹣33 D．|﹣3|3與﹣332．黨的十八大以來，堅持把教育扶貧作為脫貧攻堅的優(yōu)先任務(wù)．中央財政累計投入“全面改善貧困地區(qū)義務(wù)教育薄弱學(xué)?；巨k學(xué)條件”專項(xiàng)補(bǔ)助資金169200000000元，將169200000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．0.1692×1012 B．1.692×1011 C．1.692×1012 D．16.92×10103．在數(shù)學(xué)中為了書寫簡便，18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉就引進(jìn)了求和符號“∑”，如記＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，（x+k）＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知（[x（x+k）]＝9x2+mx，則m的值是（）A．45 B．63 C．54 D．不確定二．填空題4．2021年5月15日，天問一號探測器成功著陸火星，邁出了我國星際探測征程的重要一步．已知火星與地球的近距離約為5500萬公里，數(shù)字55000000用科學(xué)記數(shù)法表示為．5．計算：﹣（﹣）3＝．6．計算：（﹣5）2＝．7．若有理數(shù)x，y滿足x2＝64，|y|＝10，且|x﹣y|＝x﹣y，則x+y的值為．8．1根1米長的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，…，如此截下去，則第8次剩下的木棒的長為米．三．解答題9．（2020秋?滕州市期末）如果xn＝y(tǒng)，那么我們記為：（