遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

遼寧省重點(diǎn)高中沈陽市郊聯(lián)體2024—2025學(xué)年度上學(xué)期期中考試高三年級試題數(shù)學(xué)命題人：沈陽市第五十六中學(xué)王璇評審題人：康平縣高級中學(xué)何慶超考試時間：120分鐘試卷總分：150分注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息。2.請將答案正確填寫在答題卡上。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個是符合題目要求的。1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為、，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.3.若數(shù)列為等比數(shù)列，則“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件4.設(shè)等差數(shù)列中，，使函數(shù)在時取得極值0，則的值是（）A.2或 B.2 C. D.5.在正四棱柱中，，，是該正四棱柱表面上的一動點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的運(yùn)動軌跡的長度為（）A.16 B. C. D.6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，圖象與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，最高點(diǎn)，且滿足.若將的圖象向左平移1個單位得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，則（）A. B.0 C. D.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，則（）A.0 B.16 C.22 D.328.已知，，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（）A.4 B. C.8 D.二、多選題：本大題共3小題，每題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分。9.下列說法，正確的有（）.A.已知，，則向量在向量上的投影向量是B.函數(shù)，向左平移后所得的函數(shù)為奇函數(shù).C.已知，則D.在中，若，則為等腰三角形10.下列說法正確的是（）.A.函數(shù)在區(qū)間的最小值為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱C.已知函數(shù)，若時，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為11.在邊長為4的正方體中，為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A.與所成角的余弦值為B.三棱錐外接球表面積為C.當(dāng)在線段上運(yùn)動時，的最小值為6D.若為正方體表面上的一個動點(diǎn)，、分別為的三等分點(diǎn)，則的最小值為第Ⅱ卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則______.13.已知一個正四棱柱和某正四棱錐的底面邊長相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則此正四棱錐的體積為______.14.已知梯形中，，，，，，點(diǎn)、在線段上移動，且，則的最小值為______.三、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.（13分）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍.16.（15分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.17.（15分）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)，當(dāng)時，在區(qū)間上，若對于任意兩個自變量的值，都有，求實(shí)數(shù)的范圍.18.（17分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19.（17分）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.（1）求曲線在處的曲率的平方；（2）求正弦曲線曲率的平方的最大值.（3）正弦曲線，若，判斷在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)，并寫出證明過程.2024-2025學(xué)年度上學(xué)期沈陽市重點(diǎn)高中聯(lián)合體期中考試高三數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.B2.A3.D4.C5.B6.D7.B8.C二、多選題：本大題共3小題，每題6分，共18分。9.ACD10.ABD11.AC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12.500013.14.2三、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.（13分）【詳解】（1）由及正弦定理得，……2分故，……4分在中，，，所以，可得，而，故即……6分（2）由正弦定理的得，，因?yàn)椋瑒t，……8分所以，……10分因?yàn)闉殇J角三角形，則，，，故，所以周長的取值范圍……13分16.（15分）當(dāng)時，，解得.……2分因①，當(dāng)時，②①-②得，，即，……4分則，即，，又.……6分所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.，即，……8分（2）由（1）可得：……10分令……13分所以……15分17.（15分）【詳解】（1）由，得，……2分所以，所以，……3分所以，所以，……4分所以曲線在處的切線方程為，即.……6分（2）由（1）可得，，……7分因?yàn)?，所以，所以?dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，……9分所以的最小值.又，，所以，從而的最大值，……11分所以設(shè)，則，由，知，所以單調(diào)遞增，……13分因?yàn)椋?，所以的取值范圍為所以的范圍為…?5分18.（17分）【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示：為棱的中點(diǎn)，，，……2分，，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面.……5分（2），，，，，……6分平面平面，平面平面，平面，平面，……8分又，平面，，而，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，為棱的中點(diǎn)，，（i），，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，，……11分平面的一個法向量為，，根據(jù)圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為……13分（ii）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是，設(shè)，，則，，由（2）知平面的一個法向量為，，……15分點(diǎn)到平面的距離是，.……17分19.（17分）解：（1）因?yàn)?，所以，，…?分所以，……3分（2）由，，則，，令，則，故，……5分設(shè)，則，在時，遞減，所以，最大值為1.……8分（3）因?yàn)椋?，則.……9分①當(dāng)時，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減.所以.所以在上無零點(diǎn).……11分②當(dāng)