第二章（綜合培優(yōu)）直線與圓的方程B卷-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)單元AB卷（人教A版2019選擇性）

第二章直線與圓的方程（B卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若直線經(jīng)過(guò)，，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，直線經(jīng)過(guò)，，則直線的斜率，又由，則，則有，又由，則；故選：．2．已知直線過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線即，故，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為．則解得．點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A．3．過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)與直線垂直的直線為，直線過(guò)點(diǎn)，則，解得：，所以直線方程是.故選：B4．若平面上兩點(diǎn)，，則過(guò)點(diǎn)的直線上滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．與直線的斜率有關(guān)【答案】C【解析】解：由，則，可得，即，可得點(diǎn)軌跡為圓，設(shè)，則，整理可得方程為：，故點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù).由于直線過(guò)定點(diǎn)，且在圓內(nèi)，所以直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故選：C．5．圓心為的圓與直線交于?兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，則圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閳A心為，所以設(shè)圓的方程為：，將直線方程代入圓的方程，得到，設(shè)，則有，因?yàn)椋?，所以，整理得，即，求得，所以圓的方程為：，故選：C.6．已知直線，與兩坐標(biāo)軸分別交于、兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由直線，，可得，，所以當(dāng)?shù)拿娣e，令，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．故選：C7．已知圓，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線交線段為坐標(biāo)原點(diǎn)）的垂直平分線于點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：圓是以為圓心，1為半徑的圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線交線段為坐標(biāo)原點(diǎn)）的垂直平分線于點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)為圓的切線時(shí)，取等號(hào)此時(shí)，，故選：．8．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知是上一點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在上，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，若上存在點(diǎn)，使，則正數(shù)的取值范圍是（）A． B． C．， D．，【答案】C【解析】由題意，直線可化為，令，解得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，由是上一點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在上，所以的圓心為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，上存在點(diǎn)，使，則點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，若兩圓外切，則，解得；若兩圓內(nèi)切，則，解得，所以，即正數(shù)的取值范圍是故選：．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖，，，，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構(gòu)成曲線W.則下述正確的是（）A．曲線W與x軸圍成的面積等于；B．曲線W上有5個(gè)整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；C．所在圓的方程為：；D．與的公切線方程為：.【答案】BCD【解析】如圖所示：連接，過(guò)點(diǎn)作軸于，軸于.則面積，故錯(cuò)誤；曲線W上有5個(gè)整點(diǎn)，故正確；所在圓圓心為，半徑為，故圓的方程為：，正確；設(shè)與的公切線方程為：，根據(jù)圖像知，則，解得，，即，正確；故選：.10．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC，AB＝AC＝4，點(diǎn)B(－1，3)，點(diǎn)C(4，－2)，且其“歐拉線”與圓M：相切，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓M上點(diǎn)到直線的最小距離為2B．圓M上點(diǎn)到直線的最大距離為3C．若點(diǎn)（x，y）在圓M上，則的最小值是D．圓與圓M有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是【答案】ACD【解析】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在線段BC的垂直平分線上，即△ABC的“歐拉線”即為線段BC的垂直平分線，由點(diǎn)B(－1,3)，點(diǎn)C(4,－2)可得線段BC的中點(diǎn)為，且直線的BC的斜率，所以線段BC的垂直平分線的斜率，所以線段BC的垂直平分線的方程為即，又圓M：的圓心為，半徑為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以圓M：，對(duì)于A、B，圓M的圓心到直線的距離，所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，最大距離為，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令即，當(dāng)直線與圓M相切時(shí)，圓心到直線的距離為，解得或，則的最小值是，故C正確；對(duì)于D，圓圓心為，半徑為，若該圓與圓M有公共點(diǎn)，則即，解得，故D正確.故選：ACD.11．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．直線的傾斜角的取值范圍是C．過(guò)，兩點(diǎn)的所有直線的方程為D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】ACD【解析】解：對(duì)于A．當(dāng)，兩直線方程分別為和，此時(shí)也滿足直線垂直，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B．直線的斜率，則，即，則，，故B正確，對(duì)于C．當(dāng)，或，時(shí)直線方程為，或，此時(shí)直線方程不成立，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D．若直線過(guò)原點(diǎn)，則直線方程為，此時(shí)也滿足條件，故D錯(cuò)誤，故選：ACD．12．若將直線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的直線與圓相切，則c的值為（）A．14 B．14 C．6 D．6【答案】AD【解析】將直線即向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的直線方程為，即.由直線與圓相切，得，即，所以或.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若光線由點(diǎn)射到x軸上，反射后過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在直線方程是______.【答案】【解析】解：關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線上，所以，整理得，，故答案為:.14．已知P是直線l:上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C:的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B.則四邊形PACB面積的最小值為_(kāi)__________.【答案】2【解析】由題意得：圓的方程為：∴圓心為，半徑為2，又∵四邊形PACB的面積，所以當(dāng)PC最小時(shí)，四邊形PACB面積最?。畬⒋朦c(diǎn)到直線的距離公式，，故四邊形PACB面積的最小值為2．故答案為：215．對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為_(kāi)___________【答案】【解析】由直線可得，故直線過(guò)定點(diǎn)，由圓C：，可得：，圓心，半徑,由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線與垂直時(shí)，直線所截得弦長(zhǎng)最短，設(shè)圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)為，因?yàn)椋?，解得，故答案為?6．如圖，已知圓是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則矩形的頂點(diǎn)的軌跡方程是___________．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，如圖連接交于，由矩形可知為的中點(diǎn)，，連接，在直角中，，則即，整理得，所以頂點(diǎn)的軌跡方程是故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知點(diǎn)M(3，1)，圓O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4.（1）若直線ax﹣y+4=0與圓O1相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為，求a的值；（2）求過(guò)點(diǎn)M的圓O1的切線方程.【答案】（1）；（2）x=3或3x﹣4y﹣5=0.【解析】（1）根據(jù)題意，圓O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4，圓心為(1，2)，半徑r=2，若弦AB的長(zhǎng)為，則圓心到直線ax﹣y+4=0的距離d=，又由圓心為(1，2)，直線ax﹣y+4=0，則有d=，解得；（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，其方程為x=3，與圓相切，符合條件，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y﹣1=k(x﹣3)，圓心到它的距離，解得，切線方程為3x﹣4y﹣5=0，所以過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程為x=3或3x﹣4y﹣5=0.18．已知直線：和：的交點(diǎn)為.（1）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線：平行，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求的面積（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】（1）；（2）.【解析】1）由，求得，可得直線：和：的交點(diǎn)為.由于直線的斜率為，故過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為，即.（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由于直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，故，，且點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線的方程，∴，且，求得.則故的面積為.19．已知圓C過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上.（1）若圓C被直線截得的弦長(zhǎng)為，求圓C的方程；（2）當(dāng)圓C面積最小時(shí)，求圓C的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵圓心在直線上，∴，即圓心.又圓C過(guò)點(diǎn)，故它的半徑為,且圓心C到直線的距離為.若圓C被直線截得的弦長(zhǎng)為，則，求得，故圓心、半徑，故圓C的方程為.（2）由于圓C的半徑為，故當(dāng)半徑最小時(shí)，圓的面積最小，故當(dāng)時(shí)，圓的面積最小.此時(shí)，圓心，半徑為，圓的方程為.20．已知圓，直線，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)為、．（1）若，求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)作直線與圓交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（3）求證：經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的圓與圓的公共弦必過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）或；（2）或；（3）【解析】試題分析：解：（Ⅰ）由條件可知，設(shè)，則解得或，所以或(Ⅱ)由條件可知圓心到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，解得或所以直線的方程為或（III）設(shè)，過(guò)、、三點(diǎn)的圓即以為直徑的圓，其方程為整理得與相減得即由得所以兩圓的公共弦過(guò)定點(diǎn)21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長(zhǎng)為2，寬為1，.邊分別在軸.軸的正半軸上，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）。將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上。（1）若折痕所在直線的斜率為，試求折痕所在直線的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求折痕長(zhǎng)的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，折痕為線段，設(shè)，試求的最大值?！敬鸢浮浚?）；（2）；（3）【解析】(1)①當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合,折痕所在的直線方程②當(dāng)時(shí)，將矩形折疊后點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)記為，所以與關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，有故點(diǎn)坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)（線段的中點(diǎn)）為折痕所在的直線方程，即由①②得折痕所在的直線方程為：（2）當(dāng)時(shí)，折痕的長(zhǎng)為2;當(dāng)時(shí)，折痕直線交于點(diǎn)，交軸于∵∴折痕長(zhǎng)度的最大值為。而,故折痕長(zhǎng)度的最大值為（3）當(dāng)時(shí)，折痕直線