四川省綿陽(yáng)市三臺(tái)中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

三臺(tái)中學(xué)2023級(jí)高二上期第一次學(xué)月考試數(shù)學(xué)命題：審題：本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷共4頁(yè)；答題卡共6頁(yè)．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，同時(shí)用2B鉛筆將考號(hào)準(zhǔn)確填涂在“考號(hào)”欄目?jī)?nèi)．2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效．3.考試結(jié)束后將答題卡收回．一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每個(gè)小題只有一個(gè)是符合要求的）1.已知空間四邊形ABCD中，，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的加減法法則，通過(guò)對(duì)空間四邊形的邊向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化和運(yùn)算來(lái)求解.【詳解】因?yàn)樵诳臻g四邊形中，，這是根據(jù)向量加法的三角形法則得到的.，所以，而，即，所以.代入已知向量進(jìn)行計(jì)算得到,.則.故選：B.2.某飲料生產(chǎn)企業(yè)推出了一種有一定幾率中獎(jiǎng)的新飲料．甲?乙兩名同學(xué)都購(gòu)買了這種飲料，設(shè)事件為“甲?乙都中獎(jiǎng)”，則與互為對(duì)立事件的是（）A.甲?乙恰有一人中獎(jiǎng) B.甲?乙都沒中獎(jiǎng)C.甲?乙至少有一人中獎(jiǎng) D.甲?乙至多有一人中獎(jiǎng)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的概念判斷即可.【詳解】“甲、乙恰有一人中獎(jiǎng)”與互斥但不對(duì)立，故A錯(cuò)誤；“甲、乙都沒中獎(jiǎng)”與互斥但不對(duì)立，故B錯(cuò)誤；“甲、乙至少有一人中獎(jiǎng)”與不互斥，故C錯(cuò)誤；“甲、乙至多有一人中獎(jiǎng)”與互斥且對(duì)立，故D正確．故選：D.3.某公司有員工30名，其中包含經(jīng)理一名、保潔一名，為了調(diào)查該公司員工的工資情況，擬采用以下兩種方案：方案一，調(diào)查公司全部30名員工的工資情況；方案二，收入最高的經(jīng)理和收入最低的保潔的工資不納入調(diào)查范圍，只調(diào)查其他28名員工的工資情況．這兩種調(diào)查方案得到的數(shù)據(jù)，一定相同的是（）A.中位數(shù) B.平均數(shù) C.極差 D.方差【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)和方差、極差的定義進(jìn)行判斷，即可求解.【詳解】由題意，公司30名員工的工資情況組成30個(gè)數(shù)據(jù)，按大小順序排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)，去掉收入最高的經(jīng)理和收入最低的保潔的工資，即去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，剩余28個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)還是原來(lái)的兩個(gè)數(shù)，所以這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)不變，即中位數(shù)不變；平均數(shù)是與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系的量，方差也是與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系的量，所以會(huì)變化；極差是與最大值和最小值有關(guān)系的量，所以也會(huì)發(fā)生變化.故選：A.4.天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為．我們通過(guò)設(shè)計(jì)模擬實(shí)驗(yàn)的方法求概率，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之間的隨機(jī)數(shù)：若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，則這三天中至少有兩天下雨的概率近似為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由樣本數(shù)據(jù)，利用頻率近似估計(jì)概率.【詳解】設(shè)事件“三天中至少有兩天下雨”，20個(gè)隨機(jī)數(shù)中，至少有兩天下雨有，即事件發(fā)生了13次，用頻率估計(jì)事件的概率近似為．故選：D．5.如圖，已知正方形ABCD和正方形ADEF的邊長(zhǎng)均為6，且它們所在的平面互相垂直，O是BE的中點(diǎn)，，則線段OM的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，再利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長(zhǎng).【詳解】由題意建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，即線段的長(zhǎng)為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立合適的空間直角坐標(biāo)系，并求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，考查空間想象能力，屬于中等題.6.甲中學(xué)的女排和乙中學(xué)的女排兩隊(duì)進(jìn)行比賽，在一局比賽中甲中學(xué)女排獲勝的概率是，沒有平局．若采用三局兩勝制，即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束，則甲中學(xué)的女排獲勝的概率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用互斥事件以及獨(dú)立事件的概率公式求解，即可求得答案.【詳解】甲中學(xué)的女排要獲勝，必須贏得其中兩局，可以是第一、二局，也可以是第一、三局，也可以是第二、三局．故甲中學(xué)的女排獲勝的概率,故選：D7.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡的分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者的崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不一定正確的是（

）A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B.90后互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)90后總?cè)藬?shù)的20％C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多【答案】D【解析】【分析】利用整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】選項(xiàng)A；由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56％，故A正確；選項(xiàng)B：設(shè)整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)總?cè)藬?shù)為a，90后從事技術(shù)崗位人數(shù)為56％×39.6％a，而90后總?cè)藬?shù)的20％為56％×20％a，故B正確；選項(xiàng)C：設(shè)整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)總?cè)藬?shù)為a，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的90后人數(shù)為56％a×17％=9.52％a，超過(guò)80前的人數(shù)6％a，且80前中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)比例未知，故C正確；選項(xiàng)D：設(shè)整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)總?cè)藬?shù)為a，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的90后人數(shù)為56%a×39.6%=22.176%a，小于80后的人數(shù)38％a，但80后中從事技術(shù)崗位的人數(shù)比例未知，故D錯(cuò)誤．故選：D．8.四名數(shù)學(xué)老師相約到定點(diǎn)醫(yī)院接種新冠疫苗，若他們一起登記后，等待電腦系統(tǒng)隨機(jī)叫號(hào)進(jìn)入接種室，則甲不被第一個(gè)叫到，且乙、丙被相鄰叫到的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】4人總順序有24種，然后按甲第二個(gè)、第三個(gè)、第四個(gè)被叫到號(hào)求出相應(yīng)的順序數(shù)，得出符合條件的順序數(shù)后可得概率．【詳解】四名教師總的進(jìn)入注射室的順序有種，則：①甲第二個(gè)被叫到，且乙、丙被相鄰叫到的方法數(shù)有種；②甲第三個(gè)被叫到，且乙、丙被相鄰叫到的方法數(shù)有種；③甲第四個(gè)被叫到，且乙、丙被相鄰叫到的方法數(shù)有種，所以“甲不被第一個(gè)叫到，且乙、丙被相鄰叫到”的概率為.故選：D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)符合要求的選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為1，則下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為6B.數(shù)據(jù)，的方差為9C.數(shù)據(jù)的方差為1D.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于AB：根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)分析求解；對(duì)于CD：根據(jù)平均數(shù)、方差公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為1，對(duì)于選項(xiàng)A：所以數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：數(shù)據(jù)，的方差為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以方差為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由，，得，可得，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故D正確；故選：BD.10.下列命題中為真命題的有（）A.若，都是直線l的方向向量，則必有B.O為空間任意一點(diǎn)，若，且A，B，C，P四點(diǎn)共面，則C.若為不共線的非零向量，則D.若向量是三個(gè)不共面的向量，且滿足等式則【答案】CD【解析】【分析】本題主要涉及向量的基本概念和性質(zhì)，包括直線方向向量、四點(diǎn)共面的向量關(guān)系、向量平行以及向量不共面時(shí)的線性組合等知識(shí).通過(guò)逐一分析每個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)相應(yīng)的向量知識(shí)來(lái)判斷其真假性.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若都是直線的方向向量，則與是平行向量，平行向量不一定相等，它們可能方向相同但模長(zhǎng)不同.所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，四點(diǎn)共面，則，且.已知，則.計(jì)算，，，.所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，已知.對(duì)于和，設(shè)，則.可得方程組，由得，代入，，成立.所以，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄渴侨齻€(gè)不共面的向量，若，根據(jù)空間向量基本定理，只有.所以D選項(xiàng)正確.故選：CD.11.如圖，在四面體中，分別是的中點(diǎn)，相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.平面B.C.D.若分別為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷A；對(duì)于B，將與的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為與的關(guān)系進(jìn)行判斷；根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可判斷C；通過(guò)分析得到，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；由A可得，，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以.由題中條件得不到與垂直，所以也得不到與垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，,故C正確；對(duì)于D，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以所以為的中點(diǎn)，故D正確.故選:ACD.三、填空題（本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12.某科技攻關(guān)青年團(tuán)隊(duì)共有8人，他們的年齡分別是29，35，40，36，38，30，32，41，則這8人年齡的25%分位數(shù)是______．【答案】31【解析】【分析】先排序，再計(jì)算，然后可得.【詳解】把這8個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列可得：29，30，32，35，36，38，40，41，計(jì)算8×25%＝2，所以這8人年齡的25%分位數(shù)是．故答案為：3113.如圖，已知空間四邊形，，分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，設(shè)，，，則向量___________.（用，，表示）【答案】【解析】【分析】由已知，，根據(jù)向量線性運(yùn)算法則，結(jié)合圖形運(yùn)算可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，故，所以，因?yàn)?，分別是邊，的中點(diǎn)，所以，，所以，因?yàn)?，，，所?故答案為：.14.某武警大隊(duì)共有第一、第二、第三三支中隊(duì)，人數(shù)分別為300，300，400.為了檢測(cè)該大隊(duì)的射擊水平，從整個(gè)大隊(duì)用按比例分配分層隨機(jī)抽樣共抽取了30人進(jìn)行射擊考核，統(tǒng)計(jì)得三個(gè)中隊(duì)參加射擊比賽的平均環(huán)數(shù)分別為8.8，8.5，8.1，估計(jì)該武警大隊(duì)隊(duì)員的平均射擊水平為_____________環(huán).【答案】8.43【解析】【分析】求出三支中隊(duì)分別抽取的人數(shù)，利用平均數(shù)的公式求解即可.【詳解】第一、第二、第三三支中隊(duì)的人數(shù)之比為，故抽取的30人中，第一、第二、第三三支中隊(duì)的人數(shù)分別為，，，故估計(jì)該武警大隊(duì)隊(duì)員的平均射擊水平為.故答案為：8.43四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.）15.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為；再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，記為，其中.（1）試列舉出由樣本點(diǎn)組成的樣本空間，并指出樣本空間所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若，則稱甲、乙“心有靈犀”，求甲、乙二人“心有靈犀”的概率.【答案】（1）答案見解析，25（2）【解析】【分析】（1）用列舉法列出樣本空間，即可得解；（2）記甲、乙二人“心有靈犀”為事件，得到滿足事件的樣本點(diǎn)數(shù)，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.【小問1詳解】由題意得，，共個(gè)樣本點(diǎn).【小問2詳解】記甲、乙二人“心有靈犀”的為事件，則，共個(gè)樣本點(diǎn)，，故甲、乙二人“心有靈犀”的概率為.16.某工廠生產(chǎn)一種汽車元件，該元件是經(jīng)過(guò)A，B，C三道工序加工而成的，A，B，C三道工序加工的元件合格率分別為，已知每道工序的加工都相互獨(dú)立，三道工序加工都合格的元件為一等品；恰有兩道工序加工合格的元件為二等品；其他的為廢品，不進(jìn)入市場(chǎng)．（1）生產(chǎn)一個(gè)元件，求該元件為二等品的概率；（2）從該工廠生產(chǎn)的這種元件中任意取出3個(gè)元件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有2個(gè)元件是一等品的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)事件的獨(dú)立性、互斥事件的概率運(yùn)算公式，即可求得答案；（2）求出生產(chǎn)一個(gè)元件為一等品的概率，至少有2個(gè)元件是一等品分為2減為一等品和三件為一等品兩種情況，即可得解.【詳解】解：（1）不妨設(shè)一個(gè)元件經(jīng)A、B、C三道工序加工合格的事件分別為A、B、C，則，設(shè)事件D為“生產(chǎn)一個(gè)元件，該元件為二等品”，根據(jù)事件的獨(dú)立性、互斥事件的概率運(yùn)算公式，所以生產(chǎn)一個(gè)元件，該元件為二等品的概率為．（2）生產(chǎn)一個(gè)元件，該元件為一等品的概率．設(shè)事件E為“任意取出3個(gè)元件進(jìn)行檢測(cè)，至少有2個(gè)元件是一等品”，則．所以至少有2個(gè)元件是一等品的概率為．17.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn).（1）求證:；（2）求EF與CG所成角的余弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算即可;（2）求出,，借助向量夾角余弦值公式計(jì)算即可.【小問1詳解】建立如圖示的空間直角坐標(biāo)系：由題意，，，，，，.所以，.則，故，則.【小問2詳解】,設(shè)EF與CG所成角為，則.即EF與CG所成角的余弦值是.18.某居民小區(qū)為了提高小區(qū)居民的讀書興趣，特舉辦讀書活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站.由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)讀書者進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天中40名讀書者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，40,50，50,60，60,70，，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計(jì)這40名讀書者中年齡分布在區(qū)間上的人數(shù)；（2）估計(jì)這40名讀書者年齡的眾數(shù)和第80百分位數(shù)；（3）從年齡在區(qū)間上的讀書者中任選兩名，求這兩名讀書者年齡在區(qū)間上的人數(shù)恰為1的概率.【答案】（1）30（2）眾數(shù)為55；第80百分位數(shù)為66（3）【解析】【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖求出頻率，再根據(jù)頻數(shù)的計(jì)算方法可得答案；（2）最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)；根據(jù)百分位數(shù)的定義可求得樣本的第80百分位數(shù)；（3）計(jì)算抽取的人中，位于的有2人，記為，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的有4人，記為，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，年齡在區(qū)間上的頻率為：所以40名讀書者中年齡分布在區(qū)間上的人數(shù)為：【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知，40名讀書者年齡的眾數(shù)約為55；年齡在區(qū)間上的頻率為：年齡在區(qū)間上的頻率為：，故第80百分位數(shù)位于60,70之間，設(shè)為，所以，解得，所以這40名讀書者年齡的第80百分位數(shù)約為66.【小問3詳解】由頻率分布直方圖知：年齡在區(qū)間上的讀書者有人，分別記為，年齡在區(qū)間上的讀書者有人，分別記為，從上述6人中選出2人，則有，共15種情況；其中恰有1人在的情況有，共8種情況；所以恰有1人在的概率為.19.某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布