專題7.6 雙星、三星問題-2024-2025學年高一物理舉一反三系列（人教版2019必修第二冊）（含答案）

專題7.6雙星、三星問題-2024-2025學年高一物理舉一反三系列（人教版2019必修第二冊）（含答案）專題7.6雙星、三星問題【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1雙星中的對比問題】 【題型2雙星中的定量運算問題】 【題型3三星問題】 【題型4四星、綜合問題】 【題型5聯(lián)系實際問題】 【題型1雙星中的對比問題】【例1】如圖所示，某雙星系統(tǒng)的兩星A和B各自繞其連線上的O點做勻速圓周運動，已知A星和B星的質量分別為m1和m2，相距為d.下列說法正確的是()A．A星的軌道半徑為eq\f(m1,m1＋m2)dB．A星和B星的線速度之比為m1∶m2C．若在O點放一個質點，它受到的合力一定為零D．若A星所受B星的引力可等效為位于O點處質量為m′的星體對它的引力，則m′＝eq\f(m23,m1＋m22)【變式1-1】(多選)天文學家通過觀測兩個黑洞并合的事件，間接驗證了引力波的存在。該事件中甲、乙兩個黑洞的質量分別為太陽質量的36倍和29倍，假設這兩個黑洞繞它們連線上的某點做圓周運動，且兩個黑洞的間距緩慢減小。若該雙星系統(tǒng)在運動過程中，各自質量不變且不受其他星系的影響，則關于這兩個黑洞的運動，下列說法正確的是()A．甲、乙兩個黑洞運行的線速度大小之比為36∶29B．甲、乙兩個黑洞運行的角速度大小始終相等C．隨著甲、乙兩個黑洞的間距緩慢減小，它們運行的周期也在減小D．甲、乙兩個黑洞做圓周運動的向心加速度大小始終相等【變式1-2】(多選)根據(jù)科學家們的推測，雙星的運動是產(chǎn)生引力波的來源之一。假設宇宙中有一由a、b兩顆星組成的雙星系統(tǒng)，這兩顆星繞它們連線上的某一點在萬有引力作用下做勻速圓周運動，測得a星的周期為T，a、b兩星間的距離為l，軌道半徑之差為Δr，已知a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，則()A．b星的周期為eq\f(l－Δr,l＋Δr)TB．b星的線速度大小為eq\f(πl(wèi)－Δr,T)C．a(chǎn)、b兩星的軌道半徑之比為eq\f(l,l－Δr)D．a(chǎn)、b兩星的質量之比為eq\f(l－Δr,l＋Δr)【變式1-3】引力波的發(fā)現(xiàn)證實了愛因斯坦100年前所做的預測。1974年發(fā)現(xiàn)了脈沖雙星間的距離在減小就已間接地證明了引力波的存在。如果將該雙星系統(tǒng)簡化為理想的圓周運動模型，如圖所示，兩星球在相互的萬有引力作用下，繞O點做勻速圓周運動。由于雙星間的距離減小，則()A．兩星的運動周期均逐漸減小B．兩星的運動角速度均逐漸減小C．兩星的向心加速度均逐漸減小D．兩星的運動線速度均逐漸減小【題型2雙星中的定量運算問題】【例2】(多選)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波．根據(jù)科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈．將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星()A．質量之積 B．質量之和C．速率之和 D．各自的自轉角速度【變式2-1】(多選)如圖所示，雙星系統(tǒng)由質量不相等的兩顆恒星P、Q組成，P、Q質量分別為M、m(M>m)，它們圍繞共同的圓心O做勻速圓周運動。從地球上A點看過去，雙星運動的平面與AO垂直，AO距離恒為L。觀測發(fā)現(xiàn)質量較大的恒星P做圓周運動的周期為T，運動范圍的最大張角為Δθ(單位是弧度)。已知引力常量為G，Δθ很小，可認為sinΔθ＝tanΔθ＝Δθ，忽略其他星體對雙星系統(tǒng)的作用力。則()A．恒星Q的角速度為eq\f(2π,T)eq\r(\f(M,m))B．恒星Q的軌道半徑為eq\f(ML·Δθ,2m)C．恒星Q的線速度為eq\f(πML·Δθ,mT)D．兩顆恒星的質量m和M滿足的關系式為eq\f(m3,m＋M2)＝eq\f(π2L·Δθ3,2GT2)【變式2-2】銀河系的恒星中大約四分之一是雙星，某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動．由天文觀察測得其運動周期為T，S1到C點的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G.由此可求出S2的質量為()A.eq\f(4π2r2r－r1,GT2) B.eq\f(4πr13,GT2)C.eq\f(4π2r3,GT2) D.eq\f(4π2r2r1,GT2)【變式2-3】雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T，經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為()A.eq\r(\f(n3,k2))TB.eq\r(\f(n3,k))TC.eq\r(\f(n2,k))TD.eq\r(\f(n,k))T【題型3三星問題】【例3】(多選)宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中一種三星系統(tǒng)如圖所示．三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R.忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G，則()A．每顆星做圓周運動的線速度大小為eq\r(\f(Gm,R))B．每顆星做圓周運動的角速度為eq\r(\f(3Gm,R3))C．每顆星做圓周運動的周期為2πeq\r(\f(R3,3Gm))D．每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關【變式3-1】宇宙空間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為L。忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G。下列說法正確的是()A．每顆星做圓周運動的線速度為eq\r(\f(3Gm,L3))B．每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關C．若距離L和每顆星的質量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍D．若距離L和每顆星的質量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍【變式3-2】宇宙空間有一種由三顆星A、B、C組成的三星體系，它們分別位于等邊三角形ABC的三個頂點上，繞一個固定且共同的圓心O做勻速圓周運動，軌道如圖中實線所示，其軌道半徑rA<rB<rC.忽略其他星體對它們的作用，可知這三顆星體()A．線速度大小關系是vA>vB>vCB．加速度大小關系是aA>aB>aCC．質量大小關系是mA>mB>mCD．所受萬有引力合力的大小關系是FA＝FB＝FC【變式3-3】由三顆星體構成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運動形式，三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運動(圖為A、B、C三顆星體質量不相同時的一般情況)．若A星體質量為2m、B、C兩星體的質量均為m，三角形的邊長為a，求：(1)A星體所受合力大小FA；(2)B星體所受合力大小FB；(3)C星體的軌道半徑RC；(4)三星體做圓周運動的周期T.【題型4四星、綜合問題】【例4】宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。設四星系統(tǒng)中每個星體的質量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上。已知引力常量為G。關于宇宙四星系統(tǒng)，下列說法錯誤的是()A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動B．四顆星的軌道半徑均為eq\f(a,2)C．四顆星表面的重力加速度均為eq\f(Gm,R2)D．四顆星的周期均為2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))【變式4-1】(多選)如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質量均為m的星體位于邊長為L的正方形四個頂點，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點做勻速圓周運動，忽略其他星體對它們的作用，引力常量為G.下列說法中正確的是()A．星體做勻速圓周運動的圓心不一定是正方形的中心B．每個星體做勻速圓周運動的角速度均為eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))C．若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的兩倍D．若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的線速度大小不變【變式4-2】宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用．設四星系統(tǒng)中每個星體的質量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上．已知引力常量為G.關于四星系統(tǒng)，下列說法正確的是()A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動B．四顆星的軌道半徑均為eq\f(a,2)C．四顆星表面的重力加速度均為eq\f(Gm,R2)D．四顆星的周期均為2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))【變式4-3】(多選)太空中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式(如圖)：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行．設這三顆星的質量均為M，并且兩種系統(tǒng)的運動周期相同，則()A．直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同B．直線三星系統(tǒng)的運動周期T＝4πReq\r(\f(R,5GM))C．三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離L＝eq\r(3,\f(12,5))RD．三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R))【題型5聯(lián)系實際問題】【例5】經(jīng)過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形式和分布情況有了較深刻的認識，雙星系統(tǒng)由兩個星體組成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠，可以當成孤立系統(tǒng)來處理．現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．(1)計算出該雙星系統(tǒng)的運動周期T；(2)若該實驗中觀測到的運動周期為T觀測，且T觀測∶T＝1∶eq\r(N)(N>1)．為了理解T觀測與T的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質．作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布這種暗物質．若不考慮其他暗物質的影響，根據(jù)這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度．【變式5-1】2012年7月，一個國際研究小組借助于智利的甚大望遠鏡，觀測到了一組雙星系統(tǒng)，它們繞兩者連線上的某點O做勻速圓周運動，如圖2所示．此雙星系統(tǒng)中體積較小成員能“吸食”另一顆體積較大星體表面物質，達到質量轉移的目的．假設在演變的過程中兩者球心之間的距離保持不變，則在最初演變的過程中()A．它們做圓周運動的萬有引力保持不變B．它們做圓周運動的角速度不斷變大C．體積較大星體圓周運動軌跡半徑變大，線速度也變大D．體積較大星體圓周運動軌跡半徑變大，線速度變小【變式5-2】雙星系統(tǒng)中兩個星球A、B的質量都是m，相距L，它們正圍繞兩者連線上某一點做勻速圓周運動。實際觀測該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學理論計算出的周期理論值T0，且eq\f(T,T0)＝k(k＜1)，于是有人猜測這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星球C的影響，并認為C位于A、B的連線正中間，相對A、B靜止，則A、B組成的雙星系統(tǒng)周期理論值T0及C的質量分別為()A．2πeq\r(\f(L2,2Gm))，eq\f(1＋k2,4k)m B．2πeq\r(\f(L3,2Gm))，eq\f(1－k2,4k)mC．2πeq\r(\f(2Gm,L3))，eq\f(1＋k2,4k)m D．2πeq\r(\f(L3,2Gm))，eq\f(1－k2,4k2)m【變式5-3】科學家測得天琴座中有一個密近雙星系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)的兩顆恒星A、B相距較近，巨大的引力作用使原本較重的A星上的物質不斷流向B星，若演變過程中A、B兩星間距保持不變，A、B兩星組成的系統(tǒng)看成孤立系統(tǒng)，則下列判斷正確的是()A.雙星系統(tǒng)的周期變大 B.雙星間的萬有引力保持不變C.B星的線速度不斷減小 D.B星的加速度不斷增大

參考答案【題型1雙星中的對比問題】【例1】如圖所示，某雙星系統(tǒng)的兩星A和B各自繞其連線上的O點做勻速圓周運動，已知A星和B星的質量分別為m1和m2，相距為d.下列說法正確的是()A．A星的軌道半徑為eq\f(m1,m1＋m2)dB．A星和B星的線速度之比為m1∶m2C．若在O點放一個質點，它受到的合力一定為零D．若A星所受B星的引力可等效為位于O點處質量為m′的星體對它的引力，則m′＝eq\f(m23,m1＋m22)答案D解析雙星系統(tǒng)中，兩顆星球屬于同軸轉動模型，角速度相等，周期相等，根據(jù)萬有引力提供向心力可得eq\f(Gm1m2,d2)＝m1ω2rA＝m2ω2rB，又有d＝rA＋rB，解得rA＝eq\f(m2d,m1＋m2)，rB＝eq\f(m1d,m1＋m2)，故A錯誤；由v＝ωr得A星和B星線速度之比eq\f(vA,vB)＝eq\f(rA,rB)＝eq\f(m2,m1)，故B錯誤；在O點放一個質點，設質量為m，受到B的萬有引力FB＝eq\f(Gm2m,rB2)，受到A的萬有引力FA＝eq\f(Gm1m,rA2)，因為eq\f(m1,m2)≠eq\f(rA2,rB2)，可得FA≠FB，故質點受到的合力不為零，故C錯誤；A星所受B星的引力可等效為位于O點處質量為m′的星體對它的引力，由萬有引力定律可得eq\f(Gm1m2,d2)＝eq\f(Gm1m′,rA2)，解得m′＝eq\f(rA2,d2)m2＝eq\f(m23,m1＋m22)，故D正確．【變式1-1】(多選)天文學家通過觀測兩個黑洞并合的事件，間接驗證了引力波的存在。該事件中甲、乙兩個黑洞的質量分別為太陽質量的36倍和29倍，假設這兩個黑洞繞它們連線上的某點做圓周運動，且兩個黑洞的間距緩慢減小。若該雙星系統(tǒng)在運動過程中，各自質量不變且不受其他星系的影響，則關于這兩個黑洞的運動，下列說法正確的是()A．甲、乙兩個黑洞運行的線速度大小之比為36∶29B．甲、乙兩個黑洞運行的角速度大小始終相等C．隨著甲、乙兩個黑洞的間距緩慢減小，它們運行的周期也在減小D．甲、乙兩個黑洞做圓周運動的向心加速度大小始終相等[解析]由牛頓第三定律知，兩個黑洞做圓周運動的向心力大小相等，它們的角速度ω相等，由Fn＝mω2r可知，甲、乙兩個黑洞做圓周運動的半徑與質量成反比，由v＝ωr知，線速度之比為29∶36，A錯誤，B正確；設甲、乙兩個黑洞質量分別為m1和m2，軌道半徑分別為r1和r2，有eq\f(Gm1m2,r1＋r22)＝m1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r1，eq\f(Gm1m2,r1＋r22)＝m2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r2，聯(lián)立可得eq\f(T2,4π2)＝eq\f(r1＋r23,Gm1＋m2)，C正確；甲、乙兩個黑洞做圓周運動的向心力大小相等，由牛頓第二定律a＝eq\f(F,m)可知，甲、乙兩個黑洞的向心加速度大小a1∶a2＝29∶36，D錯誤。[答案]BC【變式1-2】(多選)根據(jù)科學家們的推測，雙星的運動是產(chǎn)生引力波的來源之一。假設宇宙中有一由a、b兩顆星組成的雙星系統(tǒng)，這兩顆星繞它們連線上的某一點在萬有引力作用下做勻速圓周運動，測得a星的周期為T，a、b兩星間的距離為l，軌道半徑之差為Δr，已知a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，則()A．b星的周期為eq\f(l－Δr,l＋Δr)TB．b星的線速度大小為eq\f(πl(wèi)－Δr,T)C．a(chǎn)、b兩星的軌道半徑之比為eq\f(l,l－Δr)D．a(chǎn)、b兩星的質量之比為eq\f(l－Δr,l＋Δr)解析：選BD兩顆星繞它們連線上的某一點在萬有引力作用下做勻速圓周運動，所以兩顆星的周期相等，則Tb＝Ta＝T，A錯誤。a、b兩星間的距離為l，軌道半徑之差為Δr，已知a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，則ra＋rb＝l、ra－rb＝Δr，所以ra＝eq\f(l＋Δr,2)、rb＝eq\f(l－Δr,2)。a、b兩星的軌道半徑之比eq\f(ra,rb)＝eq\f(l＋Δr,l－Δr)，b星的線速度大小vb＝eq\f(2πrb,T)＝eq\f(πl(wèi)－Δr,T)，B正確，C錯誤。兩顆星繞它們連線上的某一點在萬有引力作用下做勻速圓周運動，則Geq\f(mamb,l2)＝maraeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2＝mbrbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，所以a、b兩星的質量之比eq\f(ma,mb)＝eq\f(rb,ra)＝eq\f(l－Δr,l＋Δr)，D正確?！咀兪?-3】引力波的發(fā)現(xiàn)證實了愛因斯坦100年前所做的預測。1974年發(fā)現(xiàn)了脈沖雙星間的距離在減小就已間接地證明了引力波的存在。如果將該雙星系統(tǒng)簡化為理想的圓周運動模型，如圖所示，兩星球在相互的萬有引力作用下，繞O點做勻速圓周運動。由于雙星間的距離減小，則()A．兩星的運動周期均逐漸減小B．兩星的運動角速度均逐漸減小C．兩星的向心加速度均逐漸減小D．兩星的運動線速度均逐漸減小解析：選A雙星做勻速圓周運動具有相同的角速度，靠相互間的萬有引力提供向心力。根據(jù)Geq\f(m1m2,L2)＝m1r1ω2＝m2r2ω2，知m1r1＝m2r2，知軌道半徑比等于質量之反比，雙星間的距離減小，則雙星的軌道半徑都變小，根據(jù)萬有引力提供向心力，知角速度變大，周期變小，故A正確，B錯誤；根據(jù)Geq\f(m1m2,L2)＝m1a1＝m2a2知，L變小，則兩星的向心加速度均增大，故C錯誤；根據(jù)Geq\f(m1m2,L2)＝m1eq\f(v12,r1)，解得v1＝eq\r(\f(Gm2r1,L2))，由于L平方的減小比r1的減小量大，則線速度增大，故D錯誤?！绢}型2雙星中的定量運算問題】【例2】(多選)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波．根據(jù)科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈．將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星()A．質量之積 B．質量之和C．速率之和 D．各自的自轉角速度答案BC解析兩顆中子星運動到某位置的示意圖如圖所示每秒轉動12圈，角速度已知中子星運動時，由萬有引力提供向心力得eq\f(Gm1m2,l2)＝m1ω2r1①eq\f(Gm1m2,l2)＝m2ω2r2②l＝r1＋r2③由①②③式得eq\f(Gm1＋m2,l2)＝ω2l，所以m1＋m2＝eq\f(ω2l3,G)，質量之和可以估算．由線速度與角速度的關系v＝ωr得v1＝ωr1④v2＝ωr2⑤由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．質量之積和各自的自轉角速度無法求解．故選B、C.【變式2-1】(多選)如圖所示，雙星系統(tǒng)由質量不相等的兩顆恒星P、Q組成，P、Q質量分別為M、m(M>m)，它們圍繞共同的圓心O做勻速圓周運動。從地球上A點看過去，雙星運動的平面與AO垂直，AO距離恒為L。觀測發(fā)現(xiàn)質量較大的恒星P做圓周運動的周期為T，運動范圍的最大張角為Δθ(單位是弧度)。已知引力常量為G，Δθ很小，可認為sinΔθ＝tanΔθ＝Δθ，忽略其他星體對雙星系統(tǒng)的作用力。則()A．恒星Q的角速度為eq\f(2π,T)eq\r(\f(M,m))B．恒星Q的軌道半徑為eq\f(ML·Δθ,2m)C．恒星Q的線速度為eq\f(πML·Δθ,mT)D．兩顆恒星的質量m和M滿足的關系式為eq\f(m3,m＋M2)＝eq\f(π2L·Δθ3,2GT2)解析：選BCD恒星P與Q具有相同的角速度，則角速度ω＝eq\f(2π,T)，A錯誤；恒星P的軌道半徑R＝Ltaneq\f(Δθ,2)＝eq\f(1,2)L·Δθ，對雙星系統(tǒng)，有mω2r＝Mω2R，解得恒星Q的軌道半徑為r＝eq\f(ML·Δθ,2m)，B正確；恒星Q的線速度大小v1＝ωr＝eq\f(2π,T)·eq\f(ML·Δθ,2m)＝eq\f(πML·Δθ,mT)，C正確；對雙星系統(tǒng)，由萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R＋r2)＝mω2r＝Mω2R，解得GM＝ω2r(r＋R)2，Gm＝ω2R(r＋R)2，相加得G(M＋m)＝ω2(R＋r)3，又由mω2r＝Mω2R，聯(lián)立可得eq\f(m3,m＋M2)＝eq\f(π2L·Δθ3,2GT2)，D正確?！咀兪?-2】銀河系的恒星中大約四分之一是雙星，某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動．由天文觀察測得其運動周期為T，S1到C點的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G.由此可求出S2的質量為()A.eq\f(4π2r2r－r1,GT2) B.eq\f(4πr13,GT2)C.eq\f(4π2r3,GT2) D.eq\f(4π2r2r1,GT2)答案D解析取S1為研究對象，S1做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得：Geq\f(m1m2,r2)＝m1(eq\f(2π,T))2r1，得：m2＝eq\f(4π2r2r1,GT2)，故D正確．【變式2-3】雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T，經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為()A.eq\r(\f(n3,k2))TB.eq\r(\f(n3,k))TC.eq\r(\f(n2,k))TD.eq\r(\f(n,k))T答案B解析設原來雙星間的距離為L，質量分別為M、m，圓周運動的圓心距質量為m的恒星距離為r，雙星間的萬有引力提供向心力，對質量為m的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝m(eq\f(2π,T))2·r，對質量為M的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝M(eq\f(2π,T))2(L－r)，得Geq\f(M＋m,L2)＝eq\f(4π2,T2)·L，即T2＝eq\f(4π2L3,GM＋m)；則當總質量為k(M＋m)，間距為L′＝nL時，T′＝eq\r(\f(n3,k))T，選項B正確．【題型3三星問題】【例3】(多選)宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中一種三星系統(tǒng)如圖所示．三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R.忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G，則()A．每顆星做圓周運動的線速度大小為eq\r(\f(Gm,R))B．每顆星做圓周運動的角速度為eq\r(\f(3Gm,R3))C．每顆星做圓周運動的周期為2πeq\r(\f(R3,3Gm))D．每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關答案ABC解析每顆星受到的合力為F＝2Geq\f(m2,R2)sin60°＝eq\r(3)Geq\f(m2,R2)，軌道半徑為r＝eq\f(\r(3),3)R，由向心力公式得F＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，解得a＝eq\f(\r(3)Gm,R2)，v＝eq\r(\f(Gm,R))，ω＝eq\r(\f(3Gm,R3))，T＝2πeq\r(\f(R3,3Gm))，顯然加速度a與m有關，故A、B、C正確，D錯誤．【變式3-1】宇宙空間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為L。忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G。下列說法正確的是()A．每顆星做圓周運動的線速度為eq\r(\f(3Gm,L3))B．每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關C．若距離L和每顆星的質量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍D．若距離L和每顆星的質量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍[解析]任意兩顆星之間的萬有引力F＝Geq\f(m2,L2)，每一顆星受到的合力為F1＝eq\r(3)F，由幾何關系知：它們的軌道半徑為r＝eq\f(\r(3),3)L，合力提供它們的向心力eq\f(\r(3)Gm2,L2)＝meq\f(v2,r)，聯(lián)立解得v＝eq\r(\f(Gm,L))，故A錯誤；根據(jù)eq\f(\r(3)Gm2,L2)＝ma，得a＝eq\f(\r(3)Gm,L2)，故加速度與它們的質量有關，故B錯誤；根據(jù)eq\f(\r(3)Gm2,L2)＝meq\f(4π2r,T2)，解得T＝eq\f(2,3)πeq\r(\f(3L3,Gm))，若距離L和每顆星的質量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍，故C正確；根據(jù)v＝eq\r(\f(Gm,L))，可知，若距離L和每顆星的質量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度不變，故D錯誤。[答案]C【變式3-2】宇宙空間有一種由三顆星A、B、C組成的三星體系，它們分別位于等邊三角形ABC的三個頂點上，繞一個固定且共同的圓心O做勻速圓周運動，軌道如圖中實線所示，其軌道半徑rA<rB<rC.忽略其他星體對它們的作用，可知這三顆星體()A．線速度大小關系是vA>vB>vCB．加速度大小關系是aA>aB>aCC．質量大小關系是mA>mB>mCD．所受萬有引力合力的大小關系是FA＝FB＝FC答案C解析三星體系中三顆星的角速度ω相同，軌道半徑rA<rB<rC，由v＝rω可知vA<vB<vC，由a＝rω2可知aA<aB<aC，故A、B錯誤；設等邊三角形ABC的邊長為L，由題意可知三顆星受到萬有引力的合力指向圓心O，以C為研究對象，有Geq\f(mAmC,L2)>eq\f(GmBmC,L2)，得mA>mB，同理可知mB>mC，所以mA>mB>mC，故C正確；由于mA>mB>mC，結合萬有引力定律，可知A與B之間的引力大于A與C之間的引力，又大于B與C之間的引力，又知A、B、C受到的兩個萬有引力之間的夾角都是相等的，根據(jù)兩個分力的角度一定時，兩個力越大，合力越大，可知FA>FB>FC，故D錯誤．【變式3-3】由三顆星體構成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運動形式，三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運動(圖為A、B、C三顆星體質量不相同時的一般情況)．若A星體質量為2m、B、C兩星體的質量均為m，三角形的邊長為a，求：(1)A星體所受合力大小FA；(2)B星體所受合力大小FB；(3)C星體的軌道半徑RC；(4)三星體做圓周運動的周期T.答案(1)2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)(2)eq\r(7)Geq\f(m2,a2)(3)eq\f(\r(7),4)a(4)πeq\r(\f(a3,Gm))解析(1)由萬有引力定律，A星體所受B、C星體引力大小為FBA＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)＝FCA方向如圖所示則合力大小為FA＝FBA·cos30°＋FCA·cos30°＝2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)(2)同上，B星體所受A、C星體引力大小分別為FAB＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)FCB＝Geq\f(mCmB,r2)＝Geq\f(m2,a2)方向如圖由余弦定理得合力FB＝eq\r(F\o\al(2,AB)＋F\o\al(2,CB)－2FAB·FCB·cos120°)＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)(3)由于mA＝2m，mB＝mC＝m通過分析可知，圓心O在BC的中垂線AD的中點則RC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2)＝eq\f(\r(7),4)a(4)三星體運動周期相同，對C星體，由FC＝FB＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)＝m(eq\f(2π,T))2RC，可得T＝πeq\r(\f(a3,Gm))【題型4四星、綜合問題】【例4】宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。設四星系統(tǒng)中每個星體的質量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上。已知引力常量為G。關于宇宙四星系統(tǒng)，下列說法錯誤的是()A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動B．四顆星的軌道半徑均為eq\f(a,2)C．四顆星表面的重力加速度均為eq\f(Gm,R2)D．四顆星的周期均為2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))[解析]四星系統(tǒng)中任一顆星體均在其他三顆星體的萬有引力作用下，合力方向指向對角線的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由幾何知識可得軌道半徑均為eq\f(\r(2),2)a，故A正確，B錯誤；在星體表面，根據(jù)萬有引力等于重力，可得Geq\f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq\f(Gm,R2)，故C正確；由萬有引力定律和向心力公式得eq\f(Gm2,\r(2)a2)＋eq\f(\r(2)Gm2,a2)＝meq\f(4π2,T2)eq\f(\r(2)a,2)，解得T＝2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正確。[答案]B【變式4-1】(多選)如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質量均為m的星體位于邊長為L的正方形四個頂點，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點做勻速圓周運動，忽略其他星體對它們的作用，引力常量為G.下列說法中正確的是()A．星體做勻速圓周運動的圓心不一定是正方形的中心B．每個星體做勻速圓周運動的角速度均為eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))C．若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的兩倍D．若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的線速度大小不變答案BD解析四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點做勻速圓周運動，所以星體做勻速圓周運動的圓心一定是正方形的中心，故A錯誤；由eq\r(2)Geq\f(m2,L2)＋Geq\f(m2,\r(2)L2)＝(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝mω2·eq\f(\r(2),2)L，可知ω＝eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))，故B正確；由(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝ma可知，若邊長L和星體質量m均為原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的eq\f(1,2)，故C錯誤；由(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝meq\f(v2,\f(\r(2),2)L)可知星體做勻速圓周運動的線速度大小為v＝eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,4L))，所以若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的線速度大小不變，故D正確．【變式4-2】宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用．設四星系統(tǒng)中每個星體的質量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上．已知引力常量為G.關于四星系統(tǒng)，下列說法正確的是()A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動B．四顆星的軌道半徑均為eq\f(a,2)C．四顆星表面的重力加速度均為eq\f(Gm,R2)D．四顆星的周期均為2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))答案ACD解析其中一顆星體在其他三顆星體的萬有引力作用下，合力方向指向對角線的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由幾何知識可得軌道半徑均為eq\f(\r(2),2)a，故A正確，B錯誤；在星體表面，根據(jù)萬有引力等于重力，可得Geq\f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq\f(Gm,R2)，故C正確；由萬有引力定律和向心力公式得eq\f(Gm2,\r(2)a2)＋eq\f(\r(2)Gm2,a2)＝meq\f(4π2,T2)·eq\f(\r(2)a,2)，T＝2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正確．【變式4-3】(多選)太空中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式(如圖)：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行．設這三顆星的質量均為M，并且兩種系統(tǒng)的運動周期相同，則()A．直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同B．直線三星系統(tǒng)的運動周期T＝4πReq\r(\f(R,5GM))C．三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離L＝eq\r(3,\f(12,5))RD．三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R))答案BC解析直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度大小相等，方向相反，選項A錯誤；直線三星系統(tǒng)中，對甲星有Geq\f(M2,R2)＋Geq\f(M2,2R2)＝Meq\f(4π2,T2)R，解得T＝4πReq\r(\f(R,5GM))，選項B正確；對三角形三星系統(tǒng)中任一顆星，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得2Geq\f(M2,L2)cos30°＝Meq\f(4π2,T2)·eq\f(L,2cos30°)，又由題知兩種系統(tǒng)的運動周期相同，即T＝4πReq\r(\f(R,5GM))，聯(lián)立解得L＝eq\r(3,\f(12,5))R，選項C正確；三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為v＝eq\f(2πR,T)＝eq\f(2π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2cos30°))),T)＝eq\f(\r(3),6)·eq\r(3,\f(12,5))·eq\r(\f(5GM,R))，選項D錯誤．【題型5聯(lián)系實際問題】【例5】經(jīng)過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形式和分布情況有了較深刻的認識，雙星系統(tǒng)由兩個星體組成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠，可以當成孤立系統(tǒng)來處理．現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．(1)計算出該雙星系統(tǒng)的運動周期T；(2)若該實驗中觀測到的運動周期為T觀測，且T觀測∶T＝1∶eq\r(N)(N>1)．為了理解T觀測與T的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質．作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布這種暗物質．若不考慮其他暗物質的影響，根據(jù)這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度．答案(1)πLeq\r(\f(2L,GM))(2)eq\f(3N－1M,2πL3)解析(1)雙星均繞它們連線的中點做圓周運動，萬有引力提供向心力，則Geq\f(M2,L2)＝Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2·eq\f(L,2)，解得T＝πLeq\r(\f(2L,GM)).(2)N>1，根據(jù)觀測結果，星體的運動周期為T觀測＝eq\f(1,\r(N))T<T，這是由于雙星系統(tǒng)內(nèi)(類似一個球體)均勻分布的暗物質引起的，均勻分布在雙星系統(tǒng)內(nèi)的暗物質對雙星系統(tǒng)的作用與一個質點(質點的質量等于球內(nèi)暗物質的總質量M′且位于中點O處)的作用等效，考慮暗物質作用后雙星系統(tǒng)的運動周期，即Geq\f(M2,L2)＋Geq\f(MM′,\f(L,2)2)＝Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T觀測)))2·eq\f(L,2)，代入T＝πLeq\r(\f(2L,GM))并整理得M′＝eq\f(N－1,4)M.故所求的暗物質密度為ρ＝eq\f(M′,\f(4,3)π\(zhòng)f(L,2)3)＝eq\f(3N－1M,2πL3).【變式5-1】2012年7月，一個國際研究小組借助于智利的甚大望遠鏡，觀測到了一組雙星系統(tǒng)，它們繞兩者連線上的某點O做勻速圓周運動，如圖2所示．此雙星系統(tǒng)中體積較小成員能“吸食”另一顆體積較大星體表面物質，達到質量轉移的目的．假設在演變的過程中兩者球心之間的距離保持不變，則在最初演變的過程中()A．它們做圓周運動的萬有引力保持不變B．它們做圓周運動的角速度不斷變大C．體積較大星體圓周運動軌跡半徑變大，線速度也變大D．體積較大星體圓周運動軌跡半徑變大，線速度變小答案C解析對雙星M1、M2，設距離為L，圓周運動半徑分別為r1、r2，它們做圓周運動的萬有引力為F＝Geq\f(M1M2,L2)，距離L不變，M1與M2的和不變，其乘積大小變化，則它們的萬有引力發(fā)生變化，A錯；依題意雙星系統(tǒng)繞兩者連線上某點O做勻速圓周運動，周期和角速度相同，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：Geq\f(M1M2,L2)＝M1ω2r1，Geq\f(M1M2,L2)＝M2ω2r2，r1＋r2＝L，可解得：M1＋M2＝eq\f(ω2L3,G)，M1r1＝M2r2，由此可知ω不變，質量比等于圓周運動半徑的反比，故體積較大的星體因質量減小，其軌道半徑將增大，線速度將增大，B、D錯，C對．【變式5-2】雙星系統(tǒng)中兩個星球A、B的質量都是m，相距L，它們正圍繞兩者連線上某一點做勻速圓周運動。實際觀測該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學理論計算出的周期理論值T0，且eq\f(T,T0)＝k(k＜1)，于是有人猜測這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星球C的影響，并認為C位于A、B的連線正中間，相對A、B靜止，則A、B組成的雙星系統(tǒng)周期理論值T0及C的質量分別為()A．2πeq\r(\f(L2,2Gm))，eq\f(1＋k2,4k)m B．2πeq\r(\f(L3,2Gm))，eq\f(1－k2,4k)mC．2πeq\r(\f(2Gm,L3))，eq\f(1＋k2,4k)m D．2πeq\r(\f(L3,2Gm))，eq\f(1－k2,4k2)m解析：選D由題意知，A、B的運動周期相同，設軌道半徑分別為r1、r2，對A有，eq\f(Gm2,L2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))2r1，對B有，eq\f(Gm2,L2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))2r2，且r1＋r2＝L，解得T0＝2πeq\r(\f(L3,2Gm))；有C存在時，設C的質量為M，A、B與C之間的距離r1′＝r2′＝eq\f(L,2)，則eq\f(Gm2,L2)＋eq\f(GMm,r1′2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r1′，eq\f(Gm2,L2)＋eq\f(GMm,r2′2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r2′，解得T＝2πeq\r(\f(L3,2Gm＋4M))，eq\f(T,T0)＝eq\r(\f(m,m＋4M))＝k，得M＝eq\f(1－k2,4k2)m。故D正確?！咀兪?-3】科學家測得天琴座中有一個密近雙星系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)的兩顆恒星A、B相距較近，巨大的引力作用使原本較重的A星上的物質不斷流向B星，若演變過程中A、B兩星間距保持不變，A、B兩星組成的系統(tǒng)看成孤立系統(tǒng)，則下列判斷正確的是()A.雙星系統(tǒng)的周期變大 B.雙星間的萬有引力保持不變C.B星的線速度不斷減小 D.B星的加速度不斷增大答案：C解析：根據(jù)萬有引力提供向心力解得由于總質量不交，兩星間距保持不變，則周期不變，故A錯誤；雙星間的萬有引力由此可知，當變化，F(xiàn)變化，故B錯誤；由可知，變大，則變小，由由于周期不變，則角速度不變，則B星的加速度不斷減小，故D錯誤；B星的線速度大小為可知B星的線速度不斷減小，故C正確。故選C。專題7.6雙星、三星問題【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1雙星中的對比問題】 【題型2雙星中的定量運算問題】 【題型3三星問題】 【題型4四星、綜合問題】 【題型5聯(lián)系實際問題】 【題型1雙星中的對比問題】【例1】如圖所示，某雙星系統(tǒng)的兩星A和B各自繞其連線上的O點做勻速圓周運動，已知A星和B星的質量分別為m1和m2，相距為d.下列說法正確的是()A．A星的軌道半徑為eq\f(m1,m1＋m2)dB．A星和B星的線速度之比為m1∶m2C．若在O點放一個質點，它受到的合力一定為零D．若A星所受B星的引力可等效為位于O點處質量為m′的星體對它的引力，則m′＝eq\f(m23,m1＋m22)答案D解析雙星系統(tǒng)中，兩顆星球屬于同軸轉動模型，角速度相等，周期相等，根據(jù)萬有引力提供向心力可得eq\f(Gm1m2,d2)＝m1ω2rA＝m2ω2rB，又有d＝rA＋rB，解得rA＝eq\f(m2d,m1＋m2)，rB＝eq\f(m1d,m1＋m2)，故A錯誤；由v＝ωr得A星和B星線速度之比eq\f(vA,vB)＝eq\f(rA,rB)＝eq\f(m2,m1)，故B錯誤；在O點放一個質點，設質量為m，受到B的萬有引力FB＝eq\f(Gm2m,rB2)，受到A的萬有引力FA＝eq\f(Gm1m,rA2)，因為eq\f(m1,m2)≠eq\f(rA2,rB2)，可得FA≠FB，故質點受到的合力不為零，故C錯誤；A星所受B星的引力可等效為位于O點處質量為m′的星體對它的引力，由萬有引力定律可得eq\f(Gm1m2,d2)＝eq\f(Gm1m′,rA2)，解得m′＝eq\f(rA2,d2)m2＝eq\f(m23,m1＋m22)，故D正確．【變式1-1】(多選)天文學家通過觀測兩個黑洞并合的事件，間接驗證了引力波的存在。該事件中甲、乙兩個黑洞的質量分別為太陽質量的36倍和29倍，假設這兩個黑洞繞它們連線上的某點做圓周運動，且兩個黑洞的間距緩慢減小。若該雙星系統(tǒng)在運動過程中，各自質量不變且不受其他星系的影響，則關于這兩個黑洞的運動，下列說法正確的是()A．甲、乙兩個黑洞運行的線速度大小之比為36∶29B．甲、乙兩個黑洞運行的角速度大小始終相等C．隨著甲、乙兩個黑洞的間距緩慢減小，它們運行的周期也在減小D．甲、乙兩個黑洞做圓周運動的向心加速度大小始終相等[解析]由牛頓第三定律知，兩個黑洞做圓周運動的向心力大小相等，它們的角速度ω相等，由Fn＝mω2r可知，甲、乙兩個黑洞做圓周運動的半徑與質量成反比，由v＝ωr知，線速度之比為29∶36，A錯誤，B正確；設甲、乙兩個黑洞質量分別為m1和m2，軌道半徑分別為r1和r2，有eq\f(Gm1m2,r1＋r22)＝m1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r1，eq\f(Gm1m2,r1＋r22)＝m2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r2，聯(lián)立可得eq\f(T2,4π2)＝eq\f(r1＋r23,Gm1＋m2)，C正確；甲、乙兩個黑洞做圓周運動的向心力大小相等，由牛頓第二定律a＝eq\f(F,m)可知，甲、乙兩個黑洞的向心加速度大小a1∶a2＝29∶36，D錯誤。[答案]BC【變式1-2】(多選)根據(jù)科學家們的推測，雙星的運動是產(chǎn)生引力波的來源之一。假設宇宙中有一由a、b兩顆星組成的雙星系統(tǒng)，這兩顆星繞它們連線上的某一點在萬有引力作用下做勻速圓周運動，測得a星的周期為T，a、b兩星間的距離為l，軌道半徑之差為Δr，已知a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，則()A．b星的周期為eq\f(l－Δr,l＋Δr)TB．b星的線速度大小為eq\f(πl(wèi)－Δr,T)C．a(chǎn)、b兩星的軌道半徑之比為eq\f(l,l－Δr)D．a(chǎn)、b兩星的質量之比為eq\f(l－Δr,l＋Δr)解析：選BD兩顆星繞它們連線上的某一點在萬有引力作用下做勻速圓周運動，所以兩顆星的周期相等，則Tb＝Ta＝T，A錯誤。a、b兩星間的距離為l，軌道半徑之差為Δr，已知a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，則ra＋rb＝l、ra－rb＝Δr，所以ra＝eq\f(l＋Δr,2)、rb＝eq\f(l－Δr,2)。a、b兩星的軌道半徑之比eq\f(ra,rb)＝eq\f(l＋Δr,l－Δr)，b星的線速度大小vb＝eq\f(2πrb,T)＝eq\f(πl(wèi)－Δr,T)，B正確，C錯誤。兩顆星繞它們連線上的某一點在萬有引力作用下做勻速圓周運動，則Geq\f(mamb,l2)＝maraeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2＝mbrbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，所以a、b兩星的質量之比eq\f(ma,mb)＝eq\f(rb,ra)＝eq\f(l－Δr,l＋Δr)，D正確?！咀兪?-3】引力波的發(fā)現(xiàn)證實了愛因斯坦100年前所做的預測。1974年發(fā)現(xiàn)了脈沖雙星間的距離在減小就已間接地證明了引力波的存在。如果將該雙星系統(tǒng)簡化為理想的圓周運動模型，如圖所示，兩星球在相互的萬有引力作用下，繞O點做勻速圓周運動。由于雙星間的距離減小，則()A．兩星的運動周期均逐漸減小B．兩星的運動角速度均逐漸減小C．兩星的向心加速度均逐漸減小D．兩星的運動線速度均逐漸減小解析：選A雙星做勻速圓周運動具有相同的角速度，靠相互間的萬有引力提供向心力。根據(jù)Geq\f(m1m2,L2)＝m1r1ω2＝m2r2ω2，知m1r1＝m2r2，知軌道半徑比等于質量之反比，雙星間的距離減小，則雙星的軌道半徑都變小，根據(jù)萬有引力提供向心力，知角速度變大，周期變小，故A正確，B錯誤；根據(jù)Geq\f(m1m2,L2)＝m1a1＝m2a2知，L變小，則兩星的向心加速度均增大，故C錯誤；根據(jù)Geq\f(m1m2,L2)＝m1eq\f(v12,r1)，解得v1＝eq\r(\f(Gm2r1,L2))，由于L平方的減小比r1的減小量大，則線速度增大，故D錯誤?！绢}型2雙星中的定量運算問題】【例2】(多選)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波．根據(jù)科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈．將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星()A．質量之積 B．質量之和C．速率之和 D．各自的自轉角速度答案BC解析兩顆中子星運動到某位置的示意圖如圖所示每秒轉動12圈，角速度已知中子星運動時，由萬有引力提供向心力得eq\f(Gm1m2,l2)＝m1ω2r1①eq\f(Gm1m2,l2)＝m2ω2r2②l＝r1＋r2③由①②③式得eq\f(Gm1＋m2,l2)＝ω2l，所以m1＋m2＝eq\f(ω2l3,G)，質量之和可以估算．由線速度與角速度的關系v＝ωr得v1＝ωr1④v2＝ωr2⑤由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．質量之積和各自的自轉角速度無法求解．故選B、C.【變式2-1】(多選)如圖所示，雙星系統(tǒng)由質量不相等的兩顆恒星P、Q組成，P、Q質量分別為M、m(M>m)，它們圍繞共同的圓心O做勻速圓周運動。從地球上A點看過去，雙星運動的平面與AO垂直，AO距離恒為L。觀測發(fā)現(xiàn)質量較大的恒星P做圓周運動的周期為T，運動范圍的最大張角為Δθ(單位是弧度)。已知引力常量為G，Δθ很小，可認為sinΔθ＝tanΔθ＝Δθ，忽略其他星體對雙星系統(tǒng)的作用力。則()A．恒星Q的角速度為eq\f(2π,T)eq\r(\f(M,m))B．恒星Q的軌道半徑為eq\f(ML·Δθ,2m)C．恒星Q的線速度為eq\f(πML·Δθ,mT)D．兩顆恒星的質量m和M滿足的關系式為eq\f(m3,m＋M2)＝eq\f(π2L·Δθ3,2GT2)解析：選BCD恒星P與Q具有相同的角速度，則角速度ω＝eq\f(2π,T)，A錯誤；恒星P的軌道半徑R＝Ltaneq\f(Δθ,2)＝eq\f(1,2)L·Δθ，對雙星系統(tǒng)，有mω2r＝Mω2R，解得恒星Q的軌道半徑為r＝eq\f(ML·Δθ,2m)，B正確；恒星Q的線速度大小v1＝ωr＝eq\f(2π,T)·eq\f(ML·Δθ,2m)＝eq\f(πML·Δθ,mT)，C正確；對雙星系統(tǒng)，由萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R＋r2)＝mω2r＝Mω2R，解得GM＝ω2r(r＋R)2，Gm＝ω2R(r＋R)2，相加得G(M＋m)＝ω2(R＋r)3，又由mω2r＝Mω2R，聯(lián)立可得eq\f(m3,m＋M2)＝eq\f(π2L·Δθ3,2GT2)，D正確。【變式2-2】銀河系的恒星中大約四分之一是雙星，某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動．由天文觀察測得其運動周期為T，S1到C點的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G.由此可求出S2的質量為()A.eq\f(4π2r2r－r1,GT2) B.eq\f(4πr13,GT2)C.eq\f(4π2r3,GT2) D.eq\f(4π2r2r1,GT2)答案D解析取S1為研究對象，S1做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得：Geq\f(m1m2,r2)＝m1(eq\f(2π,T))2r1，得：m2＝eq\f(4π2r2r1,GT2)，故D正確．【變式2-3】雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T，經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為()A.eq\r(\f(n3,k2))TB.eq\r(\f(n3,k))TC.eq\r(\f(n2,k))TD.eq\r(\f(n,k))T答案B解析設原來雙星間的距離為L，質量分別為M、m，圓周運動的圓心距質量為m的恒星距離為r，雙星間的萬有引力提供向心力，對質量為m的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝m(eq\f(2π,T))2·r，對質量為M的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝M(eq\f(2π,T))2(L－r)，得Geq\f(M＋m,L2)＝eq\f(4π2,T2)·L，即T2＝eq\f(4π2L3,GM＋m)；則當總質量為k(M＋m)，間距為L′＝nL時，T′＝eq\r(\f(n3,k))T，選項B正確．【題型3三星問題】【例3】(多選)宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中一種三星系統(tǒng)如圖所示．三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R.忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G，則()A．每顆星做圓周運動的線速度大小為eq\r(\f(Gm,R))B．每顆星做圓周運動的角速度為eq\r(\f(3Gm,R3))C．每顆星做圓周運動的周期為2πeq\r(\f(R3,3Gm))D．每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關答案ABC解析每顆星受到的合力為F＝2Geq\f(m2,R2)sin60°＝eq\r(3)Geq\f(m2,R2)，軌道半徑為r＝eq\f(\r(3),3)R，由向心力公式得F＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，解得a＝eq\f(\r(3)Gm,R2)，v＝eq\r(\f(Gm,R))，ω＝eq\r(\f(3Gm,R3))，T＝2πeq\r(\f(R3,3Gm))，顯然加速度a與m有關，故A、B、C正確，D錯誤．【變式3-1】宇宙空間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為L。忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G。下列說法正確的是()A．每顆星做圓周運動的線速度為eq\r(\f(3Gm,L3))B．每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關C．若距離L和每顆星的質量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍D．若距離L和每顆星的質量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍[解析]任意兩顆星之間的萬有引力F＝Geq\f(m2,L2)，每一顆星受到的合力為F1＝eq\r(3)F，由幾何關系知：它們的軌道半徑為r＝eq\f(\r(3),3)L，合力提供它們的向心力eq\f(\r(3)Gm2,L2)＝meq\f(v2,r)，聯(lián)立解得v＝eq\r(\f(Gm,L))，故A錯誤；根據(jù)eq\f(\r(3)Gm2,L2)＝ma，得a＝eq\f(\r(3)Gm,L2)，故加速度與它們的質量有關，故B錯誤；根據(jù)eq\f(\r(3)Gm2,L2)＝meq\f(4π2r,T2)，解得T＝eq\f(2,3)πeq\r(\f(3L3,Gm))，若距離L和每顆星的質量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍，故C正確；根據(jù)v＝eq\r(\f(Gm,L))，可知，若距離L和每顆星的質量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度不變，故D錯誤。[答案]C【變式3-2】宇宙空間有一種由三顆星A、B、C組成的三星體系，它們分別位于等邊三角形ABC的三個頂點上，繞一個固定且共同的圓心O做勻速圓周運動，軌道如圖中實線所示，其軌道半徑rA<rB<rC.忽略其他星體對它們的作用，可知這三顆星體()A．線速度大小關系是vA>vB>vCB．加速度大小關系是aA>aB>aCC．質量大小關系是mA>mB>mCD．所受萬有引力合力的大小關系是FA＝FB＝FC答案C解析三星體系中三顆星的角速度ω相同，軌道半徑rA<rB<rC，由v＝rω可知vA<vB<vC，由a＝rω2可知aA<aB<aC，故A、B錯誤；設等邊三角形ABC的邊長為L，由題意可知三顆星受到萬有引力的合力指向圓心O，以C為研究對象，有Geq\f(mAmC,L2)>eq\f(GmBmC,L2)，得mA>mB，同理可知mB>mC，所以mA>mB>mC，故C正確；由于mA>mB>mC，結合萬有引力定律，可知A與B之間的引力大于A與C之間的引力，又大于B與C之間的引力，又知A、B、C受到的兩個萬有引力之間的夾角都是相等的，根據(jù)兩個分力的角度一定時，兩個力越大，合力越大，可知FA>FB>FC，故D錯誤．【變式3-3】由三顆星體構成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運動形式，三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運動(圖為A、B、C三顆星體質量不相同時的一般情況)．若A星體質量為2m、B、C兩星體的質量均為m，三角形的邊長為a，求：(1)A星體所受合力大小FA；(2)B星體所受合力大小FB；(3)C星體的軌道半徑RC；(4)三星體做圓周運動的周期T.答案(1)2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)(2)eq\r(7)Geq\f(m2,a2)(3)eq\f(\r(7),4)a(4)πeq\r(\f(a3,Gm))解析(1)由萬有引力定律，A星體所受B、C星體引力大小為FBA＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)＝FCA方向如圖所示則合力大小為FA＝FBA·cos30°＋FCA·cos30°＝2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)(2)同上，B星體所受A、C星體引力大小分別為FAB＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)FCB＝Geq\f(mCmB,r2)＝Geq\f(m2,a2)方向如圖由余弦定理得合力FB＝eq\r(F\o\al(2,AB)＋F\o\al(2,CB)－2FAB·FCB·cos120°)＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)(3)由于mA＝2m，mB＝mC＝m通過分析可知，圓心O在BC的中垂線AD的中點則RC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2)＝eq\f(\r(7),4)a(4)三星體運動周期相同，對C星體，由FC＝FB＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)＝m(eq\f(2π,T))2RC，可得T＝πeq\r(\f(a3,Gm))【題型4四星、綜合問題】【例4】宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。設四星系統(tǒng)中每個星體的質量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上。已知引力常量為G。關于宇宙四星系統(tǒng)，下列說法錯誤的是()A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動B．四顆星的軌道半徑均為eq\f(a,2)C．四顆星表面的重力加速度均為eq\f(Gm,R2)D．四顆星的周期均為2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))[解析]四星系統(tǒng)中任一顆星體均在其他三顆星體的萬有引力作用下，合力方向指向對角線的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由幾何知識可得軌道半徑均為eq\f(\r(2),2)a，故A正確，B錯誤；在星體表面，根據(jù)萬有引力等于重力，可得Geq\f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq\f(Gm,R2)，故C正確；由萬有引力定律和向心力公式得eq\f(Gm2,\r(2)a2)＋eq\f(\r(2)Gm2,a2)＝meq\f(4π2,T2)eq\f(\r(2)a,2)，解得T＝2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正確。[答案]B【變式4-1】(多選)如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質量均為m的星體位于邊長為L的正方形四個頂點，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點做勻速圓周運動，忽略其他星體對它們的作用，引力常量為G.下列說法中正確的是()A．星體做勻速圓周運動的圓心不一定是正方形的中心B．每個星體做勻速圓周運動的角速度均為eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))C．若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的兩倍D．若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的線速度大小不變答案BD解析四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點做勻速圓周運動，所以星體做勻速圓周運動的圓心一定是正方形的中心，故A錯誤；由eq\r(2)Geq\f(m2,L2)＋Geq\f(m2,\r(2)L2)＝(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝mω2·eq\f(\r(2),2)L，可知ω＝eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))，故B正確；由(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝ma可知，若邊長L和星體質量m均為原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的eq\f(1,2)，故C錯誤；由(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝meq\f(v2,\f(\r(2),2)L)可知星體做勻速圓周運動的線速度大小為v＝eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,4L))，所以若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的線速度大小不變，故D正確．【變式4-2】宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．設四星系統(tǒng)中每個星體的質量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上．已知引力常量為G.關于四星系統(tǒng)，下列說法正確的是()A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動B．四顆星的軌道半徑均為eq\f(a,2)C．四顆星表面的重力加速度均為eq\f(Gm,R2)D．四顆星的周期均為2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))答案ACD解析其中一顆星體在其他三顆星體的萬有引力作用下，合力方向指向對角線的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由幾何知識可得軌道半徑均為eq\f(\r(2),2)a，故A正確，B錯誤；在星體表面，根據(jù)萬有引力等于重力，可得Geq\f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq\f(Gm,R2)，故C正確；由萬有引力定律和向心力公式得eq\f(Gm2,\r(2)a2)＋eq\f(\r(2)Gm2,a2)＝meq\f(4π2,T2)·eq\f(\r(2)a,2)，T＝2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正確．【變式4-3】(多選)太空中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式(如圖)：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行．設這三顆星的質量均為M，并且兩種系統(tǒng)的運動周期相同，則()A．直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同B．直線三星系統(tǒng)的運動周期T＝4πReq\r(\f(R,5GM))C．三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離L＝eq\r(3,\f(12,5))RD．三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R))答案BC解析直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度大小相等，方向相反，選項A錯誤；直線三星系統(tǒng)中，對甲星有Geq\f(M2,R2)＋Geq\f(M2,2R2)＝Meq\f(4π2,T2)R，解得T＝4πReq\r(\f(R,5GM))，選項B正確；對三角形三星系統(tǒng)中任一顆星，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得2Geq\f(M2,L2)cos30°＝Meq\f(4π2,T2)·eq\f(L,2cos30°)，又由題知兩種系統(tǒng)的運動周期相同，即T＝4πReq\r(\f(R,5GM))，聯(lián)立解得L＝eq\r(3,\f(12,5))R，選項C正確；三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為v＝eq\f(2πR,T)＝eq\f(2π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2cos30°))),T)＝eq\f(\r(3),6)·eq\r(3,\f(12,5))·eq\r(\f(5GM,R))，選項D錯誤．【題型5聯(lián)系實際問題】【例5】經(jīng)過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形式和分布情況有了較深刻的認識，雙星系統(tǒng)由兩個星體組成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠