2020-2024五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題10 空間向量與立體幾何（真題12個考點精準練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題10空間向量與立體幾何（真題12個考點精準練+精選模擬練）5年考情考題示例考點分析2024年秋考17題2024年春考10、14、18題棱錐的體積、直線與平面所成的角異面直線及其所成的角，空間中直線與平面之間的位置關(guān)系、平面與平面之間的位置關(guān)系、空間兩條直線的位置關(guān)系，二面角的平面角及求法、直線與平面垂直2023秋考12、17題2023春考15、17題棱錐的結(jié)構(gòu)特征，二面角的平面角及求法、直線與平面平行異面直線的判定，直線與平面所成的角、點、線、面間的距離計算2022秋考5、15、17題2022春考15、17題圓柱的側(cè)面積，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，棱柱、棱錐、棱臺的體積、直線與平面所成的角空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面所成的角2021年秋考9、17題2021年春考3、17題空間中的最值問題，直線與平面所成的角、三棱錐的體積圓錐的側(cè)面積，直線與平面所成的角、棱錐的體積2020年秋考15、17題2020年春考6、21題空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面所成的角、圓柱的表面積幾何體的體積，空間點線面的距離的求法一．棱錐的結(jié)構(gòu)特征（共1小題）1．（2023?上海）空間中有三個點、、，且，在空間中任取2個不同的點，（不考慮這兩個點的順序），使得它們與、、恰好成為一個正四棱錐的五個頂點，則不同的取法有9種．〖祥解〗根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，分類討論，即可求解．【解答】解：如圖所示，設(shè)任取2個不同的點為、，當(dāng)為正四棱錐的側(cè)面時，如圖，平面的兩側(cè)分別可以做作為圓錐的底面，有2種情況，同理以、為底面各有2種情況，所以共有6種情況；當(dāng)為正四棱錐的截面時，如圖，、位于兩側(cè)，為圓錐的底面，只有一種情況，同理以、為底面各有1種情況，所以共有3種情況；綜上，共有種情況．故答案為：9．【點評】本題考查正四棱錐的性質(zhì)，分類討論思想，屬中檔題．二．棱柱、棱錐、棱臺的體積（共3小題）2．（2024?上海）如圖為正四棱錐，為底面的中心．（1）若，，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；（2）若，為的中點，求直線與平面所成角的大?。枷榻狻剑?）根據(jù)已知條件，先求出，再結(jié)合棱錐的體積公式，即可求解．（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，再結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．【解答】解：（1）因為是正四棱錐，所以底面是正方形，且底面，因為，所以，因為，所以，所以繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以3為底面半徑，4為高的圓錐，所以；（2）如圖建立空間直角坐標系，因為，由題知是正四棱錐，所以該四棱錐各棱長相等，設(shè)，則，，則，0，，，0，，，，，，0，，，，，，0，，，故，，，設(shè)為平面的法向量，則，即，令，則，，所以，則，設(shè)直線與面所成角為，因為，，則，故直線與平面所成角的大小為．【點評】本題主要考查棱錐體積的求解，以及空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．3．（2022?上海）如圖所示三棱錐，底面為等邊，為邊中點，且底面，．（1）求三棱錐體積；（2）若為中點，求與面所成角大?。枷榻狻剑?）直接利用體積公式求解；（2）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，即可求解．【解答】解：（1）在三棱錐中，因為底面，所以，又為邊中點，所以為等腰三角形，又．所以是邊長為2的為等邊三角形，，三棱錐體積，（2）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，1，，，，，，，，平面的法向量，0，，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為，所以與面所成角大小為．【點評】本題考查線面垂直的證明，考查線面角的求法，考查空間中線線、線面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．4．（2020?上海）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為3，平面．（1）若，求四棱錐的體積；（2）若直線與的夾角為，求的長．〖祥解〗（1）利用已知條件求出，棱錐的高，然后求解棱錐的體積即可．（2）由已知中四棱錐的底面是邊長為3的正方形，平面．異面直線與所成角為，可得為直角三角形，且，，代入求出后，解直角可得答案．【解答】解：（1）平面，．，，，，所以四棱錐的體積為12．（2）是正方形，平面，，又平面異面直線與所成角為，在中，，故在中，【點評】本題考查幾何體的體積，空間點線面的距離的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力計算能力，是中檔題．三．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積（共3小題）5．（2022?上海）已知圓柱的高為4，底面積為，則圓柱的側(cè)面積為．．〖祥解〗由底面積為解出底面半徑，再代入側(cè)面積公式求解即可．【解答】解：因為圓柱的底面積為，即，所以，所以．故答案為：．【點評】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題．6．（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，則圓柱的側(cè)面積為．〖祥解〗根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計算即可．【解答】解：圓柱的底面半徑為，高為，所以圓柱的側(cè)面積為．故答案為：．【點評】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．7．（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1，高為2，為上底面圓的一條直徑，是下底面圓周上的一個動點，則的面積的取值范圍為．〖祥解〗上頂面圓心記為，下底面圓心記為，連接，過點作，垂足為點，由于為定值，則的大小隨著的長短變化而變化，分別求解的最大值和最小值，即可得到答案．【解答】解：如圖1，上底面圓心記為，下底面圓心記為，連接，過點作，垂足為點，則，根據(jù)題意，為定值2，所以的大小隨著的長短變化而變化，如圖2所示，當(dāng)點與點重合時，，此時取得最大值為；如圖3所示，當(dāng)點與點重合，取最小值2，此時取得最小值為．綜上所述，的取值范圍為．故答案為：．【點評】本題考查了空間中的最值問題，將三角形面積的最值問題轉(zhuǎn)化為求解線段的最值問題進行求解是解題的關(guān)鍵，考查了空間想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．四．異面直線及其所成的角（共1小題）8．（2024?上海）已知四棱柱底面為平行四邊形，，且，求異面直線與的夾角．〖祥解〗由題將轉(zhuǎn)化為即可求解．【解答】解：如圖，因為，又，，化簡得，，．異面直線與的夾角為．【點評】本題考查向量法求立體幾何中的線線角，屬于中檔題．五．異面直線的判定（共1小題）9．（2023?上海）如圖所示，在正方體中，點為邊上的動點，則下列直線中，始終與直線異面的是A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)空間中的兩條直線的位置關(guān)系，判斷是否為異面直線即可．【解答】解：對于，當(dāng)是的中點時，與是相交直線；對于，根據(jù)異面直線的定義知，與是異面直線；對于，當(dāng)點與重合時，與是平行直線；對于，當(dāng)點與重合時，與是相交直線．故選：．【點評】本題考查了兩條直線間的位置關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．六．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系（共3小題）10．（2022?上海）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個大鐘分布在四棱柱的四個側(cè)面，則每天0點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為A．0 B．2 C．4 D．12〖祥解〗3點時和9點時相鄰兩鐘面上的時針相互垂直．【解答】解：3點時和9點時相鄰兩鐘面上的時針相互垂直，每天0點至12點（包含0點，不含12點），相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為2，故選：．【點評】本題考查兩條異面直線垂直的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力，是中檔題．11．（2022?上海）如圖正方體中，、、、分別為棱、、、的中點，連接，．空間任意兩點、，若線段上不存在點在線段、上，則稱兩點可視，則下列選項中與點可視的為A．點 B．點 C．點 D．點〖祥解〗線段上不存在點在線段、上，即直線與線段、不相交，因此所求與可視的點，即求哪條線段不與線段、相交，再利用共面定理，異面直線的判定定理即可判斷．【解答】解：線段上不存在點在線段、上，即直線與線段、不相交，因此所求與可視的點，即求哪條線段不與線段、相交，對選項，如圖，連接、、，因為、分別為、的中點，易證，故、、、四點共面，與相交，錯誤；對、選項，如圖，連接、，易證、、、四點共面，故、都與相交，、錯誤；對選項，連接，由選項分析知、、、四點共面記為平面，平面，平面，且平面，點，與為異面直線，同理由，選項的分析知、、、四點共面記為平面，平面，平面，且平面，點，與為異面直線，故與，都沒有公共點，選項正確．故選：．【點評】本題考查新定義，共面定理的應(yīng)用，異面直線的判定定理，屬中檔題．12．（2020?上海）在棱長為10的正方體中，為左側(cè)面上一點，已知點到的距離為3，到的距離為2，則過點且與平行的直線交正方體于、兩點，則點所在的平面是A． B． C． D．〖祥解〗由圖可知點在△內(nèi)，過作，且于，于，在平面中，過作，交于，由平面與平面平行的判定可得平面平面，連接，交于，連接，再由平面與平面平行的性質(zhì)得，在中，過作，且于，可得，由此說明過點且與平行的直線相交的面是，即點所在的平面是平面．【解答】解：如圖，由點到的距離為3，到的距離為2，可得在△內(nèi)，過作，且于，于，在平面中，過作，交于，則平面平面．連接，交于，連接，平面平面，平面平面，平面平面，．在中，過作，且于，則．線段在四邊形內(nèi)，在線段上，在四邊形內(nèi)．則點所在的平面是平面．故選：．【點評】本題考查空間中直線與直線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．七．空間中直線與平面之間的位置關(guān)系（共1小題）13．（2024?上海）空間中有兩個不同的平面，和兩條不同的直線，，則下列說法中正確的是A．若，，，則 B．若，，，則 C．若，，，則 D．若，，，則〖祥解〗根據(jù)題意，由直線與平面平行、垂直的性質(zhì)分析選項，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，若，，則或，又，所以，故正確；對于，若，，則或，由，則與斜交、垂直、平行均有可能，故錯誤；對于，若，，則或，由，則與相交、平行、異面均有可能，故錯誤；對于，若，，則或，又，則或，故錯誤．故選：．【點評】本題考查空間直線與平面間的位置關(guān)系，涉及直線與平面平行、垂直的判斷，屬于基礎(chǔ)題．八．空間向量基本定理、正交分解及坐標表示（共1小題）14．（2024?上海）定義一個集合，集合元素是空間內(nèi)的點集，任取，，，存在不全為0的實數(shù)，，，使得．已知，0，，則，0，的充分條件是A．，0， B．，0， C．，1， D．，0，〖祥解〗利用空間向量的基本定理，結(jié)合充要條件，判斷選項即可．【解答】解：不全為0的實數(shù)，，，使得．所以3個向量無法構(gòu)成三維空間坐標系的一組基，又因為，0，，所以對于三者不能構(gòu)成一組基，故不能推出，0，，故錯誤；對于，，0，，，0，，且，0，，，0，共線，所以，0，可以屬于，此時三者不共面，故錯誤；對于，顯然三者可以構(gòu)成一組基，與條件不符合，故可以推出，0，，故正確；對于，三者無法構(gòu)成一組基，故不能推出，0，，故錯誤．故選：．【點評】本題考查空間向量的基本定理的應(yīng)用，充要條件的判斷，是基礎(chǔ)題．九．空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直（共1小題）15．（2023?上海）已知、、為空間中三組單位向量，且、，與夾角為，點為空間任意一點，且，滿足，則最大值為．〖祥解〗將問題坐標化，表示出的坐標，再設(shè)，代入條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解．【解答】解：設(shè)，，，，不妨設(shè)，，，則，因為，所以，可得，，所以，解得，故．故答案為：．【點評】本題考查空間向量的坐標運算以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．一十．直線與平面所成的角（共4小題）16．（2022?上海）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為、，為圓柱的母線，底面半徑長為1．（1）若，為的中點，求直線與上底面所成角的大??；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）若圓柱過的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積．〖祥解〗（1）轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題求解；（2）用圓柱體積和側(cè)面積公式求解．【解答】解：（1）因為為圓柱的母線，所以垂直于上底面，所以是直線與上底面所成角，，所以．（2）因為圓柱過的截面為正方形，所以，所以圓柱的體積為，圓柱的側(cè)面積為．【點評】本題考查了直線與平面成角問題，考查了圓柱的體積與側(cè)面積計算問題，屬于中檔題．17．（2021?上海）四棱錐，底面為正方形，邊長為4，為中點，平面．（1）若為等邊三角形，求四棱錐的體積；（2）若的中點為，與平面所成角為，求與所成角的大?。枷榻狻剑?）由，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)，進行運算，即可；（2）由平面，知，進而有，，由，知或其補角即為所求，可證平面，從而有，最后在中，由，得解．【解答】解：（1）為等邊三角形，且為中點，，，又平面，四棱錐的體積．（2）平面，為與平面所成角為，即，為等腰直角三角形，，分別為，的中點，，，，或其補角即為與所成角，平面，，又，，、平面，平面，，在中，，故與所成角的大小為．【點評】本題考查棱錐的體積、線面角和異面直線夾角的求法，理解線面角的定義，以及利用平移法找到異面直線所成角是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（2021?上海）如圖，在長方體中，已知，．（1）若是棱上的動點，求三棱錐的體積；（2）求直線與平面的夾角大?。枷榻狻剑?）直接由三棱錐的體積公式求解即可；（2）易知直線與平面所成的角為，求出其正弦值，再由反三角表示即可．【解答】解：（1）如圖，在長方體中，；（2）連接，，四邊形為正方形，則，又，，平面，直線與平面所成的角為，．直線與平面所成的角為．【點評】本題考查三棱錐體積的求法，考查線面角的求解，考查推理能力及運算能力，屬于中檔題．19．（2020?上海）已知是邊長為1的正方形，正方形繞旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱．（1）求該圓柱的表面積；（2）正方形繞逆時針旋轉(zhuǎn)至，求線段與平面所成的角．〖祥解〗（1）該圓柱的表面由上下兩個半徑為1的圓面和一個長為、寬為1的矩形組成，依次求出圓面和矩形的面積，相加即可；（2）先利用線面垂直的判定定理證明平面，連接，則即為線段與平面所成的角，再利用三角函數(shù)的知識求出即可．【解答】解：（1）該圓柱的表面由上下兩個半徑為1的圓面和一個長為、寬為1的矩形組成，．故該圓柱的表面積為．（2）正方形，，又，，，且、平面，平面，即在面上的投影為，連接，則即為線段與平面所成的角，而，線段與平面所成的角為．【點評】本題考查圓柱的表面積、空間線面夾角問題，熟練掌握線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．一十一．二面角的平面角及求法（共2小題）20．（2024?上海）如圖，、、為圓錐三條母線，．（1）證明：；（2）若圓錐側(cè)面積為為底面直徑，，求二面角的大小．〖祥解〗（1）取中點，連接，，證明面，即可證得結(jié)論；（2）法交于，連接，可得為兩個平面所成的二面角的平面角，由等面積法求出的值，求出的余弦值，進而可得二面角的平面角，法建立空間直角坐標系，由題設(shè)求得平面和平面的法向量，利用向量夾角公式求得二面角的大小．【解答】（1）證明：取中點，連接，，因為，，所以，，又因為，面，，所以面，又面，所以；（2）解：法由（1）可知，，又底面，作，交于，連接，由題意△△，可得，所以為所求的二面角的平面角，連接，則，因為圓錐側(cè)面積為為底面直徑，，所以底面半徑為1，母線長為，所以，，，，，，即，解得，所以，所以，所以二面角的平面角為鈍角，所以二面角的大小為．法由（1）可知，，又底面，因為圓錐側(cè)面積為為底面直徑，，所以底面半徑為1，母線長為，所以，建立以為軸，為軸，以為軸的坐標系，則可得，故，設(shè)為平面的一個法向量，由，，可得，令，則，可得，設(shè)為平面的一個法向量，由，，可得，令，則，可得，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，所以二面角的大小為．【點評】本題考查線面垂直及線線垂直的判定，考查二面角的求法，屬中檔題．21．（2023?上海）已知直四棱柱，，，，，．（1）證明：直線平面；（2）若該四棱柱的體積為36，求二面角的大?。枷榻狻剑?）先證明平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)，即可證明；（2）先根據(jù)體積建立方程求出，再利用三垂線定理作出所求二面角的平面角，最后再解三角形，即可求解．【解答】解：（1）證明：根據(jù)題意可知，，且，可得平面平面，又直線平面，直線平面；（2）設(shè)，則根據(jù)題意可得該四棱柱的體積為，，底面，在底面內(nèi)過作，垂足點為，則在底面內(nèi)的射影為，根據(jù)三垂線定理可得，故即為所求，在中，，，，，又，，二面角的大小為．【點評】本題考查線面平行的證明，面面平行的判定定理與性質(zhì)，二面角的求解，三垂線定理作二面角，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．一十二．點、線、面間的距離計算（共1小題）22．（2023?上海）已知三棱錐中，平面，，，，為中點，過點分別作平行于平面的直線交、于點，．（1）求直線與平面所成角的大小；（2）證明：平面平面，并求直線到平面的距離．〖祥解〗（1）連接，，為直線與平面所成的角，在中，求解即可；（2）先證明平面，可得為直線到平面的距離．進則求的長即可．【解答】解：（1）連接，，平面，為直線與平面所成的角，在中，，，為中點，，，即直線與平面所成角為；（2）由平面，平面，，平面平面，平面，平面，，，，，平面，平面，為直線到平面的距離，平面，平面，平面平面，，為中點，為中點，，直線到平面的距離為2．【點評】本題考查直線與平面所成的角，考查直線與平面的距離的求法，屬中檔題．一．選擇題（共16小題）1．（2024?普陀區(qū)模擬）若一個圓錐的體積為，用通過該圓錐的軸的平面截此圓錐，得到的截面三角形的頂角為，則該圓錐的側(cè)面積為A． B． C． D．〖祥解〗求出圓錐的底面圓半徑和高，母線長，即可計算圓錐的側(cè)面積．【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為，高為，由軸截面三角形的頂角為，得，所以圓錐的體積為，解得，所以圓錐的母線長為，所以圓錐的側(cè)面積為．故選：．【點評】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．2．（2024?閔行區(qū)校級模擬）在空間中，“、為異面直線”是“、不相交”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件〖祥解〗根據(jù)題意，由異面直線的定義和充分必要條件的判斷方法分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若、為異面直線，則、一定不相交，反之，若、不相交，則、為異面直線或，故“、為異面直線”是“、不相交”的充分非必要條件．故選：．【點評】本題考查異面直線的定義，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?寶山區(qū)二模）已知直線、、與平面、，下列命題正確的是A．若，，，則 B．若，，則 C．若，則 D．若，，則〖祥解〗根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，與可能平行，也可能異面，錯誤；對于，與可能平行、也能相交，錯誤；對于，與可以平行、也可以相交或異面，錯誤；對于，若，，必有，正確；故選：．【點評】本題考查直線、平面的位置關(guān)系，涉及線面平行的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）如圖，在四面體中，，，．點在上，且，為的中點，則A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的線性運算，即可求解．【解答】解：，為的中點，，，，則．故選：．【點評】本題主要考查向量的線性運算，是基礎(chǔ)題．5．（2024?長寧區(qū)校級三模）如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，則A．，且直線、是異面直線 B．，且直線、是異面直線 C．，且直線、是相交直線 D．，且直線、是相交直線〖祥解〗取的中點，連接、，連接、，設(shè)，證明，即可得結(jié)論．【解答】解：取的中點，連接、，連接、，設(shè)，則，，平面平面，且平面平面，，則平面，可得，，在正方形中，，在等腰三角形中，，又是線段的中點，是的中點，，可得，即，且直線、是相交直線．故選：．【點評】本題考查空間直線與直線的位置關(guān)系，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．（2024?靜安區(qū)二模）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中真命題是A．若，，則 B．若，，，則 C．若，，則 D．若，，，，則〖祥解〗由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個選項得答案．【解答】解：若，，則或與相交或與異面，故錯誤；若，，，則或與相交，故錯誤；若，，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得，故正確；若，，，，當(dāng)與相交時，有，否則，與不一定平行，故錯誤．故選：．【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．7．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）空間向量在上的投影向量為A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)兩個向量的坐標，結(jié)合投影向量概念，可以通過計算得出結(jié)果．【解答】解：與方向相同的單位向量為，由，，則，，所以向量在向量上的投影向量為．故選：．【點評】本題考查的知識要點：向量的坐標運算，向量的投影，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知正方體的棱長為2，點，分別是棱，的中點，點在平面內(nèi)，點在線段上，若，則長度的最小值為A． B． C． D．〖祥解〗取中點，則面，即，可得點在以為圓心，1以半徑的位于平面內(nèi)的半圓上．即到的距離減去半徑即為長度的最小值，作于，可得，長度的最小值為．【解答】解：如圖，取中點，則面，即，，則，點在以為圓心，1以半徑的位于平面內(nèi)的半圓上．可得到的距離減去半徑即為長度的最小值，作于，△的面積為，，可得，長度的最小值為．故選：．【點評】本題考查線段長的最小值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．9．（2024?青浦區(qū)校級模擬）如圖，四邊形的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形，已知，，則下列說法正確的是A． B． C．四邊形的周長為 D．四邊形的面積為〖祥解〗根據(jù)直觀圖與平面圖的聯(lián)系還原計算各選項即可．【解答】解：如圖過作，由等腰梯形可得：△是等腰直角三角形，即，即錯誤；還原平面圖為下圖，即，即錯誤；過作，由勾股定理得，故四邊形的周長為：，即錯誤；四邊形的面積為：，即正確．故選：．【點評】本題主要考查了平面圖形的直觀圖，屬于中檔題．10．（2024?黃浦區(qū)校級三模）如圖，點是棱長為2的正方體表面上的一個動點，直線與平面所成的角為，則點的軌跡長度為A． B． C． D．〖祥解〗由題意易得點的軌跡為圓錐的側(cè)面與正方體的表面的交軌，進而求解即可．【解答】解：若直線與平面所成的角為，則點的軌跡為圓錐的側(cè)面與正方體的表面的交軌，在平面內(nèi)，點的軌跡為對角線（除掉點，不影響）；在平面內(nèi)，點的軌跡為對角線（除掉點，不影響）；在平面內(nèi)是以點為圓心2為半徑的圓弧，如圖，故點的軌跡長度為．故選：．【點評】本題考查軌跡的長度的計算，屬中檔題．11．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）設(shè)，，，是空間中給定的個不同的點，則使成立的點的個數(shù)為A．1 B． C．無窮多個 D．前面的說法都有可能〖祥解〗設(shè)出點的坐標，利用向量坐標運算得到方程，表達出點的坐標，得到答案．【解答】解：設(shè)，，，，，，由得，所以，，，所以，所以滿足條件的點的個數(shù)為1個．故選：．【點評】本題考查了向量的坐標運算，屬于中檔題．12．（2024?浦東新區(qū)三模）邊長都是為1的正方形和正方形所在的兩個半平面所成的二面角為，、分別是對角線、上的動點，且，則的取值范圍是A． B． C． D．〖祥解〗由二面角的平面角定義，可得為和所在的兩個半平面所成的二面角，設(shè)，，利用相似三角形得出和，再利用余弦定理求得的表達式，進而求得取值范圍．【解答】解：設(shè)，，則，由題意，，在上的投影是同一點，設(shè)為，連接，，則為和所在的兩個半平面所成的二面角，則，由，可得，由，可得，在中，由余弦定理可得：，因為，所以，則．故選：．【點評】本題考查二面角的定義，考查相似三角形及余弦定理的應(yīng)用，屬中檔題．13．（2024?閔行區(qū)校級三模）空間和兩條異面直線同時都垂直且相交的直線A．不一定存在 B．有且只有1條 C．有1條或不存在 D．有無數(shù)條〖祥解〗利用平行平面確定有都垂直的直線，再利用垂直平面說明有與兩條異面直線都垂直且相交的直線，然后用反證法說明這樣的直線只有一條．【解答】解：如圖，，是異面直線，過上一點作直線，則，相交，設(shè)，確定的平面為，當(dāng)直線與平面垂直時，則直線與，都垂直，從而也與垂直，因此有與異面直線，都垂直的直線，過與直線平行的平面是唯一的，設(shè)是在平面內(nèi)的射影，，在平面內(nèi)（即，，是過點的直線，因此，從而與相交，直線是與，既垂直又相交的直線，若與，既垂直又相交的直線有兩條為，，，不可能平行（否則，共面），若，不相交，過與的交點作直線，，相交，由，確定的平面為（若，相交，則平面就是由，確定的平面），可得，與平面都是垂直，從而，這是不可能的，與，既垂直又相交的直線只有一條，故選：．【點評】本題考查平行平面、垂直平面、異面直線、反證法等基礎(chǔ)知識，考查空間思維能力，是中檔題．14．（2024?金山區(qū)二模）如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，則以下命題中正確的是A． B． C．、、三點共線 D．直線與相交〖祥解〗對于，取中點，連接，，則，平面，從而平面，，由此推導(dǎo)出；對于，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，推導(dǎo)出與不垂直；對于，推導(dǎo)出，，，，1，，從而、、三點不共線；對于，連接，則點為中點，，平面，平面，同理可得平面，從而與相交．【解答】解：對于，取中點，連接，，則，且，，平面，平面，平面，，，，故錯誤；對于，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，0，，，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，，與不垂直，故錯誤；對于，，2，，，，，，1，，、、三點不共線，故錯誤；對于，連接，則點為中點，，平面，平面，同理可得平面，與平行，與相交，故正確．故選：．【點評】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、空間直角坐標系、三點共線等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．15．（2024?寶山區(qū)校級四模）已知正方體和點，有兩個命題：命題甲：存在條過點的直線，滿足與正方體的每條棱所成角都相等；命題乙：存在個過點的平面，滿足與正方體的每個面所成銳二面角都相等；則下列判斷正確的是A． B． C． D．、的大小關(guān)系與點的位置有關(guān)〖祥解〗作出正方體四條體對角線，四條體對角線與正方體的每條棱所成角都相等，得到；從正方體一個頂點出發(fā)，得到正三棱錐，得到與正方體的每個面所成銳二面角都相等的平面，由對稱性可得，由此能求出結(jié)果．【解答】解：正方體有四條體對角線，四條體對角線與正方體的每條棱所成角都相等，夾角的正切值為，過點可以作4條直線，4條直線分別與4條體對角線平行，正方體只有4條體對角線，；過正方體的一個頂點可以作出正三棱錐，比如，可以證明平面與正方體的三個平面，平面，平面的銳二面角相等，設(shè)平面與平面的夾角為，，相交于點，連接，則即為平面與平面的夾角，，可以求出平面與平面，平面與平面的銳二面角的正切值均為，根據(jù)面面平行，故平面與正方體的每個面所成銳二面角都相等，從8個頂點可以作出8個類似的正三棱錐，得到八個平面，分別為平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，但平面，平面，平面，平面分別與平面，平面，平面，平面，平面平行，綜上，過點共可以作4個平面滿足與正方體的每個面所成銳二面角都相等，．故選：．【點評】本題考查正方體結(jié)構(gòu)特征、二面角等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．16．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）如圖，三棱柱滿足棱長都相等且平面，是棱的中點，是棱上的動點．設(shè)，隨著增大，平面與底面所成銳二面角的平面角是A．先增大再減小 B．減小 C．增大 D．先減小再增大〖祥解〗以為原點，在平面中過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與底面所成銳二面角的平面角隨著增大而增大．【解答】解：以為原點，在平面中過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正三棱柱中所在棱長都是2，則，1，，，2，，，0，，，1，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，平面的法向量，0，，設(shè)平面與底面所成銳二面角的平面角為，，隨著增大而先增大后減小，隨著增大而先減小后增大．故選：．【點評】本題考查二面角的平面角的變化趨勢的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．二．填空題（共20小題）17．（2024?黃浦區(qū)二模）若一個圓柱的底面半徑為2，母線長為3，則此圓柱的側(cè)面積為．〖祥解〗根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，計算即可．【解答】解：因為圓柱的底面半徑為2，母線長為3，所以圓柱的側(cè)面積為．故答案為：．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的表面積計算問題，是基礎(chǔ)題．18．（2024?嘉定區(qū)二模）已知圓錐的母線長為2，高為1，則其體積為．〖祥解〗求出底面半徑，根據(jù)圓錐的體積公式計算即可．【解答】解：圓錐的母線長為，高為，則底面半徑，圓錐的體積．故答案為：．【點評】本題主要考查圓錐體積的求法，圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?松江區(qū)校級模擬）半徑為2的球的體積為．〖祥解〗由球體體積公式可得答案．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題考查球的體積公式，屬基礎(chǔ)題．20．（2024?楊浦區(qū)二模）正方體中，異面直線與所成角的大小為．〖祥解〗，為異面直線與所成角，由此即可得．【解答】解：正方體中，，則為異面直線與所成角，．故答案為：．【點評】本題考查異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題．21．（2024?虹口區(qū)二模）已知某球體的表面積為，則該球體的體積是．〖祥解〗設(shè)出球的半徑，由表面積求得半徑，再代入體積公式求解．【解答】解：設(shè)球的半徑為，則，即．該球的體積為．故答案為：．【點評】本題考查球的表面積與體積，是基礎(chǔ)的計算題．22．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知空間向量，，共面，則實數(shù)3．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的共面定理，即可求解．【解答】解：，，共面，則存在實數(shù)，使得，，即，解得．故答案為：3．【點評】本題主要考查空間向量的共面定理，屬于基礎(chǔ)題．23．（2024?崇明區(qū)二模）已知向量，，，，1，，若，則．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：向量，，，，1，，，則，解得．故答案為：．【點評】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．24．（2024?松江區(qū)校級模擬）如圖是三角形用斜二測畫法得到的水平直觀圖三角形，其中軸，軸，若三角形的面積是6，則三角形的面積是．〖祥解〗根據(jù)平面圖形的直觀圖面積與原圖面積關(guān)系求解．【解答】解：因為平面圖形的直觀圖面積與原圖面積之比為：，所以三角形的面積是．故答案為：．【點評】本題主要考查了平面圖象的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題．25．（2024?崇明區(qū)二模）已知底面半徑為1的圓柱，是其上底面圓心，、是下底面圓周上兩個不同的點，是母線．若直線與所成角的大小為，則．〖祥解〗過作與平行的母線，由異面直線所成角的概念得到為．在直角三角形中，直接由得到答案．【解答】解：如圖，過作與平行的母線，連接，則為直線與所成的角，大小為．在直角三角形中，因為，所以．則．故答案為：．【點評】本題考查了異面直線所成的角，考查了直角三角形的解法，是基礎(chǔ)題．26．（2024?松江區(qū)校級模擬）已知正方體的棱長為4，點、分別是棱、的中點，則過、、確定的平面被正方體所截的截面面積為．〖祥解〗設(shè)直線與、分別交于點、，連接、，分別交、于點、，連接、，則五邊形就是所求截面，然后利用勾股定理算出△的三邊之長，根據(jù)余弦定理與三角形的面積公式求出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出、，進而求出五邊形的面積，即可得到本題的答案．【解答】解：延長、，與直線分別交于點、，連接，交于點，連接，交于點，連接、，則五邊形就是、、確定的平面被正方體所截得到的截面．△中，，，可得，同理可得．△中，，在△中，，可得，所以．根據(jù)，可得，所以，同理可得．所以，即、、確定的平面被正方體所截的截面面積為．故答案為：．【點評】本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、平面的基本性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解三角形及其應(yīng)用等知識，屬于中檔題．27．（2024?浦東新區(qū)二模）如圖，有一底面半徑為1，高為3的圓柱．光源點沿著上底面圓周做勻速運動，射出的光線始終經(jīng)過圓柱軸截面的中心．當(dāng)光源點沿著上底面圓周運動半周時，其射出的光線在圓柱內(nèi)部“掃過”的面積為．〖祥解〗由已知得射出的光線在圓柱內(nèi)部“掃過”的面積是以為頂點，以圓柱的底面為底面的圓錐的半個側(cè)面積，求該圓錐的側(cè)面積即可．【解答】解：由已知得射出的光線在圓柱內(nèi)部“掃過”的面積是以為頂點，以圓柱的底面為底面的圓錐的半個側(cè)面積，共兩個，因為圓柱的高為3，定義圓錐的高為，所以圓錐的母線長為，所以面積為．故答案為：．【點評】本題主要考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓錐的側(cè)面積公式，屬于中檔題．28．（2024?青浦區(qū)二模）如圖，在棱長為1的正方體中，、、在棱、、上，且，以為底面作一個三棱柱，使點，，分別在平面、、上，則這個三棱柱的側(cè)棱長為．〖祥解〗建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，根據(jù)三棱柱中向量相等得到坐標，進而得到的坐標，從而得到側(cè)棱的長度，即得答案．【解答】解：以為原點，以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，0，，，，，，，，則，，，，，，，，，，，，由三棱柱可知，即，所以，，，即，所以，，所以，所以，故這個三棱柱的側(cè)棱長為．故答案為：．【點評】本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．29．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）半徑為的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高，球缺的體積公式為．已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，在圓錐內(nèi)部放置一個小球，使其與圓錐側(cè)面和底面都相切，過小球與圓錐側(cè)面的切點所在的平面將小球分成兩部分，則較小部分的球缺的體積與球的體積之比為．〖祥解〗依題意作圓錐軸截面圖，按球缺的定義結(jié)合幾何條件即可求解．【解答】解：如圖所示為圓錐軸截面，，為小球與圓錐側(cè)面的切線上兩點，圓錐母線，設(shè)內(nèi)切球的半徑為．由題意是等邊三角形，則，，所以小球的半徑．又，所以，則，解得，則是中點，同理可得是中點，所以，故到的距離為，則上部分球缺的高，上部分即較小部分球缺的體積為，則較小部分球缺的體積與球的體積之比為．故答案為：．【點評】本題考查球體的體積的計算，考查轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力和直觀想象，屬于中檔題．30．（2024?普陀區(qū)校級模擬）正四面體的棱長為12，點是該正四面體內(nèi)切球球面上的動點，當(dāng)取得最小值時，點到的距離為．〖祥解〗先根據(jù)正四面體的體積求出內(nèi)切球的半徑，取的中點為，再根據(jù)數(shù)量積得到，可得當(dāng)?shù)拈L度最小時，取得最小值，再求出球心到點的距離，從而可得點到的距離為，進而求解即可．【解答】解：由正四面體的棱長為12，則其高為，則其體積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，解得，如圖，取的中點為，則，顯然，當(dāng)?shù)拈L度最小時，取得最小值，設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，可求得，則球心到點的距離，所以內(nèi)切球上的點到點的最小距離為，即當(dāng)取得最小值時，點到的距離為．故答案為：．【點評】本題主要考查了幾何體的內(nèi)切球問題，考查了向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．31．（2024?青浦區(qū)校級模擬）已知正四面體的邊長為1，是空間一點，若，則的最小值為．〖祥解〗首先求得正四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑，再根據(jù)空間向量的線性運算及數(shù)量積運算，求得，從而判定點位于內(nèi)切球上，得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)是正四面體內(nèi)切球的球心，由體積法可求正四面體的內(nèi)切球半徑為，正四面體的外接球半徑為，則，即，所以是正四面體內(nèi)切球上一點，故的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查空間距離求法，考查球與幾何體的切、接問題，屬中檔題．32．（2024?虹口區(qū)二模）如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，且．若，點為棱的中點，點在上，則線段，的長度和的最小值為．〖祥解〗找出線段，的長度和的最小值，然后通過求解三角形，推出結(jié)果．【解答】解：取的中點為，連接，又為的中點，則，又，則，，，四點共面，將平面翻折到與平面共面，則線段，的長度和的最小值為的長度，由題意知，，，，，，，．故答案為：．【點評】本題考查直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，空間距離的求法，是中檔題．33．（2024?虹口區(qū)模擬）如圖，這是某同學(xué)繪制的素描作品，圖中的幾何體由一個正四棱錐和一個正四棱柱貫穿構(gòu)成，正四棱柱的側(cè)棱平行于正四棱錐的底面，正四棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為6，正四棱柱的底面邊長為，，，是正四棱錐的側(cè)棱和正四棱柱的側(cè)棱的交點，則2．〖祥解〗先作出截面，再由截面分析出各三角形的邊長，利用相似三角形求解即可．【解答】解：過作垂直于四棱錐底面的截面，如圖所示，由條件可知為底面正方形的對角線，所以，所以，長度為正四棱柱底面正方形的對角線，所以，長度為正四棱柱底面正方形的對角線的一半，所以，由可得，解得，，由可得，所以．故答案為：2．【點評】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，屬于中檔題．34．（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體中，，，，設(shè)四面體與四面體的體積分別為、，則的值為．〖祥解〗根據(jù)題意易得，，，再作出底面圖形，根據(jù)向量共線定理，三棱錐的體積公式，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解．【解答】解：，，，，，，，，，作出底面圖形，延長，交于點，如圖所示：由，可得，設(shè)，又，，又，，三點共線，，，，又，，，又，且，，．故答案為：．【點評】本題考查四面體的體積問題，向量的線性運算，向量共線定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．35．（2024?浦東新區(qū)校級三模）正方體的棱長為2，為該正方體側(cè)面內(nèi)的動點（含邊界），若，分別與直線所成角的正切值之和為，則四棱錐的體積的取值范圍為，．〖祥解〗作出圖形，根據(jù)題意易得，從而可得的軌跡是正方形內(nèi)，以，為焦點，長軸長為的橢圓的部分，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可求出四棱錐的高的最值，即可求解．【解答】解：如圖所示：根據(jù)題意易知，分別與直線所成角分別為，，，，的軌跡是正方形內(nèi)，以，為焦點，長軸長為的橢圓的部分，即曲線，，，，，又與均為橢圓通徑的一半，即，四棱錐的高的最大值為，最小值為，四棱錐的體積最小值為，最大值為，四棱錐的體積的取值范圍為，．故答案為：，．【點評】本題考查立體幾何中動點軌跡問題，橢圓的定義與幾何性質(zhì)，四棱錐的體積的最值的求解，屬中檔題．36．（2024?奉賢區(qū)三模）已知正方體的棱長為3，，，，為正方形邊上的個兩兩不同的點．若對任意的點，存在點，，2，，，．使得直線與平面以及平面所成角大小均為，則正整數(shù)的最大值為8．〖祥解〗先確定當(dāng)與平面所成角大小均為時，，滿足的條件，同理確定當(dāng)直線與平面所成角大小均為時，，滿足的條件，再考慮如何做出，即可．【解答】解：如圖，設(shè)，是正方形的兩個點，且滿足直線與平面所成角大小均為，過作于，連接，則為直線與所成角，是，，在平面中，以為圓心，為半徑作圓，取為圓上一點，過作圓的切線，切線與正方形邊的交點即為，，，與平面所成角為，以為圓心，為半徑作圓，作該圓的切線，切線與正方形邊的交線即為，，如圖，，與相離，兩圓有4條公切線，與正方形的邊有8個交點，在這8個交點中，任選一個點，存在點，，2，，，，使得直線與平面以及平面所成角大小均為．正整數(shù)的最大值為8．故答案為：8．【點評】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、直線與平面所成角等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是難題．三．解答題（共24小題）37．（2024?松江區(qū)二模）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點．（1）設(shè)平面與直線相交于點，求證：；（2）若，，，求直線與平面所成角的大小．〖祥解〗（1）根據(jù)線面平行的判定定理，證出平面，然后根據(jù)平面平面，利用線面平行的性質(zhì)定理證出；（2）連接，取中點，連接、，根據(jù)線面垂直的判定定理，證出平面，可得是直線與平面的所成角，然后在中利用銳角三角函數(shù)的定義算出答案．【解答】（1）證明：平面與直線相交于點，平面平面，四邊形是菱形，，平面，平面，平面，平面，平面平面，；（2）解：連接，取中點，連接、，菱形中，，，是等邊三角形，是中點，，平面，平面，，、平面，，平面．是直線與平面的所成角，是中點，，．平面，平面，，為中點，，中，，等邊中，高，中，，可得，即直線與平面的所成角等于．【點評】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)、直線與平面所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題．38．（2024?虹口區(qū)二模）如圖，在三棱柱中，，為的中點，，．（1）求證：平面；（2）若平面，點在棱上，且平面，求直線與平面所成角的正弦值．〖祥解〗（1）連接，交于點，連接，利用三角形中位線定理證出，進而根據(jù)線面平行的判定定理證出平面；（2）根據(jù)題意可知是直線與平面的所成角，然后利用三角形相似求出長，在中利用銳角三角函數(shù)的定義算出，即可得到本題的答案．【解答】（1）證明：連接，交于點，連接，為的中點，平行四邊形中，為的中點，是的中位線，可得，平面，平面，平面；（2）解：平面，三棱柱是直三棱柱，中，，為的中點，，，△中，，平面，平面，，矩形中，，可得，即，解得．平面，為在平面內(nèi)的射影，是直線與平面的所成角，中，，，即直線與平面所成角的正弦值等于．【點評】本題主要考查三棱柱的結(jié)構(gòu)特征、線面垂直的判定與性質(zhì)、直線與平面所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題．39．（2024?長寧區(qū)二模）如圖，在長方體中，，．（1）求二面角的大??；（2）若點在直線上，求證：直線平面．〖祥解〗（1）連接，交于點，連接，證明平面，得出，由，得出是二面角的平面角，利用△求出的大小即可．（2）連，，證明平面平面，即可得出平面．【解答】（1）解：連接，交于點，連接，因為，，且，所以平面，又平面，所以；又，所以是二面角的平面角，由平面，所以△是直角三角形．所以，所以，即二面角的大小為．（2）證明：連，，則，且，，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，同理，，且，，所以平面平面，又點在上，所以平面，所以平面．【點評】本題考查了二面角的大小計算問題，也考查了空間中的平行關(guān)系應(yīng)用問題，是中檔題．40．（2024?黃浦區(qū)二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，點是棱上的一點，平面．（1）求證：點是棱的中點；（2）若平面，，，與平面所成角的正切值為，求二面角的大?。枷榻狻剑?）連接，交于點，連接，由平面，證明，由，得出即可．（2）根據(jù)題意知是直線于平面所成的角，求出、，建立空間直角坐標系，利用坐標表示向量，求出平面的法向量，利用法向量求二面角的大?。窘獯稹浚?）證明：連接，交于點，連接，因為平面，平面，平面平面，所以，又因為是矩形，所以，所以，為的中點．（2）解：因為平面，所以是直線于平面所成的角，又因為平面，所以，所以，所以，又因為，，所以，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則，0，，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，所以，令，得，，所以，，，，，由圖形知，二面角所成的角為銳角，所以二面角的大小為．【點評】本題考查了空間軸的平行關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了二面角的大小計算問題，是中檔題．41．（2024?金山區(qū)二模）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，點是的中點，點在上，異面直線與所成的角是．（1）求證：；（2）若，，求二面角的大小．〖祥解〗（1）證明，，得出平面，即可證明．（2）解法一：取的中點，連接，，，取的中點，連接，，，判斷為所求二面角的平面角，利用余弦定理求出，從而求出二面角的大?。夥ǘ航⒖臻g直角坐標系，利用坐標表示向量，求出平面一個法向量，利用法向量求二面角的大?。窘獯稹拷猓海?）證明：因為，所以是直線與所成角，為，所以，得，又因為，且，所以平面，由平面，得．（2）解法一：取的中點，連接，，．因為，所以四邊形為菱形，所以．取中點，連接，，．則，，所以為所求二面角的平面角．又，所以．在中，由于，由余弦定理得，所以，因此為等邊三角形，故所求的角為．解法二：以為坐標原點，分別以、、的方向為、、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．由題意得，0，，，0，，，，，，，，故，0，，，，，，0，，設(shè)是平面的一個法向量．由，可得，取，可得平面的一個法向量．設(shè)是平面的一個法向量．由，可得，取，可得平面的一個法向量．所以．因此所求的角為．【點評】本題考查了空間中的垂直關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了二面角的大小計算問題，是中檔題．42．（2024?閔行區(qū)校級二模）在四棱錐中，底面是正方形，若，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．〖祥解〗（Ⅰ）由證明，再由，證明平面，即可證明平面平面．（Ⅱ）取的中點，在平面內(nèi)作，以所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，再求，即可．【解答】（Ⅰ）證明：中，，，，所以，所以；又，，平面，平面，所以平面；又平面，所以平面平面．（Ⅱ）解：取的中點，在平面內(nèi)作，以所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則，0，，，，，，1，，，0，，因為平面，所以平面的一個法向量為，0，，設(shè)平面的一個法向量為，，，由，2，，，，，得，即，令，得，，所以，2，；所以，，所以二面角的平面角的余弦值為．【點評】本題考查了空間中的垂直關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了利用空間向量求二面角的余弦值應(yīng)用問題，也可以直接利用二面角的定義求二面角的余弦值，是中檔題．43．（2024?徐匯區(qū)校級模擬）如圖，在圓柱中，底面直徑等于母線，點在底面的圓周上，且，是垂足．（1）求證：；（2）若圓柱與三棱錐的體積的比等于，求直線與平面所成角的大?。枷榻狻剑?）欲證，先證平面，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證，，且，即可證得線面垂直；（2）點作，是垂足，連接，易證是與平面所成的角，在三角形中求出此角即可．【解答】證明：（1）根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面．平面，．是圓柱底面的直徑，點在圓周上，，又，故得平面．平面，．又，且，故得平面．平面，．解：（2）過點作，是垂足，連接．根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面平面，是交線．且平面，所以平面．又平面，所以是在平面上的射影，從而是與平面所成的角．設(shè)圓柱的底面半徑為，則，于是圓柱，．由，得，可知是圓柱底面的圓心，，．【點評】本小題主要考查空間線面關(guān)系、圓柱性質(zhì)、空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．44．（2024?普陀區(qū)模擬）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，，、分別是、的中點．（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的大?。枷榻狻剑?）取線段、的中點分別為、，可得，由此可證明；（2）平面，是直線與平面所成角，由此計算即可．【解答】（1）證明：取線段、的中點分別為、，連接、、，則，，，，又底面是正方形，則，，即四邊形為平行四邊形，則，又，平面，則平面．（2）為中點，連接、，又，底面是邊長為1的正方形，則，且，，又二面角的大小為，即平面平面，又平面，平面平面，則平面，則是直線與平面所成角，在中，，即，則直線與平面所成角的大小為．【點評】本題考查線面平行的判定，考查線面所成的角，屬于中檔題．45．（2024?松江區(qū)校級模擬）如圖，在圓錐中，是圓錐的頂點，是圓錐底面圓的圓心，是圓錐底面圓的直徑，等邊三角形是圓錐底面圓的內(nèi)接三角形，是圓錐母線的中點，，．（1）求證：平面；（2）設(shè)線段與交于點，求直線與平面所成角的正弦值．〖祥解〗（1）取的中點，由題意可證得，進而可證得平面；（2）建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，進而求出直線的方向向量及平面的法向量的坐標，求出，的值，進而求出線面所成的角的正弦值．【解答】（1）證明：取的中點，連接，又因為為的中點，所以，因為是圓錐底面圓的圓心，所以，因為，為等邊三角形，所以，且為的中點，平面，平面，所以平面；（2）解：以，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，因為，，則，，，，所以，0，，，0，，，，，，0，，，0，，因為，所以，即，，，所以，，，，3，，，3，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，，所以，，，所以，，設(shè)直線與平面所成的角為，，，所以，．所以直線與平面所成的角正弦值為．【點評】本題考查直線與平面平行的證法及用空間向量的方法求線面角的正弦值，屬于中檔題．46．（2024?奉賢區(qū)三模）如圖，四棱錐的底面是梯形，，，，平面，．（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求與平面所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）〖祥解〗（1）由題意可證得，進而可證得結(jié)論；（2）由（1）可得，由題意可得，的大小，進而可得的值，即可得與平面所成的角的大?。窘獯稹浚?）證明：連接，因為平面，平面，所以，而，，所以平面；（2）解：因為二面角的大小為，由（1）可得，可得為二面角的平面角，即；因為，，可得，所以，可得，可得，因為，所以，，所以，由（1）可得平面，所以為與平面所成的角，則，所以．與平面所成的角的大小為．【點評】本題考查直線與平面垂直的證法及線面角的求法，屬于中檔題．47．（2024?徐匯區(qū)模擬）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面圓的圓心，為圓的直徑，且，是底面圓的內(nèi)接正三角形，為線段上一點，且．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．〖祥解〗（1）由勾股定理可得，，由此即可證明；（2）利用體積相等即可得與平面所成角．【解答】（1）證明：由題意得，，，，，在中，由，得，同理可得，又，故平面（2）解：，，則，．記點到平面的距離為，因為，所以，則，設(shè)直線與平面所成角為，，因此，直線與平面所成角的正弦值為．【點評】本題考查線面垂直的判定，考查線面所成的角，屬于中檔題．48．（2024?黃浦區(qū)校級三模）如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，是棱的中點，．（1）證明：平面；（2）若二面角為，求異面直線與所成角的正切值．〖祥解〗（1）利用面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)判定推理即得；（2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用異面直線所成角的定義求出其正切值．【解答】解：（1）在四棱錐中，由底面為矩形，得，由側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，得平面，又平面，則，又側(cè)面是正三角形，是的中點，則，又，，平面，所以平面．（2）如圖，在平面內(nèi)，過點作，垂足為，顯然，由側(cè)面底面，交線為，得底面，底面，則，過作，垂足為，連接，顯然，，平面，則平面，而平面，因此，則即為二面角的平面角，其大小為，在中，，則，由，，得四邊形為平行四邊形，則，由，得（或其補角）為異面直線與所成角，由（1）知平面，則為直角三角形，，所以異面直線與所成角的正切值為．【點評】本題考查線面垂直的判定以及空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．49．（2024?普陀區(qū)校級三模）四棱錐中，平面，底面是正方形，，點是棱上一點．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)為中點時，求二面角的正弦值．〖祥解〗（1）由平面，知，結(jié)合，可證平面，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角，即可得解．【解答】（1）證明：因為平面，平面，所以，因為底面是正方形，所以，又，、平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．（2）解：以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，所以，1，，，0，，，2，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，1，，所以，，由圖知，二面角為銳角，所以二面角的大小為，故二面角的正弦值為．【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理或性質(zhì)定理，利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．50．（2024?普陀區(qū)校級模擬）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，，分別為，的中點．（1）證明：平面平面．（2）求平面與平面的夾角的余弦值．〖祥解〗（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直即可求證線面垂直，進而可證明面面垂直．（2）建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解角．【解答】解：（1）證明：因為，，，所以，所以．因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）取的中點，連接，由于，所以，因為平面平面，且平面平面，平面，故平面，以為坐標原點，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為軸與平行，則，0，，，0，，，0，，，0，，，2，，，1，．設(shè)平面的法向量為，，，則令，得．設(shè)平面的法向量為，，，則令，得．因為，所以平面與平面的夾角的余弦值為．【點評】本題考查面面垂直的證明和平面與平面所成角，屬于中檔題．51．（2024?楊浦區(qū)校級三模）如圖，在多面體中，已知四邊形是菱形，，平面，平面，．（1）在線段上是否存在一點，使得平面平面？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．（2）求二面角的余弦值．〖祥解〗（1）連接與，相交于點，連接，，分別證明，，再由面面平行判定定理的推論，即可得證；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角，即可得解．【解答】解：（1）當(dāng)點是線段的中點時，可使平面平面，理由如下：連接與，相交于點，連接，，因為菱形，所以點是的中點，所以，因為平面，平面，所以，又，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，、平面，，、平面，所以平面平面．（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，1，，，2，，，0，，所以，2，，，1，，，2，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，0，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，1，，所以，，由圖可知，二面角為鈍角，故二面角的余弦值為．【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握面面平行的判定定理，利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．52．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點，，，．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，若二面角的平面角的大小為，試確定的值．〖祥解〗（1）由，，為的中點，可得四邊形為平行四邊形，得到．結(jié)合，得．然后利用面面垂直的性質(zhì)得平面．再由線面垂直的判定得平面平面；（2）由，為的中點，得．結(jié)合（1）可得平面．以為原點建立空間直角坐標系．然后求出平面的一個法向量，再由把平面的一個法向量用含有的代數(shù)式表示，結(jié)合二面角的平面角的大小為求得的值．【解答】（1）求證：，，為的中點，四邊形為平行四邊形，．，，即．又平面平面，且平面平面，平面．平面，平面平面；（2）解：，為的中點，．平面平面，且平面平面，平面．如圖，以為原點建立空間直角坐標系．則面的法向量為；，0，，，0，，，，，．設(shè)，，，則，，，，則，即，在平面中，，，設(shè)平面的一個法向量，由，則，取，得．平面法向量為．二面角為，，解得．【點評】本題考查平面與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．53．（2024?閔行區(qū)二模）如圖，已知為等腰梯形，，，平面，．（1）求證：；（2）求二面角的大?。枷榻狻剑?）連接，利用勾股定理可證，由平面，知，從而有平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理，即可得證；（2）取的中點，連接、，先證，，從而知即為所求，再由三角函數(shù)的知識，求解即可．【解答】（1）證明：連接，為等腰梯形，，，，，，即，平面，且平面，，又，平