《復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)精編資源3/3《復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計必備知識學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向1.復(fù)數(shù)的概念學(xué)習(xí)理解能力觀察記憶概括理解說明論證應(yīng)用實踐能力分析計算推測解釋簡單問題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)抽象【考查內(nèi)容】復(fù)數(shù)的幾何意義、兩個復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù).【考查題型】選擇題、填空題2.兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件邏輯推理3.復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)學(xué)運算直觀想象4.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)運算一、本節(jié)內(nèi)容分析本節(jié)的主要內(nèi)容是復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件及復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)等知識.通過解決負實數(shù)不能開平方以及平面內(nèi)點和向量與復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系問題,感受引入復(fù)數(shù)的必要性,引出復(fù)數(shù)的幾何意義,體現(xiàn)幾何與代數(shù)知識相結(jié)合的思想.本節(jié)包含的核心知識和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識1.復(fù)數(shù)的概念2.兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件3.復(fù)數(shù)的幾何意義4.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)抽象邏輯推理直觀想象數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析學(xué)生在初中已學(xué)習(xí)了平面直角坐標系、絕對值及實系數(shù)的一元二次方程的求解,對實數(shù)范圍內(nèi)沒有解的方程的求解問題,應(yīng)屬于探討的新情境;本冊的第二章學(xué)習(xí)了平面向量的概念及表示,學(xué)生對于數(shù)與形也有了認識,所以本節(jié)知識難度不是很大;但是學(xué)生會對虛數(shù)單位理解不透,對新引入的數(shù)系不習(xí)慣,也會在復(fù)數(shù)幾何意義的理解上有困難.學(xué)情補充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動準備【任務(wù)專題設(shè)計】1.復(fù)數(shù)的概念2.兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件3.復(fù)數(shù)的幾何意義4.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)【教學(xué)目標設(shè)計】1.在問題情境中了解實數(shù)系的擴充過程,掌握復(fù)數(shù)的基本概念、代數(shù)形式及實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)之間的關(guān)系.2.掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件并能解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.3.理解復(fù)數(shù)與坐標平面里的點及向量的對應(yīng)關(guān)系,能利用平面向量解決復(fù)數(shù)的運算、性質(zhì)以及應(yīng)用問題.4.理解復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)概念,能利用數(shù)形結(jié)合的思想解決復(fù)數(shù)模的問題.【教學(xué)策略設(shè)計】1.設(shè)計情境教學(xué),引入未知問題.2.師生共同探究,歸納總結(jié)概念知識.3.利用直觀教學(xué),滲透解決問題中的數(shù)形結(jié)合思想.4.利用典例教學(xué),師生共同探討解決問題的思路.【教學(xué)方法建議】情境教學(xué)法、直觀教學(xué)法,還有__________________________________________【教學(xué)重點難點】重點1.復(fù)數(shù)概念的理解及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示.2.復(fù)數(shù)的兩種幾何意義.難點1.復(fù)數(shù)引入的數(shù)系擴充過程及與平面向量的對應(yīng).2.復(fù)數(shù)相等的充要條件的理解和虛數(shù)、純虛數(shù)的判斷.【教學(xué)材料準備】1.常規(guī)材料:多媒體課件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教學(xué)活動設(shè)計教學(xué)導(dǎo)入師:同學(xué)們,我們知道數(shù)系擴充的脈絡(luò)是:自然數(shù)系→有理數(shù)系→實數(shù)系.【情景設(shè)置】探究復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一元二次方程的解方程在實數(shù)范圍內(nèi)是否有解？如何解決這個方程沒有實數(shù)解的矛盾？一元二次方程的判別式小于零該如何解？師:請學(xué)生獨立思考,這個方程在實數(shù)范圍內(nèi)是否有解？【設(shè)計意圖】應(yīng)用情境教學(xué)策略,提出疑問,激發(fā)學(xué)生興趣,體會數(shù)系擴充的必要性教學(xué)精講探究1復(fù)數(shù)的概念師:遇到新的數(shù)學(xué)問題,實數(shù)系已不能滿足解決問題的要求,數(shù)系需要擴充.需要引入什么樣的數(shù)才能實現(xiàn)數(shù)系的擴充呢？同學(xué)們,帶著疑問,感受一下數(shù)系擴充的必要性.【先學(xué)后教】學(xué)生帶著疑問閱讀教材、自主學(xué)習(xí),教師再展示多媒體,講解復(fù)數(shù)的概念.【情景設(shè)置】探究復(fù)數(shù)的概念我們稱為虛數(shù)單位,;因而方程的根為;思考:1.方程的根如何表示?2.解方程:(1);(2).探究:是數(shù)學(xué)家歐拉(LeonhardEuler,1707-1783)最早引入的,它取自imaginary(想象的,假想的)一詞的詞頭..【學(xué)生思考,合作交流,教師總結(jié)虛數(shù)單位的性質(zhì)】師:為了解決的一元二次方程的求解問題,需要將實數(shù)系進行擴充;依據(jù)數(shù)系的擴充原則,我們將i加入到實數(shù)系中,得到新數(shù)集.在新數(shù)集中,我們希望i和實數(shù)之間仍可以進行加法和乘法的運算,并滿足相應(yīng)的運算律.師:數(shù)系擴充時,一般要遵循哪些原則？【學(xué)生思考,小組討論,總結(jié),回答問題,教師補全】師:(1)增加新元素,新舊元素在一起構(gòu)成新數(shù)集;(2)在新數(shù)集里,定義一些基本關(guān)系和運算,使原來的一些主要性質(zhì)(如運算定律)依然適用;(3)舊元素作為新數(shù)集里的元素,原有的運算關(guān)系保持不變;(4)新的數(shù)集能夠解決舊的數(shù)集不能解決的問題.【要點知識】數(shù)系的擴充原則依照以上設(shè)想,把實數(shù)與相乘,結(jié)果記作;把實數(shù)與相加,結(jié)果記作.注意到所有實數(shù)以及都可以寫成的形式,從而這些數(shù)都在擴充后的新數(shù)集中.式子中,當時,可表示實數(shù);當,當時,表示形如的數(shù);當時,表示形如的數(shù).【概括理解能力】明確數(shù)系擴充的必要性,總結(jié)數(shù)系擴充原則,為學(xué)習(xí)理解復(fù)數(shù)的概念等知識做鋪墊,提升概括理解能力【教師引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)抽象概括思想完成從數(shù)系擴充原則到復(fù)數(shù)概念的概括】【要點知識】復(fù)數(shù)的概念我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.師：下面是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式【要點知識】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)通常用小寫字母表示,即,這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.對于復(fù)數(shù),以后不作特殊說明,都有,其中叫做復(fù)數(shù)的實部,叫做復(fù)數(shù)的虛部.注意:(1);(2)虛部不含有.【概括理解能力】以教師設(shè)疑發(fā)問,學(xué)生回答的形式,師生共同探討得出復(fù)數(shù)的概念,培養(yǎng)學(xué)生的概括理解能力和邏輯推理核心素養(yǎng)師:請同學(xué)們討論:(1)當時;(2)當時;(3)當時;(4)當時的復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.【學(xué)生獨立思考,教師總結(jié)虛數(shù)、純虛數(shù)概念,學(xué)生舉出虛數(shù)、純虛數(shù)的例子】師:處于復(fù)數(shù).當且僅當時,它是實數(shù);當且僅當時,它是實數(shù)0;當時,它叫做虛數(shù);當且時,它叫做純虛數(shù).師:請同學(xué)思考,實數(shù)集與復(fù)數(shù)集的包含關(guān)系？【學(xué)生思考、交流、討論,教師給予肯定或補充】【深度學(xué)習(xí)】學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)、交流討論、教師引導(dǎo)總結(jié)等環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)數(shù)集擴充知識,加深對復(fù)數(shù)概念及表示形式的理解【要點知識】數(shù)集間的關(guān)系實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集,即.復(fù)數(shù)可以分類如下:復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系如圖所示.師:下面我們看一道例題.【典型例題】例1當實數(shù)取什么值時,復(fù)數(shù)是下列數(shù)?(1)實數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).【深度學(xué)習(xí)】例1是一道復(fù)習(xí)鞏固復(fù)數(shù)概念的題目,首先學(xué)生要在變化中認識復(fù)數(shù)代數(shù)形式的結(jié)構(gòu),正確判斷復(fù)數(shù)的實部、虛部,然后依據(jù)復(fù)數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件,列方程(或不等式)求出相應(yīng)的的取值.【教師分析解題思路,學(xué)生獨立解題】師:因為所以都是實數(shù).由復(fù)數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定的取值.生解:當即時,復(fù)數(shù)是實數(shù).(2)當即時,復(fù)數(shù)是虛數(shù).(3)當且即時,復(fù)數(shù)是純虛數(shù).探究2兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件師:請同學(xué)們思考下面的問題.【情景設(shè)置】探究兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件兩個實數(shù)可以比較大小,復(fù)數(shù)集中不全是實數(shù)的兩個數(shù)能否比較大小?問題:i和0是否可以比較大小?探討:若,則,即,不成立.若,則,即,不成立.即i和0不能比較大小.【師生探討后總結(jié):虛數(shù)不能比較大小,只有相等和不相等之分】【設(shè)情境巧激趣】提問設(shè)疑,探討舊數(shù)系中元素和新數(shù)系中新增元素的關(guān)系,激發(fā)學(xué)生探討兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件的興趣.【要點知識】兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件在復(fù)數(shù)集中任取兩個數(shù),我們規(guī)定:相等的充要條件是且,即當且僅當兩個復(fù)數(shù)的實部與實部相等、虛部與虛部相等時,兩個復(fù)數(shù)才相等.特別地:.【師生共同討論:應(yīng)用復(fù)數(shù)相等的充要條件時需要注意什么?共同總結(jié):先將復(fù)數(shù)化為的形式,即分離實部和虛部】師:下面做一道練習(xí)題.【鞏固練習(xí)】復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用若,求實數(shù),的值.【學(xué)生獨立思考,自主完成,教師總結(jié)】師:復(fù)數(shù)相等的充要條件提供了將復(fù)數(shù)問題化歸為實數(shù)問題來解決的途徑,化虛為實是解決復(fù)數(shù)問題的一條主線.【分析計算能力】依據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的等價條件,列出含有待定系數(shù)的方程組,培養(yǎng)學(xué)生分析計算的能力探究3復(fù)數(shù)的幾何意義1.幾何意義(一)(用復(fù)平面內(nèi)的點表示復(fù)數(shù))師:實數(shù)與數(shù)軸上的點有什么關(guān)系？生:一一對應(yīng)關(guān)系.師:數(shù)系擴充到復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)可以與點有對應(yīng)關(guān)系嗎？請同學(xué)們閱讀教材P70~71,回答問題.生:復(fù)數(shù)的實部和虛部構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對,對應(yīng)著復(fù)平面內(nèi)的一點.【猜想探索能力】引導(dǎo)學(xué)生自己探索“化虛為實”的解決問題途徑,提升猜想探究能力【歸納總結(jié)】復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的關(guān)系1.復(fù)數(shù)與實數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系復(fù)數(shù)點2.復(fù)平面及結(jié)構(gòu)規(guī)定:建立了直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,復(fù)平面內(nèi)軸叫做實軸,軸叫做虛軸.(如圖所示)3.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點的關(guān)系復(fù)數(shù).【教師強調(diào):(1)復(fù)數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對;(2)虛軸上的單位長度是1,而不是i.師生共同交流討論總結(jié):在復(fù)平面內(nèi),實軸上的點表示實數(shù),虛軸上的點表示純虛數(shù)】【整體設(shè)計分步落實】類比實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系,探究復(fù)數(shù)與實數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系,再通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)和交流探討掌握復(fù)數(shù)的兩種幾何意義的統(tǒng)一性2.幾何意義(二)(用平面向量表示復(fù)數(shù))師:由平面向量的知識,我們知道,每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示,而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)又是一一對應(yīng)的,所以復(fù)數(shù)與平面向量也應(yīng)有對應(yīng)的關(guān)系.【要點知識】用平面向量表示復(fù)數(shù)如圖,設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點表示復(fù)數(shù).連接,則向量由點唯一確定;反過來,點(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定,即復(fù)數(shù).為了方便,常把復(fù)數(shù)說成點或向量,并且規(guī)定:相等的向量表示同一個復(fù)數(shù).【推測解釋能力】引導(dǎo)學(xué)生以平面向量的知識為載體,推測復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系,提升推測解釋能力【引導(dǎo)學(xué)生思考總結(jié):復(fù)數(shù)的兩種幾何意義使我們在討論復(fù)數(shù)的運算、性質(zhì)和應(yīng)用時,可以在復(fù)平面內(nèi)綜合使用坐標法和向量方法,體現(xiàn)了解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)形結(jié)合思想】師:復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點及平面向量構(gòu)成一一對應(yīng)的閉環(huán).探究4復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)師:依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及平面向量模的概念,我們可以定義復(fù)數(shù)的模.復(fù)數(shù)模的幾何意義是什么？【學(xué)生閱讀教材P1,自學(xué)復(fù)數(shù)的模的定義,舉出復(fù)數(shù)實例并畫圖,對應(yīng)找出幾何意義】【要點知識】復(fù)數(shù)模的幾何意義1.向量的模叫做復(fù)數(shù)的模或絕對值,記作或.如果,那么是一個實數(shù),它的模等于(就是的絕對值).由模的定義可知,.2.復(fù)數(shù)模的幾何意義是復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點到原點的距離.特別地,當且僅當時,.【設(shè)情境巧激趣】讓學(xué)生舉出復(fù)數(shù)實例,如:,找出對應(yīng)點及對應(yīng)平面向量,并求解向量的模長師:學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)模的相關(guān)概念,我們解決下面的例題吧.【典型例題】復(fù)數(shù)的模例2設(shè)復(fù)數(shù).(1)在復(fù)平面內(nèi)畫出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點和向量;(2)求復(fù)數(shù)的模,并比較它們的模的大小.【師生互動,教師板書,并進行總結(jié)】師解:(1)復(fù)數(shù),對應(yīng)的點分別為,,對應(yīng)的向量分別為.(2),.師:通過觀察圖象,點和有怎樣的關(guān)系?生:點和關(guān)于軸對稱.師(強調(diào)):(1)計算復(fù)數(shù)的模時,應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實部和虛部,再利用復(fù)數(shù)模的公式進行計算.(2)兩個虛數(shù)不能比較大小,它們的?？梢员容^大小.【觀察記憶能力】通過例2,既復(fù)習(xí)鞏固了復(fù)數(shù)的兩種幾何意義以及模的計算和大小比較,同時也為引入共軛復(fù)數(shù)進行鋪墊,提供具體實例的支撐,鍛煉了學(xué)生的觀察記憶能力,提升了直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)【教師引導(dǎo)學(xué)生對比復(fù)數(shù)的模和實數(shù)絕對值的概念,師生共同總結(jié):復(fù)數(shù)的模的幾何意義是實數(shù)的絕對值概念的擴充,因此有,并且實數(shù)的絕對值具有的某些性質(zhì)可以推廣到復(fù)數(shù)的模】【情景設(shè)置】數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.【深度學(xué)習(xí)】引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)對稱性推測、分析虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)的模長的關(guān)系.【學(xué)生交流討論復(fù)數(shù)和實部、虛部的特點,所對應(yīng)的兩點的幾何特征,教師多媒體展示共軛復(fù)數(shù)】【要點知識】共軛復(fù)數(shù)1.概念:一般地,當兩個復(fù)數(shù)的實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).2.表示:復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)可用來表示,即復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.3.幾何意義:互為共軛的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱(如圖).特別地,實數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點重合,且在實軸上.4.性質(zhì):;且為純虛數(shù).【讓學(xué)生舉出復(fù)數(shù)實例,找其共軛復(fù)數(shù)、幾何意義,驗證共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)】【意義學(xué)習(xí)】引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義自主學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù),同時培養(yǎng)學(xué)生的概括總結(jié)、分析計算能力師:下面我們再看一道例題,進一步鞏固復(fù)數(shù)的模.【典型例題】求復(fù)數(shù)的模例3設(shè),在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,那么滿足下列條件的點的集合是什么圖形?(1);(2).【學(xué)生思考、討論,教師講解】【典例解析】求復(fù)數(shù)的模解:(1)由得,向量的模等于1,所以滿足條件的點的集合是以原點為圓心,以1為半徑的圓.(2)不等式可化為不等式不等式的解集是圓的內(nèi)部所有的點組成的集合,不等式的解集是圓外部所有的點組成的集合,這兩個集合的交集,就是上述不等式組的解集,也就是滿足條件的點的集合.容易看出,所求的集合是以原點為圓心,以1及2為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán),但不包括圓環(huán)的邊界,如圖.【以學(xué)定教】通過例3的講解,學(xué)生進一步復(fù)習(xí)鞏固了模的概念,又通過直觀想象明確復(fù)數(shù)可以用來描述一些常見的幾何圖形如:圓形區(qū)域和環(huán)形區(qū)域等,拓展了學(xué)生對復(fù)數(shù)的認識和解題思路師:通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)到了哪些新知識？【教師引導(dǎo),學(xué)生回答,師生合作,共同總結(jié)本節(jié)知識點】【課堂小結(jié)】復(fù)數(shù)的概念1.復(fù)數(shù)的概念形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)通常用字母表示.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集,一般用大寫字母表示.其中,分別叫做復(fù)數(shù)的實部與虛部.2.復(fù)數(shù)相等的充要條件如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等,那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等.如果,那么且.特別地,.3.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù).復(fù)數(shù).4.復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù)的模(或絕對值),記作或.由模的定義可知.當時,復(fù)數(shù)表示實數(shù),此時.5.共軛復(fù)數(shù)當兩個復(fù)數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù),虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做互為共軛虛數(shù).復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示,即如果,那么.在復(fù)平面內(nèi),如果用點表示,用點表示,則,點和點關(guān)于實軸對稱.【設(shè)計意圖】通過梳理本節(jié)的知識,形成知識架構(gòu),使學(xué)生進一步理解,同時強化推測解釋能力、在理解的過程中進行分析計算和解決問題,提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)教學(xué)評價兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件、復(fù)數(shù)的幾何意義是本節(jié)重點內(nèi)容,也是高考考點,需加強解題能力訓(xùn)