六年級(jí)數(shù)學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名師指導(dǎo)上冊(cè)

小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名師指導(dǎo)(上冊(cè))

一算得快

數(shù)，特別是整數(shù)，是人類最早認(rèn)識(shí)的、最為人們所熟知的數(shù).在整數(shù)的王國(guó)里，到處有前人為我們留下的奇

珍異寶要我們?nèi)ゲ蓴X，到處是令人著迷的問題等待我們?nèi)ヌ剿?這是一個(gè)令人神往的、美不勝收的世界，這是一

個(gè)可供我們自由馳騁的世界.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，當(dāng)然離不開計(jì)算，同學(xué)們一定希望自己在計(jì)算時(shí)算得既正確又迅速，那么怎樣才能做到這一點(diǎn)呢？

首先，要熟練地掌握計(jì)算法那么和運(yùn)算順序；其次，是要根據(jù)題目本身的特點(diǎn)，選用合理、靈活的計(jì)算方法.

例如，計(jì)算以下各題：

(1)28+49+72+51；(2)763-278-322：

(3)125X56；(4)45004-254-4.

上面的四道計(jì)算題都非常簡(jiǎn)單，相信同學(xué)們都會(huì)計(jì)算出正確的結(jié)果.但是，你是怎么去計(jì)算的呢？是否可以

簡(jiǎn)化計(jì)算呢？

計(jì)算時(shí)，想必同學(xué)們都有這樣的體會(huì)：整十、整百、整千、……之間的計(jì)算要快得多.其實(shí)，從這一條根本

經(jīng)驗(yàn)中同學(xué)們就可以提煉出一種極為常用的速算方法一一“湊整法”.

觀察上面的算式，不難發(fā)現(xiàn)第(1)題中的28與72、49與51的和恰好都可以湊成100,第(2)題中的278

與322的和是600,抓住這一特點(diǎn)，就可以心算出這兩題的結(jié)果分別是200和163.根據(jù)125X8=1000,25X4=100,

第(3)題可變?yōu)?125X8)X7；第(4)題可變?yōu)?500+(25X4),于是，又可以迅速得到第(3)、(4)兩題

的結(jié)果分別為7000和45.

問題1.1計(jì)算以下各題：

(1)729+54+271；

(2)1361+972+639+28；

(3)12345+46801+87362+87655+53199+12638.

解

(1)729+54+271=(729+271)+54

=1000+54=1054；

(2)1361+972+639+28=(1361+639)+(972+28)

=2000+1000=3000：

(3)原式=(12345+87655)+(46801+53199)+(87362+12638)

=100000+100000+100000=300000.

從上述問題1.1的解答可以看出：在計(jì)算幾個(gè)加數(shù)的和時(shí)，運(yùn)用加法的交換律、結(jié)合律，把能夠“湊整”

的兩個(gè)數(shù)先相加，然后再把所得的和相加，這樣就可以使計(jì)算大為簡(jiǎn)化.

問題1.2計(jì)算以下各題：

(1)66+75+38；

(2)9998+3+99+998+3+9；

(3)19999+1999+199+19+9.

分析觀察這組題的特點(diǎn).與問題I.1相比擬，問題1.2中各題并沒有直接給出可以“湊整"的兩個(gè)數(shù)，但

我們可以把其中的一個(gè)加數(shù)分解成兩個(gè)數(shù)的和(或者添加一個(gè)數(shù))，使其中的一個(gè)數(shù)能與該題的某一加數(shù)‘‘湊整"，

所得和參加下一步的計(jì)算.這樣，就可以轉(zhuǎn)化為問題1.1的情形，從而簡(jiǎn)捷地計(jì)算出正確結(jié)果.

在(1)中，看看66,把38分解為34與4的和；在(2)中，看看9998,998,99,9,把兩個(gè)3分解為2

與1的和；在(3)中，看看19999,1999,199,19,把9分解為5和四個(gè)1的和，或者添加五個(gè)1,通過這樣

的處理，就可以把問題1.2轉(zhuǎn)化為問題1.1的形式.

解

(1)66+75+38=〔66+34)+(75+4)

=100+79=179；

(2)9998+3+99+998+3+9

=(9998+2)+(1+99)+(998+2)+(1+9)

=10000+100+1000+10=11110；

(3)19999+1999+199+19+9

=(19999+1)+(1999+1)+(19+1)+(19+1)+5

=20000+2000+200+20+5=22225.

第(3)題也可以這樣計(jì)算：

19999+1999+199+19+9

=(19999+1)+(1999+1)+(199+1)+(19+1)+(9+1)-5

=20000+2000+200+20+10-5=22225.

問題1.3計(jì)算以下各題：

(1)76543+498；(2)9999+999+99+9；

(3)1238+2759-98-997；

(4).

同學(xué)們利用上面所學(xué)的“湊整”方法，可以簡(jiǎn)捷地計(jì)算出問題1.3中各題的結(jié)果，不過對(duì)于(4),“湊整"

無需湊成整十、整百、整千、……，只要湊成整數(shù)就可以了.

請(qǐng)同學(xué)們自己完成上述各題.

問題1.4計(jì)算以下各題：

(1)2059-1666-334；(2)4812-943+143；

(3)9741-(341+350)；(4)3568-(568-179).

分析這四道題如果按部就班地算，雖然也能得出正確結(jié)果，但算得不快.有什么簡(jiǎn)便方法嗎？當(dāng)然有.不過

要利用減法的一些性質(zhì)：

(1)從某數(shù)中連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，等于從這個(gè)數(shù)中減去這幾個(gè)減數(shù)的和.即：

a-b-c-d=a-(b+c+d).

(2)從某數(shù)中減去幾個(gè)數(shù)的和，等于從這個(gè)數(shù)中連續(xù)減去這幾個(gè)數(shù).即：

a-(b+c+d)=a-b-c-d.

(3)一個(gè)數(shù)減去兩個(gè)數(shù)的差，等于從這個(gè)數(shù)中減去第二個(gè)數(shù)，然后加上第三個(gè)數(shù).即：

a-(b-c)=a-b+c.

(4)一個(gè)數(shù)減去第二個(gè)數(shù)，再加上第三個(gè)數(shù)，等于從第一個(gè)數(shù)中減去第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的差.即：

a-b+c=a-(b-c).

根據(jù)上述減法的性質(zhì)，我們就可以簡(jiǎn)捷地計(jì)算問題1.4中的各題.

在(1)中，兩個(gè)減數(shù)1666與334可以“湊整"，可以利用減法性質(zhì)(1)計(jì)算；在(2)中，第二個(gè)數(shù)943

與第三個(gè)數(shù)143的末兩位數(shù)相同，可以利用減法性質(zhì)(4)計(jì)算；在(3)中，被減數(shù)9741與其中一個(gè)減數(shù)341

的末兩位數(shù)字相同，可以利用減法性質(zhì)(2)計(jì)算；在(4)中，我們可以利用減法性質(zhì)13)計(jì)算(想一想為什

么？).

解

(1)2059-1666-334=2059-(1666+334)

=2059-2000=59：

(2)4812-943+143=4812-(943-143)

=4812-800=4012：

(3)9741-(341+350)=9741-341-350

=9400-350=9050；

(4)3568-(568-179)=3568-568+179

=3000+179=3179.

問題1.5計(jì)算以下各題：

(1)4X549X25；(2)96X125；

(3)25X32X125；(4)125X(23X8).

分析在(1)中，4和25的積是100,我們可以利用乘法的交換律、結(jié)合律先把4和25相乘，“湊整〃〔整

十、整百、整千、……)，然后再把這積與乘數(shù)549相乘，就比擬容易了.在(2)中，對(duì)于乘數(shù)125,同學(xué)們一

定知道125與8的積是1000,那么我們就可以考慮把96分解成12與8的乘積，利用乘法的交換律、結(jié)合律先

把8與125相乘得積1000,然后再把這積與12相乘就可得出結(jié)果.小朋友想一想(3)、(4)兩道題怎樣計(jì)算簡(jiǎn)

便些？

解

(1)4X549X25=(4X25)X549

=100X549=54900；

(2)96X125=12X(8X125)

=12X1000=12000；

(3)25X32X125=(25X4)X(8X125〕

=100X1000=100000；

第(4)題請(qǐng)同學(xué)們自己完成.

問題1.6計(jì)算以下各題：

(1)45004-254-4；(2)7204-(9X5)；

(3)4323X3644-182.

分析利用除法的運(yùn)算性質(zhì)可以使計(jì)算大為簡(jiǎn)化.

除法有以下運(yùn)算性質(zhì)：

(1)a4-b+c=(a+b)+c=(a+c)4-b=a+(bXc)；

(2)aXb+c=aX(b-rc).

解

(1)4500+25+4=4500+(25X4)

=45004-100=45；

(2)720+(9X5)=(7204-9)+5=80+5=16：

(3)4323X364+182=4323X(364+182)

=4323X2=8646.

問題1.7用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

(1)9999X7805；(2)148X37+148X62+148.

分析直接計(jì)算較麻煩.我們可以綜合利用前面所學(xué)過的知識(shí)，使計(jì)算簡(jiǎn)便.

在(1)中，可將9999改寫作10000—1,然后再計(jì)算；在(2)中，可利用加法對(duì)乘法的分配律，使計(jì)算簡(jiǎn)

化.

解

(1)9999X7805=(10000-1)X7805

=78050000-7805=78042195：

(2)148X37+148X62+148=(37+62+1)X148

=100X148=14800.

練習(xí)1

用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

1.37+46+63+54；

2.8376+2538+7462+1624；

3.9+99+999+9999；

4.2816-1347-653；

5.654-(54-37)；

6.4356-(356+154)；

7.125X56；

8.25X125X64；

9.96004-44-25；

10.401X287；

II.3448X1824-91；

12.736X193-736X46-47X736.

二找規(guī)律填數(shù)

要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須善于觀察，勤于思考，不會(huì)觀察的人就不會(huì)思考.對(duì)于一些“數(shù)"或"形"，怎樣從觀察

入手進(jìn)行思考，迅速、準(zhǔn)確地找出它們的特點(diǎn)或規(guī)律呢？

問題2.1觀察分析下面各列數(shù)的變化規(guī)律，并填上適宜的數(shù).

(1)7,11,15,19,()，…；

(2)1,4,3,6,5,(),(),…；

(3)1,4,9,16,(),…；

(4)1,2,4,8,16,(

分析觀察分析一列數(shù)的變化規(guī)律，找出帶有規(guī)律的東西.

在(1)中，11-7=15-11=19-15="=4.即在這一列數(shù)中，從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)與它前一個(gè)數(shù)的差都等于4.根

據(jù)這一規(guī)律，可以確定括號(hào)里應(yīng)填23.

在⑵中，第一、三、五、……位置上的數(shù)滿足3-1=5-3--2,第二四、六、……位置上的數(shù)滿足6-4=8-6=?“

=2.根據(jù)這一規(guī)律，可以確定括號(hào)里的數(shù)應(yīng)該填7、10.

在(3)中，第一個(gè)數(shù)1=1X1=12,第二個(gè)數(shù)4=2X2=22,第三個(gè)數(shù)9=3X3=32,第四個(gè)數(shù)16=4X4=42,根

據(jù)這一規(guī)律，可以確定括號(hào)里應(yīng)該填52=25.

在(4)中，2=1X2,4=2X2,8=4X2,16=8X2,…，即從第二個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前一個(gè)數(shù)的2

倍.根據(jù)這一規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)該填32.解略.

問題2.2找規(guī)律填空.

(1)11,3,8,3,5,3,(),()；

(2)15,6,13,7,II,8,(),()；

(3)2,5,14,41,()；

(4)1,1,2,3,5,8,13,21,().

分析在(1)中，第一個(gè)數(shù)減去第三個(gè)數(shù)的差是3,第三個(gè)數(shù)減去第五個(gè)數(shù)的差也是3,而第二、四、六個(gè)數(shù)

都是3.根據(jù)這一規(guī)律，可以確定括號(hào)里應(yīng)該填2、3.

在(2)中，第一個(gè)數(shù)減去2的差是第三個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)減去2的差是第五個(gè)數(shù)；第二個(gè)數(shù)加上1的和是第

四個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)加上1的和是第六個(gè)數(shù).根據(jù)這一規(guī)律，可以確定括號(hào)里應(yīng)該填9、9.

在⑶中，2義3-1=5,5X3-1=14,14X3-1=41.也就是說，前一個(gè)數(shù)的3倍與1的差等于相鄰的后面的數(shù).根

據(jù)這一規(guī)律.可以確定括號(hào)里應(yīng)該填122(即122-41X3-1).

在14)中，1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,…，即前面兩個(gè)數(shù)之和等于相鄰后面的數(shù).根據(jù)這一規(guī)律，可

以確定括號(hào)里應(yīng)該填34(即34=13+21).

解略.

問題2.3先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù).

(1)3,8,18,33,53,78,()；

(2)0,1,3,8,21,().

分析在(1)中，8-3=5=lX5,18-8=10=2X5,33-18=15=3X5,53-33=20=4X5,78-53=25=5X5,即從第二

個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)與它前一個(gè)數(shù)的差依次是5的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍、…….根據(jù)這一規(guī)律，下一個(gè)差

應(yīng)是5的6倍，可以確定括號(hào)里應(yīng)該鎮(zhèn)108(即78+6X5=108).

在(2)中，1*3=0+3,3X3=l+8,8X3=3+21,即從第二個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)的3倍正好是它前后相鄰兩個(gè)

數(shù)的和.因此，21X3=8+(55),即括號(hào)里應(yīng)該填55.

在(3)中，把方框中的四個(gè)數(shù)分為上下兩局部，9+3=3=1+2,15+3=5=3+2,即下行兩數(shù)相除所得的商，

正好是上行兩數(shù)之和；或者說，上行兩數(shù)之和與下行左邊的數(shù)的積正好是下行右邊的數(shù).根據(jù)這一規(guī)律，第三個(gè)

方框里的括號(hào)內(nèi)應(yīng)該填10(即［2+3)X2=10).

解略.

問題2.4找規(guī)律填數(shù).

(1)0X9+()=1；

(2)1X9+()=11；

(3)12X9+()=111；

(4)123X9+()=()；

(5)1234X9+()=()；

(6)12345X9+()=()；

(7)123456X9+()=()；

(8)1234567X9+()=()；

(9)12345678X9+()=().

分析我們可以從(1)、(2)、(3)入手，根據(jù)“一個(gè)加數(shù)等于和減另一個(gè)加數(shù)”可得(1)、(2)、(3)的正確

填法如下：

(1)0X9+(1)=1；

(2)1X9+(2)=11；

(3)12X9+(3)=111.

請(qǐng)同學(xué)們分析上述三個(gè)等式的特點(diǎn)和填數(shù)的規(guī)律，然后自己完成其余等式的填空.

解略.

問題2.5先觀察前面三個(gè)算式，然后找出規(guī)律，并根據(jù)找出的規(guī)律，直接在()內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù).

(1)123456789X9=1111111101；

(2)123456789X18=2222222202；

(3)123456789X27=3333333303；

(4)123456789X72=()；

(5)123456789X63=()；

(6)66666666064-54=()；

(7)9999999909+81=()；

(8)55555555054-123456789=()；

(9)44444444044-123456789-().

請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真分析(1)、(2)、(3)這三個(gè)等式的特點(diǎn)，找出它們的規(guī)律，并完成其余各等式的填空.

練習(xí)2

1.仔細(xì)觀察每一排數(shù)的排列有什么規(guī)律，然后按規(guī)律在()內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù).

(1)2,4,8,16,(),64.

(2)1,4,9,16,(),36,49.64.

(3)1,4,7,10,13,(),19,21.

(4)1,4,16,64,(),1024,4096.

(5)2,3,5,9,17,(),65,129.

(6)15,4,13,4,11,4,(〕，().

(7)8,15,10,13,12,11,1),().

2.空格里應(yīng)填什么數(shù)？3.找規(guī)律填數(shù).

1

24

0369

□S481216

□□5()()()()

612()()()()()

4.在。中填數(shù)：99994-9=1111,想一想：在。中填上什么數(shù)字，才能使下面的等式成立？

(1)09990+9=2222：

(2)099904-9=3333；

(3)099904-9=4444；

(4)09990+9=7777；

(5)09990+9=9999.

三巧添運(yùn)算符號(hào)

根據(jù)題目給定的一些數(shù)字和一定的要求，添上各種運(yùn)算符號(hào)或括號(hào)，使等式成立，這種練習(xí)不僅能加深對(duì)四

那么運(yùn)算意義的理解，提高計(jì)算能力，而且能夠培養(yǎng)同學(xué)們思維的靈活性和敏捷性.

問題3.I在下面五個(gè)5之間，添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)+、-、X、+和()，使下面的等式成立.

55555=10①

分析上述問題我們可以用硬湊的方法來做，不過這樣做一般來說比擬困難，而且難以找到解題的規(guī)律.下面

我們一起來想方法解決這一問題.

我們從①式的左邊倒推分析，最后一個(gè)5的前面如果要添運(yùn)算符號(hào)的話，只可能是+、-、X、+四種之一.

如果添的是“+”號(hào)，那么①式變成下面的②式：

5555+5=10②

這樣就要求②式中加號(hào)前面的四個(gè)5添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)或括號(hào)后得到5.即

5555=5③

再重復(fù)上面的想法，如果③式左邊最后一個(gè)5的前面又添上“+"號(hào)，那么③式就變成下面的④式：

555+5=5④

要④式成立，必須要加號(hào)前面的三個(gè)5添上適當(dāng)運(yùn)算符號(hào)或括號(hào)后變成0.即

555=0@

因?yàn)槿魏我粋€(gè)數(shù)與0的乘積結(jié)果都是0,因此不難得到⑤有如下三種填法：

(5-5)X5=0；(5-5)4-5=0；5X(5-5)=0.

這樣我們已找到了三種添法.

如果③式左邊最后一個(gè)5前南添的是號(hào)，即

555-5=5

這就要求上式的前面三個(gè)5之間添上適當(dāng)運(yùn)算符號(hào)或括號(hào)，使它們的運(yùn)算結(jié)果是10,即

555=10

經(jīng)過試算可以發(fā)現(xiàn)，無論添上什么運(yùn)算符號(hào)或括號(hào)，這個(gè)等式都不可能成立.也就是說，這個(gè)等式?jīng)]有解.

同樣地，如果③式左邊最后一個(gè)5的前面添的是“X"或"小",也都沒有解.

以上我們分析的是①式左邊最后一個(gè)5的前面添的是“+"的一些情況，有下面三種添法：

(5-5)X5+5+5=10；

(5-5)4-5+5+5=10；

5X(5-5)+5-5=10.

下面我們來分析①式左邊最后一個(gè)5的前面添的是的情況，即

5555-5=10.

因?yàn)?5-5=10,這就要求上式“，號(hào)前面的四個(gè)5組成15,即

5555=15.⑥

如果這個(gè)式子的左邊最后一個(gè)5的前面添上“+”號(hào)，即

555+5=15.

因?yàn)?0+5=15,這就要求上式“+”號(hào)前面三個(gè)5組成10,根據(jù)前面的分析不可能實(shí)現(xiàn).

同樣可以分析⑥式左邊最后一個(gè)5的前面如果添上"X"或"+"號(hào)，無法使該等式成立，因此⑥式左邊最

后一個(gè)5的前面只能添上號(hào)，即

555-5=15.

因?yàn)?0-5=15,這就要求上面式子中左邊號(hào)前三個(gè)5組成20,即

555=20.

不難看出：

5X5-5=20.

這樣我們又找到了一種添法.

如果①式左邊最后一個(gè)5前面添上“X"號(hào)或"+"號(hào)，同學(xué)們采用前面的倒推分析法，完全可以找到正確

的添法.

解(5-5)X5+5+5=10；

(5-5)+5+5+5=10；5X(5-5)+5+5=10；

5X5-5-5-5=10；(54-5+54-5)X5=10；

(5X5+5X5)4-5=10；55+5-5+5=10.

從上面的最后一個(gè)答案中我們可以看到，添運(yùn)算符號(hào)不僅可以在兩個(gè)數(shù)字之間添，也可以在相鄰幾個(gè)數(shù)字之

間添，如最后一個(gè)等式.

我們?cè)趩栴}3.1中采用的分析方法，是從算式的最后一個(gè)數(shù)字開始逐步向前推想的，這種方法叫做倒推法.當(dāng)

題目給定的數(shù)字不多時(shí)，用這種方法是很容易奏效的.不過使用倒推法時(shí)，一定要考慮全面、周到.

同學(xué)們想一想，此題還有沒有其它的解法？

問題3.2在下面的式子里，加上括號(hào)，使等式成立.

(1)7X9+12+3-2=47；

(2)7X9+124-3-2=75；

(3)7X9+124-3-2=23；

(4)7X9+124-3-2=35.

分析從問題3.1的解答我們看到倒推分析法是一種很重要的思維方法，這種方法同樣適用于此題.

例如，在(1)中，如果等號(hào)能夠成立，因?yàn)?9-2=47,所以只須

7X9+12+3=49.

由于49=7X7,因此只須9+12+3=7,而21+7=3,所以只須把9+12用括號(hào)括起來就行了.即(1)式的正

確答案是：

7X1(9+12)+3卜2=47.

在(2)中，如果等式成立，因?yàn)?7-2=75,所以只須7X9+12+3=77.又因?yàn)?X11=77,所以只須9+12+

3=11.經(jīng)試算，不管怎樣加括號(hào)都不能成立，由此可見此路不通，得另想方法.

在(2)中，如果等式成立，因?yàn)?義9=63,而63+12=75,因此只須12+3-2=12,又因?yàn)?2+1=12,所以

只須將3-2用括號(hào)括起來就行了.即(2)式的正確答案是：

7X9+124-(3-2)=75.

同學(xué)們根據(jù)倒推分析法不難得到(3)、(4)兩式的正確答案.

解(1)7X[[9+12)4-31-2=47；

(2)7X9+124-[3-2)=75；

(3)(7X9+12)+3-2=23；

(4)7X[(9+12)-?3-2]=35.

問題3.3在下面等式的適宜的地方，添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)+、-、義、+和()，使得等式成立.

I23456789=1①

分析要①式成立，可以先考慮在9的前面添或"+"號(hào).

如果添減號(hào)，那么①式可變?yōu)椋?/p>

12345678-9=1.

因?yàn)?0-9=1,所以只須

12345678=10.

容易得到：

1+2+3+4+5-6-7+8=10.

于是我們找到了一個(gè)答案.

如果添號(hào)，那么①式為

12345678+9=1.

因?yàn)?+9=1,這樣只須

I2345678=9.

也容易得到：

1X2+3+4+567+8=9.

這樣我們又找到了一個(gè)答案.

另外，我們還可以先試著找出一個(gè)比擬接近于1的數(shù)，然后再去湊結(jié)果，如：23-4X5=3.現(xiàn)在只要6,7,

8,9湊成2即可，而9-8+7-6=2,這樣就有1X23-4X5+6-7+8-9=l.又找到了一個(gè)答案.

同學(xué)們動(dòng)一動(dòng)腦筋，還可以得到一些答案.

解符合題目要求的一些答案有：

1+2+3+4+567+8-9=1；

(1X2+3+4+5-6-7+8)+9=1；

1X23-4X5+6-7+8-9=1；

1+23-(4+5+6+71+8-9=1；

(1+2)4-3X454-(6+7-8)X9=l；

(1X2+3+4-5+6+7)+(8+9)=1.

在下面15個(gè)8之間添上+、-、X、

使下面的等式成立.

888888888888888=1988.

分析此題由于所給的數(shù)字較多，采用倒推分析法會(huì)相當(dāng)麻煩，一時(shí)難以找到正確的答案，為了使問題便到盡

快的解決，我們可以先找出一個(gè)比擬接近1988的數(shù)，如：

8888+8+888=1999.

這樣我們用八個(gè)8湊成了1999,而1999-1988=11,那么問題就轉(zhuǎn)化為能否用7個(gè)8湊出11來，而88+8=11,

這樣問題又轉(zhuǎn)化為能否用4個(gè)8湊出0來.而8+8-8+8=0或8+888=0,8X8-8X8=0,于是問題很快得到解決.正

確答案是：

88884-8+888-884-8+84-8-84-8=1988

或8888+8+888-88+8+8+8-8-8=1988

或8888+8+888-88+8+8X8-8X8=1988.

同學(xué)們想一想還有其它的填法嗎？

練習(xí)3

1.在5個(gè)3之間，填上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)，使等式成立.

33333=0；33333=1；

33333=2；33333=3：

33333-4；33333=5；

33333=6；33333=7；

33333=8；33333=9；

33333=10.

2.在等號(hào)左邊的數(shù)字之間填上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)，使計(jì)算結(jié)果都等于51.

1234567=51；

2345671=51；

3456712=51；

4567123=51；

5671234=51：

6712345=51；

7123456=51.

3.在下面的式子里加上括號(hào)，使它們成為正確的算式.

5+7X8+124-4-2=20；

5+7X8+12+4-2=25；

5+7X8+12+4-2=75；

5+7X8+12X2=102；

5+7X8+124-4-2=120.

4.在15個(gè)8之間適宜的地方添上+、-、X、?或（），使下面的算式成立.

888888888888888=1991.

5.在10個(gè)8之間適宜的地方添上+、-、X、?或（），使下面的算式成立.

8888888888=1992.

四算式謎

有一本舊算術(shù)書被蟲子蛀得到處是窟窿，許多數(shù)字弄不清楚了.我們可以開動(dòng)腦筋，通過分析把那些被蟲子

吃掉的數(shù)字重新填寫完整，這類題目就是算式謎問題.

問題4.1在下面算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)適宜的數(shù)字，使算式成立.

□12

+□9□

□81□

分析這是一道加法算式，除幾個(gè)數(shù)字之外，還可知道兩個(gè)加數(shù)都是三位數(shù)，相加所得的和是四位數(shù).先填

哪個(gè)空格好呢？

由算式可以看出，第二個(gè)加數(shù)個(gè)位上的數(shù)字是關(guān)鍵，只有知道了它以后，其余數(shù)位上的數(shù)字才好確定，所以

我們應(yīng)該從第二個(gè)加數(shù)的個(gè)位開始填.

（1）填個(gè)位

由算式的十位可以看出，個(gè)位相加的和必須向十位進(jìn)1才行.因?yàn)橹挥?+8=10,2+9=11,所以第二個(gè)加數(shù)

的個(gè)位只能填8或9.

當(dāng)?shù)诙€(gè)加數(shù)的個(gè)位填8時(shí)，和的個(gè)位應(yīng)填0；當(dāng)?shù)诙€(gè)加數(shù)的個(gè)位填9時(shí)，和的個(gè)位應(yīng)填1,這樣一來,

算式變成下面兩種情形：

□12□12

+□煙+口9⑼

□81E]□811

(2)填千位

因?yàn)檫@個(gè)算式的和是四位數(shù)，所以百位上的數(shù)相加之和必須向千位進(jìn)位，又百位上的數(shù)相加的和只能向千位

進(jìn)1,因此這個(gè)算式的和的千位應(yīng)該填1.

(3)填百位

由算式中我們看到，百位上的三個(gè)數(shù)相加得18,也就是口+口+1=18,因?yàn)橹挥?+8+1=18,或8+9+1=18,

所以百位上的兩個(gè)空格只能一個(gè)填9,一個(gè)填8.這樣所有的空格我們都可以填出來了.

解此題有四個(gè)解：

回12國(guó)12

+因9因+叵］9圖

□81?□81E]

回12國(guó)12

+因99+⑼9囹

國(guó)81E口81[U

從上面的解題過程可以看到，解這種題應(yīng)按三個(gè)步驟分析思考：

(1)審題.審題就是找出算式中數(shù)量之間的關(guān)系和特征，它們是確定各空格內(nèi)應(yīng)該填什么數(shù)字的主要依據(jù).

(2)選擇解題的突破口.應(yīng)該在審題的根底上，認(rèn)真分析、思考找出算式中容易填出或關(guān)鍵性的空格，作

為解題的突破口.

(3)確定各空格填什么數(shù)字.從突破口開始，依據(jù)算式的條件，逐個(gè)填出各空格中的數(shù)字.

問題4.2在口內(nèi)填上適宜的數(shù)字，使算式成立.

43□0

一口口2口

1953

分析這道題可以直接根據(jù)減法的計(jì)算方法，從豎式的最低位入手，這是解答此題的突破口.

(1)填個(gè)位

由0-口=3可知被減數(shù)個(gè)位不夠減，必須從十位退1,所以可由10-口=3推出口=7.即減數(shù)個(gè)位上的數(shù)字應(yīng)

填7.

(2)填十位

由口-1-2=5可知被減數(shù)十位上的數(shù)字應(yīng)填8.

(3)填百位、千位

用同樣的方法可推出減數(shù)的百位、千位上的數(shù)字分別是4、2.

解此題只有一解

43國(guó)0

E團(tuán)2口

1953

我們看到問題4.1有四個(gè)解，問題4.2只有一個(gè)解.這說明算式謎的題目有時(shí)答案可能不止一個(gè)，一般不

必求出全部解，求出一個(gè)解就算正確.

問題4.3在下面的口內(nèi)，各填一個(gè)適宜的數(shù)字，使算式成立.

□□

x□6

口口4

+270

口口口4

分析(1)從被乘數(shù)個(gè)位上的口里填什么數(shù)字入手及豎式中口*6=()4,是此題的突破口.

這里有兩種情況：4X6=24或9X6=54,都可使口乂6=()4成立.也就是說，被乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)字可能是

4,也可能是9.

先考慮被乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)字是9的可能性，因?yàn)樵诔藬?shù)十位上找不出任何數(shù)字與9相乘得“整十?dāng)?shù)”，所以

被乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)字不可能是9.

如果被乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)字是4,很容易推出乘數(shù)十位上的數(shù)字應(yīng)是5,才能與4相乘得“整十?dāng)?shù)”.

所以被乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)字是4,乘數(shù)十位上的數(shù)字是5.

(2)由被乘數(shù)乘以乘數(shù)十位上的5得270,也很容易推出被乘數(shù)十位上的數(shù)字是5,進(jìn)而可推出其它各數(shù)字.

巴⑷

xE]6

——4

+270

⑶叨二4

問題4.4選擇適宜的數(shù)字填在口里，使下面的算式成立.

1□

2口)口2口

2□

19□

□□口

~6~

分析抓住被除數(shù)前兩位夠除、商的十位上的數(shù)字是1這個(gè)突破口來考慮.

豎式中被除數(shù)的十位上有商1，根據(jù)除數(shù)的最高位十位上的數(shù)字是2,可推出被除數(shù)百位上的數(shù)字必須大于

或等于2,但不超過4.

又因?yàn)楸怀龜?shù)百位上有余數(shù)1,說明被除數(shù)百位上的數(shù)字必須大于或等于3,但不超過4.

再由2-口=9,可知被除數(shù)十位上的數(shù)字不夠減，要從百位上退1,由此可推出被除數(shù)百位上的數(shù)字是4,除

數(shù)個(gè)位上的數(shù)字是3.

這樣就容易推出其它口里的數(shù)字了.

1因

20)⑷2同

2國(guó)

190

UJE10]

6-

問題4.5在方框中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使算式成立.

口8口

□□□）□□□□□□

□□□□

□□□—（T）

□□□一②

□□□□

口口口口

0-

分析此題給出的數(shù)字只有兩個(gè)，我們可以從數(shù)位的多少尋找突破口.

因?yàn)槌龜?shù)是一個(gè)三位數(shù)，乘以8得②數(shù)，仍是一個(gè)三位數(shù)，所以除數(shù)的最高位數(shù)字一定是1.

而用除數(shù)去乘另外兩個(gè)商（百位、個(gè)位上的）所得的都是四位數(shù)，即1口口乂口=口口口口.又由1口口又國(guó)

=□□口（三位數(shù)），由此可以肯定商的百位和個(gè)位數(shù)字一定是9.這樣就得到商是989.

又因?yàn)槌ㄋ闶街校谝粋€(gè)余數(shù)①數(shù)減去一個(gè)三位數(shù)②數(shù)，所得的差還是一個(gè)三位數(shù)，所以①數(shù)的最高位數(shù)

字只能是9,②數(shù)的最高位數(shù)字只能是8.也就是說這個(gè)除數(shù)，乘以9要得出一個(gè)四位數(shù)，乘以8不僅只能得出

一個(gè)三位數(shù)來，而且最高位數(shù)字只能是8.由此可以確定這個(gè)除數(shù)的十位只能是1,個(gè)位只能是2,即除數(shù)是112.

通過以上分析，找出了除數(shù)和商.利用被除數(shù)、除數(shù)及商的關(guān)系，不難確定其它方框內(nèi)的數(shù)字了.

練習(xí)4

1.在下面的口里填上適宜的數(shù).

（1）40537（2）54□2□

+8□□7-□58□2

□29642□~~9

（3）□□口（4）39.□

X□,21X3.口

□□口口口8口

+口□□口+□口91

口回口in□.98

□~~9口2.口

2.在下面的口內(nèi)填上適宜的數(shù)，使算式成立.

1）4.□6

3口）14口,9口

□□8

口79

□□口

□□口

□□口

五巧算求和

德國(guó)有一位世界著名的數(shù)學(xué)家叫高斯（公元1977年?1855年）.他上小學(xué)時(shí)，老師出了一道數(shù)學(xué)題：1+2+3+…

+100=?小高斯看了看題目，想了一下，很快說出了結(jié)果是5050.他的同學(xué)無不為之驚奇，甚至還有的同學(xué)以為

他在瞎說.但小高斯得出的結(jié)果被確定是正確的.同學(xué)們，你們知道他是怎么算出來的嗎？原來小高斯在認(rèn)真審

題的根底上，根據(jù)題的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)了這樣的有趣現(xiàn)象：1+100=101,2+99=101,3+98=101,…，50+51=101.一

共有多少個(gè)101呢？100個(gè)數(shù)，每?jī)蓚€(gè)數(shù)是一對(duì)，共有50對(duì)，即共有50個(gè)101,所以

I+2+3+--+I00

)()()(

=<(1+100+2+99+—一一3+98+……+50+51),

共50個(gè)101

=101X50,

也就是：(1+100)X(1004-2)=101X50=5050.

高斯的老師所出的題目，實(shí)際上是數(shù)列的求和問題.那么什么是數(shù)列呢？

按照一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.數(shù)列中的數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，第一個(gè)數(shù)叫做第一項(xiàng)，又叫做首項(xiàng)；第二

個(gè)數(shù)叫做第二項(xiàng)；……；最后一個(gè)數(shù)叫做末項(xiàng).

高斯的老師所出的題目，實(shí)際上是求數(shù)列：1,2,3,4,…，99,100的和.這個(gè)數(shù)列有什么特點(diǎn)呢？可以

發(fā)現(xiàn)：2-1=3-2=4-3="=100-99=1,即從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都相等，像這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列，

這個(gè)相等的差叫做這個(gè)等差數(shù)列的公差.如：

1,2,3,4,…是等差數(shù)列，公差為1；

1,3,5,7,…是等差數(shù)列，公差為2；

2,5,8,11,…是等差數(shù)列，公差為3.

由高斯的巧算可以得到：

1+2+3+…+98+99+100=(1+100)X(1004-2),

即(1+100)X100+2.由此可以得出等差數(shù)列的求和公式：

總和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))義項(xiàng)數(shù)+2.

我們利用這個(gè)公式，可以很迅速地求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和.

問題5.1計(jì)算以下各題：

(1)1+3+5+…+99：(2)1+4+7+-+100；

(3)1949+1959+1969+1979+1989+1999+2021.

分析(1)這是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，首項(xiàng)是1,末項(xiàng)是99,項(xiàng)數(shù)是50,所以

1+3+5+…+97+99=(1+99)X504-2

=100X25=2500.

(2)這是一個(gè)公差為3、首項(xiàng)是1、末項(xiàng)是100、項(xiàng)數(shù)是34的等差數(shù)列，所以

1+4+7+…+97+100=(1+100)X344-2

=101X17=1717.

(3)這是一個(gè)公差是10、首項(xiàng)是1949、末項(xiàng)是2021、項(xiàng)數(shù)是7的等差數(shù)列，所以

1949+1959+1969+1979+1989+1999+2021

=(1949+2021]X7-？2=1979X7=13853.

在上面的解題過程中，怎樣根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)及公差來確定項(xiàng)數(shù)呢？同學(xué)們經(jīng)過分析完全可以得出

下面的計(jì)算公式：

項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))+公差+1.

另外，當(dāng)這個(gè)等差數(shù)列是奇數(shù)個(gè)項(xiàng)時(shí)，總和=中間項(xiàng)X項(xiàng)數(shù).

同學(xué)們想一想這是為什么？

問題5.2計(jì)算以下各題：

(1)6000-1-2-3-…-99-100；

(2)(1+3+5+7+…+1993)-(2+4+6+8+…+1992)。

分析(1)可先利用減法的性質(zhì)，把原題變?yōu)?/p>

6000-(1+2+3+―+100),

然后再利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算.(2)可分別利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算。

解⑴6000-123-…-99-100

=6000-(1+2+3+-+99+100)

=6000-(1+100)*100+2

=6000-5050=950.

(2)(1+3+5+-+1993)-(2+4+6+…+1992)

=(1+1993)X997+2-(2+1992)X9964-2

=9972-997X996=997X(997-996)

=997X1=997.

(2)也可以這樣解：

(1+3+5+7+-+1993)-(2+4+6+8+-+1992)

=1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+(9-8)+???+(1993-1992)

=1+1+1+—+1=997.

996個(gè)1

問題5.3計(jì)算

1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99.

分析把原題作適當(dāng)?shù)淖冃危缓笤倮玫炔顢?shù)列的求和公式計(jì)算.

解1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99

=(1+2+3+4+…+97+98+99)-2X(3+6+9+…+99)

=(1+99)X994-2-2X(3+99)X334-2

=4950-3366=1584。

問題5.4計(jì)算

997+995+993+1009+1004+1011.

分析當(dāng)許多大小不同但彼此又比擬接近的數(shù)相加時(shí)，可選擇其中一個(gè)數(shù)，最好是整十、整百、整千、……

的數(shù)作為計(jì)數(shù)的根底，再找出每一個(gè)加數(shù)與這個(gè)數(shù)(基準(zhǔn)數(shù))的差.大于基準(zhǔn)數(shù)的作為加數(shù)，小于基準(zhǔn)數(shù)的作為

減數(shù)，把這些差累計(jì)起來，再用基準(zhǔn)數(shù)乘以加數(shù)的個(gè)數(shù)，加上累計(jì)差，就是這些數(shù)的和.此題選1000作為基準(zhǔn)

數(shù)較適宜.

解997+995+993+1009+1004+1011

=(1000-3)+(1000-5)+(1000-7)

+(1000+9)+(1000+4)+(1000+11)

=1000X6+(9+4+11)-(3+5+7)

=6000+24-15=6009.

問題5.5求平均數(shù)：

199,202,195,201,196,201

分析選200作基準(zhǔn)數(shù)，先求和，再求平均數(shù).

解[200X6+(2+1+1)-(1+5+4)]4-6

=[1200+4-10]4-6=199

練習(xí)5

1.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

(1)19+20+21+-+84；

(2)5+9+13+-+81；

(3)1+8+15+-+92；

(4)67+65+63+…+5+3+1；

(5)(7+9+11+―+25)-(5+7+9+…+23).

2.計(jì)算：

(1)1000-3-6-9---54；

⑵1-2+3-4+5-6+…+97-98+99；

(3)82+83+78+79+80+81+78+79+77+84:

(4)103+99+103+96+105+102+98+98+101+102；

(5)0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+-.

3.計(jì)算：

六剪剪拼拼畫畫

把一個(gè)圖形先分開再按一定條件拼成一個(gè)新的圖形，或把幾個(gè)圖形按某條件拼成某一個(gè)面積較大的圖形，這

類問題不但十分有趣，而且可以磨礪我們的智慧.在歷史上，許多著名人物都玩過這種拼拼畫畫的游戲，他們?cè)?/p>

這種充滿激情和樂趣的學(xué)與玩活動(dòng)中受到了深刻的啟迪，他們身上智慧的火花由此而被點(diǎn)燃.另外，這種活動(dòng)作

為一種社會(huì)實(shí)踐，開展、豐富了人類文化寶庫(kù).中華民族引以為自豪的“唐圖”（即七巧板）就是這一活動(dòng)的產(chǎn)

物.

下面我們來談幾個(gè)拼拼畫畫的問題，希望與同學(xué)們?cè)谝环N充滿快樂的氣氛中進(jìn)行思維接觸，到達(dá)聰明與情感

的交融.

問題6.1被譽(yù)為“漢初三杰”之一的韓信，自幼才智出眾，聰穎過人.在他7歲的時(shí)候，有一次，家里來了8

個(gè)客人.韓父拿出兩塊正六角形的糕點(diǎn)招待客人，他用刀子將一塊糕點(diǎn)仔細(xì)切成了形狀大小相同的8份（如圖6

-1）.正要按同樣的方法分另一塊糕時(shí)，站在一旁的小韓信說：“爹爹，你剛剛共切了11刀，依我看，只需切5

刀也能把它切成形狀大小一樣的8塊來”.“真的嗎？"父親先是一震，顯現(xiàn)出疑惑和驚訝的神態(tài).接著，便用

鼓勵(lì)的口吻對(duì)韓信說：“那你就試試吧."小韓信自信地從爹爹手中接過刀比劃了一下后就切出來了.

V-------(

06—1

同學(xué)們：你知道韓信是怎么切的嗎？

解韓信的切法如圖6—2所示.

這是把給定的形狀分成幾等份的巧妙解答.看來韓信小時(shí)候確實(shí)是個(gè)肯動(dòng)腦筋的孩子.

問題6.2高裁縫的小兒子高明從小就是個(gè)聰明可愛的孩子.

一天，一位窮人拿來一塊長(zhǎng)方形的舊花布（如圖6—3）,要求高師傅給他的女兒做一件上衣.為了節(jié)約和美

觀，窮人作了如下

G

CG

圖6T

要求：①所有的布得用完；②只準(zhǔn)剪三塊以下然后拼接縫制；③每個(gè)袖子上還要有兩朵對(duì)稱的小花.這下可

難倒了經(jīng)驗(yàn)豐富的高師傅.當(dāng)他向窮人說他無法做到的時(shí)候，小高明在一旁發(fā)話了.他說:“我有方法完成任務(wù)."

他爸爸十分快樂.同學(xué)們，如果事情發(fā)生在你家里你有方法嗎？

分析只要問題有解，我們也應(yīng)當(dāng)能通過分析畫出圖案來.

如圖6—4便是一種裁剪畫線法，顯然這只是一個(gè)大致的輪廓.要真正不浪費(fèi)布，還必須把領(lǐng)口剪下的布縫

成兩個(gè)荷包，這樣得剪六塊.

問題6.3要把一個(gè)正方形剪成4個(gè)一樣的小正方形，只需要剪一刀就夠了.你知道怎么剪嗎？

解將原正方形沿虛線依次作三次折疊［見圖6—5（1）、（2）、（3）］,然后再沿第三次折縫［見圖（3）］剪開即

成.

(1)（2）(3)

圖6—5

問題6.4有一個(gè)邊長(zhǎng)是8厘米的正方形，我們按圖6—6（1）的方式把它分割成甲、乙、丙、丁四塊，然后，再

按圖6—6（2）的方式重新拼接組成一個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米和13厘米的矩形.自然地，這個(gè)正方形的面積與長(zhǎng)方形

的面積應(yīng)該是相等的.可是一個(gè)細(xì)心的同學(xué)計(jì)算了一下，就得出64平方厘米=65平方厘米的錯(cuò)誤結(jié)果.你看錯(cuò)

在哪里？

（2）

分析如果我們動(dòng)手精心地按圖（1）中的尺寸剪下甲乙、丙、丁四塊紙板.然后按如圖（2）的方位進(jìn)行拼

接就會(huì)發(fā)現(xiàn)，圖（2）的長(zhǎng)方形對(duì)角線上不是密合的而空出了一塊（如圖6-7）,即A、B、C和A、D、C都不在

一條直線上，它們構(gòu)成一個(gè)平行四邊形ABCD.

我們可以用勾股定理證明這個(gè)結(jié)論：事實(shí)上，圖6-7的矩形的對(duì)角線

752+132=7194；又在直角△ABE中算得AB=、顧；在直角^CBF中算得

Ac=BC=履.易知：

AB+BC=T29+T73>7i94=AC

即A、B、C可構(gòu)成一個(gè)三角形，它們根本不在一條直線上.不難知道，中間的平