2024-2025學年高中數(shù)學第3章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入3.2.2復數(shù)的乘方與除法運算課時素養(yǎng)評價含解析蘇教版選修2-2

PAGE課時素養(yǎng)評價十二復數(shù)的乘方與除法運算(25分鐘·60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2024·新高考全國Ⅰ卷)QUOTE= ()A.1 B.-1 C.i D.-i【解析】選D.QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-i.2.若將復數(shù)QUOTE表示為a+bi(a,b∈R,i是虛數(shù)單位)的形式,則a+b= ()A.0 B.1 C.2 【解析】選B.因為QUOTE=QUOTE=i,QUOTE=a+bi,所以a=0,b=1,所以a+b=1.3.若z2+z+1=0,則z2017+z2018+z2020+z2021的值為 ()A.2 B.-2C.-QUOTE+QUOTEi D.-QUOTE±QUOTEi【解析】選B.因為z2+z+1=0,兩邊同乘(z-1),得z3-1=0,所以z3=1(z≠1),則z4=z,z2017=(z3)672·z=z,于是原式=z2017(1+z+z3+z4)=z(1+z+1+z)=z(2+2z)=2(z+z2)=-2.4.已知QUOTE=1+i(i為虛數(shù)單位),則復數(shù)z等于 ()A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i【解析】選D.由題意,得z=QUOTE=QUOTE=-1-i.5.已知復數(shù)z滿意:(1-i)z=4+2i(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為 ()A.1 B.3 C.3i 【解析】選B.因為(1-i)·z=4+2i,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1+3i,所以虛部為3.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知i為虛數(shù)單位,若復數(shù)z=QUOTE+i(a∈R)的實部與虛部互為相反數(shù),則a=____________;QUOTE=____________.

【解析】z=QUOTE+i=QUOTE+i=QUOTE+QUOTEi,因為復數(shù)z=QUOTE+i(a∈R)的實部與虛部互為相反數(shù),所以-QUOTE=QUOTE,解得a=-QUOTE.z=-QUOTE+QUOTEi,所以QUOTE=-QUOTE-QUOTEi.答案:-QUOTE-QUOTE-QUOTEi7.已知復數(shù)z=QUOTE,則z·QUOTE=____________.

【解析】z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE+QUOTE,所以QUOTE=-QUOTE-QUOTE,于是z·QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.設a是實數(shù),且QUOTE∈R,則實數(shù)a=_______________.

【解析】因為QUOTE∈R,所以不妨設QUOTE=x,x∈R,則1+ai=(1+i)x=x+xi,所以有QUOTE所以a=1.答案:1三、解答題(每小題10分,共20分)9.計算下列各題:(1)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).(2)QUOTE+5+i2-QUOTE.(3)QUOTE(QUOTE+QUOTEi)5+QUOTE+QUOTE.【解析】(1)原式=2(4-i)(3-i)+(7-i)(4-3i)=2(12-3i-4i+i2)+(28-4i-21i+3i2)=2(11-7i)+25(1-i)=47-39i.(2)原式=QUOTE+5+i2-QUOTE=i+5-1-i=i+4-i=4.(3)原式=-i·(QUOTE)5·[(1+i)2]2·(1+i)+QUOTE+i7=16QUOTE(-1+i)-QUOTE-i=-QUOTE+(16QUOTE-1)i.10.復數(shù)z=QUOTE,若z2+QUOTE<0,求純虛數(shù)a.【解析】z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-i.因為a為純虛數(shù),所以可設a=mi(m≠0),則z2+QUOTE=(1-i)2+QUOTE=-2i+QUOTE=-QUOTE+QUOTEi<0,所以QUOTE解得m=4,所以a=4i.(20分鐘·40分)1.(2024·全國Ⅱ卷)(1-i)4= ()A.-4 B.4C.-4i D.4i【解析】選A.(1-i)4=QUOTE=QUOTE=(-2i)2=-4.2.(5分)定義運算QUOTE=ad-bc,則符合條件QUOTE=4+2i的復數(shù)z=()A.3+i B.3-iC.1+3i D.-1+3i【解析】選B.由定義知zi+z=4+2i,所以z=QUOTE=QUOTE=3-i.3.(5分)已知復數(shù)z=QUOTE是純虛數(shù),則θ=_______________.

【解析】QUOTE=(tanθ-QUOTE)+i,因為z=QUOTE是純虛數(shù),所以tanθ-QUOTE=0,所以θ=kπ+QUOTE(k∈Z).答案:kπ+QUOTE(k∈Z)4.(5分)已知i是虛數(shù)單位,若復數(shù)z滿意zi=1+i,則z2=____________.

【解析】因為zi=1+i,所以z=QUOTE=QUOTE+1=1-i.所以z2=(1-i)2=1+i2-2i=-2i.答案:-2i5.(10分)計算:(1)QUOTE.(2)QUOTE+QUOTE.【解析】(1)QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)原式=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=i+i=2i.6.(10分)已知z2=8+6i,求z3-16z-QUOTE.【解題指南】要求z3-16z-QUOTE的值,應先求出復數(shù)z,再代入求解.【解析】設z=a+bi(a,b∈R),則z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi=8+6i,所以QUOTE解得QUOTE或QUOTE當z=3+i時,z3-16z-QUOTE=(z2-16)z-QUOTE=(-8+6i)(3+i)-QUOTE=-30+10i-30+10i=-60