河南省信陽市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試 數(shù)學(xué)（含解析）

*2024年11月13日2024-2025學(xué)年普通高中高二上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù) 學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分?考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效?考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回?注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將本人的姓名、準考證號等考生信息填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將準考證號填涂在相應(yīng)位置?2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚?3.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效?4.保持卡面清潔，不折疊，不破損?第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知向量，，若，則m等于（）A. B. C.2 D.42.已知，，，經(jīng)過點C作直線l，若直線l與線段AB沒有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍為（）A. B. C. D.3.已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計算器產(chǎn)生1～5之間的隨機數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機數(shù)1時，表示設(shè)備一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2，由于有3臺設(shè)備，所以每3個隨機數(shù)為一組，代表3臺設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機數(shù)如下：412 451 312 533 224 344 151 254 424 142435 414 335 132 123 233 314 232 353 442據(jù)此估計一年內(nèi)這3臺設(shè)備都不需要維修的概率為（）A.0.4 B.0.45 C.0.55 D.0.64.口袋中裝有質(zhì)地和大小相同的6個小球，小球上面分別標有數(shù)字1，1，2，2，3，3，從中任取兩個小球，則兩個小球上的數(shù)字之和大于4的概率為（）A. B. C. D.5.曲線C：的周長為（）A. B. C. D.6.某大學(xué)選拔新生進“籃球”“舞蹈”“美術(shù)”三個社團，據(jù)資料統(tǒng)計，新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立.假設(shè)某新生通過考核選拔進入“籃球”“舞蹈”“美術(shù)”三個社團的概率依次為，m，n，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，則（）A.， B.， C.， D.，7.在長方體中，與平面ABCD所成的角為，與所成的角為，則下列關(guān)系一定成立的是（）A. B. C. D.8.已知圓C：，P為直線l：上一點，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A和B，當(dāng)四邊形PACB的面積最小時，直線AB的方程為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點”，“第二次的點數(shù)小于5”，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點數(shù)之和為9”，則下列說法正確的有（）A.A與B不互斥且相互獨立 B.A與D互斥且不相互獨立C.B與D互斥且不相互獨立 D.A與C不互斥且相互獨立10.已知圓O：與圓C：相交于A，B兩點，直線l：，點P為直線l上一動點，過P作圓O的切線PM，PN（M，N為切點），則下列說法正確的有（）A.直線AB的方程為 B.線段AB的長為C.直線MN過定點 D.的最小值是111.在三棱錐P-ABC中，平面ABC，，平面ABC內(nèi)動點D的軌跡是集合.已知，且在棱AB所在直線上，，2，則（）A.動點D的軌跡是圓 B.平面平面C.三棱錐P-ABC體積的最大值為3 D.三棱錐外接球的半徑不是定值第Ⅱ卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間內(nèi)A，B，C，D四點共面，且任意三點不共線，若P為該平面外一點，，則.13.已知事件A與事件B相互獨立，若，，則.14.若直線與圓只有一個公共點，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知圓C的圓心在直線上，且與y軸相切于點.（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線l：交于A，B兩點，且，求m的值.從下列兩個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：①；②.注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.16.（本小題滿分15分）某校田徑隊有3名短跑運動員，根據(jù)平時的訓(xùn)練情況統(tǒng)計：甲、乙、丙3名運動員100m跑（互不影響）的成績在13s內(nèi)（稱為合格）的概率分別是，，.若對這3名短跑運動員的100m跑的成績進行一次檢測.（1）3名運動員都合格的概率與3名運動員都不合格的概率分別是多少？（2）出現(xiàn)幾名運動員合格的概率最大？17.（本小題滿分15分）如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，為等邊三角形，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，且.（1）證明：平面平面PBC.（2）若F為AC的中點，求點C的平面BEF的距離.18.（本小題滿分17分）在梯形ABCD中，，，F(xiàn)為AB中點，，，，如圖，以EF為軸將平面ADEF折起，使得平面平面BCEF.（1）若M為EC的中點，證明：平面ABC；（2）證明：平面平面BCD；（3）若N是線段DC上一動點，平面BNE與平面ABF夾角的余弦值為，求DN的長.19.（本小題滿分17分）在平面直角坐標系xOy中，圓O為的內(nèi)切圓，其中，，.（1）求圓O的方程及點A的坐標；（2）在直線AO上是否存在異于點A的定點Q，使得對圓O上任意一點P，都有（為常數(shù)）？若存在，求出點Q的坐標及的值；若不存在，請說明理由.

2024-2025學(xué)年普通高中高二上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1.B【解析】由，，，得.解得.2.C【解析】直線BC的傾斜角為，直線AC的傾斜角為，根據(jù)傾斜角定義，故選C.3.C【解析】由題意可知，代表事件“一年內(nèi)3臺設(shè)備都不需要維修”的數(shù)組有533，224，344，254，424，435，335，233，232，353，442，共11組.所以一年內(nèi)這3臺設(shè)備都不需要維修的概率為.4.A【解析】記兩個標有數(shù)字1的小球分別為A，a，兩個標有數(shù)字2的小球分別為B，b，兩個標有數(shù)字3的小球分別為C，c.從中任取兩個小球的所有可能結(jié)果有Aa，AB，Ab，AC，Ac，aB，ab，aC，ac，Bb，BC，Bc，bC，bc，Cc，共15種情況，其中滿足兩個小球上的數(shù)字之和大于4的有BC，Bc，bC，bc，Cc，共5種情況.所以兩個小球上的數(shù)字之和大于4的概率為.5.C【解析】由，得，即，即或.所以曲線C表示兩個同心圓，且這兩個圓的半徑分別為，.所以曲線C的周長為.6.A【解析】依題意，得，解得.7.D【解析】因為平面ABCD，所以.易知，則，，.因為，的大小關(guān)系不確定，所以無法確定，的大小關(guān)系，則，的大小不確定，A錯誤.因為，，所以.因為，均為銳角，所以也是銳角，則，即.8.A【解析】由，得圓C的圓心，半徑.因為，所以四邊形PACB的面積.所以當(dāng)最小時，S也最小，此時，.故PC的方程為，即.聯(lián)立，，解得，，即.所以直線AB的方程為，化簡，得.二、選擇題9.ABD【解析】因為A與B可能同時發(fā)生，所以它們不互斥，且兩者發(fā)生的概率互不影響，所以A與B不互斥且相互獨立，A正確.因為當(dāng)A發(fā)生時，兩次點數(shù)之和不超過8，所以D不可能發(fā)生，即A與D不可能同時發(fā)生.所以A與D互斥.又因為A不發(fā)生時，D有可能發(fā)生，所以A發(fā)生與否影響D發(fā)生的概率.所以A與D不相互獨立，B正確.同理可得，B與D也不相互獨立.因為B與D可能同時發(fā)生（如第一次拋出5點，第二次拋出4點），所以它們不互斥，C錯誤.顯然A與C可能同時發(fā)生，所以兩者不互斥.因為A發(fā)生與否都有，所以A與C相互獨立，D正確.10.BCD【解析】聯(lián)立，兩式相減，得即為直線AB的方程，A錯誤.聯(lián)立，得或，則，B正確.設(shè)，.因為M，N為圓O的切點，所以直線PM的方程為，直線PN的方程為.設(shè)，則，所以直線MN的方程為.又因為，所以.由，得，即直線MN過定點，C正確.因為，所以當(dāng)最小時，最小，且的最小值為，所以此時，D正確.11.ABC【解析】對于A，在平面ABC內(nèi)，以點B為坐標原點，方向為x軸正方向建立如圖1所示的平面直角坐標系，則，.設(shè)，則，.又，所以，即，則點D的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，A正確.圖1對于B，由A的分析可知，為圓的直徑，又點C在圓上，所以.如圖2，因為平面ABC，平面ABC，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面，B正確.圖2對于C，點P到平面ABC的距離確定了，AB的長度確定了，所以當(dāng)點C到直線AB的距離最大時，三棱錐P-ABC的體積最大.顯然點C到直線AB的距離的最大值為2，此時三棱錐P-ABC的體積，C正確.對于D，因為平面，平面，平面兩兩相互垂直，所以可以將三棱錐補成直四棱柱，易知直四棱柱的外接球即三棱錐的外接球，直四棱柱的外接球直徑等于.因為，，所以三棱錐外接球的半徑是定值，D錯誤.三、填空題12.【解析】由，解得.13.0.28【解析】因為事件A與事件B相互獨立，所以事件與事件B相互獨立.因為，，所以.所以.14.【解析】圓半徑，圓心到直線的距離為.因為直線與圓只有一個公共點，所以，即，解得.所以.四、解答題15.（1）設(shè)圓心坐標為，半徑為r.由圓C的圓心在直線上，得.因為圓C與y軸相切于點，所以，，則.所以圓C的圓心坐標為，則圓C的方程為.（2）如果選擇條件①：，而，所以圓心C到直線l的距離.解得或.如果選擇條件②：，而，所以圓心C到直線l的距離，則.解得或.16.設(shè)甲、乙、丙3名運動員100m跑合格分別為事件A，B，C，顯然A，B，C相互獨立，且，，，，，.設(shè)恰有k名運動員合格的概率為（，1，2，3）.（1）3名運動員都合格的概率為.3名運動員都不合格的概率為.（2）2名運動員合格的概率為.1名運動員合格的概率為.因為，所以出現(xiàn)2名運動員合格的概率最大.17.（1）因為為等邊三角形，D，O分別是BP，BC的中點，且，所以，.又，所以，即.又因為，且，所以平面PBC.又平面ABC，所以平面平面PBC.（2）連接PO，則P.由（1）可知，平面平面PBC.所以平面ABC.因為F為AC的中點，所以點C到平面BEF的距離等于點A到平面BEF的距離.在直角中，可知，在直角中，可知，因為EF是的中位線，所以，的面積.設(shè)點A到平面BEF的距離為d，則三棱錐A-BEF的體積.又的面積，點E到平面ABF的距離為，所以三棱錐E-ABF的體積.由，得.所以點C到平面BEF的距離為.18.（1）由，，得，.因為M為EC的中點，F(xiàn)為AB中點，，所以，且.所以四邊形BCMF為平行四邊形.所以.而平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.（2）因為平面平面BCEF，平面平面，，所以平面BCEF.又平面BCEF，所以.由，，，得.又，所以平面DEB.又平面BCD，所以平面平面BCD.（3）由（2），得EF，EC，ED兩兩相互垂直，則可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，則.設(shè)（），則.設(shè)平面BNE的法向量為.由，令，得.易知平面ABF的法向量為.所以，解得，此時，所以，即DN的長為.19.（