計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)部分習(xí)題答案解析

第三章一元線性回歸模型

P56.

3.3從某公司分布在11個(gè)地區(qū)的銷售點(diǎn)的銷售量(y)和銷售價(jià)格(X)觀測(cè)值

得出以下結(jié)果：

7=519.87=217.82XX；=31345432才力=1296X36

2甲=539512

(1)、估計(jì)截距片和斜率系數(shù)以及其標(biāo)準(zhǔn)誤，并進(jìn)行“僉驗(yàn)；

(2)、銷售的總離差平方和中，樣本回歸直線未解釋的比例是多少？

(3)、對(duì)片和自分別建立95%的置信區(qū)間。

解：(1)、設(shè)匕=&+川X,,根據(jù)估計(jì)量有：

NNNN__?V_____

八NZXX-ZzEXN￡KXTN又N八ZZM-NJF

O_i=li=1i=1_i=l__________________________￡=1___________________

'q7^―y--一2-FT二

N￡X；-N￡X”(NX)￡X；—N(X)

MIM)/=|/=1

1296836-11x519.8x217.82，…

=------------------------；----=0.32

3134543-11x519.82

,o=于一&又=217.82—0.32x519.8=51.48

殘差平方和：

Z。：=RSS=TSS-ESS=￡化一在『一￡『，一

/=1/=!

工、1mYx-21gyd

，萬(wàn)一元￡工+萬(wàn)ZzAZ仇+￡%

?=17V\Z=1Ji=\7V\/=l7i=]i=l

=￡N尸-ZND豆+7AX+2/?。四X)\=打N2_(N0…°+7N+2為八四入ZNM\

f=li=\''/=1\i=]i=\7

=539512-(11X51.482+0.322x3134543+2x0.32x51.48xl1x519.8)=997.20224

另解：對(duì)刀：=RSS=75S—ESS=f（匕—汀一之（，一打，根據(jù)OLS

z=l/=1'

估計(jì)用二?一木工知歹=用+用了，因此有

%-落腐+/國(guó)-仇+/］）二用X-不，所以

31的標(biāo)準(zhǔn)誤:

設(shè)原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為：H。：京=0/7.：0產(chǎn)。

紓諼“31>2.26239)

將原假設(shè)帶入/統(tǒng)計(jì)量：，二一

se

即拒絕原假設(shè)，認(rèn)為銷售價(jià)格（x）顯著地解釋了銷售量（丫）的總體平均變化。

（2）、回歸直線中未解釋部分比列：

RSS977.20224

=0.055

TSSX一夕)2E片_NF539512-11x217.82?

（3）、3o的標(biāo)準(zhǔn)誤：

0"3少1JzJ

阿ZK-NX]

3134543

=10.53x=13.95

Hx(3134543-llx519.82

+火熊伊”得

根據(jù)置信區(qū)間計(jì)算式：3-

/o的95%的置信區(qū)間：(51.48-2.262x13.95,51.48+2.262x13.95)即

(19.93,83.03)

區(qū)的95%的置信區(qū)間：(0.32-2.262x0.026,0.32+2.262x0.026)即

(0.26,0.38)

3.4在一個(gè)回歸中，得到下表，但空缺了兩個(gè)數(shù)據(jù)。

VariableCoefficientStd.Erort-StatisticProb

(變量)(系數(shù))（系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤）(t統(tǒng)計(jì)量)（雙側(cè)概率P值）

C282.2434287.26490.3340

X0.03692820.540260.0000

（1）請(qǐng)補(bǔ)充這兩個(gè)數(shù)據(jù)

（2）如果顯著性水平。=0.05,請(qǐng)用p值法進(jìn)行“僉驗(yàn)

282.2434

解：（1）根據(jù)，==0.9825

287.2649

/1=，xJ=20.54026x0.036928=0.7585

(2)從回歸估計(jì)的結(jié)果看,斜率參數(shù)四=°,585,顯著性概率p=0.0000,在

顯著性水平。=0.05的條件下，P<a,即拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，口顯著

不為o,變量x的變化能顯著地解釋丫的總體平均變化。對(duì)截距項(xiàng)

30=282,2434其顯著性概率p=0.3340>a=0.05,故不能拒絕截距為零

的原假設(shè)。(截距一般沒(méi)有明確的經(jīng)濟(jì)含義，但是大多數(shù)模型包含截距，以截取

沒(méi)有被x所解釋的丫的變化，因此，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)一般不對(duì)截距進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn))

第四章多元線性回歸分析

P93.

4.2在分析變量丫的影響因素時(shí)，學(xué)生甲建立了如下的多元回歸方程：

匕=%+四與+a2X2l+

學(xué)生乙也在研究研究同樣的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，她只學(xué)習(xí)了一元線性回歸模型。為了考察

在工2不變時(shí)，乂對(duì)y的影響，學(xué)生乙進(jìn)行了如下的三步回歸分析：

X=B°”,Xx+%(a)

XLYO+YIXJ%

(b)

人人

(c)

其中，言,晟分別是回歸方程(。)、(力)的殘差項(xiàng)。

(1)參數(shù)%和參數(shù)人有什么樣的關(guān)系？解釋你的理由

(2)參數(shù)%和參數(shù)目是同一參數(shù)嗎？解釋你的理由

(3)回歸方程(c)為什么沒(méi)有截距項(xiàng)？

解：(1、2)由方程(b)得到

S2t=X\t_/O-X1^2/

帶入方程(c)得到

制二4(乙一70一/d2)+%

帶入方程(a)得到

七=凡+43,+(A-A/.K+￡「4九

又

工=。0+四萬(wàn),+02y2+與

.,.%=4、％工仇

(3)假設(shè)方程(c)有截距項(xiàng)4,則

人ZK/\

打=〃+4￡2/+與

???E⑷=0即E仍4嬴+￡3)=4勾+卒何卜E(用=0

又???￡歷卜0、七⑷=。

???七(4卜。即》=。

4.3在基于受約束和無(wú)約束回歸方程的估計(jì)結(jié)果檢驗(yàn)線性約束時(shí)，需要建立廠

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。有讀者在相關(guān)文獻(xiàn)中看到了如下的尸檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

(%-硝/0、

F=7~~—------7?F(q,N-K—1)

——K—1)

(1)說(shuō)明該廠統(tǒng)計(jì)量的形式是如何得到的。

(2)在使用該統(tǒng)計(jì)量形式時(shí)需要注意什么條件？

(3)在分析生產(chǎn)函數(shù)時(shí)，如果無(wú)約束和受約束方程分別為

-2=尸°+OJnK,+p2InKt+st

和

斌QJL)=0°+P皿(KJLJ+J

那么，本題中所給出的產(chǎn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式是否還適用？給出你的理由。

解：(1)

F=(RSS「RSS》q_(RS，-RSS》TSS“p二[0-咐-(1-%)]"

―RSS“/(N—K—1)RSSlir/TSSur.(N-K-\)~(1——K—l)

飛-陶/(N-K_l)~F@N-K-l)

(2)在(1)中默認(rèn)了7SS”=TSS,..因此在使用該統(tǒng)計(jì)量形式時(shí)需注意無(wú)約

束回歸方程和受約束回歸方程的被解釋變量應(yīng)該一致。

(3)不適用。被解釋變量分別為Ing、ln(2//J

4.4為了分析羊肉的需求特征，有研究者建立并估計(jì)了如下的模型：

2=&+￡Jn-兄+四鳥(niǎo)"

參數(shù)估計(jì)值：

-130.329.1-0.130.08

f=-5.86.6-1.81.5

p-0.0000.0000.08350.146

-2

R=0.700樣本容量7=30

其中：。洋肉年人均需求量(單位：kg)

Y:當(dāng)?shù)鼐用竦哪耆司杖胨?元)

『羊肉年平均價(jià)格玩/kg)

P2：牛肉年平均價(jià)格玩/kg)

(1)基于經(jīng)濟(jì)理論和對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)的觀察，你對(duì)各解釋變量系數(shù)符合有怎樣的先

驗(yàn)預(yù)期？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由

(2)基于你對(duì)解釋變量系數(shù)的預(yù)期，建立相應(yīng)的假設(shè)并進(jìn)行檢驗(yàn)

(3)根據(jù)Z檢驗(yàn)的〃值，該研究者認(rèn)為「在5%顯著性水平上，6和6的影響

都不顯著；在10%顯著性水平上，々的影響顯著，鳥(niǎo)的影響不顯著。”是否同

意這一解釋？說(shuō)明理由

(4)系數(shù)月估計(jì)值為291解釋其經(jīng)濟(jì)含義

解：(1)/〉0,在其他經(jīng)濟(jì)變量保持不變的情況下，人均收入水平丫提高意味

著居民變得更富有，對(duì)羊肉的人均需求量。會(huì)增加；四＜°，羊肉平均價(jià)格片提

高，相對(duì)而言更貴了，人們會(huì)選擇羊肉的替代品之肉，所以對(duì)羊肉的人均需求量

。會(huì)降低；氏〉0,牛肉平均價(jià)格？提高，在，不變的情況下，人們會(huì)選擇牛

肉的替代品羊肉，。增加。

(2)對(duì)月的檢驗(yàn)，假設(shè)H。：片W0,乩：片＞0。構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量t=與《=與言

髭(夕)一同

根據(jù)Z檢驗(yàn)的〃值判斷，^=0.000＜cr=0.10(此處是單側(cè)檢驗(yàn)，故取p/2)

拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為口＞0。同理可檢驗(yàn)四、A

(3)不同意。在5%顯著性水平上，6的影響顯著，鳥(niǎo)的影響不顯著；在10%

顯著性水平上，4和鳥(niǎo)的影響都顯著。(判斷方法見(jiàn)(2))

(4)在其他變量保持不變的情況下，人均收入水平乂每變化一個(gè)百分點(diǎn)，人均

需求量變化。291個(gè)單位。

期中測(cè)試題

1.已知回歸模型E=a+/?N+〃，式中石為某公司一名新員工的起始薪金

（元），N為所受教育水平（年）。隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)〃的分布未知，其他所有假設(shè)均

滿足。

（1）從直觀經(jīng)濟(jì)角度解釋。、尸的含義。

（2）OLS估計(jì)量2、,是否滿足線性性、無(wú)偏性及有效性，說(shuō)明理由

（3）對(duì)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)是否能夠進(jìn)行，說(shuō)明理由

解：（1）回歸模型的截距為a,即受教育年限N=0時(shí)的平均起始薪金，斜率系

數(shù)為萬(wàn)，即受教育水平每增加1年，起始薪金后平均增加月個(gè)單位。

（2）滿足。因?yàn)榫€性性、無(wú)偏性及有效性的成立不需要隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)分布假設(shè)為

正態(tài)分布，題目已知其他所有假設(shè)均滿足。

（3）不能進(jìn)行。隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)〃的分布未知，要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)〃需

服從正態(tài)分布。

2.考慮以下方程：麗=8.562+0.3642+0.004匕］-2.560。,

（0.080）（0.072）（0.658）

/2=40/?2=0.873

其中：括號(hào)內(nèi)的數(shù)為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤

機(jī)表示Z年每位雇員的工資和獎(jiǎng)金

P「々T表示，年、，-1年的物價(jià)水平

a表示1年的失業(yè)率

(1)對(duì)個(gè)人收入估計(jì)的斜率系數(shù)進(jìn)行單項(xiàng)和聯(lián)合假設(shè)檢驗(yàn)，寫(xiě)出原假設(shè)、備擇

假設(shè)、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及檢驗(yàn)結(jié)果

(2)討論在理論上的正確性，對(duì)本模型的正確性進(jìn)行討論；月―是否應(yīng)從方

程中刪除，并說(shuō)明理由

解：(1)對(duì)夕的系數(shù)4的檢驗(yàn)，優(yōu)=0、乩邙產(chǎn)0

“=午4=然詈=4.55〉h025(40-4),拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為月顯著

/3]I0.08

的解釋了個(gè)人收入的總體平均變化。

同理可以檢驗(yàn)月_「。的系數(shù)四、優(yōu)。得Qt不能顯著的解釋了個(gè)人收入的總

體平均變化，a顯著的解釋了個(gè)人收入的總體平均變化。

聯(lián)合檢驗(yàn)：“0：四=尺=四=0,乩：。\、尸2、四至少一個(gè)不為0

統(tǒng)計(jì)量-產(chǎn)/3結(jié)合肥=當(dāng)=「壁，

7?SS/(40-3-l)TSSTSS

可得少=83.14>F°O5(3,36),拒絕原假設(shè)，即四、四、四至少一個(gè)不為0

(2)回歸方程表明影響工資水平的因素主要是當(dāng)期物價(jià)水平，前期的物價(jià)水平

Qt對(duì)它的影響不大，而失業(yè)率與工資呈反方向變動(dòng)也符合經(jīng)濟(jì)理論,故可將Qt

從模型中刪除。

3.基于最小二乘法得到樣本回歸模型

Y=/()+//+瓦又2：+…瓦X*++從，試證明:

⑴ZA=0⑵Z.X&=0

(3)歹￡=0(4)Yt=Y

證明：考慮多元線性回歸模型0￡S估計(jì)的基本思想：尋找一組估計(jì)量

3o,2,???,/月使得樣本回歸函數(shù)與所有樣本觀測(cè)點(diǎn)的偏離最小，即殘差平方和

最小。所以，優(yōu)化目標(biāo)：

Q=min=】而g僅一%)=Z(Z-左一/防-----瓦

根據(jù)數(shù)學(xué)中求極值的原理有：

=-2Z(Z-/o-3|^I,-------3KXKJ=0

~-2Z(Z-及-立兒-------BKXKJXn=0

*

*

*

*…一/人)兒=o

又Z=,_%)=,_廓_及X廠…-瓦兒)

因此上式可化簡(jiǎn)為：

器=-29西=0

粉一2工々X『O

⑴由胃=-2ZZ=0=>ZZ=0

⑵由富■=-22］九=0=2?！苯o

=0

仇+/西+…+瓦兒)

⑶

=?》，+/》"X\i+…+8Kzz羽=0

(4)

，=^2(2o+5iX廿+…+8處冷)

=不它為+f)\NX\+…+BKNXK)=B/B\X\+…+BKXK=Y

4.有如下生產(chǎn)函數(shù)(括號(hào)內(nèi)為估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)誤)：

InX=1.37+0.625InK+0.452InL+1

(0.257)(0.219)

n=63R2=0.98cov(瓦3)=0.055

(1)3K、3A各服從何種分布？8K±服從何種分布？

對(duì)以下假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)：

(2)產(chǎn)出量的資本彈性和勞動(dòng)彈性是等同的

(3)存在不變的規(guī)模很酬

(4)完成的檢驗(yàn)

解：

(1)均服從正態(tài)分布

⑵H。邙K—BL="H\：BK—B產(chǎn)。

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：

伊瓦

K-)-00.625-0.452

=2.73>/0025(/7-3)=2

22

se(pK-瓦)V0.257+0.219-2x0.055

拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為產(chǎn)出量的資本彈性和勞動(dòng)彈性是不同的

⑶H。邙盧瓦-1=0，乩：氏+瓦-1手。

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：

(瓦+瓦T)-。_0.625+0.452-1

=0.165＜仇2